第三章 圆 小结与思考（2）导学案教学设计2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学《圆》单元复习资料采用结构化设计，系统梳理直线与圆的位置关系、切线性质与判定、正多边形与圆、弧长及圆锥计算等核心知识，通过填空式知识梳理和知识结构思维导图，构建“概念-定理-应用”的逻辑网络，强化知识点间的内在联系。 其亮点在于“基础巩固-典例深化-分层检测”的复习策略，如通过例4切线性质探究培养推理意识，例5阴影面积计算发展几何直观，当堂检测涵盖选择、填空及解答题，搭配详细解析形成评价体系。这既帮助学生夯实基础提升综合能力，也为教师提供精准复习教学支持。

第三章《圆》小结与思考（2） 【知识梳理】 一、复习第三章内容，完成下列填空. （七）直线与圆的位置关系（其中d是指 ） 直线l与圆 d >r；直线l与圆相切______；直线l与圆相交_______. （八）切线的性质与判定定理 1．切线的判定定理：经过半径_______并且________这条半径的直线是圆的切线. 2．切线的性质定理： 圆的切线 的半径. （九）切线长的概念及定理 （1）在经过圆外一点的圆的切线上，这点与 的 的长，叫作这点到圆的切线长. （2）切线长定理：过圆外一点可以作圆的 条切线， 相等. （十）正多边形与圆 一般地，正多边形都有 个外接圆，外接圆的圆心叫作正多边形的 ，外接圆的半径叫作正多边形的 . 1．圆内接正三角形 如图1，在⊙O中，△ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行,OD:BD:OB= ; 2．圆内接正四边形 如图2，在⊙O中,正四边形的有关计算在Rt△AOE中进行，OE:AE:OA= ; 3．圆内接正六边形 如图3，在⊙O中,正六边形的有关计算在Rt△AOB中进行，AB:OB:OA= ; ······ 图1 图2 图3 （十一）弧长、扇形和圆锥的相关计算公式 1．弧长公式：_________________； 2．扇形面积公式：（1） ;（2） ; 3．圆锥的侧面展开图是 形。若圆锥的底面圆半径为r，母线为l，则 圆锥的侧面积：S= ； 圆锥的全面积：S= + . 二、结构化学习 本章知识结构： 【典例分析】 例1 在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是 （ ） A． B． C． D． 例2 在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心、2为半径的圆必定( ) A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离 C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切 例3 一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为 . 例4 直线AB与⊙O相切于点B，点C是⊙O与线段OA的交点，点D是⊙O上与B,C不重合的一个动点.若∠A=40︒，则∠BDC的度数是 . 例5 如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E.点B，E是半圆弧的三等分点，的长为π，求图中阴影部分的面积. 例6 如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D,E,F. (1)已知∠B=50°，∠C=60°，连接DE,DF，求∠EDF的度数； (2)连接BO,CO，在(1)的条件下求∠BOC的度数； (3)连接BO,CO，探究∠EDF与∠BOC之间的数量关系，并说明理由. 当堂检测 1.已知AB为⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，若OA= 10，AB=16， 则OC的长为( ） A．12 B．10 C．6 D．8 2．正三角形边长为a，其内切圆半径为r，外接圆半径为R，则r:a:R为 ( ) A．1::2 B．1::2 C．1:2: D．1:: 3．一个圆锥的底面半径是5cm，其侧面展开图是圆心角是150°的扇形，则圆锥的母线长为_______． 4．同圆中，内接正四边形与正六边形面积之比是 ． 5．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°.求∠C的度数． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，内切圆O与AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，AD＝6，DB＝4，求由EC，FC，所围成的阴影部分的面积． 当堂检测参考答案 1. C 解：OC 垂直 AB，由垂径定理，AC=1/2 AB=8 Rt△OAC，OA=10，AC=8，OC=6 2. A 解：正三角形，内切圆半径 r=a，外接圆 R= a r:a:R = ( a):a:( a)=1::2 3. 设母线长为 L，底面周长 = 2π×5=10π 扇形弧长 =(150πL)/180 (150πL)/180 = 10π，解得 L=12 答案：12 cm 4. 设圆半径 R 内接正四边形面积 = 2R² 内接正六边形面积 = R² 面积比 = 2R² : ( R²) = 4:3 答案：4:3 5. 解：连接 OB AB 是切线，OB⊥AB，∠ABO=90° ∠A=30°，所以∠AOB=60° OB=OC，∠C=∠OBC ∠AOB 是△BOC 外角，∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C 2∠C=60°，∠C=30° 答：∠C=30° 6. 解：由切线长定理：AE=AD=6，BF=BD=4，设 EC=FC=x AC=6+x，BC=4+x，AB=6+4=10 ∠C=90°，勾股定理：(6+x)²+(4+x)²=10² 展开：x²+10x−24=0 (x+12)(x−2)=0，x=2（舍去负根） EC=FC=2，四边形 OECF 中∠C=90°，OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF=2，∠EOF=90° 阴影面积 = 正方形 OECF 面积 − 扇形 OEF 面积 正方形面积 = 2×2=4 扇形面积 =(90π×2²)/360=π 阴影面积 = 4−π 答：阴影部分面积为 4−π。 学科网（北京）股份有限公司 $