精品解析：江苏省木渎高级中学2026-2027学年高一年级上学期10月月考数学试卷

江苏省木渎高级中学2026-2027学年 高一年级上学期10月月考【数学】试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考试号等填涂在答题卡上． 3．填写选择题答案时，请规范使用2B铅笔填涂．填写非选择题时，请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出，，再求解即可求解. 【详解】由题意可得，， 所以，故A正确. 故选：A. 2. 不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式化简得，等价于， 解得，故解集为． 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为的定义域为， 所以令，解得，即的定义域为． 又因为，解得，所以的定义域为． 5. 已知关于的不等式的解集为，当取得最小值时，实数的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集，得到对应方程的根，列出韦达定理，代入式子中，即可利用基本不等式求最小值，观察等号成立的条件即可求. 【详解】因为不等式的解集为， 即方程的两个根为，， 根据韦达定理，，，且， 所以， 当且仅当时，等号成立， 即，因为，解得， 所以时，取得最小值. 6. 关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式的解集是，即对于，恒成立，即，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：不等式的解集是， 即对于，恒成立， 即， 当时，， 当时，， 因为， 所以， 综上所述. 故选：A. 7. 设函数，若，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用换元法，分层求解得到t的范围，再回头分段解满足该范围对应的a． 【详解】已知函数， 当时，；当时，，故； 令，则不等式化为， 当时，，则，，无解； 当时，，则，， 若，则，解得； 若，则恒成立； 综上，实数的取值范围是． 8. 已知关于的不等式组． 若该不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解不等式组中的每个不等式，再由该不等式组仅有一个整数解求的取值范围. 【详解】由得， 所以. 又该不等式组仅有一个整数解，故只需， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的是（ ）． A. ， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题p：，，则p的否定为， D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，二次函数，开口向上 判别式，所以函数与轴没有交点， 所以，成立，故A正确； 对于B，对于不等式，解得或， 所以由“”可以推出“或”， 而由“或”不能推出“”， 故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于、，根据特称命题否定的定义， 命题p：，的否定为，，故C错误； 对于D，若，例如，， 则，不满足，故D错误. 10. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 11. 已知函数满足，，且，则（ ） A. B. C. 函数的最小值为 D. 函数的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法计算可得，再令以及可得A错误，B正确；结合可求得，利用判别式法可求得其值域，可判断C正确，D错误． 【详解】对于A，令，得，因为，所以，A错误． 对于B，令，得， 因为，所以， 令，得，所以，B正确． 令，得， 所以，所以， 由可知，整理得． 当时，； 当时，，解得， 所以y的取值范围为， 故函数的最小值为，最大值为，C正确，D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据条件先判断出，然后再对进行分类讨论，结合集合中元素的互异性求解出结果. 【详解】由，得，则或， 当时，得，则，集合中元素不满足互异性，舍去； 当时，解得或， 若，则，，合题意； 若，则，集合中元素不满足互异性，舍去； 综上，. 故答案为：2. 13. 设p：，q：．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式得到对应的区间，由充分不必要条件推出的集合是的集合的真子集，先判断的区间不可能为空集，再列端点不等式，检验等号情况，得到的取值范围． 【详解】由，得， 设， 由是的充分不必要条件，得⫋， 当时，符合⫋， ，即， 因为，所以无解， 当时， （等号不能同时取），解得， 综上实数a的取值范围是． 14. 定义一种运算，设，，则使最大值为4的______. 【答案】3或-3 【解析】 【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用函数最大值为，根据函数图象，分类讨论，从而确定的取值即可． 【详解】由，得在上的最大值为6， 且由，解得或，所以当时，， 所以要使函数最大值为4， 则根据定义可知的图象与的图象的交点的纵坐标的较大者为4， 如图所示： 当时，得当时，，此时解得； 当时，得当时，，此时解得； 故或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，； （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）因为所以很容易求出集合，又已知集合，利用集合的基本运算即可求出; （2）本题考查的是集合的运算，，所以需要考虑和不为空集两种情况，再结合集合的基本运算即可求出实数的取值范围． 试题解析：（1） （2） 当时， 当时， 综上所述： 考点：集合的运算 【易错点睛】凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数上所有点的集合．集合表示使函数解析式有意义的的取值范围，是定义域；所以在做题时要看清楚间隔号之前表示的是什么含义． 16. 设函数． （1）若不等式对于任意实数都恒成立，求的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把不等式整理成恒成立问题，分讨论，利用判别式求解； （2）转换主元，看成关于的一次函数，利用一次函数单调性，代入区间左端点列不等式求出． 【小问1详解】 题设等价于对任意实数恒成立, 若，开口向下，不可能处处非负； 若，不等式成为，也不对所有实数成立． 所以必须． 在时，恒非负等价于判别式， 即，解得或， 结合，得． 【小问2详解】 本问固定，要求对内的所有均成立， 把式子按整理为， 因为，该式关于严格递增，最小值在处取得， 故恒成立等价于，即，从而， 检验：当时，原左边加2为，对全部成立， 因此的取值范围为． 17. 已知正数，满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 【答案】（1）4； （2）4； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意直接利用基本不等式即可得最值； （2）由题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解； （3）根据已知条件得到，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值.. 【小问1详解】 由，得．因，，可知，． 由基本不等式，，所以，即．等号成立要求，再由得，因此最小值为4． 【小问2详解】 由，在时取到，故的最小值也是4． 【小问3详解】 因为正数，满足， 所以， 所以, 当且仅当时取得等号，因此的最小值为． 18. 已知函数的定义域为，且满足，． （1）求函数的解析式； （2）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为． 当时，解集为． 当时，解集为． 当时，解集为． 当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）利用换元法求出的解析式； （2）分离参数，得，根据不等式在上有解，利用基本不等式求出最小值得解； （3）对分情况讨论，再解一元二次不等式可得答案. 【小问1详解】 令，则．因此，故． 【小问2详解】 不等式等价于．因，，可化为． 题设“有解”表示至少有一个满足，故只需不小于右式在该区间的最小值． 由，等号在处成立，得最小值为0． 所以．检验时取等号成立，故参数范围为． 【小问3详解】 要求解． 当时，不等式为，解集为． 当时，二次项系数为负，两根为，不大于零的部分在两根外侧，解集为． 当时，，开口向上，解集为． 当时，不等式为，解集为． 当时，，开口向上，解集为． 19. 已知二次函数. （1）设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； （2）设的解集为，且，求不等式的解集； （3）若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）R （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得a，b，c的关系，化简不等式后，求解即得； （2）根据不等式的解，利用两根式及多项式相等得到，进而求解不等式即可； （3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得ab的最大值，并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立． 【小问1详解】 因为的解集， 所以的根为1和2，且． 所以，故， 所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立， 所以，解得或， 又，所以， 所以实数的取值集合为． 【小问2详解】 因为的解集为，且， 所以且， 所以，故， 若，则，不合题意； 若，则，此时满足题意， 综上，， 所以不等式，即为 由，知：不等式的解集为. 【小问3详解】 令，则，所以， 对任意恒成立， 所以恒成立， 所以且， 所以，此时， 所以， 当且仅当时取等号， 此时成立； 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省木渎高级中学2026-2027学年 高一年级上学期10月月考【数学】试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考试号等填涂在答题卡上． 3．填写选择题答案时，请规范使用2B铅笔填涂．填写非选择题时，请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集为，当取得最小值时，实数的值为（ ）． A. B. C. D. 6. 关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式组． 若该不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的是（ ）． A. ， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题p：，，则p的否定为， D. 若，则 10. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数满足，，且，则（ ） A. B. C. 函数的最小值为 D. 函数的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则______ 13. 设p：，q：．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_______． 14. 定义一种运算，设，，则使最大值为4的______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，； （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 设函数． （1）若不等式对于任意实数都恒成立，求的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围． 17. 已知正数，满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 18. 已知函数的定义域为，且满足，． （1）求函数的解析式； （2）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 19. 已知二次函数. （1）设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； （2）设的解集为，且，求不等式的解集； （3）若对任意恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $