第3章 圆 期中复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

圆期中复习

1.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等．

符号语言：

2．推论：

（1）直径所对的圆周角是直角．

符号语言：

（2）圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于内对角．

符号语言：

3．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

方法点拨：

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．

4．垂径定理推论

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

5.点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d．

(1)d<r⇔点在⊙O内；      (2)d=r⇔点在⊙O上；     (3)d>r⇔点在⊙O外．

6. 直线和圆的位置关系

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．

7．切线的性质

（1）切线与圆只有一个公共点；

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；

（3）切线垂直于经过切点的半径．

方法点拨：

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．

8．切线的判定

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

图形语言：

符号语言：

方法点拨：切线判定常用的证明方法：

①               知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②               不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．

9．三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．

10．三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．

11.相关公式：

1.圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．

2.若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，

圆锥的侧面积为S圆锥侧=．

圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr(l+r)．

方法点拨：

在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．

弧长的计算：；

弧长变形：，

扇形面积公式1:扇形面积公式2: