专题06点与圆、直线与圆的位置关系期中复习讲义(核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题06点与圆、直线与圆的位置关系期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解点与圆的三种位置关系，能够依据点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定位置。 2.理解直线与圆的三种位置关系，能够依据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定位置。 3.掌握切线的定义、切线的性质定理与判定定理，能完成简单几何证明与相关计算。 4.了解三角形外接圆、外心与内切圆、内心，能区分内心、外心的概念及其性质。 5.规范几何证明题的书写格式，能运用本章圆的位置关系、切线相关知识解决选择、填空及基础与中档解答问题。 ✵高频题型梳理 题型1.判断点与圆的位置关系 题型2.利用点与圆的位置关系求半径 题型3.点与圆上一点的最值问题 题型4.判断直线和圆的位置关系 题型5.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型6.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型7.切线的应用 题型8.有关切线的概念辨析 题型9.判断或补全使直线为切线的条件 题型10.证明某直线是圆的切线 题型11.切线的性质定理 题型12.切线的性质和判定的综合应用 题型13.应用切线长定理求解 题型14.应用切线长定理求证 题型15.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型16.圆外切四边形模型 题型17.三角形内心有关应用 题型18.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型19.三角形内切圆与外接圆综合 题型20.过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 题型21.圆内知识综合(圆的综合问题) 题型22.圆与三角形的综合(圆的综合问题) 题型23.圆与四边形的综合(圆的综合问题) 题型24.圆与函数的综合(圆的综合问题) 题型25.其他问题(圆的综合问题) 题型26.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上和点在圆内。 如下图，设圆半径为r，点到圆心的距离为d则 （1）点在圆外⟺ d>r，如点A （2）点在圆上⟺ d=r, 如点B （3）点在圆内⟺ d<r, 如点C 知识点二、三角形的外接圆与外心 1.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，该三角形叫做圆的内接三角形，外接圆的圆心称为外心。 外心是三角形三边垂直平分线的交点。 2,锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 知识点三、直线与圆的位置关系 设⨀O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d： 1.直线l与⨀O相离⟺ d>r，无公共点； 2.直线l与⨀O相切⟺ d=r，有唯一公共点； 3.直线l与⨀O相交⟺ d<r，有两个公共点。 知识点四、切线的性质与判定 1.切线定义：直线与圆有唯一公共点，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。如下图，直线L为⨀O的切线，A是切点 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 ∵直线L是⊙o的切线，A为切点∴L⊥OA. 3.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 知识点五、切线的判定和性质的应用 1.辅助线的作法：运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线的作法是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题。 2.证明直线与圆相切的三种方法： （1）证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）。 （2）证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）。 （3）证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证d=r）。 知识点六、三角形的内切圆与内心 1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，该三角形叫做圆的外切三角形，内切圆的圆心称为内心。 2.如果三角形三边长分别为a,b,c，内切圆半径为r，则三角形的面积：S=(a+b+c)r. 3.三角形的内心到三角形各边距离相等；三角形的内心在三角形的角平分线上。 内心是三角形三条角平分线的交点,内心一定在三角形内部。 ✵易错提醒（期中高频坑点） 1.判断点、直线与圆的位置关系，比较的是距离d和半径r，不是点到圆上任意一点的距离。 2.外心、内心区分：外心是三边垂直平分线交点，到三角形三个顶点距离相等；内心是三条角平分线交点，到三角形三边距离相等。 3.切线判定必须同时满足两个条件：直线过半径外端、直线垂直于该半径，缺一不可。 4.切线性质题型常用辅助线：有切点，连圆心，得垂直。 5.直角三角形外接圆半径等于斜边长度的一半。 6.证明切线两种思路：（1）有公共点，连半径，证垂直；（2）无公共点，作垂直，证半径。 ✵典例精讲 题型1.判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法判断 2．若的半径为8，，且点在外，则的取值范围为______． 3．如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 题型2.利用点与圆的位置关系求半径 1．圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 2．在中，点A到的最小距离为3，最大距离为19，则的半径为_________． 3．图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，还能帮助我们研究图形． (1)初步感知：如图1，将绕点A逆时针旋转得到对应的，连接，显然是等边三角形．若点P是边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点P绕A点逆时针旋转后的对应点Q ，此时点Q （填“在”或“不在”）边上； (2)迁移运用：如图2，点P是内部一点，利用（1）中的研究和发现，尝试用圆规和无刻度的直尺作等边，其中点C在边上，点D在边上，并写出必要的文字说明； (3)继续思考：如图3，中，，，，点P在边上，，点D是线段上一动点，以P为旋转中心，将点D顺时针旋转得到点E，若点D在从点A运动到点B的过程中，点E只有一次落在上，则的半径r的取值范围是 ． 题型3.点与圆上一点的最值问题 1．如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 2．如图，，垂足为点，，，点是平面内的一个动点，且满足，则线段BM的最大值为__________． 3．【问题情境】如图、图，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． 【直接运用】 （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为___________； （2）如图，在中，，，，点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是___________． 【构造运用】 （3）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连结，请求出长度的最小值． 【综合运用】 （4）如图5，正方形中，，动点M、N分别在边AB、AD上，且始终保持，，垂足为G，则的最小值为___________． 题型4.判断直线和圆的位置关系 1．四个等圆与直线l的位置关系如图所示，其中与直线l是相离关系的圆是（     ） A． B． C． D． 2．在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当时，直线与的位置关系是_______． 3．如图，在中，，，．以边的中点D为圆心，以r为半径作．若，分别判断，与的位置关系． 题型5.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 2．如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 3．在中，． (1)若以点为圆心，2cm长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若线段与半径为的有唯一公共点，求的取值范围． 题型6.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 2．已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是________． 3．【概念认识】对于平面直角坐标系中的图形T和图形W，给出如下定义：M为图形T上任意一点，N为图形W上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到图形W的“最近距离”，记作．如图①，到正方形的“最近距离”就是点A、D之间的距离，即． 【概念理解】如图②，在平面直角坐标系中，以为圆心，2为半径作圆． (1)若点H的坐标为，则______； (2)若点Q的坐标为，，则______； (3)【灵活运用】如图③，在平面直角坐标系中，已知点，，．点P是x轴上的一点，设点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆．若，请直接写出m的取值范围． 题型7.切线的应用 1．等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（    ）   A． B．4 C． D． 2．如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为______． 3．综合探究 如图，在矩形中，，，点E是射线上的动点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，． (1)当点E是的中点时，求证：； (2)若，求的长； (3)当的度数最大时，求的面积． 题型8.有关切线的概念辨析 1．下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 2．下列命题中，正确的有：_______．（请填写序号） ①与圆没有公共点的线段所在的直线和圆相离；②与圆只有一个公共点的线段和圆相切；③与圆有公共点的直线和圆相交；④直线与圆相切时只有一个公共点． 3．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以的长为半径的圆交x轴于点A，交y轴于点C．过点的直线l与相切，且与y轴，直线分别交于D，E两点，连接，． (1)试证明点B在上； (2)判断的形状并说明理由； (3)已知抛物线，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由． 题型9.判断或补全使直线为切线的条件 1．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 2．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上． (1)的周长为______． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹） 题型10.证明某直线是圆的切线 1．如图，已知△中，，，，作的角平分线交于，以为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．有下列结论：①△是直角三角形；②与直线相切；③．其中正确的结论有（     ） A．① B．①② C．①②③ D．①③ 2．如图，内接于，过点作直线，已知，根据弦的位置变化，试探究直线与的位置关系． 甲：如图①，当弦过点时，与相切． 乙：如图②，当弦不过点时，也与相切． 你认为________的判断正确． 3．如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 题型11.切线的性质定理 1．如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 2．如图，是的切线，切点是点D，直线交于点A、B，，则的度数是__________． 3．如图，在矩形中，，连接，以点B为圆心，r为半径作． (1)当与相切时，求r的值； (2)若与边有唯一公共点，求r的取值范围． 题型12.切线的性质和判定的综合应用 1．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    3.如图，已知是的切线，切点为B，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C，连接．求证：是的切线． 题型13.应用切线长定理求解 1．如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，P为外一点，分别切于M，N两点，若，则_____，______． 3．如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，． (1)求证：； (2)①求的半径长；②求线段的长． 题型14.应用切线长定理求证 1．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为______． 3．乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 题型15.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．已知的两直角边长分别为6，8，则此三角形内切圆的半径是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ． 3．在中，，，的内切圆半径r． （1）设直角边，则r的值为______． （2）r的最大值为_______． 题型16.圆外切四边形模型 1．如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 2．如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 3．阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 题型17.三角形内心有关应用 1．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 3．如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 题型18.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（    ） A． B．4 C． D． 2．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____． 3．已知的面积是24，周长为12，则的内切圆的半径为______． 题型19.三角形内切圆与外接圆综合 1．如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，，D是平面内一点，线段绕点A逆时针旋转至AE，直线与交于点F，若，则的最大值是______，最小值是______． 3．直角的两直角边． (1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； (2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 题型20.过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 1．对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 2．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 3．学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆外一点作圆的切线”，他设计的尺规作图过程如下： 已知：及外一点 求作：直线和直线，使得切于点，切于点 作法：如图， ①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以点为圆心，的长为半径作圆，交于点和点； ③作直线和直线 则直线和直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，准确完成作图（保留作图痕迹，不写作法） 题型21.圆内知识综合(圆的综合问题) 1．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 2．如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 3．定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 题型22.圆与三角形的综合(圆的综合问题) 1．如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，半径交弦于点，交于点，若，，，则圆心到的距离为_______． 3．如图，在中，，O为的中点，与半圆O相切于点D． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，平分，点O与点P之间的距离是2，求半圆O的半径． 题型23.圆与四边形的综合(圆的综合问题) 1．如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形对角线交于点O，，点P为内的一个动点，且，于点E，于点F，则的最小值为_______． 3．如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 题型24.圆与函数的综合(圆的综合问题) 1．如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 3．在平面直角坐标系中，对于图形P，图形和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为．若图形P与图形均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．    (1)如图，点，点． ①已知图形是半径为2的，是半径为1的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：　　； ②已知的半径为2，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求b的取值范围； (2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围． 题型25.其他问题(圆的综合问题) 1．如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（    ） A．5 B． C． D． 2．如图，在中，，，点为上任意一动点（不与、重合），过点作，垂足为点，连接，则的最小值为________.      3．如图，是等边三角形与三角形的公共边，且，    (1)连接，请探究，，的数量关系； (2)点E是等边三角形内部一点，且满足，求线段的最小值． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法中错误的是（    ） A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 2．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 3．如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． 4．如图，为的切线，A为切点，B为上的一点，连接、交于点C，的延长线交于点D．则下列条件不能判断为的切线的是（    ） A． B． C．点A，B都在以为直径的圆上 D．平分 二、填空题 5．如图，已知，M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作． （1）若，则射线与的位置关系是__________； （2）若与射线没有交点，则r的取值范围是___________； （3）当时，射线与的位置关系是__________． 6．如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 7．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 三、解答题 8．综合与实践 在矩形纸片中，，，点是边上异于点的一个动点，连接，将矩形纸片沿折叠，顶点落在纸片内的点． (1)【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：； (2)【深入探究】如图2，当点在对角线上时，求的长； (3)【拓展提升】如图3，点在边上，且．点在移动过程中，请直接写出的最小值． 9．如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 10．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06点与圆、直线与圆的位置关系期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解点与圆的三种位置关系，能够依据点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定位置。 2.理解直线与圆的三种位置关系，能够依据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定位置。 3.掌握切线的定义、切线的性质定理与判定定理，能完成简单几何证明与相关计算。 4.了解三角形外接圆、外心与内切圆、内心，能区分内心、外心的概念及其性质。 5.规范几何证明题的书写格式，能运用本章圆的位置关系、切线相关知识解决选择、填空及基础与中档解答问题。 ✵高频题型梳理 题型1.判断点与圆的位置关系 题型2.利用点与圆的位置关系求半径 题型3.点与圆上一点的最值问题 题型4.判断直线和圆的位置关系 题型5.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型6.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型7.切线的应用 题型8.有关切线的概念辨析 题型9.判断或补全使直线为切线的条件 题型10.证明某直线是圆的切线 题型11.切线的性质定理 题型12.切线的性质和判定的综合应用 题型13.应用切线长定理求解 题型14.应用切线长定理求证 题型15.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型16.圆外切四边形模型 题型17.三角形内心有关应用 题型18.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型19.三角形内切圆与外接圆综合 题型20.过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 题型21.圆内知识综合(圆的综合问题) 题型22.圆与三角形的综合(圆的综合问题) 题型23.圆与四边形的综合(圆的综合问题) 题型24.圆与函数的综合(圆的综合问题) 题型25.其他问题(圆的综合问题) 题型26.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上和点在圆内。 如下图，设圆半径为r，点到圆心的距离为d则 （1）点在圆外⟺ d>r，如点A （2）点在圆上⟺ d=r, 如点B （3）点在圆内⟺ d<r, 如点C 知识点二、三角形的外接圆与外心 1. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，该三角形叫做圆的内接三角形，外接圆的圆心称为外心。 外心是三角形三边垂直平分线的交点。 锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 知识点三、直线与圆的位置关系 设⨀O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d： 1.直线l与⨀O相离⟺ d>r，无公共点； 2.直线l与⨀O相切⟺ d=r，有唯一公共点； 3.直线l与⨀O相交⟺ d<r，有两个公共点。 知识点四、切线的性质与判定 1.切线定义：直线与圆有唯一公共点，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。如下图，直线L为⨀O的切线，A是切点 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 ∵直线L是⊙o的切线，A为切点∴L⊥OA. 3.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 知识点五、切线的判定和性质的应用 1.辅助线的作法：运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线的作法是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题。 2.证明直线与圆相切的三种方法： （1）证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）。 （2）证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）。 （3）证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证d=r）。 知识点六、三角形的内切圆与内心 1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，该三角形叫做圆的外切三角形，内切圆的圆心称为内心。 2.如果三角形三边长分别为a,b,c，内切圆半径为r，则三角形的面积：S=(a+b+c)r. 3.三角形的内心到三角形各边距离相等；三角形的内心在三角形的角平分线上。 内心是三角形三条角平分线的交点,内心一定在三角形内部。 ✵易错提醒（期中高频坑点） 1.判断点、直线与圆的位置关系，比较的是距离d和半径r，不是点到圆上任意一点的距离。 2.外心、内心区分：外心是三边垂直平分线交点，到三角形三个顶点距离相等；内心是三条角平分线交点，到三角形三边距离相等。 3.切线判定必须同时满足两个条件：直线过半径外端、直线垂直于该半径，缺一不可。 4.切线性质题型常用辅助线：有切点，连圆心，得垂直。 5.直角三角形外接圆半径等于斜边长度的一半。 6.证明切线两种思路：（1）有公共点，连半径，证垂直；（2）无公共点，作垂直，证半径。 ✵典例精讲 题型1.判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵的半径为3，，， ∴点在外. 2．若的半径为8，，且点在外，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系，当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径求解即可． 【详解】解：∵的半径为8，，且点在外， ∴的取值范围为． 3．如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 【答案】点P在圆上；点Q在圆外；点R在圆内； 【分析】连接，利用勾股定理计算的长度，即可作出判断． 【详解】解：连接，如图， ∵圆心O到直线l的距离， ∴， 在中，，则点P在圆上； 在中，，则点Q在圆外； 在中，，则点R在圆内； 题型2.利用点与圆的位置关系求半径 1．圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 2．在中，点A到的最小距离为3，最大距离为19，则的半径为_________． 【答案】11或8 【分析】分点在内和点在外两种情况，根据点到圆的最大最小距离关系计算直径，再求出半径． 【详解】解：当点在内部时，如图， 由题意得， ∴直径为，半径为； 当点在外部时，如图， 由题意得， ∴直径为，半径为； 综上所述，的半径为或． 3．图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，还能帮助我们研究图形． (1)初步感知：如图1，将绕点A逆时针旋转得到对应的，连接，显然是等边三角形．若点P是边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点P绕A点逆时针旋转后的对应点Q ，此时点Q （填“在”或“不在”）边上； (2)迁移运用：如图2，点P是内部一点，利用（1）中的研究和发现，尝试用圆规和无刻度的直尺作等边，其中点C在边上，点D在边上，并写出必要的文字说明； (3)继续思考：如图3，中，，，，点P在边上，，点D是线段上一动点，以P为旋转中心，将点D顺时针旋转得到点E，若点D在从点A运动到点B的过程中，点E只有一次落在上，则的半径r的取值范围是 ． 【答案】(1)作图见详解，在 (2)作图和文字说明见详解 (3)或 【分析】（1）根据题意作出对应的点Q，利用旋转的性质可得出点Q在边上； （2）根据题意作出对应的等边即可； （3）先确定点E的运动轨迹，利用旋转的性质，等边三角形的性质，解30度直角三角形的性质，矩形的判定与性质及勾股定理求出相关线段的长度，再分情况讨论：当过点时，与只有一个交点；当过点时，与有两个交点，且属于临界情况；当与相切时，与只有一个交点，求出不同情况下的半径，从而得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，点Q即为所求： ∵点P在边上，绕点A逆时针旋转得到， ∴， 将点P绕点A逆时针旋转后，则， ∴， ∴点Q在边上． （2）解：如图所示，等边即为所求： 文字说明： ①连接，分别以点O、P为圆心，长为半径画弧，两弧交于点Q，得等边； ②在的左侧作，交于点D； ③在上截取，连接，，； ④即为所画等边三角形． 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形． （3）解：∵点D为线段上的动点，点D绕点P顺时针旋转得到点E， ∴当点D与点B重合时，点E在线段上，即点，，；此时是等边三角形， 当点D与点A重合时，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即点E的运动轨迹是与线段夹角为的线段， ∵， ∴， 如图，过点A作交于点N，过点作交于点K，过点P作交于点M， ∵，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 同理可得，在中，，， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，则，，则， 在中，， ∴， 过点C作交于点H， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 当过点时，与只有一个交点， ∴， 在中，， ∴； 当过点时，与有两个交点，且属于临界情况， ∴， 在中，， ∴； 当与相切时，与只有一个交点， ∴， 综上所述，的半径r的取值范围是或． 题型3.点与圆上一点的最值问题 1．如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】取点，连接，，，根据三角形中位线定理得到，当，，三点共线时最大，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：取点，连接，，， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ∵ ∴ 当点在的延长线上时，取得最大值， 在中，， ， 的半径为， 的最大值为， 的最大值为． 2．如图，，垂足为点，，，点是平面内的一个动点，且满足，则线段BM的最大值为__________． 【答案】8 【分析】先证明点M在以为直径的圆上，取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大，据此求解即可． 【详解】如图，，， ， ∵， ∴， ， ∴点M在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大， ， ， ∴在中，， ，即的最大值为8． 3．【问题情境】如图、图，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． 【直接运用】 （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为___________； （2）如图，在中，，，，点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是___________． 【构造运用】 （3）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连结，请求出长度的最小值． 【综合运用】 （4）如图5，正方形中，，动点M、N分别在边AB、AD上，且始终保持，，垂足为G，则的最小值为___________． 【答案】（1）2或4（2）（3）（4） 【分析】（1）分点在圆内和圆外讨论求解即可； （2）根据材料可直接得解； （3）由题易知点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，结合材料求解即可； （4）延长交延长线于点，易证（），可得，则根据直角三角形斜边中线可知，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，则，当且仅当、、三点共线时取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）当点在圆内时，由图2知，，当点在圆外时，由图1知，， 故答案为：或； （2）连接， 由题意可知当点、、依次共线时，，为最小值， 在中，， ， ， 故答案为：； （3），为中点， ， 由折叠的性质可知， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图， 当、、依次共线时，为最小值， 连接， 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ∵为中点， ， ， ， 即的最小值为； （）延长交延长线于点， ， ， ， ， ， （）， ， ， 则在中，为斜边中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 则，当且仅当、、三点共线时取等， ， 最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、点的轨迹等问题，正确找出动点轨迹是解题的关键． 题型4.判断直线和圆的位置关系 1．四个等圆与直线l的位置关系如图所示，其中与直线l是相离关系的圆是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察图可知：、、与直线均有交点，而与直线没有交点， ∴与直线是相离关系的圆是. 2．在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当时，直线与的位置关系是_______． 【答案】相离 【分析】先求出斜边的长度，再利用三角形面积公式求出圆心到直线的距离，比较距离与半径的大小，即可判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：过点作于点． ∵，，， ∴由勾股定理得 . ∵， ∴， ∴， 即圆心到直线的距离． ∵， ∴直线与相离． 3．如图，在中，，，．以边的中点D为圆心，以r为半径作．若，分别判断，与的位置关系． 【答案】与相离，与相切 【分析】过圆心D分别作的垂线，垂足分别为，则的长分别为圆心D到的距离，然后根据三角形中位线定理求出圆心到直线的距离，再与半径比较即可． 【详解】解：如图，过圆心D分别作的垂线，垂足分别为， 则的长分别为圆心D到的距离， 连接， ∵D为的中点， ∴， ∴E，F分别为的中点 ∴ ∵, ∴ ∴与相离，与相切． 题型5.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 2．如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 3．在中，． (1)若以点为圆心，2cm长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若线段与半径为的有唯一公共点，求的取值范围． 【答案】(1)直线与相离． (2)的取值范围是或． 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系和半径的取值范围： 先依据勾股定理的逆定理确定为直角三角形，再用等面积法求出直角三角形的高，通过直线与圆的位置关系，即可求解； 分类讨论：当半径为，，时，与交点的个数，即可求出半径的取值范围． 【详解】（1）解：在中， ， 可得， ， 为直角三角形，且． 如图，过点作于点， 则的面积为：， 即， ． ， 直线与相离． （2）解：若线段与半径为的有唯一公共点， 如图所示：    ， 当时，与有两个交点， 当时，与有一个交点， 当时，与有一个交点， 综上所述：的取值范围是或． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，再结合面积法求出点到直线的距离，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键． 题型6.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 2．已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离， 所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即． 故答案为：. 3．【概念认识】对于平面直角坐标系中的图形T和图形W，给出如下定义：M为图形T上任意一点，N为图形W上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到图形W的“最近距离”，记作．如图①，到正方形的“最近距离”就是点A、D之间的距离，即． 【概念理解】如图②，在平面直角坐标系中，以为圆心，2为半径作圆． (1)若点H的坐标为，则______； (2)若点Q的坐标为，，则______； (3)【灵活运用】如图③，在平面直角坐标系中，已知点，，．点P是x轴上的一点，设点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆．若，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)m的取值范围为或或 【分析】（1）连接，与交于点，由勾股定理得，由题意知，即可求解； （2）连接，交于点，根据题意可得，再利用勾股定理，即可求解； （3）根据半径为1，，可得圆心到的边的最小距离为2时满足条件，再根据，，，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，与交于点， 由题意得，， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，交于点， 由题意得，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 解得． （3）解：如图，设与轴的交点为，与轴的交点为， ∵半径为1，， ∴圆心到的边的最小距离为2时满足条件， ∵，， ∴， ∵圆心的坐标为， ∴圆心到的距离为， 当时，， ∴，即，不符合题意； 当时，， ∴，符合题意； 当时，， ∴，不合题意； 当时，， ∴，符合题意； 当时，，即， 此时∵，， ∴轴， ∵点是x轴上的一点， ∴点到的距离为2， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 当时，， ∴， ∴当时，符合题意； 如图，过点作于点， 当时，， ∴， ∴当时，符合题意； 由图可知，当，时，均不符合题意； 综上所述，m的取值范围为或或． 题型7.切线的应用 1．等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（    ）   A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】和都是等腰直角三角形，可证，由全等三角形对应角相等得为底边，则高最小时，三角形面积最小，则当为的切线时，P到的距离最短，求得这个最小点，再得到矩形为正方形，由勾股定理和正方形的边长相等可求得的长，即可求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上， 则当为底边，则高最小时，三角形面积最小，此时最小， ∵绕点A顺时针旋转一周， ∴点D在以点A为圆心，为半径的圆上， ∴当为的切线时，P到的距离最短， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∴， ， 此时的面积为 即面积的最小值为4． 故选：B 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意得到点P的轨迹是解题的关键． 2．如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识．证明，则，推出，由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，根据，计算即可求解． 【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图， ∵， ∴当在下方且与相切时，线段最短， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．综合探究 如图，在矩形中，，，点E是射线上的动点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，． (1)当点E是的中点时，求证：； (2)若，求的长； (3)当的度数最大时，求的面积． 【答案】(1) 证明：如图， 根据折叠有，， 即有， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据折叠有，，即有，再得出，即有，问题即可得证； （2）过F点作直线于点M，交于点N，如图，可得，，根据，，可得，即有，进而可得，再在中，有，问题随之得解； （3）先确定点F在以A为圆心，为半径的圆上，即当直线于圆A相切时，可知的度数最大，此时则有点F、点D、点E共线，利用勾股定理可得，问题随之得解． 【详解】（1）略． （2）过F点作直线于点M，交于点N，如图， ∵在矩形中，， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 根据折叠有：，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 且， ∴， 解得：； （3）根据折叠有：，， 即可知点F在以A为圆心，为半径的圆上，如图， 当直线与圆A相切时，可知的度数最大，如下图， 此时 则有点F、点D、点E共线， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，问题难点在第三问，得出点F的运动轨迹，以及当直线于圆A相切时，可知的度数最大，是解答本题的关键． 题型8.有关切线的概念辨析 1．下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】本题考查了圆的确定，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意； B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意， 故选：C． 2．下列命题中，正确的有：_______．（请填写序号） ①与圆没有公共点的线段所在的直线和圆相离；②与圆只有一个公共点的线段和圆相切；③与圆有公共点的直线和圆相交；④直线与圆相切时只有一个公共点． 【答案】④ 【分析】区分线段与直线和圆的位置关系，根据直线与圆位置关系的定义逐一判断即可． 【详解】解：① 若线段与圆没有公共点，线段所在的直线仍可能与圆有公共点，只是线段未延伸到圆的区域，因此①错误； ② 若线段仅一个端点在圆上，其余部分都在圆内，此时线段与圆只有一个公共点，但不符合相切的定义，因此②错误； ③ 与圆有公共点的直线和圆可能相切，不一定相交，因此③错误； ④ 直线与圆相切的定义就是直线与圆只有一个公共点，因此④正确． 综上所述，命题正确的是④． 3．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以的长为半径的圆交x轴于点A，交y轴于点C．过点的直线l与相切，且与y轴，直线分别交于D，E两点，连接，． (1)试证明点B在上； (2)判断的形状并说明理由； (3)已知抛物线，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)存在，a的值为或1或 【分析】（1）利用两点间距离公式求出，再由B点在切线l上即可得证； （2）连接延长与x轴交于点G，设直线与x轴的交点为K，直线l与x轴的交点为Q，求出直线l的解析式，从而确定D点坐标，再由勾股定理逆定理判定三角形形状即可； （3）结合（2）可知是等腰直角三角形，由抛物线的解析式可知，抛物线与x轴的交点为，，再由是等腰直角三角形，可知当时，P点与A点重合，则；当，时，过点B作轴，过点P作交于S点，过点M作交于T点，通过证明，求出，即可求得；又由P点关于B点的对称点为不在x轴上方，此时P点不符合题意；当，时，的中点为，过点H作轴，过P点作交于K点，过点M作交于L点，同理可得.求出，再由，可得，关于H点对称点为，此时，得． 【详解】（1）证明：为圆心，为半径， ， ， ， 点在上； （2）解：连接延长与x轴交于点G，设直线与x轴的交点为K，直线l与x轴的交点为Q， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， ，，， ， ， ， ， 设直线l的解析式为， ， 解得， 直线l的解析式为， ，， ，轴， 两点关于直线对称， ， ，，， ，， 是等腰直角三角形； （3）解：存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形与相似，理由如下： 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得或， 抛物线与x轴的交点为，， ，， ， 是等腰直角三角形， ； 当，时，如图1， 过点B作轴，过点P作交于S点，过点M作交于T点， ，． ， ， ， ，， ， ， 解得； 点关于B点的对称点为不在x轴上方， 此时P点不符合题意； 当，时，如图2， 的中点为， 过点H作轴，过P点作交于K点，过点M作交于L点， 同理可得， ，， ， ， 解得； 关于H点对称点为， ， 解得； 综上所述：a的值为或1或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，切线的性质，勾股定理及逆定理的应用，构造一线三垂直是解题的关键. 题型9.判断或补全使直线为切线的条件 1．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 2．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上． (1)的周长为______． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹） 【答案】(1)12 (2)则点即为所求； 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定定理作图即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 则的周长， 故答案为：12； （2）延长至，使，连接，取的中点，连接交于点． 【点睛】本题考查的是勾股定理、切线的判定定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解题的关键． 题型10.证明某直线是圆的切线 1．如图，已知△中，，，，作的角平分线交于，以为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．有下列结论：①△是直角三角形；②与直线相切；③．其中正确的结论有（     ） A．① B．①② C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，可判断①结论；过点作交于点，结合角平分线的性质，可判断②结论；利用三角形的面积公式，求出的长，进而根据可判断③结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，①结论正确； ∴， 如图，过点作交于点， 平分，， ， 是的半径， 与直线相切，②结论正确； ， ， ， ， ， ，③结论正确， 即正确的结论有①②③． 2．如图，内接于，过点作直线，已知，根据弦的位置变化，试探究直线与的位置关系． 甲：如图①，当弦过点时，与相切． 乙：如图②，当弦不过点时，也与相切． 你认为________的判断正确． 【答案】甲、乙 【分析】甲：根据直径推出，推出，根据切线判定推出即可； 乙：作直径，连接，推出，求出，根据切线的判定推出即可． 【详解】解：甲：∵是的直径， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； 乙：作直径，连接， ∴（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； ∴甲、乙的判断都正确． 3．如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 为的切线； (2)6 【分析】（1）连接，则有，由外角性质可得，又，则，所以，然后通过平行线的性质，从而求证； （2）连接，由圆周角定理可得，所以，则，最后通过角所对直角边是斜边的一半和线段和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型11.切线的性质定理 1．如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】B 【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴在中，． 2．如图，是的切线，切点是点D，直线交于点A、B，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理求出的度数，再由切线的性质和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴； ∵是的切线，切点是点D， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，，连接，以点B为圆心，r为半径作． (1)当与相切时，求r的值； (2)若与边有唯一公共点，求r的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）因为直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以先求点B到的距离，该距离即为r的值，计算时可利用直角三角形面积的等积法． （2）圆与线段有唯一公共点的两种情况：圆与线段相切，或圆与线段相交且仅一个交点在边上，得，根据，．，即可确定r的范围． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ∴由题意可知． ∵与相切， ∴点B到的距离即为的半径r， ， 解得． （2）解：∵在矩形中，，． 由（1）知，，∴， 与边有唯一公共点， ∴， ∵， ∴r的取值范围是． 题型12.切线的性质和判定的综合应用 1．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 2．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    【答案】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 3.如图，已知是的切线，切点为B，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C，连接．求证：是的切线． 【答案】证明：连接，，， ∵是的切线，切点为B， ∴，即， ∵以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即，且为半径， ∴是的切线． 【分析】连接，，，由切线的定义得出，即，证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出是的切线． 【详解】略． 题型13.应用切线长定理求解 1．如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．据此解答即可． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，连接，， ∴平分， ∴． 2．如图，P为外一点，分别切于M，N两点，若，则_____，______． 【答案】 5 /30度 【详解】解：∵分别切于M，N两点，， ∴，， ∵， ∴． 3．如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，． (1)求证：； (2)①求的半径长；②求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵，分别切于点，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①3；② 【分析】（）利用切线长定理得到，利用切线的性质得，则，由于，，再根据等角的余角相等即可求证； （）①连接，由切线长定理得，，，则，，由勾股定理得，设的半径为，则，，然后通过勾股定理即可求解； ②先由勾股定理求解，再由即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：①连接， ∵，分别切于点，， ∴，，， ∴，， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为； ②∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型14.应用切线长定理求证 1．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 2．如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为______． 【答案】30°/30度 【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质证明△ABM是等腰三角形，得到∠B＝∠BAM，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，利用切线长定理证明△BDE是等腰三角形，得到∠BED＝∠BDE，利用得到∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，进一步证得△ABM是等边三角形，∠B＝60°，即可求出∠C的大小． 【详解】解：∵， ∴△ABC是直角三角形 ∵M是BC的中点， ∴AM＝BM＝， ∴△ABM是等腰三角形， ∴∠B＝∠BAM， ∵的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E， ∴BD＝BE， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠BED＝∠BDE， ∵， ∴∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM， ∴∠BMA＝∠BAM ∴∠B＝∠BMA＝∠BAM， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠C＝90°－∠B＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、圆的切线长定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 题型15.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．已知的两直角边长分别为6，8，则此三角形内切圆的半径是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，先通过勾股定理求出斜边长，再利用直角三角形内切圆半径公式计算. 【详解】解：∵在Rt△ABC中，两直角边分别为6和8， ∴斜边， ∴内切圆半径， 故选：A． 2．如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ． 【答案】 【分析】首先求出的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于的方程，即可求出． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆半径为， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，解得． 即的内切圆的半径为 ． 3．在中，，，的内切圆半径r． （1）设直角边，则r的值为______． （2）r的最大值为_______． 【答案】 1 【分析】（1）先由勾股定理求出另一条直角边，再结合直角三角形内切圆半径公式计算； （2）设、，由勾股定理得，利用面积法推导出与的关系，再利用完全平方公式的非负性求的最大值即可． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 设内切圆半径为，由面积关系可得： ， 即 解得； （2）解：设、， 由勾股定理得：， ， 由完全平方公式的非负性得：， 即，可得， ， ， ，当且仅当时，等号成立， ， 即的最大值为． 题型16.圆外切四边形模型 1．如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，由切线长定理可以推出，．根据内切圆半径与多边形面积和周长之间关系可以算出，梯形的高为4，使用勾股定理和矩形的性质算出下底，，最后使用勾股定理算出的值． 【详解】解：如图，设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，设半径为， 与四边形各边都相切，由切线长定理可知，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 由切线的性质可知，，，，， ∴， ， ， ， ， ∵在四边形中，，， ∴四边形是等腰梯形， 设梯形的高为h， 则，即， 解得，， ∵，， ∴， 在直角中，， 同理，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，解得，， ∴， 在直角中，． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，梯形的性质和勾股定理，熟练掌握切线相关的定理是解题关键． 2．如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形的各边与分别相切于点， 根据切线长定理：， ∴ ， ∴． 【分析】利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．把四边形四条边拆成多组相等的线段，再进行等量代换，即可证明等式． 【详解】略 3．阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）已知给出示例，我们仿照例子，连接，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得． （2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：如图2，连接．   ， ； （2）， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ，，． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养， 题型17.三角形内心有关应用 1．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心，即三条角平分线的交点． 2．如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，于点，由内心的定义和角平分线的性质可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为内心， ，，分别平分，，， ，，， ， ． 3．如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 【答案】15 【分析】根据切线长定理结合三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：由切线长定理可得， ， ． 题型18.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，解直角三角形求得，进而得出结果． 【详解】解：如图， 连接，，设与相切于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 2．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____． 【答案】12 【分析】根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 3．已知的面积是24，周长为12，则的内切圆的半径为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查三角形内切圆．如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得由此即可求解． 【详解】解：如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r， ∴， ∴ ， ∵的面积是24，周长为12， ∴， ∴， ∴的内切圆的半径为4， 故答案为：4． 题型19.三角形内切圆与外接圆综合 1．如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，连接，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点O是的外心， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在等边中，，D是平面内一点，线段绕点A逆时针旋转至AE，直线与交于点F，若，则的最大值是______，最小值是______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出和全等，可由三角形内角和得出，再由圆周角定理得出F在的外接圆上，进而求出BF的最小值和最大值即可． 本题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系，确定点F的轨迹是本题解题的关键． 【详解】解：作的外接圆，连接，延长交于G，如图： 是等边三角形，且， ，， 由旋转的性质得：，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点F在的外接圆上， ①当取最大值时，为直径，此时F与G重合， 为等边三角形，， ， ， 的最大值为； ②D在左侧，连接，如图： ， 当时，最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即最小值为； 故答案为：， 3．直角的两直角边． (1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； (2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出，可求出R，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，，根据三角形内切圆的性质可得四边形是正方形，从而得到，可求出r，即可； （2）过点作于点G，作点G关于的对称点，连接，求出，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到，设，则，求出，，由对称的性质得，易证，得到，当三点共线时，最小，此时，即，的最小值为的长，解直角三角形得到，，在中，，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴的外接圆半径； 如图，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图，过点作于点G，作点G关于的对称点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∴，， 由对称的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 此时，即，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识是解题的关键． 题型20.过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 1．对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【分析】要判断甲、乙作法是否正确，证明所作直线是否满足切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．即需证明． 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 2．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据. 【详解】证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； 同理：与相切； ∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3．学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆外一点作圆的切线”，他设计的尺规作图过程如下： 已知：及外一点 求作：直线和直线，使得切于点，切于点 作法：如图， ①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以点为圆心，的长为半径作圆，交于点和点； ③作直线和直线 则直线和直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，准确完成作图（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】根据所给作法直接画图即可解答 【详解】略 题型21.圆内知识综合(圆的综合问题) 1．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 【答案】 【分析】根据垂径定理即可判断点在以为直径的圆上，设为，连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，利用等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得，，然后根据勾股定理求得，进而求得的最小值为． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， 点在以为直径的圆上，设为， ， 连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为， 作于，与， ， 是的中点， ， ， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理关系，等腰三角形的性质，以及解直角三角形等，确定点在以为直径的圆上是解题的关键． 2．如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可； （2）过点O作，垂足为点F，根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点O作，垂足为点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，的半径为． 在中，， ， 即． 3．定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）4；（2）；（3）4或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的定义、性质与判定，四点共圆的判定，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，能结合图形做出适当的辅助线，能推出四点共圆是解题的关键； （1）过点P作于D，交延长线于点E，先确定的最小值为，再利用矩形的判定与性质，勾股定理求解； （2）先利用角平分线的定义和三角形的外角知识推出，再利用角平分线的性质和判定，推出平分，再求解即可； （3）根据为等腰三角形时，分或或讨论，利用，，推出四点共圆，再利用圆周角定理，勾股定理求解，综合可得结果； 【详解】（1）如图①，过点P作于D，交延长线于点E， 则， ， 当A与E重合，C与D重合时，有最小值； ， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， 由勾股定理得， ，解得， ， 的最小值为4． （2）平分， ， 平分， ， 又，， ， ， ， 如图2，过点P作于E，于F，交延长线于G， 平分， ， 同理可证， ， 平分， ，， ． （3）当为等腰三角形时，或或， 点O在上，， 当时，如图③， 平分，， ， 又， 四点共圆， ， ， ， ， ， ； 当时，如图④，过点A作于M， 同理可证四点共圆， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， 在中，， ， ， ， 由解得， ， 综上可知，线段的长为4或． 题型22.圆与三角形的综合(圆的综合问题) 1．如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理以及点与圆的位置关系，在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，则点运动时，点在上运动，作的的高，延长交于点，当点与点重合时面积最大，根据勾股定理求出，可得，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，如图， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点运动时，点在上运动， 作的的高，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时面积最大，即面积的最大值为， 故选：D． 2．如图，是的弦，半径交弦于点，交于点，若，，，则圆心到的距离为_______． 【答案】 【分析】设交于点，连接，由垂径定理可得，则，设，在和中，由勾股定理列式计算可得的值，进而可得的长． 【详解】解：设交于点，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 即圆心到的距离为． 3．如图，在中，，O为的中点，与半圆O相切于点D． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，平分，点O与点P之间的距离是2，求半圆O的半径． 【答案】(1)证明：如答图，作于点E，连接，． ，O为的中点， ． 与半圆O相切于点D， ． ， ， 即为半径， 是半圆O的切线． (2)半圆O的半径是3 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据切线的性质得，然后根据角平分线的性质定理得出，则此题可证； （2）先说明是等边三角形，再求出，并根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，最后根据切线的性质，并仿照上述过程可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，， 是等边三角形， ． 为的中点， ，平分． 平分， ． 在中， ， ， ． 与半圆O相切于点D， ． ， ， ， ． 故半圆O的半径是3． 题型23.圆与四边形的综合(圆的综合问题) 1．如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解． 【详解】解：连接 ∵四边形为正方形，，为圆O直径， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵ ∴当三点共线时，最小， 则：， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查圆上的动点问题．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．同时考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，是一道综合题． 2．如图，矩形对角线交于点O，，点P为内的一个动点，且，于点E，于点F，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】以为边向右作等边，取其“三线合一”的交点为Q，结合题意即可求出，．根据点P为内的一个动点，且，即说明点P的运动路径为以Q为圆心，半径为长的圆弧，即，延长，交延长线于点M．易求出，即得出，，从而得出，即说明当最小时，最小．作交于点，作于点，易证四边形为正方形，且此时为的切线，即此时最大．再求出的长，即可求出的长，进而即可得出的最小值． 【详解】如图，以为边向右作等边，取其“三线合一”的交点为Q， ∴． ∵， ∴． ∵点P为内的一个动点，且， ∴点P的运动路径为以Q为圆心，半径为长的圆弧，即，如图． 延长，交延长线于点M． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小． 如图，作交于点，作于点， ∴此时四边形为正方形，且此时为的切线，即此时最大． ∵， ∴此时最小，此时的位置即为最小时点P的位置． ∵四边形为正方形， ∴． ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆的综合问题，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，是填空题中的压轴题．熟练掌握上述知识，并正确的作出辅助线是解题关键． 3．如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)8 【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答； （2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 题型24.圆与函数的综合(圆的综合问题) 1．如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，选A． 2．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 【答案】2或或0 【分析】当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标． 【详解】解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0． 当y=-1时，有-1=-x2+1，x=． 故答案是：2或或0． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标． 3．在平面直角坐标系中，对于图形P，图形和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为．若图形P与图形均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．    (1)如图，点，点． ①已知图形是半径为2的，是半径为1的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：　　； ②已知的半径为2，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求b的取值范围； (2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）①根据定义新图形的规律，分别求出点，点对称点的坐标，结合图形即可求解； ②分当时和两种情况，结合图形即可求解； （2）根据题意，只要找到r的最小值即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示：    ∵点，点，关于的对称图形为，半径为， ∴根据轴对称性得：，即点在y的正半轴上， ∴在的内部， ∴为线段关于直线的“弱相关图形”． 故答案为：； ②如图所示，是线段关于直线l：的“弱相关图形”， ∵与平行， ∴与坐标轴的夹角为，由点O关于对称， 则，则在直线上， 当时，点O离对称轴直线l：较远，如图，当在上时，    设l与x轴交于点D， 依题意，，是等腰直角三角形， ∴， ∴D的坐标为，代入 解得：， 当时，点A离对称轴直线较远，如图：当在上时，    同理可得， 连接，在中，设，则， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 代入， 解得：， 综上所述：． （2）解：∵， ∴， 即C在直线上， 如图所示：过点O作于点S， 由，令， 令， ∴， 依题意，点C在直线上运动，过点C的直线为对称轴，将与对称， ∴， ∴当P，C，Q共线时，最大， 当直线时，最大值最小， 此时，， ∴当C点在S时，最大值最小， ∵当与两坐标轴都相切时，最小，此时点， ∴当P为，C与S重合时r最小， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称，圆与直线的关系，掌握对称的性质，几何图形变换的规律，结合点坐标，线段长度关系是解题的关键． 题型25.其他问题(圆的综合问题) 1．如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，根据圆的性质，再结合勾股定理即可求解； 【详解】解：取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC， 则 ∵ 设 解得： ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 2．如图，在中，，，点为上任意一动点（不与、重合），过点作，垂足为点，连接，则的最小值为________.      【答案】 【分析】由题意，点H在以为直径的圆位于内的圆弧上，设圆心为O，连接交圆弧于点，则的最小值即为的长；过点C作于点，设，根据勾股定理求得，则，根据勾股定理分别求出，，即可求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点H在以为直径的圆位于内的圆弧上， 设圆心为O，连接交圆弧于点，则的最小值即为的长，      过点C作于点，设， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴，， 在中，， 在中，， ∴, 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了与圆有关的最短路线问题，勾股定理，明确点H的运动路线是解题的关键． 3．如图，是等边三角形与三角形的公共边，且，    (1)连接，请探究，，的数量关系； (2)点E是等边三角形内部一点，且满足，求线段的最小值． 【答案】(1) 数量关系为：． 理由：以为边作等边，连接，如图所示， ∵与是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵，， ∴．    (2)线段AE的最小值为 【分析】（1）通过构造三角形全等，以为边作等边，连接，，将要解决的问题转化到特殊的三角形中，根据勾股定理即可得解． （2）依据题意可得，点D，E，B，C四点共圆，可证四边形是菱形， 中，，，；分析出A、E、O在一直线上时可得的最小值． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴． ∴点D，E，B，C四点共圆． 以点O为圆心作的外接圆，连接、，交于点F如图所示， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∵是等边三角形， ∴． ∴四边形是菱形． ∴与互相直分，平分． 在中，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴线段AE的最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、点与圆的位置关系，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练运用全等三角形求证等角、相等线段是解题的关键． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法中错误的是（    ） A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 【答案】C 【分析】根据圆的切线相关的概念辨析即可． 【详解】A、B、D说法均正确； C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，及切线长定理，熟记基本概念并准确判断是解题关键． 2．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 3．如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接，再根据切线的性质得，然后根据等边三角形的性质得，接下来根据四边形内角和定理求出，最后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 4．如图，为的切线，A为切点，B为上的一点，连接、交于点C，的延长线交于点D．则下列条件不能判断为的切线的是（    ） A． B． C．点A，B都在以为直径的圆上 D．平分 【答案】D 【详解】本题考查切线的性质和判定，全等三角形，连接，，根据选项条件证明即可解题． 解：∵为的切线， ∴， 连接，， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴垂直平分， ∴， 即， ∴， ∴为的切线，故B正确，不符合题意； ∵点A，B都在以为直径的圆上， ∴， 又∵， ∴为的切线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴， 再根据，，不能判断，故D错误，符合题意； 故选：D 二、填空题 5．如图，已知，M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作． （1）若，则射线与的位置关系是__________； （2）若与射线没有交点，则r的取值范围是___________； （3）当时，射线与的位置关系是__________． 【答案】 相切 相交 【分析】过点M作于点N，根据直线与圆的位置关系，逐个进行分析求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点M作于点N， ∵ 在中，， ∴射线与的位置关系是相切． （2）∵与射线没有交点， ， ∴r的取值范围是． （3）∵， ∴， ∴射线与的位置关系是相交． 6．如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据勾股定理、垂径定理求出的长是解题的关键． 过O作于H，由垂径定理得到，由勾股定理求出，当C和H重合时，的最小值是，当是圆直径时，的值最大是，即可得到的取值范围． 【详解】解：过O作于H， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是， 当是圆直径时，的值最大是， ∴的取值范围是． 故答案为：． 7．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 三、解答题 8．综合与实践 在矩形纸片中，，，点是边上异于点的一个动点，连接，将矩形纸片沿折叠，顶点落在纸片内的点． (1)【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：； (2)【深入探究】如图2，当点在对角线上时，求的长； (3)【拓展提升】如图3，点在边上，且．点在移动过程中，请直接写出的最小值． 【答案】(1)证明：连接， ∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)2.8 (3) 【分析】（1）连接，根据矩形和折叠的性质可得出，，结合线段中点的定义可得出，根据等边对等角得出，则，然后根据等角对等边即可得证； （2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，即， 设，交点为F，则，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，即可求解； （3）连接，根据矩形的性质和勾股定理可求出，根据折叠的性质得出，则在以B为圆心，6为半径的圆上运动，故当在线段上时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，，， ∴， ∵折叠，且点在对角线上， ∴，即， 设，交点为F，则， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， 在矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴在以B为圆心，6为半径的圆上运动， ∴当在线段上时，最小，最小值为． 9．如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． (2) 【分析】（1）先证、CD为的切线，再根据切线长定理得出，从而得出，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得，得出，最后由切线长定理得出，即可得出结论； （2）设，则，，再在中，由勾股定理得出，解得：，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键． 10．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②． 【分析】（1）过点作的垂线，记垂足为点H，因为与相切，所以到的距离等于半径，结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明到的距离等于半径即可． （2）①因为是的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定为直角，再结合角平分线的条件得到弧和弧相等，所以对应弦，据此判断三角形形状．②先在中用勾股定理求长度，得到的半径，再结合角平分线定义求出度数，根据圆周角定理求出的度数，最后用扇形的面积减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）略． （2）①略． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $