广东汕头市潮阳区海田学校2025-2026学年度第一学期九年级数学科期中考试卷

　2025—2026 学年度第一学期　 九年级数学科期中考试卷 （内容：九年级上册第二十一章《一元二次方程》、第二十二章《二次函数》、第二十三章《旋转》；满分120分，考试时间90分钟） 班级＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿　　座位＿＿＿＿＿＿ 注意事项：1．满分120分，考试时间90分钟。2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写学校、班级、姓名、座号。3．答题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内。4．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（每小题3分，共30分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x＋3＝0 B．x2＋＝2 C．x2＋y－1＝0 D．x2＋3x－7＝0 2．一元二次方程 x2－9x＝0 的根是（　　） A．x＝9 B．x1＝0，x2＝9 C．x1＝0，x2＝－9 D．x1＝3，x2＝－3 3．若关于x的一元二次方程 x2＋6x＋k＝0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞9 B．k≥9 C．k＜9 D．k≤9 4．抛物线 y＝2(x－3)2＋1 的顶点坐标是（　　） A．(－3，1) B．(3，1) C．(3，－1) D．(－3，－1) 5．把抛物线 y＝－x2 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝－(x－2)2－3 B．y＝－(x＋2)2＋3 C．y＝－(x－2)2＋3 D．y＝－(x＋2)2－3 6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．矩形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正五边形 7．已知关于x的一元二次方程 x2＋mx＋9＝0 的一个根是x＝－1，则它的另一个根是（　　） A．9 B．10 C．－9 D．－10 8．潮阳区某特产店销售潮式饼食礼盒，当每盒的利润为12元时，每天可售出30盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出5盒。要使每天的利润达到400元，设每盒降价x元，则可列方程为（　　） A．(12－x)(30＋5x)＝400 B．(12＋x)(30－5x)＝400 C．(12－x)(30－5x)＝400 D．(12－x)＋(30＋5x)＝400 9．设 x1、x2 是一元二次方程 2x2－6x＋1＝0 的两个实数根，则 x1＋x2 与 x1x2 的值分别为（　　） A．3 和 1 B．3 和 C．－3 和 D．－3 和 － 10．如图1，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，对称轴为直线x＝1。下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．当x＜1时，y随x的增大而减小 C．关于x的方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根为 x1＝－1，x2＝3 D．b2－4ac＜0 二、填空题（每小题4分，共24分） 11 12 13 14 15 16 11．方程 (x－3)2＝16 的解为　　　　　　　　。 12．若关于x的一元二次方程 x2－4x＋m＝0 有两个相等的实数根，则m的值为　　　　　　。 13．在平面直角坐标系中，点P(－3，2)关于原点对称的点的坐标为　　　　　　。 14．二次函数 y＝3x2－6x＋1 的最小值为　　　　　　。 15．设 x1、x2 是方程 x2－5x＋2＝0 的两个实数根，则 x12＋x22＝　　　　　　。 16．潮阳区金灶镇某果园种植三棱橄榄，2024年的产量为80吨，2026年的产量达到125吨。设该果园橄榄产量的年平均增长率为x，则可列方程为　　　　　　　　，年平均增长率为　　　　　　%。 三、解答题（共66分） 17．（本题8分）解方程： （1）x2＋2x－8＝0；（4分）　　（2）3x2－6x－9＝0。（4分） 18．（本题8分）已知关于x的一元二次方程 x2－4x＋m－2＝0。 （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（4分） （2）在（1）的条件下，设方程的两个实数根为 x1、x2，且 x12＋x22＝10，求m的值。（4分） 19．（本题8分）已知抛物线 C1：y＝x2＋2x－3。 （1）用配方法求抛物线 C1 的顶点坐标；（2分） （2）把抛物线 C1 向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到抛物线 C2，求抛物线 C2 的解析式；（3分） （3）求抛物线 C2 与坐标轴的交点坐标。（3分） 20．（本题10分）潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元。调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒。设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元。 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4分） （2）当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（6分） 21．（本题10分）潮阳区某中学九年级某班有1名同学患了流感，由于没有及时隔离，流感在班内传播。已知经过两轮传染后，全班共有81人患了流感。设每轮传染中平均一个人传染x个人。 （1）用含x的代数式表示：第一轮传染后患病人数为　　　　　　，第二轮传染后患病人数为　　　　　　；（2分） （2）根据题意列出关于x的方程，并求出每轮传染中平均一个人传染的人数；（5分） （3）若不加以控制，照此传播速度，第三轮传染后全班患流感的总人数是多少？（3分） 22．（本题10分）如图2，在方格纸（每个小正方形的边长均为1）所在的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)、B(4，1)、C(2，3)，点O为坐标原点。把△ABC绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′。 （1）在图2中画出旋转后的△A′B′C′，并直接写出点A′、B′、C′的坐标；（4分） （2）求△ABC的面积；（3分） （3）连结OB、OB′、BB′，判断△OBB′的形状，并求出它的面积。（3分） 23．（本题12分）如图1，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D。 （1）求点A、B、C、D的坐标；（4分） （2）求△ABC的面积；（3分） （3）若点P是对称轴上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标及PA＋PC的最小值。（5分） 九年级数学科期中考试卷（参考答案） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C B D A C A B C 【解析】 1．选D。A中未知数的最高次数是1，是一元一次方程；B中含分式，不是整式方程；C中含有x、y两个未知数，都不是一元二次方程；D符合只含一个未知数、且未知数最高次数为2的整式方程的定义。 2．选B。由x2－9x＝0得x(x－9)＝0，解得x1＝0，x2＝9。注意不要漏掉x＝0这个根。 3．选C。由题意Δ＝62－4k＞0，即36－4k＞0，解得k＜9。若有两个相等的实数根才取k＝9。 4．选B。顶点式y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，这里h＝3，k＝1，故顶点坐标为(3，1)。 5．选D。左移2个单位把x换成x＋2，得y＝－(x＋2)2；再下移3个单位得y＝－(x＋2)2－3。口诀是"左加右减、上加下减"。 6．选A。等边三角形、正五边形只是轴对称图形；平行四边形只是中心对称图形；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形（对角线的交点为对称中心）。 7．选C。设另一个根为t，由两根之积得(－1)×t＝9，解得t＝－9（此时由两根之和得－m＝－10，m＝10，方程为x2＋10x＋9＝0，验证根为－1和－9正确）。 8．选A。降价后每盒利润为(12－x)元，每天销量为(30＋5x)盒，总利润为(12－x)(30＋5x)元，令其等于400即可；B把售价弄成了涨价，C把销量弄成了减少，D漏了乘号。 9．选B。Δ＝(－6)2－4×2×1＝28＞0，方程有两个实数根；由根与系数的关系得x1＋x2＝－＝3，x1x2＝。 10．选C。图象开口向下⇒a＜0；对称轴x＝－＝1且a＜0⇒b＞0；与y轴交于(0，3)⇒c＝3＞0，故abc＜0，A错。开口向下，x＜1时y随x的增大而增大，B错。图象与x轴交于(－1，0)、(3，0)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－1和3，C对。抛物线与x轴有两个交点⇒b2－4ac＞0，D错。 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．x1＝7，x2＝－1（4分，只写一个给2分） 解析：由(x－3)2＝16得x－3＝±4，即x－3＝4或x－3＝－4，解得x1＝7，x2＝－1。 12．4（4分） 解析：Δ＝(－4)2－4m＝0，即16－4m＝0，解得m＝4；此时方程为x2－4x＋4＝0，两根都是2。 13．(3，－2)（4分） 解析：关于原点对称的两点横、纵坐标都互为相反数，故对称点为(3，－2)。 14．－2（4分） 解析：y＝3(x2－2x)＋1＝3(x－1)2－2，开口向上，当x＝1时y有最小值－2。 15．21（4分） 解析：Δ＝25－8＝17＞0，方程有两个实数根；x1＋x2＝5，x1x2＝2，故x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝25－4＝21。 16．80(1＋x)2＝125；25（4分，方程2分，增长率2分） 解析：2025年产量为80(1＋x)吨，2026年为80(1＋x)2吨，故80(1＋x)2＝125，(1＋x)2＝＝1.5625，1＋x＝1.25（负值舍去），x＝0.25＝25%。 三、解答题（共66分） 17．（8分） （1）解：因式分解得(x＋4)(x－2)＝0，（2分） 即x＋4＝0或x－2＝0，∴x1＝－4，x2＝2。（2分） （2）解：方程两边同除以3，得x2－2x－3＝0，（1分） 因式分解得(x－3)(x＋1)＝0，（2分） 即x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1。（1分） （用配方法或公式法解对，同样给分） 18．（8分） （1）解：Δ＝(－4)2－4(m－2)＝16－4m＋8＝24－4m。（2分） ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即24－4m＞0，解得m＜6。（2分） （2）解：由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝m－2。（1分） 又x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－2(m－2)＝20－2m，（2分） 由20－2m＝10得m＝5。（0.5分） ∵5＜6符合（1）中取值范围，∴m＝5。（0.5分） （检验：m＝5时方程为x2－4x＋3＝0，两根为1和3，12＋32＝10，符合题意） 19．（8分） （1）解：y＝x2＋2x－3＝(x2＋2x＋1)－1－3＝(x＋1)2－4，（1分） ∴抛物线C1的顶点坐标为(－1，－4)。（1分） （2）解：抛物线C1为y＝(x＋1)2－4。（1分） 向右平移3个单位长度得y＝(x＋1－3)2－4＝(x－2)2－4，（1分） 再向上平移5个单位长度得y＝(x－2)2－4＋5＝(x－2)2＋1， 即抛物线C2的解析式为y＝(x－2)2＋1（或y＝x2－4x＋5）。（1分） （3）解：令x＝0，得y＝5，∴抛物线C2与y轴的交点为(0，5)。（1分） 令y＝0，得(x－2)2＋1＝0，即(x－2)2＝－1。（1分） ∵任何实数的平方都不小于0，∴该方程无实数根，即抛物线C2与x轴没有交点。（1分） 综上，抛物线C2与坐标轴只有1个交点，坐标为(0，5)。 20．（10分） （1）解：降价后每盒的利润为40－x－24＝(16－x)元，每天的销售量为(32＋4x)盒。（2分） y＝(16－x)(32＋4x)＝512＋64x－32x－4x2＝－4x2＋32x＋512。（1分） 由x≥0且16－x≥0得自变量取值范围为0≤x≤16。（1分。写成0≤x＜16同样给分） （2）解：y＝－4x2＋32x＋512＝－4(x2－8x)＋512＝－4(x－4)2＋64＋512 ＝－4(x－4)2＋576。（3分） ∵a＝－4＜0，∴抛物线开口向下，当x＝4时y有最大值576。（2分） 答：当每盒降价4元（即售价为36元）时，每天的销售利润最大，最大利润为576元。（1分） 21．（10分） （1）第一轮传染后患病人数为(1＋x)人，（1分） 第二轮传染后患病人数为(1＋x)＋x(1＋x)＝(1＋x)2人。（1分。写成(1＋x)＋x(1＋x)不扣分） （2）解：依题意得(1＋x)2＝81，（2分） 解得1＋x＝9或1＋x＝－9，（1分） 即x1＝8，x2＝－10。（1分） ∵x表示每轮传染的人数，x＞0，∴x＝－10不合题意，舍去，故x＝8。（1分） 答：每轮传染中平均一个人传染8个人。 （3）解：第三轮传染后患病总人数为81＋81×8＝729（人），（2分） 答：第三轮传染后全班患流感的总人数为729人。（1分。用(1＋x)3＝93＝729计算同样给分） 22．（10分） （1）解：△A′B′C′如图所示。（2分） 旋转90°时点的坐标变化规律为(x，y)→(－y，x)，（1分） ∴A′(－1，1)，B′(－1，4)，C′(－3，2)。（1分） （2）解：由A(1，1)、B(4，1)得AB＝4－1＝3，（1分） 点C(2，3)到直线AB（直线y＝1）的距离为3－1＝2，（1分） ∴S△ABC＝×3×2＝3。（1分） （3）解：△OBB′是等腰直角三角形。（1分） 理由：OB＝√(42＋12)＝√17，OB′＝√((－1)2＋42)＝√17，∴OB＝OB′； 又∠BOB′＝90°（旋转角），∴△OBB′是等腰直角三角形。（1分） S△OBB′＝×OB×OB′＝×√17×√17＝。（1分） （用BB′＝√34，由OB2＋OB′2＝BB′2判定直角三角形同样给分） 23．（12分） （1）解：令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，即x2－2x－3＝0， 因式分解得(x＋1)(x－3)＝0，解得x1＝－1，x2＝3，（2分） ∵点A在点B左侧，∴A(－1，0)，B(3，0)。（1分） 令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)。（0.5分） ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D(1，4)。（0.5分） （2）解：AB＝3－(－1)＝4，OC＝3，（1分） S△ABC＝×AB×OC＝×4×3＝6。（2分） （3）解：抛物线的对称轴为直线x＝1，点A(－1，0)与点B(3，0)关于它对称， 连结PB，则PA＝PB，∴PA＋PC＝PB＋PC≥BC。（2分） 当点P落在线段BC上时取等号，此时PA＋PC最小，最小值为BC的长。（1分） 设直线BC的解析式为y＝kx＋b，把B(3，0)、C(0，3)代入得b＝3，3k＋3＝0，k＝－1， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3。（1分） 当x＝1时，y＝2，∴点P的坐标为(1，2)。（0.5分） PA＋PC的最小值＝BC＝√(32＋32)＝√18＝3√2。（0.5分） 九年级数学科期中考试卷　第 页（共 页） 学科网（北京）股份有限公司 $