一元二次方程根的判别式 学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

根的判别式（学案）-人教版九年级数学 知识纵横 1．根的判别式： 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 2．根的判别式的应用： （1）根据判别式的值，不解方程，判定方程根的情况 （2）根据一元二次方程根的情况，求方程中字母系数的值（或取值范围） （3）应用判别式进行有关的证明 （4）讨论二次三项式的最大值或最小值 （5）讨论一元二次方程的整数根和有理根。 一定要把方程化成一般式后，再确定有关系数，以避免一些不该产生的错误 3.对于整系数一元二次方程 （1）方程有有理根的充要条件是△＝b2﹣4ac为一有理数的平方； （2）若为奇数，则方程无整数根。 例题解析 例1、已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）当m为正整数时，求方程的根． 例2、关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根． 例3、已知关于x的方程 kx2+（k+3）x+3＝0（k≠0）． （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值． 例4、已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 例5、已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围： （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根． 例6、已知关于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0 （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）若关于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0的两个不等实数根均为正整数，且m为整数，求m的值． 例7、已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长a为1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？ 例8、已知关于x的一元二次方程k2x2+（2k+1）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程至少有一个有理数根，写出一个k的值，并求此时方程的根． 例9、定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”． （1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，说明理由； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”． 能力提高 一．选择题（共5小题） 1．一元二次方程x2+2x＝0的根的判别式的值是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣4 2．一元二次方程4x2﹣3x0根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（　　） A．c B．c C．c D．c 4．关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m B．m C．m D．m 5．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n﹣1＝0（m、n都是整数）如果有一个整数根α，则对它的另一根β所作的如下断言中正确的是（　　） A．β不是整数 B．β一定是整数 C．β一定是奇数 D．β一定是偶数 二．填空题（共3小题） 6．关于x的方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　 　． 7．一元二次方程x2x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为　 　． 8．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则a的最大整数值为　 　． 三．解答题（共5小题） 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k的值． 10．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根． 11．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根． 12．我们规定：方程ax2+bx+c＝0的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c＝0．例如，方程2x2﹣3x+4＝0的变形方程为2（x+1）2﹣3（x+1）+4＝0 （1）直接写出方程x2+2x﹣5＝0的变形方程； （2）若方程x2+2x+m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （3）若方程ax2+bx+c＝0的变形方程为x2+2x+1＝0，直接写出a+b+c的值． 13．证明：如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数． - - 学科网（北京）股份有限公司 $ 根的判别式（学案·含答案解析）-人教版九年级数学 知识纵横 1．根的判别式： 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 2．根的判别式的应用： （1）根据判别式的值，不解方程，判定方程根的情况 （2）根据一元二次方程根的情况，求方程中字母系数的值（或取值范围） （3）应用判别式进行有关的证明 （4）讨论二次三项式的最大值或最小值 （5）讨论一元二次方程的整数根和有理根。 一定要把方程化成一般式后，再确定有关系数，以避免一些不该产生的错误 3.对于整系数一元二次方程 （1）方程有有理根的充要条件是△＝b2﹣4ac为一有理数的平方； （2）若为奇数，则方程无整数根。 例题解析 例1、已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根． 【分析】（1）根据根的判别式△＝b2﹣4ac＞0列出关于m的不等式，根据这两个不等式解答m的取值范围； （2）由（1）中m的取值范围求出整数m的值，然后将其代入关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1＝0，得到关于一元二次方程的解析式，然后把m代入该方程，求出方程的根． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0． 解得m＜2； （2）由（1）知，m＜2． 有m为正整数， ∴m＝1， 将m＝1代入原方程，得 x2﹣2x＝0 x（x﹣2）＝0， 解得x1＝0，x2＝2． 例2、关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，根据判别式可得到关于m的不等式，可求得m取值范围； （2）由m的取值范围，可求得其最小整数值，代入方程，解方程即可． 解：（1）∵方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣1）2+4（m+2）＞0， 解得； （2）∵， ∴m的最小整数为﹣2， ∴方程为x2﹣x＝0， 解得x＝0或x＝1． 例3、已知关于x的方程 kx2+（k+3）x+3＝0（k≠0）． （1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值． 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程一定有两个实数根； （2）利用求根公式求出x1＝﹣1，x2，然后利用整除性确定k的值． 【解答】（1）证明：∵k≠0， △＝（k+3）2﹣4•k•3＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0， ∴方程一定有两个实数根； （2）解：∵x， ∴x1＝﹣1，x2， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴正整数k＝1或3． 例4、已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）将x＝﹣1代入方程中，化简即可得出b＝c，即可得出结论； （2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，进而得出结论； （3）先判断出a＝b＝c，再代入化简即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形， （2）△ABC是直角三角形， 理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形； （3）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0， 即：x2+x＝0， ∴x（x+1）＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1． 例5、已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围：（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根． 【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，然后解不等式即可得到k的范围； （2）先确定整数k的值为1或2，然后把k＝1或k＝2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程确定方程有整数解的方程即可． 【解答】解：（1）依题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0， 解得：k： （2）因为k且k为正整数， 所以k＝l或2， 当k＝l时，方程化为x2+2x﹣2＝0，△＝12，此方程无整数根； 当k＝2时，方程化为x2+2x＝0 解得x1＝0，x2＝﹣2， 所以k＝2，方程的有整数根为x1＝0，x2＝﹣2． 例6、已知关于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0 （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）若关于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0的两个不等实数根均为正整数，且m为整数，求m的值． 【分析】（1）先分两种情况讨论，当m＝0时方程的解为1和当m≠0时，△＝b2﹣4ac＝m+2）2≥0有实数根，得出无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）根据（1）求出x的根，再根据x为整数，m为整数，求出m的值，从而求出x的值，再根据，x1≠x2，且x为正整数，即可求出m的值． 【解答】解：（1）①当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1，此一元一次方程有实根， ②当m≠0时，方程为一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0， ∵a＝m，b＝﹣（3m+2），c＝2m+2， ∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（3m+2）]2﹣4m×（2m+2）＝m2+4m+4＝（m+2）2， ∵（m+2）2≥0， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）根据（1）可得： x12， x21， ∵x为整数，m为整数， ∴m＝1，﹣1，2，﹣2， ∴x1＝4，0，3，1， ∵x1≠x2，且x为正整数， ∴m＝1或m＝2． 例7、已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长a为1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？ 【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根； （2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长． 【解答】（1）证明： ∵△＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0， ∴无论k取任意实数值，方程总有实数根； （2）解：分两种情况： ①若b＝c， ∵方程x2﹣（k+2）x+2k＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2， ∴此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2， ∴△ABC的周长为5； ②若b≠c，则b＝a＝1或c＝a＝1，即方程有一根为1， ∵把x＝1代入方程x2﹣（k+2）x+2k＝0，得1﹣（k+2）+2k＝0， 解得k＝1， ∴此时方程为x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， ∴方程另一根为2， ∵1、1、2不能构成三角形， ∴所求△ABC的周长为5． 综上所述，△ABC的周长为5． 例8、已知关于x的一元二次方程k2x2+（2k+1）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程至少有一个有理数根，写出一个k的值，并求此时方程的根． 【分析】（1）根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围； （2）先求出方程的解，再根据有理数根的定义得到根的判别式是完全平方数，进一步确定一个k的值，进一步求出此时方程的根． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（k2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根， ∴， 解得：k且k≠0． （2）关于x的一元二次方程k2x2+（2k+1）x+1＝0的解为x， ∵此方程至少有一个有理数根， ∴4k+1是完全平方数， 当k＝2（不唯一）时，方程的根为x， ∴x1＝﹣1，x2． 例9、定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”． （1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”． 【分析】（1）解出方程x2x﹣1＝0，即可得出结论； （2）先求出b2﹣4ac＝4m+29，再利用“全整方程”判断出4m+29是完全平方数，即可得出结论． 【解答】解（1）是，理由： ∵解方程x2x﹣1＝0得x1＝﹣1，x2＝3， ∴两个根均为整数，满足定义， ∴方程为“全整方程”， ∴T（a，b，c）； （2）∵一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0， ∴b2﹣4ac＝4m+29， ∵5＜m＜22， 即：49＜4m+29＜117， ∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0是“全整方程”， ∴b2﹣4ac是完全平方数， 即4m+29是完全平方数， ∴4m+29＝64或81或100， ∵m为整数， ∴m（舍去），m＝13，m（舍去）， 即原方程为x2﹣23x+112＝0， ∴T（a，b，c）． 能力提高 一．选择题（共5小题） 1．一元二次方程x2+2x＝0的根的判别式的值是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣4 【解答】解：x2+2x＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×0＝4，故选：A． 2．一元二次方程4x2﹣3x0根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【解答】解：4x2﹣3x0，这里a＝4，b＝﹣3，c， b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣45＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选：D． 3．若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（　　） A．c B．c C．c D．c 【解答】解：∵方程x2+3x+c＝0有实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×c≥0，解得：c，故选：A． 4．关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m B．m C．m D．m 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣3）2﹣4×1×m＝0，解得：m，故选：C． 5．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n﹣1＝0（m、n都是整数）如果有一个整数根α，则对它的另一根β所作的如下断言中正确的是（　　） A．β不是整数 B．β一定是整数 C．β一定是奇数 D．β一定是偶数 【分析】根据根与系数的关系：α+β＝﹣2m，由已知条件，可得β一定是奇数． 【解答】解：∵α+β＝﹣2m（偶数）， αβ＝2n﹣1（奇数）， α、m、n都是整数， ∴α、β都是奇数， 故选：C． 二．填空题（共3小题） 6．关于x的方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　m≤4　． 【分析】根据一元二次方程判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4m•1≥0，然后求出不等式的解即可． 【解答】解：当关于x的方程mx2﹣4x+1＝0是一次方程，则m＝0，有实数根， 当是一元二次方程，根据题意得△＝（﹣4）2﹣4m•1≥0， 解得m≤4．故答案为m≤4． 7．一元二次方程x2x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为　b　． 【分析】根据根的判别式得出△＝（）2﹣4×1×（b+1）＜0，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2x+（b+1）＝0无实数根， ∴△＝（）2﹣4×1×（b+1）＜0，解得：b，故答案为：b． 8．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则a的最大整数值为　4　． 【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则a≠0，且△≥0，即△＝42﹣4a＝16﹣4a≥0，解不等式得到a的取值范围，最后确定a的最大整数值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根， ∴a≠0，且△≥0，即△＝42﹣4a＝16﹣4a≥0，解得a≤4， ∴a的取值范围为a≤4且a≠0，所以a的最大整数值为4．故答案为4． 三．解答题（共5小题） 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k的值． 【分析】（1）套入数据求出△＝b2﹣4ac的值，再与0作比较，由于△＝1＞0，从而证出方程有两个不相等的实数根； （2）将x＝1代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值． 【解答】（1）证明：△＝b2﹣4ac， ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）， ＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k， ＝1＞0．∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵方程有一个根为1， ∴12﹣（2k+1）+k2+k＝0，即k2﹣k＝0， 解得：k1＝0，k2＝1． 10．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根． 【分析】首先根据已知条件可得m2﹣1≠0，进而得到m≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m≠3；再利用求根公式用含m的式子表示x，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m的值即可． 【解答】解：∵m2﹣1≠0 ∴m≠±1 ∵△＝36（m﹣3）2＞0 ∴m≠3 用求根公式可得：x1，x2 ∵x1，x2是正整数 ∴m﹣1＝1，2，3，6，m+1＝1，2，3，4，6，12， 解得m＝2．这时x1＝6，x2＝4． 11．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根． 【分析】根据求根公式可知：x（2m﹣3）±，根据4＜m＜40可知m的值为12或24，再把m值代入求解即可． 解：解方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0，得， ∵原方程有两个不相等的整数根， ∴2m+1为完全平方数， 又∵m为整数，且4＜m＜40，2m+1为奇数完全平方数， ∴2m+1＝25或49，解得m＝12或24． ∴当m＝12时，，x1＝26，x2＝16； 当m＝24时，． 12．我们规定：方程ax2+bx+c＝0的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c＝0．例如，方程2x2﹣3x+4＝0的变形方程为2（x+1）2﹣3（x+1）+4＝0 （1）直接写出方程x2+2x﹣5＝0的变形方程； （2）若方程x2+2x+m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （3）若方程ax2+bx+c＝0的变形方程为x2+2x+1＝0，直接写出a+b+c的值． 【分析】（1）用x+1表示方程里的x，直接得结论； （2）先把方程变形，再利用根的判别式，计算出m的取值范围； （3）变形方程整理，即得a+b+c的值． 【解答】解：（1）用x+1表示方程x2+2x﹣5＝0里的x， 可得（x+1）2+2（x+1）﹣5＝0． （2）用x+1表示方程x2+2x+m＝0里的x， 得（x+1）2+2（x+1）+m＝0． 整理，得x2+4x+3+m＝0 ∵变形后的方程有两个不相等的实数根， ∴△＝42﹣4（3+m） ＝4﹣4m＞0， ∴m＜1． （3）a+b+c＝1． （方程ax2+bx+c＝0的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c＝0， 整理，得ax2+2ax+a+bx+b+c＝0， 即ax2+（2a+b）x+（a+b+c）＝0 由于方程ax2+bx+c＝0的变形方程为x2+2x+1＝0， 所以a+b+c＝1． 13．证明：如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数． 【分析】假设a、b、c全是奇数，根据根与系数的关系，利用判别式求得x的值，并设为有理数n．假设n为偶数，与已知矛盾，从而得到n只能为偶数．进一步证得a，b，c中至少有一个是偶数． 【解答】证明：假设a、b、c全为奇数△＝b2﹣4ac＞＝0有： x， 可见存在有理根，即设为有理数n， ∴b2﹣4ac＝n2， （b﹣n）（b+n）＝4ac， ∵若n为偶数，（b﹣n）（b+n）＝奇数×奇数＝奇数≠4ac， ∴n只能为奇数，b﹣n为偶数b+n为偶数， （b﹣n）（b+n）＝偶数×偶数＝2a×2c （a＜＝c）， b﹣n＝2a，b+n＝2c， 解得：b＝a+c， 此时b＝奇数+奇数＝偶数 与原假设矛盾， 原假设不成立． ∴如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数得证明． - - 学科网（北京）股份有限公司 $