专项五 功、功率与动能定理 讲义-2027届高考物理一轮复习

高三物理一轮复习·专项突破训练讲义 专项五　功、功率与动能定理 一、专项导航 1.高考定位 项目 内容 考查形式 选择题 1 题；计算题中“求速度、求位移、求功”的主力工具 分值权重 8~20 分，是功能关系与电磁感应能量问题的地基 命题角度 恒力功与变力功、机车启动、多过程动能定理、图像求功 学科地位 动能定理是“不涉及时间”时的第一选择，比牛顿定律加快运动学更稳 2. 学习目标 　一是能判断力做正功还是负功，并正确计算恒力功与变力功；二是能区分“平均功率”与“瞬时功率”；三是能用动能定理处理多过程问题，不必逐段求加速度。 二、真题感知 1.真题精析 例 1（高考真题·机车启动）（2026·河北·高考真题）我国科技爱好者复原了春秋战国时期带有刃车軎（wéi）的马车；并对其性能进行了测试。在时间内，若马车以恒定功率在水平路面上沿直线运动，速度从加速到，假定马车所受阻力不变，则马车运动的图像可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】马车以恒定功率运动，阻力不变， 由功率公式 结合牛顿第二定律 整理得加速度 随着速度增大，恒定功率不变，因此加速度逐渐减小。 图像的斜率表示加速度，因此图的斜率应逐渐减小，图像越来越平缓。 故选C。 点评　机车启动的两条铁律：最大速度由 P = fv 决定；在以恒定加速度启动的方式中匀加速阶段的终点是功率达到额定值，而不是速度达到最大。很多同学误以为“匀加速一直到最大速度”，这是本专项最典型的错误。 例 2（高考真题·动能定理的应用）（2025·福建·高考真题）如图甲，竖直平面内，一长度大于4 m的水平轨道OP与光滑半圆形轨道PNM在P点平滑连接，固定在水平地面上。可视为质点的A、B两小物块靠在一起，静置于轨道左端。现用一水平向右推力F作用在A上，使A、B向右运动。以x表示A离开初始位置的位移，F随x变化的图像如图乙所示。已知A、B质量均为0.2 kg，A与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，B与水平轨道间的摩擦不计，重力加速度大小取。 （1）求A离开初始位置向右运动1 m的过程中，推力F做的功； （2）求A的位移为1 m时，A、B间的作用力大小； （3）若B能到达M点，求半圆形轨道半径应满足的条件。 【答案】(1)1.5J (2)0.5N (3) 【详解】（1）求，F做的功 （2）对AB整体，根据牛顿第二定律 其中 对B根据牛顿第二定律 联立解得 （3）当A、B之间的弹力为零时，A、B分离，根据（2）分析可知此时 此时 过程中，对A、B根据动能定理 根据题图可得 从点到点，根据动能定理 在点的最小速度满足 联立可得 即圆弧半径满足的条件。 点评　凡“不涉及时间、只关心速度与位移”的过程，优先动能定理。 2. 命题规律小结 其一，功与功率多以选择题出现，常与图像（F-x、P-t）结合。 其二，动能定理是计算题的“万能钥匙”，凡不涉及时间的过程量问题，优先考虑动能定理。 其三，机车启动两种模式是高频模型，常考“最大速度”“匀加速时间”“各阶段功率”。 其四，变力做功是区分点，考“图像面积”“微元法”“动能定理反求”。 三、考点透视 1. 知识网络 主线：功（力在空间上的积累）→ 功率（做功快慢）→ 动能定理（功与动能变化的关系）。 概念 定义式 说明 恒力功 W = FL cosα α 为力与位移的夹角 总功 W 总 = W₁ + W₂ + … 或先求合力再求功 平均功率 P = W/t 一段时间内的平均快慢 瞬时功率 P = Fv cosα 某时刻的功率 额定功率 铭牌标定值 实际功率不超过额定功率 动能 E k = ½mv² 标量，与速度方向无关 动能定理 W 总 = ΔE k 合外力做的功等于动能变化 2. 核心考点清单 序号 考点 要求 常见考法 1 功的正负判断 Ⅱ 摩擦力、向心力、支持力做功 2 恒力功的计算 Ⅱ 斜面、传送带上的功 3 变力功的计算 Ⅱ F-x 图像面积、微元法、动能定理反求 4 功率的两种计算 Ⅱ 平均功率与瞬时功率 5 机车启动两模式 Ⅱ 最大速度、匀加速时间、功率图像 6 动能定理的应用 Ⅱ 多过程、曲线运动、变力过程 7 摩擦力做功的特点 Ⅱ 与路程有关，与位移无关 3.六个高频易错点辨析 易错一：认为“摩擦力一定做负功”。正解：摩擦力可以是动力（传送带上加速的物块），做正功；也可以是阻力，做负功；静摩擦力还可以不做功（随车一起匀速的货物）。 易错二：认为“作用力与反作用力做功之和为零”。正解：一对作用力与反作用力做功之和可以为零（如静止物体间的静摩擦），也可以不为零（如相对滑动的板块，摩擦生热）。一对滑动摩擦力做功之和等于 −f·Δx 相对，即系统损失的机械能。 易错三：把“平均功率”与“瞬时功率”混用。正解：P = W/t 求平均功率；P = Fv 求瞬时功率（v 为瞬时速度）。机车问题中 P = Fv 的 v 必须是该时刻的速度。 易错四：认为“功率大就做功多”。正解：功率是做功的快慢，做功多少还取决于时间。P 大但时间短，功不一定多。 易错五：认为“动能定理只适用于直线运动”。正解：动能定理对任何运动都成立，包括曲线运动和变力过程，这正是它比牛顿定律更通用的原因。 易错六：机车启动中把“匀加速结束”当成“达到最大速度”。正解：匀加速结束时功率刚达到额定值，此后功率恒定、牵引力减小、加速度减小，速度继续增大直到 a = 0。 四、方法点拨 题型一　功的正负与计算 判断正负三法：看力与位移夹角（α < 90° 正功，α = 90° 不做功，α > 90° 负功）；看是动力还是阻力；看能量转化方向（使物体能量增加的力做正功）。 例 3（2026·海南·高考真题）在2026年世界乒乓球团体锦标赛中，我国乒乓球队男队、女队双双卫冕成功。比赛中，乒乓球从水平台位置1经最高点位置2落到球台位置3，运动轨迹如图所示，则（     ） A．从位置1到位置2乒乓球的重力做正功 B．从位置2到位置3乒乓球的重力做负功 C．从位置1到位置2乒乓球的重力势能增大 D．从位置1到位置3乒乓球的重力势能减小 【答案】C 【详解】AC．从位置1到位置2乒乓球的高度增加，则重力做负功，乒乓球的重力势能增大，A错误，C正确； B．从位置2到位置3乒乓球的高度降低，则重力做正功，B错误； D．从位置1到位置3乒乓球的高度先增加后减小，则重力势能先增加后减小，D错误。 故选C。 【变式训练】如图所示，将一个大小为与水平方向成角的力作用在一个质量为的物体上，物体沿水平地面匀速前进了，，下面关于物体所受各力做功说法正确的是（　　） A．力对物体做功为 B．摩擦力对物体做功为 C．重力做功为 D．合力做功为 【答案】BD 【详解】A．由题意可知，竖直方向力对物体做功为0，水平方向根据功的定义式，故A错误； B．如图所示 物体受重力、支持力、拉力及摩擦力，由于物体做匀速直线运动，所以摩擦力，方向与位移相反，做负功，故B正确； C．位移水平，重力竖直向下，两者垂直，重力做功为零，故C错误； D．物体匀速，合外力为零，总功为零，故D正确。 故选BD。 点评　重力做功只看竖直高度差，与路径无关 题型二　变力做功的三种求法 方法 适用条件 操作 动能定理反求 知道初末速度和其他力的功 W 变 = ΔE k − W 其他 图像面积法 给出 F-x 图像 图线与 x 轴围成的面积即功 微元法 力大小不变、方向始终沿运动方向（如绳拉、圆周） W = F·s 路程 例 4.如图甲所示，质量为1.5 kg的物块放在粗糙水平面上，在水平向右的拉力作用下从静止开始运动，拉力大小随物块运动的位移变化规律如图乙所示，当拉力为零时，物块的速度也恰好为零，重力加速度大小为，下面说法正确的是（     ） A．物块先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动 B．拉力对物块先做正功后做负功 C．拉力在0~4 m内所做的功为8 J D．地面与物块间的动摩擦因数 【答案】D 【详解】A．在内，由图乙知拉力恒定，滑动摩擦力也恒定，由牛顿第二定律 知加速度恒定，物块做匀加速直线运动；在内随线性减小，合力不断变化，加速度变化，物块先做加速度减小的加速运动、后做加速度增大的减速运动，不是匀减速直线运动，故A错误； B．拉力的方向始终水平向右，与位移方向相同，由 且知拉力对物块始终做正功，故B错误； C．图线与轴所围的面积表示拉力做的功，内图形为梯形，，故C错误； D．全程物块初、末速度均为零，动能变化为零，由动能定理 代入、、、，解得，故D正确。 故选D。 【变式训练】近年来，国产新能源汽车的销量得到大幅增长。为检测某新能源汽车的刹车性能，现在平直公路上做实验。如图甲所示，汽车质量为（可看作质点）在平直公路上行驶，其中PQ路段为柏油路，QM路段为沙石路，汽车从P地运动到M地的过程，其速度v随时间t的变化规律如图乙所示，15 s时图像的斜率为零，已知汽车在PQ路段受到的阻力恒定为其重力的，汽车在QM路段所受阻力恒定，整个行驶过程中汽车的功率保持不变。，则以下说法中正确的是（     ） A．汽车的功率为 B．汽车从Q地运动到M地的过程中牵引力做功为 C．汽车从Q地运动到M地的过程中克服阻力做的功 D．汽车从Q地运动到M地的过程中，牵引力的冲量大小为 【答案】D 【详解】A．AB．根据题意可知，汽车在PQ路段受到的阻力为 由图乙可知，汽车在段以速度匀速行驶时，此时，汽车的牵引力等于阻力为 根据公式可得，汽车的功率为，故A错误； BC．图中对应汽车从到的过程，行驶时间为，初、末速度分别为和。设这一过程中牵引力做功为，由功率定义，且功率恒定，可得 设汽车克服阻力做功为，平直路面上重力、支持力不做功，由动能定理得 所以，故BC错误； D．由图乙可知，汽车在段，最终以的速度做匀速运动，设此时的牵引力为，阻力为，则有 解得 汽车从Q地运动到M地的过程中，设牵引力的冲量为，根据动量定理有 解得，故D正确。 故选D。 题型三　功率的计算 两类功率：平均功率 P = W/t（或 P = F·v 平均）；瞬时功率 P = Fv cosα。 例 5（2026·山东·高考真题）“外骨骼机器人”是一种能增强运动能力的可穿戴装置。如图所示，在倾角为的斜坡上，某同学最多能拉着质量为的物体以恒定速度沿斜坡向上运动；穿戴“外骨骼机器人”后，最多能拉着质量为的物体仍以相同的速度沿斜坡向上运动，绳子始终平行于斜坡，物体与斜坡之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为，则该同学穿戴装置后，拉力的功率增加了（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该同学拉着物体沿斜坡向上匀速运动时，拉力的功率等于物体克服重力与摩擦力做功的功率，则穿戴装置前有 穿戴装置后有 所以拉力的功率的增加量为 故选A。 【变式训练】如图所示，质量为m=3kg的木块在倾角θ=37°的足够长的斜面上静止开始下滑，且木块与斜面的动摩擦因数为0.5。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8；g=10m/s2），求： (1)前4s内重力做的功； (2)前4s内重力的平均功率； 【答案】(1)288J (2)72W 【详解】（1）木块下滑过程，根据牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 则前4s木块的位移为 前4s内重力做的功 （2）前4s内重力的平均功率为 解得 点评　同一过程中平均功率与瞬时功率可以相差很大，因为速度在变化。P = Fv 中的 v 必须是瞬时速度，这是区分两类功率的唯一标准。 题型四　机车启动的两种模式 模式 过程特征 关键方程 结论 恒定功率启动 P 恒定，F = P/v 随 v 增大而减小，a 减小 P = Fv，F − f = ma 加速度减小的加速，最终匀速 v max = P/f 恒定牵引力启动 F 恒定，a 恒定，P = Fv 随 v 增大 F − f = ma，P = Fv 匀加速到 P = P 额，之后转为恒功率 例 6（2026·甘肃·高考真题）汽车在平直公路上行驶，阻力保持不变。某时刻，以速度、加速度加速前进，发动机的实际功率正好等于额定功率。从此时开始，发动机始终在额定功率下工作。下列说法正确的是（     ） A．汽车的牵引力大小将逐渐趋于 B．经过时间后，汽车的速度为 C．汽车的速度会先增大后减小 D．汽车能达到的速度最大值为 【答案】AD 【详解】ACD．根据题意，由牛顿第二定律有 从此时开始，发动机始终在额定功率下工作，由可知，随着速度逐渐增大，逐渐减小，加速度逐渐减小，当加速度减小到0时，速度最大，之后汽车做匀速直线运动，最大速度为 即从此时开始，汽车的牵引力大小将逐渐趋于，汽车的速度会先增大后不变，故AD正确，C错误； B．由上述分析可知，汽车的加速度逐渐减小，则经过时间后，汽车的速度小于，故B错误。 故选AD。 【变式训练】一质量为的汽车在水平路面上启动，其速度随时间变化的关系如图所示，时间内图像为过原点的直线，时刻速度为，功率达到额定功率，此后功率保持不变直至速度达到最大。汽车运动过程中所受阻力恒为车重的0.2倍，重力加速度为。汽车整个运动过程中，下列说法正确的是（    ） A．汽车的牵引力逐渐减小 B．汽车的牵引力始终保持不变 C．汽车牵引力的最大值为 D．汽车的最大速度为 【答案】C 【详解】AB．由图像可知汽车先做匀加速直线运动，后做加速度减小的加速运动，达到最大速度后做匀速直线运动；根据牛顿第二定律有 可知汽车的牵引力先保持不变，后逐渐减小，再保持不变，故AB错误； C．汽车运动过程中所受阻力恒为车重的0.2倍，则有 匀加速阶段，根据牛顿第二定律可得 根据图像可得加速度大小为 联立解得汽车牵引力的最大值为，故C正确； D．汽车的额定功率为 当牵引力等于阻力时，汽车的速度达到最大，则有 联立可得汽车的最大速度为，故D错误。 故选C。 点评　恒定功率启动时加速度是变量，不能对全过程用匀变速公式，必须用“该时刻的 F = P/v”求瞬时加速度。若要求某段位移，只能用动能定理：Pt − fs = ½mv² − 0。 题型五　动能定理处理多过程 优势：不关心中间过程的细节，只比较初末状态；不涉及时间；可用于曲线与变力。 步骤：确定初末状态 → 逐一列出各力做功（含正负）→ 列 W 总 = ΔE k → 求解。 例 7如图，在竖直平面内，粗糙斜面轨道的下端与光滑圆弧轨道相切于点，是最低点，圆心角，点与圆心等高，圆弧轨道半径。现有一个质量为可视为质点的小物体，从点的正上方点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端处。已知距离，物体与斜面之间的动摩擦因数，取，，，不计空气阻力。求： (1)物体第一次到达点时的速度大小和对轨道的压力大小； (2)斜面的长度； (3)物块在斜面上滑行的总路程。 【答案】(1)10m/s；12N (2)4.6m (3)11.5m 【详解】（1）物体从E到C由动能定理得 代入数据得 在C点，由牛顿第二定律 代入数据得 由牛顿第三定律，物体在点对轨道的压力大小为 （2）从C到A，由动能定理得 代入数据得 （3）物体最后在圆弧轨道B和其对称点间往复运动，则从释放经过往复运动到B点，由动能定理 解得物块在斜面上滑行的总路程为 【变式训练】如图所示，为一位于竖直平面内的轨道，其中水平，点比高出 ，长 ，和轨道光滑且与平滑连接。一质量为的物体，从点以 的速度开始沿轨道运动，经过后滑到高出点 的点速度为零。取，下列选项正确的是（     ） A．物体与轨道间的动摩擦因数 B．物体在水平面上的总路程为 C．第15次经过点时，克服摩擦力做功为 D．最终停下的位置在点 【答案】D 【详解】A．物体从到，根据动能定理有 解得，故A错误； B．全过程，对物体分析，根据动能定理有 解得 ，故B错误； D．物体在之间往返一次的路程为 故物体能在之间往返的次数为次 所以物体最终停下的位置在点，D正确； C．物体在之间往返一次的过程中，有两次经过点，所以一共有18次经过点，物体第15次经过点时，物体在之间已运动的路程为 则物体第15次经过点时，克服摩擦力做功为 ，故C错误。 故选D。 五、巩固训练 一、单选题 1.一列质量为的动车在平直轨道上以额定功率从静止开始启动，列车的最大速度为，列车行驶过程中受到的阻力与速度的大小成正比，则当列车的速度为时列车的加速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设阻力与速度的比例系数为，牵引力大小为。由题意，列车所受阻力大小为 牵引力与速度同向，由瞬时功率公式有。列车达到最大速度时，加速度为零，牵引力与阻力平衡，因此 解得 当列车速度为时，由功率公式得牵引力大小 此时阻力大小为 取列车前进方向为正方向，由牛顿第二定律得 代入上述结果，得加速度大小 故选C。 2.一台起重机的额定输出功率为10kW，用它匀速吊起质量为500kg的货物，取g=10m/s²，不计额外功与空气阻力，则货物匀速上升的最大速度为（     ） A．5m/s B．0.5m/s C．20m/s D．2m/s 【答案】D 【详解】货物匀速上升时，拉力与货物重力二力平衡，可得拉力大小 由 可得 故选D。 3．（2025·四川·高考真题）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为m，两者之间动摩擦因数为。电动机以恒定功率P拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，大小为。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为g，忽略其他摩擦。则这段时间内（   ） A．物块的位移大小为 B．物块机械能增量为 C．小车的位移大小为 D．小车机械能增量为 【答案】C 【详解】A．对物块根据牛顿第二定律有 解得 根据运动学公式有 解得物块的位移大小为 故A错误； B．物块机械能增量为 故B错误； C．对小车根据动能定理有 其中 联立解得 故C正确； D．小车机械能增量为 故D错误。 故选C。 4.如图甲所示，质量的物块静止在水平地面上。时刻物块受到水平向右的恒定拉力，第2 s末撤去拉力，物块的加速度-时间（）图像如图乙所示，取重力加速度大小。下列说法正确的是（     ） A．恒定拉力大小为1.2 N B．物块与地面间的动摩擦因数为0.4 C．拉力的最大功率为12 W D．物块在第5 s末返回出发点 【答案】C 【详解】B．设物块与地面间的动摩擦因数为μ，撤去拉力后对物块受力分析由牛顿第二定律 其中 解得，故B错误； A．当恒定拉力作用在物块上时由牛顿第二定律 其中 解得，故A错误； CD．由图乙可知，物块在内做匀加速直线运动，内做匀减速直线运动，则第末物块的速度最大，有 所以拉力的最大功率为 物块在第末的速度为 则此时的位置离出发点最远，故C正确，D错误。 故选C。 5.如图所示，在倾角为的光滑斜面上有一长的轻绳，绳能够承受的最大拉力 ， 绳一端固定在点，另一端拴一质量的小球，使小球在斜面上绕点做圆周运动。已知重力加速度大小 ，则小球通过最高点的最大速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球通过最高点的速度最大，则小球在最低点时绳子拉力为T，在最低点受力分析可知 从最低点运动到最高点A的过程，由动能定理 解得小球通过最高点的最大速度 故选B。 6.工人使用如图所示拔钉器竖直向上拔出地钉。已知地钉长为，质量为，土壤对地钉的阻力与地钉埋入土壤深度x的关系式为，拔钉器的机械效率为60%，重力加速度大小。初始时地钉完全埋入土壤，为拔出地钉，工人做功至少为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】阻力为 当地钉完全被拔出时阻力为 整个过程的平均阻力为 克服土壤阻力做功为 克服重力做功为 有用功为 工人做的总功为 故ABC错误，D正确。 故选D。 二、多选题 7．（2026·福建·高考真题）高速运行的磁悬浮列车利用空气阻力进行制动。在某次测试中，关闭动力后，列车在水平直轨道上受阻力f作用做减速运动，f随时间t的变化关系如图所示。则列车在0~200 s内（     ） A．做匀减速直线运动 B．加速度大小随时间不断减小 C．所受阻力f的功率随时间不断增大 D．所受阻力f的功率随时间不断减小 【答案】BD 【详解】AB．根据牛顿第二定律结合题图可知列车f所受阻力逐渐减小，则列车在0~200 s内加速度大小随时间不断减小，列车做加速度减小的减速运动，故A错误，B正确； CD．列车速度减小，摩擦力也不断减小，根据可知列车所受阻力f的功率随时间不断减小，故C错误，D正确。 故选BD。 8.汉石磨盘通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，如图甲所示。磨盘的简化模型如图乙所示，磨盘半径r=0.4 m，磨杆长L=0.6 m，驴对磨杆的拉力F=500 N，作用在磨杆末端，方向沿圆周运动轨迹的切线方向。已知谷粒与磨盘间的动摩擦因数μ=0.01，重力加速度大小g=10 m/s2。当磨盘在驴的拉动下以某一恒定角速度做匀速圆周运动时，位于磨盘上表面边缘的谷粒恰好能够与磨盘保持相对静止。下列说法正确的是（     ） A．磨盘转动的角速度为0.5 rad/s B．磨杆末端的线速度大小为0.3 m/s C．驴拉磨转动一周拉力做的功为1000π J D．驴对磨杆的拉力的功率为100 W 【答案】AC 【知识点】线速度与角速度的关系、向心力的计算、微元法求变力做功、功率推导式：P=Fvcosθ 【详解】A．当磨盘在驴的拉动下以某一恒定角速度做匀速圆周运动时，处于磨盘上表面边缘的谷粒恰好能够与磨盘保持相对静止，则此时有 解得，故A正确； B．磨杆末端的线速度大小为，故B错误； C．驴拉磨转动一周拉力做的功为，故C正确； D．驴对磨杆的拉力的功率为，故D错误。 故选AC。 9.一辆赛车静止在直线赛道上，某时刻以额定功率启动，经过时间t达到最大速度 vm，赛车受到的阻力大小恒为f，对该启动过程，下列说法正确的是（     ） A．赛车做匀加速直线运动 B．赛车的额定功率 C．赛车的平均速度大于 D．合外力对赛车做功为 【答案】BC 【详解】A．赛车以额定功率启动时，由可知，速度v增大的过程中牵引力F会减小，根据牛顿第二定律可知加速度a也随之减小，赛车做的是加速度逐渐减小的变加速直线运动，故A错误； B．当赛车达到最大速度时，加速度减为0，此时牵引力与阻力平衡，即 代入功率公式可得额定功率，故B正确； C．匀加速直线运动的平均速度等于，而本题中赛车做加速度逐渐减小的变加速直线运动，其图像是向上凸的曲线，相同时间内的位移比末速度为vm的匀加速直线运动的位移更大，因此平均速度大于，故C正确； D．额定功率下时间t内赛车牵引力做功为，根据动能定理，合外力对赛车做的功等于牵引力做功减去阻力做功，即合外力对赛车做功小于，故D错误。 故选BC。 10.在我国，汽车已进入寻常百姓家，一种新车从研发到正式上路，要经过各种各样的测试，其中一种是在专用道上进行起步过程测试，通过车上装载的传感器记录了起步过程速度随时间变化规律图像，如图所示，已知OA为直线、AB为曲线、BC为平行于横轴的直线。5s时汽车功率达到额定功率且保持不变，该车总质量为，所受到的阻力恒为，则下列说法正确的是（     ） A．该车的最大速度为 B．该车起步过程的牵引力为 C．该车的额定功率为 D．该车前25s内通过的位移大小为450m 【答案】AD 【详解】ABC．速度随时间变化图像的斜率表示加速度，图中段为直线，汽车在前内做匀加速直线运动，其加速度为 设汽车质量为，恒定阻力大小为，匀加速阶段牵引力大小为，以汽车运动方向为正方向，由牛顿第二定律得 解得 在点，汽车速度为，功率达到额定功率，设额定功率为，由功率公式有 代入得 图中段为水平线，汽车达到最大速度并做匀速运动，牵引力与阻力平衡，由功率公式得 解得，故A正确，BC错误； D．设前一阶段的时间为、位移为，后一阶段的时间为、位移为，速度随时间变化图像与时间轴所围面积表示位移，前一阶段对应三角形面积，故 后一阶段牵引功率保持不变，牵引力做功为，阻力做负功，由动能定理得 解得 因此，前内的总位移为，故D正确。 故选AD。 11.某游乐场建设了如图所示的娱乐项目，AB为固定在竖直平面内半径R的光滑圆弧轨道，轨道与水平地面BC相切于B点。质量的游客（可视为质点）从A点由静止下滑，通过BC后，滑上高为R的光滑固定斜面CD再返回。已知，游客与地面BC的动摩擦因数，忽略空气阻力，不计游客在B点、C点机械能损失，。下列说法正确的是（     ） A．游客从A点运动到C点，重力做功2500 J B．游客在光滑斜面CD上升的最大高度为4 m C．游客第一次到达B点对圆弧轨道的压力为1000 N D．若游客从D点由静止下滑，在地面BC上运动的总路程20 m 【答案】AD 【知识点】应用动能定理解决多段过程问题、机械能守恒定律在曲线运动中的应用 【详解】A．重力做功仅与初末位置的竖直高度差有关，重力做功，故A正确； B．从A点静止出发，到斜面上升至最高点时速度为0，由动能定理 解得，故B错误； C．游客从A到B沿光滑圆弧运动，由动能定理 在B点，由向心力公式 联立解得轨道对游客的支持力 根据牛顿第三定律，游客对轨道的压力为1500N，故C错误； D．游客从D点由静止下滑，所有机械能损失都来自BC段的摩擦力做功，最终游客停在BC上，由全程动能定理 解得BC上总路程，故D正确。 故选AD。 三、解答题 12.如图所示，AB是一段较长的光滑圆弧轨道，其最低点B与水平桌面相切，水平面BD段粗糙，BD段的长度L=2 m。桌面左侧竖直放置一光滑圆弧轨道EMN，其半径r=1 m，α=53°，M为最低点。可视为质点的滑块在AB上距离桌面BD的高度h0=1.45 m处静止释放，从水平桌面左侧端点D水平飞出恰好由E点无碰撞地落入圆轨道。滑块的质量m=2 kg，与粗糙平面间的动摩擦因数为0.5。重力加速度g取10 m/s2，sin53°=0.8。求： (1)E点到桌面的竖直距离h； (2)滑块到达圆轨道最低点M时对轨道的压力； 【答案】(1) (2)86 N，方向竖直向下 【详解】（1）滑块从释放到D点由动能定理 滑块从D点飞出做平抛运动，竖直分速度满足 滑块在E点无碰撞入轨，速度沿E点切线，OE与竖直方向夹角53°，因此 代入数据解得高度 （2）E点速度 从E到M动能定理 M点向心力公式 解得 由牛顿第三定律，滑块对轨道压力为86 N，方向竖直向下。 13.如图所示，从A点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好无碰撞地进入半径，圆心角为的粗糙圆弧轨道BC与地面相切于C点，C与圆心O在同一竖直线上，A与C的高度差 。小物块从C点进入半径为的光滑小圆周轨道。重力加速度g取，求： (1)小物块的初速度； (2)若小物块恰好通过小圆的最高点，求在粗糙圆弧轨道BC上运动时，小物块克服阻力所做的功W； (3)若小物块运动过程中能够到达C点且未脱离小圆轨道，求在粗糙圆弧轨道BC上运动时，小物块克服阻力所做的功W满足的条件。 【答案】(1) (2)10.5 J (3)0<W≤10.5 J或16.5 J≤W≤20.5 J 【知识点】平抛运动速度的计算、绳/单层轨道模型、应用动能定理求变力做功、应用动能定理解决多段过程问题 【详解】（1）小物块从A运动到B点的过程，在竖直方向上 解得 对B点速度进行分解，有 解得 （2）设圆周最高点为D点，物块通过的速度为，若小物块恰好通过小圆周的最高点，根据牛顿第二定律可得 解得 从A点到D点，由动能定理 解得 （3）小物块不脱离小圆周轨道有两种情况： ①能通过最高点，由（2）得0<W≤10.5 J ②小物块不超过小圆周轨道与圆心等高处，则根据动能定理可得 解得 同时，物块必须能到达C点，则根据动能定理可得 解得 综上所述，小物块克服阻力所做的功满足的条件为：0<W≤10.5 J或16.5 J≤W≤20.5 J 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高三物理一轮复习·专项突破训练讲义 专项五　功、功率与动能定理 一、专项导航 1.高考定位 项目 内容 考查形式 选择题 1 题；计算题中“求速度、求位移、求功”的主力工具 分值权重 8~20 分，是功能关系与电磁感应能量问题的地基 命题角度 恒力功与变力功、机车启动、多过程动能定理、图像求功 学科地位 动能定理是“不涉及时间”时的第一选择，比牛顿定律加快运动学更稳 2. 学习目标 　一是能判断力做正功还是负功，并正确计算恒力功与变力功；二是能区分“平均功率”与“瞬时功率”；三是能用动能定理处理多过程问题，不必逐段求加速度。 二、真题感知 1.真题精析 例 1（高考真题·机车启动）（2026·河北·高考真题）我国科技爱好者复原了春秋战国时期带有刃车軎（wéi）的马车；并对其性能进行了测试。在时间内，若马车以恒定功率在水平路面上沿直线运动，速度从加速到，假定马车所受阻力不变，则马车运动的图像可能是（     ） A． B． C． D． 点评　机车启动的两条铁律：最大速度由 P = fv 决定；在以恒定加速度启动的方式中匀加速阶段的终点是功率达到额定值，而不是速度达到最大。很多同学误以为“匀加速一直到最大速度”，这是本专项最典型的错误。 例 2（高考真题·动能定理的应用）（2025·福建·高考真题）如图甲，竖直平面内，一长度大于4 m的水平轨道OP与光滑半圆形轨道PNM在P点平滑连接，固定在水平地面上。可视为质点的A、B两小物块靠在一起，静置于轨道左端。现用一水平向右推力F作用在A上，使A、B向右运动。以x表示A离开初始位置的位移，F随x变化的图像如图乙所示。已知A、B质量均为0.2 kg，A与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，B与水平轨道间的摩擦不计，重力加速度大小取。 （1）求A离开初始位置向右运动1 m的过程中，推力F做的功； （2）求A的位移为1 m时，A、B间的作用力大小； （3）若B能到达M点，求半圆形轨道半径应满足的条件。 点评　凡“不涉及时间、只关心速度与位移”的过程，优先动能定理。 2. 命题规律小结 其一，功与功率多以选择题出现，常与图像（F-x、P-t）结合。 其二，动能定理是计算题的“万能钥匙”，凡不涉及时间的过程量问题，优先考虑动能定理。 其三，机车启动两种模式是高频模型，常考“最大速度”“匀加速时间”“各阶段功率”。 其四，变力做功是区分点，考“图像面积”“微元法”“动能定理反求”。 三、考点透视 1. 知识网络 主线：功（力在空间上的积累）→ 功率（做功快慢）→ 动能定理（功与动能变化的关系）。 概念 定义式 说明 恒力功 W = FL cosα α 为力与位移的夹角 总功 W 总 = W₁ + W₂ + … 或先求合力再求功 平均功率 P = W/t 一段时间内的平均快慢 瞬时功率 P = Fv cosα 某时刻的功率 额定功率 铭牌标定值 实际功率不超过额定功率 动能 E k = ½mv² 标量，与速度方向无关 动能定理 W 总 = ΔE k 合外力做的功等于动能变化 2. 核心考点清单 序号 考点 要求 常见考法 1 功的正负判断 Ⅱ 摩擦力、向心力、支持力做功 2 恒力功的计算 Ⅱ 斜面、传送带上的功 3 变力功的计算 Ⅱ F-x 图像面积、微元法、动能定理反求 4 功率的两种计算 Ⅱ 平均功率与瞬时功率 5 机车启动两模式 Ⅱ 最大速度、匀加速时间、功率图像 6 动能定理的应用 Ⅱ 多过程、曲线运动、变力过程 7 摩擦力做功的特点 Ⅱ 与路程有关，与位移无关 3.六个高频易错点辨析 易错一：认为“摩擦力一定做负功”。正解：摩擦力可以是动力（传送带上加速的物块），做正功；也可以是阻力，做负功；静摩擦力还可以不做功（随车一起匀速的货物）。 易错二：认为“作用力与反作用力做功之和为零”。正解：一对作用力与反作用力做功之和可以为零（如静止物体间的静摩擦），也可以不为零（如相对滑动的板块，摩擦生热）。一对滑动摩擦力做功之和等于 −f·Δx 相对，即系统损失的机械能。 易错三：把“平均功率”与“瞬时功率”混用。正解：P = W/t 求平均功率；P = Fv 求瞬时功率（v 为瞬时速度）。机车问题中 P = Fv 的 v 必须是该时刻的速度。 易错四：认为“功率大就做功多”。正解：功率是做功的快慢，做功多少还取决于时间。P 大但时间短，功不一定多。 易错五：认为“动能定理只适用于直线运动”。正解：动能定理对任何运动都成立，包括曲线运动和变力过程，这正是它比牛顿定律更通用的原因。 易错六：机车启动中把“匀加速结束”当成“达到最大速度”。正解：匀加速结束时功率刚达到额定值，此后功率恒定、牵引力减小、加速度减小，速度继续增大直到 a = 0。 四、方法点拨 题型一　功的正负与计算 判断正负三法：看力与位移夹角（α < 90° 正功，α = 90° 不做功，α > 90° 负功）；看是动力还是阻力；看能量转化方向（使物体能量增加的力做正功）。 例 3（2026·海南·高考真题）在2026年世界乒乓球团体锦标赛中，我国乒乓球队男队、女队双双卫冕成功。比赛中，乒乓球从水平台位置1经最高点位置2落到球台位置3，运动轨迹如图所示，则（     ） A．从位置1到位置2乒乓球的重力做正功 B．从位置2到位置3乒乓球的重力做负功 C．从位置1到位置2乒乓球的重力势能增大 D．从位置1到位置3乒乓球的重力势能减小 【变式训练】如图所示，将一个大小为与水平方向成角的力作用在一个质量为的物体上，物体沿水平地面匀速前进了，，下面关于物体所受各力做功说法正确的是（　　） A．力对物体做功为 B．摩擦力对物体做功为 C．重力做功为 D．合力做功为 点评　重力做功只看竖直高度差，与路径无关 题型二　变力做功的三种求法 方法 适用条件 操作 动能定理反求 知道初末速度和其他力的功 W 变 = ΔE k − W 其他 图像面积法 给出 F-x 图像 图线与 x 轴围成的面积即功 微元法 力大小不变、方向始终沿运动方向（如绳拉、圆周） W = F·s 路程 例 4.如图甲所示，质量为1.5 kg的物块放在粗糙水平面上，在水平向右的拉力作用下从静止开始运动，拉力大小随物块运动的位移变化规律如图乙所示，当拉力为零时，物块的速度也恰好为零，重力加速度大小为，下面说法正确的是（     ） A．物块先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动 B．拉力对物块先做正功后做负功 C．拉力在0~4 m内所做的功为8 J D．地面与物块间的动摩擦因数 【变式训练】近年来，国产新能源汽车的销量得到大幅增长。为检测某新能源汽车的刹车性能，现在平直公路上做实验。如图甲所示，汽车质量为（可看作质点）在平直公路上行驶，其中PQ路段为柏油路，QM路段为沙石路，汽车从P地运动到M地的过程，其速度v随时间t的变化规律如图乙所示，15 s时图像的斜率为零，已知汽车在PQ路段受到的阻力恒定为其重力的，汽车在QM路段所受阻力恒定，整个行驶过程中汽车的功率保持不变。，则以下说法中正确的是（     ） A．汽车的功率为 B．汽车从Q地运动到M地的过程中牵引力做功为 C．汽车从Q地运动到M地的过程中克服阻力做的功 D．汽车从Q地运动到M地的过程中，牵引力的冲量大小为 题型三　功率的计算 两类功率：平均功率 P = W/t（或 P = F·v 平均）；瞬时功率 P = Fv cosα。 例 5（2026·山东·高考真题）“外骨骼机器人”是一种能增强运动能力的可穿戴装置。如图所示，在倾角为的斜坡上，某同学最多能拉着质量为的物体以恒定速度沿斜坡向上运动；穿戴“外骨骼机器人”后，最多能拉着质量为的物体仍以相同的速度沿斜坡向上运动，绳子始终平行于斜坡，物体与斜坡之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为，则该同学穿戴装置后，拉力的功率增加了（      ） A． B． C． D． 【变式训练】如图所示，质量为m=3kg的木块在倾角θ=37°的足够长的斜面上静止开始下滑，且木块与斜面的动摩擦因数为0.5。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8；g=10m/s2），求： (1)前4s内重力做的功； (2)前4s内重力的平均功率； 点评　同一过程中平均功率与瞬时功率可以相差很大，因为速度在变化。P = Fv 中的 v 必须是瞬时速度，这是区分两类功率的唯一标准。 题型四　机车启动的两种模式 模式 过程特征 关键方程 结论 恒定功率启动 P 恒定，F = P/v 随 v 增大而减小，a 减小 P = Fv，F − f = ma 加速度减小的加速，最终匀速 v max = P/f 恒定牵引力启动 F 恒定，a 恒定，P = Fv 随 v 增大 F − f = ma，P = Fv 匀加速到 P = P 额，之后转为恒功率 例 6（2026·甘肃·高考真题）汽车在平直公路上行驶，阻力保持不变。某时刻，以速度、加速度加速前进，发动机的实际功率正好等于额定功率。从此时开始，发动机始终在额定功率下工作。下列说法正确的是（     ） A．汽车的牵引力大小将逐渐趋于 B．经过时间后，汽车的速度为 C．汽车的速度会先增大后减小 D．汽车能达到的速度最大值为 【变式训练】一质量为的汽车在水平路面上启动，其速度随时间变化的关系如图所示，时间内图像为过原点的直线，时刻速度为，功率达到额定功率，此后功率保持不变直至速度达到最大。汽车运动过程中所受阻力恒为车重的0.2倍，重力加速度为。汽车整个运动过程中，下列说法正确的是（    ） A．汽车的牵引力逐渐减小 B．汽车的牵引力始终保持不变 C．汽车牵引力的最大值为 D．汽车的最大速度为 点评　恒定功率启动时加速度是变量，不能对全过程用匀变速公式，必须用“该时刻的 F = P/v”求瞬时加速度。若要求某段位移，只能用动能定理：Pt − fs = ½mv² − 0。 题型五　动能定理处理多过程 优势：不关心中间过程的细节，只比较初末状态；不涉及时间；可用于曲线与变力。 步骤：确定初末状态 → 逐一列出各力做功（含正负）→ 列 W 总 = ΔE k → 求解。 例 7如图，在竖直平面内，粗糙斜面轨道的下端与光滑圆弧轨道相切于点，是最低点，圆心角，点与圆心等高，圆弧轨道半径。现有一个质量为可视为质点的小物体，从点的正上方点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端处。已知距离，物体与斜面之间的动摩擦因数，取，，，不计空气阻力。求： (1)物体第一次到达点时的速度大小和对轨道的压力大小； (2)斜面的长度； (3)物块在斜面上滑行的总路程。 【变式训练】如图所示，为一位于竖直平面内的轨道，其中水平，点比高出 ，长 ，和轨道光滑且与平滑连接。一质量为的物体，从点以 的速度开始沿轨道运动，经过后滑到高出点 的点速度为零。取，下列选项正确的是（     ） A．物体与轨道间的动摩擦因数 B．物体在水平面上的总路程为 C．第15次经过点时，克服摩擦力做功为 D．最终停下的位置在点 五、巩固训练 一、单选题 1.一列质量为的动车在平直轨道上以额定功率从静止开始启动，列车的最大速度为，列车行驶过程中受到的阻力与速度的大小成正比，则当列车的速度为时列车的加速度大小为（     ） A． B． C． D． 2.一台起重机的额定输出功率为10kW，用它匀速吊起质量为500kg的货物，取g=10m/s²，不计额外功与空气阻力，则货物匀速上升的最大速度为（     ） A．5m/s B．0.5m/s C．20m/s D．2m/s 3．（2025·四川·高考真题）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为m，两者之间动摩擦因数为。电动机以恒定功率P拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，大小为。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为g，忽略其他摩擦。则这段时间内（   ） A．物块的位移大小为 B．物块机械能增量为 C．小车的位移大小为 D．小车机械能增量为 4.如图甲所示，质量的物块静止在水平地面上。时刻物块受到水平向右的恒定拉力，第2 s末撤去拉力，物块的加速度-时间（）图像如图乙所示，取重力加速度大小。下列说法正确的是（     ） A．恒定拉力大小为1.2 N B．物块与地面间的动摩擦因数为0.4 C．拉力的最大功率为12 W D．物块在第5 s末返回出发点 5.如图所示，在倾角为的光滑斜面上有一长的轻绳，绳能够承受的最大拉力 ， 绳一端固定在点，另一端拴一质量的小球，使小球在斜面上绕点做圆周运动。已知重力加速度大小 ，则小球通过最高点的最大速度为（     ） A． B． C． D． 6.工人使用如图所示拔钉器竖直向上拔出地钉。已知地钉长为，质量为，土壤对地钉的阻力与地钉埋入土壤深度x的关系式为，拔钉器的机械效率为60%，重力加速度大小。初始时地钉完全埋入土壤，为拔出地钉，工人做功至少为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2026·福建·高考真题）高速运行的磁悬浮列车利用空气阻力进行制动。在某次测试中，关闭动力后，列车在水平直轨道上受阻力f作用做减速运动，f随时间t的变化关系如图所示。则列车在0~200 s内（     ） A．做匀减速直线运动 B．加速度大小随时间不断减小 C．所受阻力f的功率随时间不断增大 D．所受阻力f的功率随时间不断减小 8.汉石磨盘通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，如图甲所示。磨盘的简化模型如图乙所示，磨盘半径r=0.4 m，磨杆长L=0.6 m，驴对磨杆的拉力F=500 N，作用在磨杆末端，方向沿圆周运动轨迹的切线方向。已知谷粒与磨盘间的动摩擦因数μ=0.01，重力加速度大小g=10 m/s2。当磨盘在驴的拉动下以某一恒定角速度做匀速圆周运动时，位于磨盘上表面边缘的谷粒恰好能够与磨盘保持相对静止。下列说法正确的是（     ） A．磨盘转动的角速度为0.5 rad/s B．磨杆末端的线速度大小为0.3 m/s C．驴拉磨转动一周拉力做的功为1000π J D．驴对磨杆的拉力的功率为100 W 9.一辆赛车静止在直线赛道上，某时刻以额定功率启动，经过时间t达到最大速度 vm，赛车受到的阻力大小恒为f，对该启动过程，下列说法正确的是（     ） A．赛车做匀加速直线运动 B．赛车的额定功率 C．赛车的平均速度大于 D．合外力对赛车做功为 10.在我国，汽车已进入寻常百姓家，一种新车从研发到正式上路，要经过各种各样的测试，其中一种是在专用道上进行起步过程测试，通过车上装载的传感器记录了起步过程速度随时间变化规律图像，如图所示，已知OA为直线、AB为曲线、BC为平行于横轴的直线。5s时汽车功率达到额定功率且保持不变，该车总质量为，所受到的阻力恒为，则下列说法正确的是（     ） A．该车的最大速度为 B．该车起步过程的牵引力为 C．该车的额定功率为 D．该车前25s内通过的位移大小为450m 11.某游乐场建设了如图所示的娱乐项目，AB为固定在竖直平面内半径R的光滑圆弧轨道，轨道与水平地面BC相切于B点。质量的游客（可视为质点）从A点由静止下滑，通过BC后，滑上高为R的光滑固定斜面CD再返回。已知，游客与地面BC的动摩擦因数，忽略空气阻力，不计游客在B点、C点机械能损失，。下列说法正确的是（     ） A．游客从A点运动到C点，重力做功2500 J B．游客在光滑斜面CD上升的最大高度为4 m C．游客第一次到达B点对圆弧轨道的压力为1000 N D．若游客从D点由静止下滑，在地面BC上运动的总路程20 m 三、解答题 12.如图所示，AB是一段较长的光滑圆弧轨道，其最低点B与水平桌面相切，水平面BD段粗糙，BD段的长度L=2 m。桌面左侧竖直放置一光滑圆弧轨道EMN，其半径r=1 m，α=53°，M为最低点。可视为质点的滑块在AB上距离桌面BD的高度h0=1.45 m处静止释放，从水平桌面左侧端点D水平飞出恰好由E点无碰撞地落入圆轨道。滑块的质量m=2 kg，与粗糙平面间的动摩擦因数为0.5。重力加速度g取10 m/s2，sin53°=0.8。求： (1)E点到桌面的竖直距离h； (2)滑块到达圆轨道最低点M时对轨道的压力； 13.如图所示，从A点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好无碰撞地进入半径，圆心角为的粗糙圆弧轨道BC与地面相切于C点，C与圆心O在同一竖直线上，A与C的高度差 。小物块从C点进入半径为的光滑小圆周轨道。重力加速度g取，求： (1)小物块的初速度； (2)若小物块恰好通过小圆的最高点，求在粗糙圆弧轨道BC上运动时，小物块克服阻力所做的功W； (3)若小物块运动过程中能够到达C点且未脱离小圆轨道，求在粗糙圆弧轨道BC上运动时，小物块克服阻力所做的功W满足的条件。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $