精品解析：江苏省苏州市吴中区苏苑高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

苏苑高级中学2024-2025学年第一学期12月月考数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 4. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数过定点，且函数（）的图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 11. 函数，有下列结论正确命题的是（ ） A. 的最小值是 B. 在上是减函数，在上是增函数 C. 没有最大值 D. 解集为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 计算：______． 13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______；函数解析式为________． 14. 已知函数恰有3个零点，则的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．） 15. 设全集，，． （1）当a＝1时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据： 年份 2015 2016 2017 2018 投资成本 3 5 9 17 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）. （1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式； （2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型. 17. 已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之和为2． （1）求函数解析式，并求出关于x的不等式的解集； （2）若函数使得成立，求的取值范围． 18. 是定义在上的偶函数，且，其中且． （1）求实数的值； （2）若函数，是否存在实数，使得函数的最小值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. （1）用定义证明函数在上是增函数； （2）证明函数的图象关于点对称； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得成立，求负数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏苑高级中学2024-2025学年第一学期12月月考数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的概念及指数函数的单调性化简集合，然后根据集合交集的概念计算即得. 【详解】由题可知， ， 所以. 故选：A. 2. 若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可. 【详解】令扇形的圆心角的弧度数为，半径为，则，即， 又，故. 故选：A 3. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 4. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数与指数函数的单调性与中间量比较大小即可判断. 【详解】，， ，所以， 故选：A. 6. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意有，解得，，由此能得出结果． 【详解】依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器中只有开始时的时，则有，所以， 两边取对数得，所以， 故选：C． 7. 已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为 与函数 的图象没有交点，利用数形结合法求解. 【详解】设 ，的图象如图所示， 问题转化为与函数 的图象没有交点， 所以或, 解得或, 故选：A. 8. 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得，构造函，根据单调性定义知在上单调递增，利用复合函数的单调性法则转化为：函数在上单调递增，且恒成立，然后利用指数函数的性质列不等式求解即可． 【详解】即， 即， 令，由，得，从而， 记， 由及得，在上单调递增， 令， 又在上单调递增，由复合函数单调性可知， 函数在上单调递增，且恒成立， 故，则， 故实数a的取值范围为． 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据和的终边关于轴对称时，逐一判断正误即可. 【详解】根据和的终边关于轴对称时可知， 选项B中，符合题意；选项D中，符合题意； 选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称. 故选：BD. 10. 函数过定点，且函数（）的图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据对数的运算性质确定点坐标，得到的关系，结合基本不等式及的符号判断各选项是否正确. 【详解】因为，所以函数必过点. 又得图象过点，所以（）. 对A：因为，因为不成立，所以不成立，故A错误； 对B：因为，当且仅当即时取“”.故B正确； 对C：因为，当时等号成立，故C正确； 对D：因为，所以的最大值为，故D错误. 故选：BC 11. 函数，有下列结论正确命题的是（ ） A. 的最小值是 B. 在上是减函数，在上是增函数 C. 没有最大值 D. 解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性、单调性，可判断ABC选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】因为函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 当时，， 因为内层函数在上单调递减，在上单调递增， 外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 对于B选项，由于函数为偶函数， 所以，函数的增区间为、，减区间为、，B错； 对于A选项，由B选项可知，，A对； 对于C选项，由B选项可知，函数无最大值，C对； 对于D选项，由可得，即， 即，即，可得， 解得或， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用换底公式、对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得. 【详解】 ． 故答案为：1． 13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______；函数解析式为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】，结合奇偶性得，把代入求值；奇函数在处有意义时有，当时，，根据奇偶性求出时的解析式，得到在上的解析式. 【详解】，又因为是定义在上的奇函数， 所以. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 当时，，所以，所以， 所以函数解析式为：. 故答案为：；. 14. 已知函数恰有3个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据有两正根，把问题转化为在上只有1个零点问题，然后分类讨论，结合二次函数的性质列不等式求解即可. 【详解】当时，令，得， 因为函数与函数的图象在上有2个公共点， 所以在上有2个零点，所以在上只有1个零点. 当时，在上有唯一零点，符合题意； 当时，的图象的对称轴为， 在轴右侧，开口向下，且0， 则在上有唯一零点，符合题意； 当时，的图象的对称轴为， 在轴左侧，开口向上，，则，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．） 15. 设全集，，． （1）当a＝1时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可得集合，将代入解出集合，根据集合基本运算即可求得结果； （2）根据题意可得集合是集合的真子集，根据集合间的基本关系即可求得实数a的取值范围． 【小问1详解】 令可得，解得， 所以，或 当时，， 所以， 或. 【小问2详解】 由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集， 又， 所以，解得， 故实数a的取值范围为． 16. 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据： 年份 2015 2016 2017 2018 投资成本 3 5 9 17 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）. （1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式； （2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型. 【答案】（1）可用③来描述x，y之间的关系， （2）该企业要考虑转型. 【解析】 【分析】（1）由年利润是随着投资成本的递增而递增，可知①不符合，把，分别代入②③，求出函数解析式，再把代入所求的解析式中，若，则选择此模型； （2）由题知，则x>65，再由 与比较，可作出判断. 【小问1详解】 由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意； 将，代入（，且）， 得，解得，∴. 当时，，不符合题意； 将，代入（，且）， 得，解得，∴. 当时，；当时，. 故可用③来描述x，y之间的关系. 【小问2详解】 由题知，解得. ∵年利润，∴该企业要考虑转型. 17. 已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之和为2． （1）求函数解析式，并求出关于x的不等式的解集； （2）若函数使得成立，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式. （2）使得成立，令利用换元转化为，，再利用分离参数求出的取值范围． 【小问1详解】 函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，由，得， 由，， 则等价于，， 令，， 由和在单调递增，则在单调递增， 可得， 则可得. 18. 是定义在上的偶函数，且，其中且． （1）求实数的值； （2）若函数，是否存在实数，使得函数的最小值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据是偶函数，则，结合指数运算和对数运算，即可求得参数的值； （2）对的取值分类讨论，求得不等式的解集，令，将问题转化为二次函数动轴定区间上的最值问题，进而根据对称轴和区间的位置关系，再次分类讨论，结合二次函数单调性即可求得结果. 【小问1详解】 是定义在上的偶函数，故，即， 则，，， 则对任意的成立，故，解得. 此时，则， 所以函数是偶函数，故. 【小问2详解】 存在，理由如下： 对不等式，令，解得或； 若，则，故不等式解集为，； 若，则，故不等式解集为，； 令，则； 由（1）知，，又， 故； 设函数，则， 因为函数对应的二次函数的对称轴； ①当时，在单调递增，故， 令，解得，不满足，故舍去； ②当时，在单调递减，在单调递增，故， 令，解得，又，故满足题意； ③当时，在单调递减，故， 令，解得，不满足，故舍去； 综上所述：存在实数，使得在区间的最小值为， 即存在实数，使得的最小值为. 19. 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. （1）用定义证明函数在上是增函数； （2）证明函数的图象关于点对称； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得成立，求负数的取值范围. 【答案】（1）证明：因为， 任取、且，则， 所以， ，即， 故函数在上是增函数. （2）证明：令，该函数的定义域为， ， 故函数为奇函数，所以，函数的图象关于点对称. （3） 【解析】 【分析】（1）任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）令，利用函数奇偶性的定义证明出函数为奇函数即可； （3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，分析函数在上的单调性，并其值域，根据集合的包含关系可得出关于的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知，函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递增，则，， 所以，函数在上的值域为， 于是原问题转化为函数在上的值域包含， 因为，则，函数在上单调递增， 则当时，，，则， 因为函数的图象关于点对称，所以，， 由题意可得，解得. 所以，负实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $