25.2解一元二次方程（第1课时 配方法） 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册
25.2 解一元二次方程——直接开平方法与配方法（导学案）
人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（2024年版）
班级： 姓名：
【学习目标】
1．会用直接开平方法解形如 x²=p、(x+n)²=p（p≥0）的方程，知道 p＜0 时方程无实数根；
2．理解配方法的依据，会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程；
3．经历“拼图—配方—降次”的探究过程，体会把“二次”化为“一次”的转化思想。
重点：直接开平方法与配方法的步骤。 难点：配方时加什么、为什么加、加在哪。
一、自主预习（温故知新，课前完成）
1．填空：(a+b)²= ； (x+3)²=x²+6x+ ； x²−8x+ =(x−4)²。
2．25 的平方根是 ；x²=25 时，x= 。
3．6 的一半是 ，它的平方是 ；−4 的一半是 ，它的平方是 。
4．想一想：解方程 x²=5，得 x= 。像这样通过开平方把二次方程化为一次方程来解的思路，叫作降次。
提示：一个正数有两个平方根，它们互为相反数——开平方时，负的那个根别忘了。
二、情境探究（课堂核心，先独立完成再小组交流）
情境一 正方形展区的边长（图1）
腾龙洞游客服务中心要建一块正方形展区，面积为 25 m²，边长应是多少？
解：设边长为 x m。由 x²=25，得 x= 。边长不能为负，所以边长为 m。 ……①
追问：若展区面积为 12 m²，边长是多少？x= （结果化成最简二次根式）。
情境二 扩建后的绿地（图2）
学校把一块边长为 x m 的正方形绿地的一组邻边各增加 2 m，扩建后面积为 36 m²。求原来的边长。
分析：扩建后是边长为 m 的正方形。列方程： =36。 ……②
解这个方程：x+2= ，x₁= ，x₂= 。其中 x=−8 不合题意（ ），应舍去。
情境三 拼图实验：补上缺角（图3）
1
学科网（北京）股份有限公司
解方程 x²+6x−16=0。
（1）移项，得 x²+6x= 。
（2）拼图：边长为 x 的正方形，配上两个长 3、宽 x 的矩形，还缺一个边长为 3 的小正方形（图3 中虚线部分）。要拼成大正方形，需补上的角面积为 。
（3）两边同时加上 9：x²+6x+9=16+9，即 (x+3)²= 。
（4）开平方，得 x+3= ，所以 x₁= ，x₂= 。 ……③
【归纳】三个方程的共同点
方程①②③经过变形，都可以写成“ ²=p”的形式：当 p＞0 时，有两个 的实数根；
当 p=0 时，有两个 的实数根；当 p＜0 时，方程 实数根。这样，“二次”就降成了“一次”。
三、概念建构
像 x²=p、(x+n)²=p（p≥0）这样，把方程化为“平方=p”的形式后，利用求平方根的方法求解，叫作直接开平方法。
通过“两边同时加上 ”把方程配成 (x+n)²=p 的形式，再开平方降次求解，这种解法叫作配方法。
想一想：
（1）配方时，为什么两边要“同时”加上那个数？只加左边行不行？
（2）把 x²+px=m 配方，两边应加 ；
（3）(x+n)²=p 中，为什么 p＜0 时方程无实数根？
配方口诀：一移二配三成方，开方之前看符号；加的是“一次项系数一半的平方”，两边同时加。
四、典例精析
例1 直接开平方法：解方程 (x−3)²=16。
解：x−3= ，即 x−3=4 或 x−3=−4，所以 x₁= ，x₂= 。
例2 配方法：解方程 x²−4x−5=0。
解：移项，得 x²−4x= ；两边同时加 ，得 (x−2)²= ；开平方，得 x₁= ，x₂= 。
例3 小明的解法对吗？
解方程 x²+4x+1=0，小明的过程：
移项，得 x²+4x=−1 ……①
两边加 4，得 x²+4x+4=−1 ……②
即 (x+2)²=−1，所以方程无实数根 ……③
我的发现：从第 步开始出错，原因是 。
1
学科网（北京）股份有限公司