25.2.3 因式分解法 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

25.2.3 因式分解法 知识清单 人教版（2024）九年级数学上册　第二十五章　一元二次方程　25.2.3 因式分解法 知识地图 ① 因式分解法　先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次。 ② 依据　若 a·b = 0，则 a = 0 或 b = 0。★ 只有右边是 0 才能这样拆。 ③ 四步　右化零 → 左分解 → 两因式各为 0 → 求解。 ④ 三种分解　提公因式法（含整体思想）、平方差公式、完全平方公式。 ⑤ 易错　不能两边约去含未知数的因式：解 x(x − 1) = x 时约去 x，会丢掉 x = 0 这个根。 ⑥ 方法选择　配方法、公式法适用于所有一元二次方程；因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便，前提是左边能分解成两个一次因式的乘积。 一、学习目标与重难点 学习目标：① 理解因式分解法解方程的依据 —— 零乘积性质；② 会用因式分解法解一元二次方程（提公因式、平方差、完全平方）；③ 会把方程先整理成一边为 0 的形式；④ 会根据方程的特点选择适当的方法。 重　　点：用因式分解法解一元二次方程。 难　　点：把方程化成一边为 0、另一边为两个一次因式乘积的形式；体会「降次」的转化思想。 二、从实际问题到因式分解法 1. 教材 P12 探究：物体竖直上抛 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度（单位：m）约为 10x − 5。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ ① 列方程：物体落回地面时离地高度为 0 m，即 10x − 5 = 0。 ② 老办法也行，但麻烦：配方法、公式法都能解出这个方程（见表），只是都要先移项，公式法还要算判别式，步骤比较多。 ③ 新办法更快：观察方程的左边 —— 两项都含有因式 x，而右边恰好是 0 —— 于是可以把左边分解成两个式子的乘积，再让它们分别等于 0。 ④ 回到实际意义： = 0 表示物体刚被抛出、还在地面的那一刻； = 2 表示物体在被抛出 2 s 时落回地面。所以物体经过约 2 s 落回地面。 2. 三种解法比一比 解法 解 10x − 5 = 0 的过程 体会 配方法 移项、二次项系数化为 1： − 2x = 0；配方得 = 1；开方得 x − 1 = ±1。 要先配方，步骤多 公式法 移项得 5 − 10x = 0，其中 a = 5，b = −10，c = 0；算出 Δ = 100 > 0，再代入求根公式。 要算 Δ 再代入，也麻烦 因式分解法 左边提公因式：x(10 − 5x) = 0；于是 x = 0 或 10 − 5x = 0。 一步分解，直接降次，最简便 3. 看看它是怎样一步步「降次」的 图 1　因式分解法的降次原理：依据「若 a·b = 0，则 a = 0 或 b = 0」，把一元二次方程化成两个一元一次方程 4. 什么叫因式分解法 ★ 定义：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次 —— 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 ★ 与前面方法的区别：配方法、公式法是「开平方降次」；因式分解法是「分解因式降次」。 三、原理：为什么可以「各为 0」 1. 零乘积性质 如果 a·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0。这是有理数乘法的性质：两个数相乘，积为 0，那么这两个数中至少有一个是 0（比如 0 × 5 = 0，0 × 0 = 0；而 3 × 4 = 12 ≠ 0）。 2. 为什么必须先让右边为 0 ★ 只有右边是 0 才能这样拆。例如由 a·b = 6，不能说「a = 6 或 b = 6」—— 满足 a·b = 6 的 a、b 有无数组（a = 1，b = 6；a = 2，b = 3；a = 0.5，b = 12……）。 所以用因式分解法解方程，第一步就是把方程化成「左边是乘积、右边是 0」的形式，再让每个因式分别等于 0。 3. 辨一辨：下面的式子能直接「各为 0」吗 式子 右边是 0 吗 能不能直接令各因式为 0 (x − 2)(x + 1) = 0 是 能：x − 2 = 0 或 x + 1 = 0 (x − 2)(x + 1) = 3 不是 不能，要先移项化成 … = 0 的形式 x(x + 5) = 0 是 能：x = 0 或 x + 5 = 0 x(x + 5) = 6 不是 不能，要先移项、再分解 − 4 = 0 不是乘积形式 先分解成 (x + 2)(x − 2) = 0，再拆 (2x − 1)(x + 3) = 0 是 能：2x − 1 = 0 或 x + 3 = 0 四、因式分解法的四步 1. 四个步骤（教材 P13 方法总结） ① 移项：把方程的右边化为 0； ② 分解：把方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③ 转化：令每个一次因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； ④ 求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 ★ 口诀：右化零，左分解；两因式，各求解。 2. 用四步法解教材例 4 图 2　因式分解法解一元二次方程的四步，以及教材例 4（1）的逐步变形 例 1（教材 P13 例 4）　用因式分解法解下列方程： 　(1) x(x − 2) + x − 2 = 0；　　(2) 5 − 2x − = − 2x + 。 解 (1)：把 (x − 2) 看作一个整体，提出公因式： 　　x(x − 2) + (x − 2) = 0，即 (x − 2)(x + 1) = 0。 　　于是 x − 2 = 0 或 x + 1 = 0，所以 = 2， = −1。 解 (2)：移项、合并同类项，得 4 − 1 = 0。左边用平方差公式分解，得 (2x + 1)(2x − 1) = 0。 　　于是 2x + 1 = 0 或 2x − 1 = 0，所以 = −， = 。 五、三种常用的分解方式 图 3　左边分解因式的三种常用方式（依次对应下面的例 2、例 4、例 5） 1. 提公因式法 例 2　用因式分解法解方程 3 = 6x。 解：移项，得 3 − 6x = 0。左边提出公因式 3x，得 3x(x − 2) = 0。 　　于是 3x = 0 或 x − 2 = 0，所以 = 0， = 2。 2. 整体提公因式 例 3　用因式分解法解方程 = 2(x − 3)。 解：移项，得 − 2(x − 3) = 0。把 (x − 3) 看作一个整体，提出公因式，得 　　(x − 3)(x − 3 − 2) = 0，即 (x − 3)(x − 5) = 0。 　　于是 x − 3 = 0 或 x − 5 = 0，所以 = 3， = 5。 3. 平方差公式 例 4　用因式分解法解方程 4 − 25 = 0。 解：左边用平方差公式分解，得 (2x + 5)(2x − 5) = 0。 　　于是 2x + 5 = 0 或 2x − 5 = 0，所以 = −， = 。 4. 完全平方公式 例 5　用因式分解法解方程 − 8x + 16 = 0。 解：左边用完全平方公式分解，得 = 0。 　　于是 x − 4 = 0，所以 = = 4。两个因式相同，方程有两个相等的实数根。 六、易错点：不能两边约去含未知数的因式 教材 P13 提醒：不能在方程两边随意约去含未知数的代数式。 例 6　解方程 3x(x − 1) = 2(x − 1)。 ✗ 错解：两边同除以 (x − 1)，得 3x = 2，所以 x = 。—— 这样把根 x = 1 除「丢」了。 ★ 为什么错：除以 (x − 1) 的前提是 x − 1 ≠ 0，即 x ≠ 1；而当 x = 1 时，左边 = 0，右边 = 0，等式成立，所以 x = 1 也是原方程的根。 ✓ 正解：移项，得 3x(x − 1) − 2(x − 1) = 0；提出公因式 (x − 1)，得 (x − 1)(3x − 2) = 0。 　　于是 x − 1 = 0 或 3x − 2 = 0，所以 = 1， = 。 七、基础题 用因式分解法解下列方程 例 7　9 = 。 解：移项，得 9 − = 0，即 − = 0。左边用平方差公式分解，得 　　[3x + (x − 2)][3x − (x − 2)] = 0，即 (4x − 2)(2x + 2) = 0。 　　于是 4x − 2 = 0 或 2x + 2 = 0，所以 = ， = −1。 例 8　 = 4。 解：移项，得 − 4 = 0，即 − = 0。 　　左边用平方差公式分解，得 (2x − 3 + 2)(2x − 3 − 2) = 0，即 (2x − 1)(2x − 5) = 0。 　　于是 2x − 1 = 0 或 2x − 5 = 0，所以 = ， = 。 ◆ 想一想：本题也可以直接开平方：2x − 3 = ±2，同样得到两个根。这就是下一节要练的「方法选择」—— 挑最省力的那条路。 八、提升题 1. 先变形，再整体提公因式 例 9　用因式分解法解方程 2 = − 9。 解：移项，得 2 − ( − 9) = 0。注意到 − 9 = (x + 3)(x − 3)，于是 　　2 − (x + 3)(x − 3) = 0，即 (x − 3)[2(x − 3) − (x + 3)] = 0。 　　化简括号内，得 (x − 3)(x − 9) = 0，所以 = 3， = 9。 例 10　用因式分解法解方程 + 2x(x + 1) = 0。 解：左边两项都含因式 (x + 1)，提出公因式，得 (x + 1)[(x + 1) + 2x] = 0，即 (x + 1)(3x + 1) = 0。 　　于是 x + 1 = 0 或 3x + 1 = 0，所以 = −1， = −。 例 11　已知关于 x 的方程 + bx + c = 0 可以化成 (x − 3)(x + 2) = 0 的形式，求 b、c 的值及方程的根。 解：把 (x − 3)(x + 2) 展开： 　　(x − 3)(x + 2) = + 2x − 3x − 6 = − x − 6。 　　与 + bx + c 比较，得 b = −1，c = −6；由 (x − 3)(x + 2) = 0 得 = 3， = −2。 ◆ 提示：「因式分解」与「整式乘法」是互逆的两个过程，把乘积展开就能把因式分解的形式还原成一般形式。 九、易错清单与错解辨析 1. 常见错误清单 易错点 错误表现 正确做法 右边不是 0 就分解 由 (x − 2)(x + 1) = 3 直接得 x − 2 = 3 或 x + 1 = 3 先移项化成 … = 0，再令各因式为 0 两边约去含未知数的因式 解 3x(x − 1) = 2(x − 1) 时约去 (x − 1)，只得 x = 移项、提公因式，得 (x − 1)(3x − 2) = 0 分解不彻底 把 4 − 25 写成 就当作分解完成 用平方差分解成 (2x + 5)(2x − 5) 漏写「或」 写成「x − 2 = 0 且 x + 1 = 0」 两个因式是「或」的关系：x − 2 = 0 或 x + 1 = 0 把相等的根写成一个 解 = 0 只写 x = 4 写成 = = 4，说明有两个相等的实数根 符号出错 由 2x + 5 = 0 得 x = 移项要变号：2x = −5，所以 x = − 2. 错解辨析 【题】解方程 x(x − 1) = x。 ✗ 错解：两边同除以 x，得 x − 1 = 1，所以 x = 2。 ✗ 错因：两边同除以 x，默认了 x ≠ 0，把 x = 0 这个根偷偷丢掉了。（把 x = 0 代入原方程：左边 = 0，右边 = 0，确实成立。） ✓ 正解：移项，得 x(x − 1) − x = 0；提出公因式 x，得 x(x − 1 − 1) = 0，即 x(x − 2) = 0。 　　于是 x = 0 或 x − 2 = 0，所以 = 0， = 2。 十、知识结构与方法总结 1. 本节知识结构 基本依据 若 a·b = 0，则 a = 0 或 b = 0（右边必须是 0） 解题四步 右化零 → 左分解 → 两因式各为 0 → 求解 三种分解 提公因式法（含整体思想）、平方差公式、完全平方公式 核心思想 降次转化：一元二次方程 → 两个一元一次方程 2. 拓展了解：把 + px + q 分解成 (x + a)(x + b) 教材习题里用多项式乘法引出了这样一条关系： 　　(x + a)(x + b) = + (a + b)x + ab。 把它倒过来用，就能反过来分解： + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)。例如 + 6x + 8 = + (2 + 4)x + 2 × 4 = (x + 2)(x + 4)； − 3x − 4 = + (1 − 4)x + 1 × (−4) = (x + 1)(x − 4)。 ◆ 说明：这条式子的道理只是「整式乘法倒过来用」，把结果展开一遍就能验证对错。用它能把某些二次三项式更快地分解成两个一次因式的乘积，但它并不是本节要求掌握的方法 —— 本节只要求用提公因式法、平方差公式与完全平方公式分解因式。 十一、怎样选择解法 1. 四种方法的对比 解法 适用特点 一般步骤 直接开平方法 方程能化成 = p（p ≥ 0）的形式 两边开平方，得 x + m = ± 配方法 所有一元二次方程（方程左边容易配方时更方便） 移项 → 二次项系数化为 1 → 配方 → 开平方 公式法 所有一元二次方程（万能法） 化一般形式 → 定 a、b、c → 算 Δ → 代入求根公式 因式分解法 能化成两个一次因式乘积为 0 的形式（最简便） 右化零 → 左分解 → 两因式各为 0 → 求解 2. 用适当的方法解下列方程 例 12　选择适当的方法解下列方程： 　(1) = 9；　　(2) + 4x = 2； 　(3) − 3x + 1 = 0；　　(4) 2 − x = 0。 解 (1)：左边是完全平方，用直接开平方法：x − 2 = ±3，所以 = 5， = −1。 解 (2)：左边不能直接分解，用配方法： + 4x + 4 = 6，即 = 6，所以 = −2 + ， = −2 − 。 解 (3)：左边不能分解，用公式法：a = 1，b = −3，c = 1，Δ = 9 − 4 = 5 > 0，所以两根为 。 解 (4)：左边有公因式 x，用因式分解法：x(2x − 1) = 0，所以 = 0， = 。 ★ 小结：先观察方程的特征 —— 有完全平方就开平方，有公因式就提公因式，都不行就上公式法（万能）。 十二、课后巩固（对接教材 P14 练习） 1. 教材 P14 练习　用因式分解法解下列方程 (1) 4 − 121 = 0；　　(2) 3x(2x + 1) = 4x + 2；　　(3) = 。 答案： (1) 平方差分解，得 (2x + 11)(2x − 11) = 0，所以 = −， = ； (2) 移项，得 3x(2x + 1) − 2(2x + 1) = 0，即 (2x + 1)(3x − 2) = 0，所以 = −， = ； (3) 移项，得 − = 0，用平方差分解，得 (1 − x)(3x − 9) = 0，所以 = 1， = 3。 2. 补充练习（自编） (4) + x = 0；　　(5) 2 = 3(x − 1)；　　(6) − 10x = 0。 答案：(4) 提公因式得 x(x + 1) = 0， = 0， = −1； 　　(5) 移项得 (x − 1)(2x − 5) = 0， = 1， = ； 　　(6) 提公因式得 x(x − 10) = 0， = 0， = 10。 十三、本课技能自查 技　能 掌握情况 对应例题 说出因式分解法解方程的依据（零乘积性质） □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 一、二 把方程化成一边为 0 的形式 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 6、例 7 用提公因式法（含整体思想）解方程 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 2、例 3 用平方差、完全平方公式解方程 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 4、例 5 避免「两边约去含未知数因式」的漏根错误 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 六、九 根据方程特征选择适当的方法解方程 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 12 十四、知识追问 为什么因式分解法必须先把右边化为 0？ 因为零乘积性质「若 a·b = 0，则 a = 0 或 b = 0」只对「积为 0」成立；若右边不是 0，就无法确定每个因式的取值。 解 x(x − 1) = x 时，为什么不能两边约去 x？ 除以 x 默认了 x ≠ 0，而 x = 0 恰好也是原方程的根，约去就会漏根。正确做法是移项、提公因式。 为什么 (x − 2)(x + 1) = 0 就能直接得到两个一元一次方程？ 两个数相乘得 0，其中至少有一个是 0，于是 x − 2 = 0 或 x + 1 = 0，二次方程就这样降次成了两个一次方程。 为什么 − 2x + 1 = 0 只解出 x = 1，却说「有两个相等的实数根」？ 它分解成 = 0，两个因式都等于 x − 1，令其为 0 得到两个相同的根，所以记作 = = 1。 十五、书写规范与解法再探 1. 规范的书写格式（以例 2 为例） 解方程 3 = 6x。 解：移项，得 3 − 6x = 0；　　← ① 右化零 　　　左边分解因式，得 3x(x − 2) = 0；　　← ② 左分解 　　　于是 3x = 0 或 x − 2 = 0；　　← ③ 两因式各为 0 　　　所以 = 0， = 2。　　← ④ 求解 ★ 提醒：移项后右边留 0；两个因式是「或」；两根分别写成 、。 2. 一题多解：教材例 4（1） 解法 过　程 点评 解法一（整体提公因式） x(x − 2) + (x − 2) = 0，提公因式得 (x − 2)(x + 1) = 0，得 = 2， = −1。 不必展开，最简便 解法二（先整理再分解） 去括号、合并得 − x − 2 = 0，再把它分解成 (x − 2)(x + 1) = 0（把右边展开即可验证），同样得两根。 结果相同，多一步整理 3. 养成检验的习惯 ◆ 把求出的根代回原方程，看左右两边是否相等。例如把 x = 2 代入 3 = 6x：左边 = 3 × = 12，右边 = 6 × 2 = 12，两边相等，所以 x = 2 确实是原方程的根。 学科网（北京）股份有限公司 $