一元二次方程及其解法（二）学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

一元二次方程及其解法（二）（学案）-人教版九年级数学 知识纵横 1．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 2．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 3．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 例题解析 例1、解方程： （1）x2﹣3x﹣2＝0； （2）（x+1）2＝7x+7 例2、（l）计算：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣3）； （2）解方程（2x+1）2＝3（2x+1）． 例3、解方程：（1）x2﹣6x+8＝0 （2）x（2x﹣3）+4x﹣6＝0． 例4、大家知道在用配方解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进行配方，现请你阅读如下方程，并按照此方法解方程（2）． 方程（1）2x2﹣2x﹣3＝0 解：2x2﹣2x﹣3＝0 （x）2﹣2x+1＝3+1， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x1，x2 方程（2）3x2﹣2x＝2． 例5、（1）阅读下面的例题： 解方程x2﹣|x|﹣2＝0． 解：分两种情况讨论： ①当x≥0时，原方程为：x2﹣x﹣2＝0． 解之得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）； ②当x＜0时，原方程为：x2+x﹣2＝0． 解之得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）． ∴综上所述，原方程的根是：x＝±2． （2）请参照例题解方程：①x2﹣|x|﹣6＝0　　 　②x2﹣|x﹣1|﹣1＝0． 例6、已知x2+xy+y＝12，y2+xy+x＝18，求代数式3x2+3y2﹣2xy+x+y的值． 例7、阅读下列材料 计算：（1）×（）﹣（1）（），令t，则： 原式＝（1﹣t）（t）﹣（1﹣t）t＝tt2t+t2 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算： （2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 例8、解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①， 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到　 　的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． （3）解方程 x2﹣3|x|＝18． 例9、阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0． 解得：y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4﹣10x2+9＝0． （2）解方程：1． （3）若实数x满足x23x2，求x的值． 例10、阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式，（期中m，k为常数）， 则x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，其中m＝1，k＝2． （1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值． （2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值． 例11、阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6 ③ 显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1． ∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根． 例12、设方程x2﹣kx﹣7＝0和x2﹣6x﹣（k+1）＝0有公共根，试求k的值． 例13、已知关于x的方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0的一个根与关于x的方程x2+2016x﹣m2+3m＝0的一个根互为相反数，求m的值． 例14、一元二次方程x2﹣2x0的某个根，也是一元二次方程x2﹣（k+2）x0的根，求k的值． 能力提高 一．解答题（共9小题） 1．解方程： （1）2x2+x﹣3＝0（用公式法） （2）（x﹣1）（x+3）＝12 （3）2y2+4y＝y+2 （4）x2﹣2x+2＝0． 2．（2y+1）2+3（2y+1）+2＝0． 3．已知a2﹣3a+1＝0，求a2的值． 4．关于x的方程3x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，求方程的另一个根及m的值． 5．已知a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，求代数式的值． 6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1，且a、b满足b3，求关于y的方程y2﹣c＝0的根． 7．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足a+b+c＝O，那么我们称这样的方程为“风凰”方程． 已知：ax2+bx+c＝0（a≠0）是“风凰”方程． 求证：1必是该方程的一个根（用两种不同方法证明） 8．先阅读，再解题 解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1；y2＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2，当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5 请利用上述这种方法解方程：（2x﹣5）2﹣4（5﹣2x）+3＝0． 9．试求出所有的正整数a，使得关于x的二次方程ax2+（4a﹣1）x+2（2a﹣3）＝0至少有一个整数根． - - 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程及其解法（二）（学案·含答案解析）-人教版九年级数学 知识纵横 1．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 2．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 3．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 例题解析 例1、解方程： （1）x2﹣3x﹣2＝0； （2）（x+1）2＝7x+7 【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可； （2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2﹣3x﹣2＝0， 这里a＝1，b＝﹣3，cc＝﹣2， b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17， x， x1，x2； （2）（x+1）2＝7x+7， （x+1）2﹣7（x+1）＝0， （x+1）（x+1﹣7）＝0， x+1＝0，x+1﹣7＝0， x1＝﹣1，x2＝6． 例2、（l）计算：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣3）； （2）解方程（2x+1）2＝3（2x+1）． 【分析】（1）根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）原式＝a2﹣4﹣a2+3a＝3a﹣4 （2）∵（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（2x﹣2）＝0， 则2x+1＝0或2x﹣2＝0， 解得． 例3、解方程： （1）x2﹣6x+8＝0 （2）x（2x﹣3）+4x﹣6＝0． 【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0， 可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝2，x2＝4； （2）分解因式得：（2x﹣3）（x+2）＝0， 可得2x﹣3＝0或x+2＝0，解得：x1＝1.5，x2＝﹣2． 例4、大家知道在用配方解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进行配方，现请你阅读如下方程，并按照此方法解方程（2）． 方程（1）2x2﹣2x﹣3＝0 解：2x2﹣2x﹣3＝0 （x）2﹣2x+1＝3+1， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x1，x2 方程（2）3x2﹣2x＝2． 【解答】解：（x）2﹣2x+（）2＝2+（）2 （x）2＝4 ±2 x1，x2 例5、（1）阅读下面的例题： 解方程x2﹣|x|﹣2＝0． 解：分两种情况讨论： ①当x≥0时，原方程为：x2﹣x﹣2＝0． 解之得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）； ②当x＜0时，原方程为：x2+x﹣2＝0． 解之得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）． ∴综上所述，原方程的根是：x＝±2． （2）请参照例题解方程： ①x2﹣|x|﹣6＝0　　　②x2﹣|x﹣1|﹣1＝0． 【解答】解：①当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2（不合题意，舍去）； 当x＜0时，原方程化为x2+x﹣6＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3． ②当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）． 当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）． 故原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2． 例6、已知x2+xy+y＝12，y2+xy+x＝18，求代数式3x2+3y2﹣2xy+x+y的值． 【分析】分别将已知的两个等式相加和相减，得到（x+y）2+（x+y）＝30，（x﹣y）（x+y﹣1）＝﹣6，求出x，y的值，再求代数式的值即可． 【解答】解：由x2+xy+y＝12①，y2+xy+x＝18②， ①﹣②，得（x﹣y）（x+y﹣1）＝﹣6， ①+②，得（x+y）2+（x+y）＝30， ∴（x+y+6）（x+y﹣5）＝0， ∴x+y＝﹣6或x+y＝5， ∴x﹣y或x﹣y， ∴或， ∴3x2+3y2﹣2xy+x+y＝3（x+y）2﹣6xy﹣2xy+x+y＝3（x+y）2﹣8xy+（x+y）， ∴3x2+3y2﹣2xy+x+y＝3×36﹣8×（）×（）+（﹣6） 或3x2+3y2﹣2xy+x+y＝3×25﹣85． 例7、阅读下列材料 计算：（1）×（）﹣（1）（），令t，则： 原式＝（1﹣t）（t）﹣（1﹣t）t＝tt2t+t2 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算： （2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【分析】（1）仿照材料内容，令t代入原式计算． （2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【解答】解：（1）令t，则： 原式＝（1﹣t）（t）﹣（1﹣t）t＝tt2t+t2 （2）令a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣4 当x2+4x＝﹣4时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 例8、解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①， 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到　降次　的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． （3）解方程 x2﹣3|x|＝18． 【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程． （2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程． （3）设|x|＝y，原方程可化为y2﹣3y﹣18＝0，求出y的值，再解绝对值方程． 【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元法达到 降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案是：换元 降次； （2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣2． 由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2． 由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0， b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无解． 所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2． （3）原方程可化为|x|2﹣3|x|﹣18＝0， 设|x|＝y，原方程可化为y2﹣3y﹣18＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣3． 由|x|＝6，得x1＝﹣6，x2＝6． 由|x|＝﹣3，此时方程无解． 所以原方程的解为x1＝﹣6，x2＝6． 例9、阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0．解得：y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．（2）解方程：1． （3）若实数x满足x23x2，求x的值． 【分析】（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，求得a的值之后，继而可得x2＝1或x2＝9，解之即可；（2）设m，则原方程可化为m1，即m2﹣m﹣2＝0，求得m的值后，即可得1、2，解之即可；（3）设xy，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，解之求得y之后，即可得． 【解答】解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0， 即（a﹣1）（a﹣9）＝0，解得：a＝1或a＝9， 当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3； （2）设m，则原方程可化为m1，即m2﹣m﹣2＝0， ∴（m+1）（m﹣2）＝0，解得：m＝﹣1或m＝2， 当m＝﹣1时，1，即x2+x+1＝0，由△＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此时方程无解； 当m＝2时，2，即2x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1或x， 经检验x＝1和x都是原分式方程的解； （3）设xy，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0， ∴（y+1）（y﹣4）＝0， 解得：y＝﹣1或y＝4， 即x1（方程无解，舍去）或x4，故x4． 例10、阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式，（期中m，k为常数）， 则x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，其中m＝1，k＝2． （1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值． （2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值． 【分析】（1）根据完全平方公式的结构，按照要求x2+6x+15＝x2+6x+32+6＝（x+3）2+6，可知m＝3．k＝6，从而得出答案． （2）根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣6x+a＝x2﹣6x+9﹣9+a＝（x﹣3）2+a﹣9＝（x﹣b）2﹣1，即可知b＝3，a﹣9＝﹣1，然后将求得的a、b的值代入b﹣a，并求值即可． 【解答】解：（1）x2+6x+15 ＝x2+6x+32+6 ＝（x+3）2+6， 可知m＝3．k＝6； （2）∵x2﹣6x+a＝x2﹣6x+9﹣9+a＝（x﹣3）2+a﹣9＝（x﹣b）2﹣1， ∴b＝3，a﹣9＝﹣1，即a＝8，b＝3，故b﹣a＝﹣5． 例11、阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6 ③ 显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1． ∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根． 【解答】解：设相同实根是a 则a2+ka﹣1＝0，a2+a+k﹣2＝0， 相减得（k﹣1）a﹣1﹣k+2＝0，即（k﹣1）a＝k﹣1， 若k＝1，则两个方程都是x2+x﹣1＝0，有两个相同的根和． 若k≠1，则a1，即相同实根是x＝1， 代入方程，得12+k×1﹣1＝0，k＝0， 综上当k＝0或k＝1时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根． 例12、设方程x2﹣kx﹣7＝0和x2﹣6x﹣（k+1）＝0有公共根，试求k的值． 【分析】由于两方程有公共解，所以将二者组成方程组，求出k的值． 【解答】解：， ②﹣①得，（﹣6+k）x+（6﹣k）＝0， 当﹣6+k＝0，即k＝6时，x取任意值，两个方程得解都相同．方程得解是x1＝7，x2＝﹣1； 当k≠6时，解得x＝1． 把x＝1代入x2﹣kx﹣7＝0得，1﹣k﹣7＝0，k＝﹣6． 于是两方程为：x2+6x﹣7＝0③，x1＝1，x2＝﹣7． x2﹣6x+5＝0④，x1＝1，x2＝5． 综上所述，当k＝6时，x取任意值，两个方程得解都相同；当k＝﹣6；其公共根为1． 例13、已知关于x的方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0的一个根与关于x的方程x2+2016x﹣m2+3m＝0的一个根互为相反数，求m的值． 【分析】设这两个方程的根分别为a和﹣a，把x＝a代入方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0，得a2﹣2016a+m2﹣3m＝0①；再把x＝﹣a代入方程x2+2016x﹣m2+3m＝0，得a2﹣2016a﹣m2+3m＝0②，①﹣②消去a得：2m2﹣6m＝0，解方程即可求出m的值． 【解答】解：设这两个方程的根分别为a和﹣a． 把x＝a代入方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0，得a2﹣2016a+m2﹣3m＝0①； 再把x＝﹣a代入方程x2+2016x﹣m2+3m＝0，得a2﹣2016a﹣m2+3m＝0②， ①﹣②消去a得：2m2﹣6m＝0，解得m＝3或m＝0． 例14、一元二次方程x2﹣2x0的某个根，也是一元二次方程x2﹣（k+2）x0的根，求k的值． 【分析】利用配方法求出方程x2﹣2x0的解，将求出的解代入x2﹣（k+2）x0中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值． 【解答】解：x2﹣2x0，移项得：x2﹣2x， 配方得：x2﹣2x+1，即（x﹣1）2，开方得：x﹣1＝±， 解得：x1，x2，△＝（k+2）2﹣9≥0，即k≥1或k≤﹣5， ①根据题意把x代入x2﹣（k+2）x0得：（）2（k+2）0，解得：k； ②把x代入x2﹣（k+2）x0得：（）2（k+2）0， 解得：k＝﹣7， 综上所述，k的值为﹣7或． 能力提高 一．解答题（共9小题） 1．解方程： （1）2x2+x﹣3＝0（用公式法） （2）（x﹣1）（x+3）＝12 解：（1）2x2+x﹣3＝0， 解：整理得：x2+2x﹣15＝0 这里a＝2，b＝1，c＝﹣3， 分解因式得：（x﹣3）（x+5）＝0 ∵△＝b2﹣4ac＝1+24＝25， 可得x﹣3＝0或x+5＝0 ∴x， 解得：x1＝3，x2＝﹣5 则x1＝1，x2； （3）2y2+4y＝y+2， （4）x2﹣2x+2＝0 解：整理得：2y2+3y﹣2＝0， 解：这里a＝1，b＝2，c＝2 分解因式得：（y+2）（2y﹣1）＝0， ∵△＝b2﹣4ac＝20﹣8＝12 可得y+2＝0或2y﹣1＝0， ∴x± 解得：y1＝﹣2，y2； 则x1，x2 2．（2y+1）2+3（2y+1）+2＝0． 解：设2y+1＝t．则由原方程，得t2+3t+2＝0， ∴（t+1）（t+2）＝0，∴t+1＝0或t+2＝0， 解得t＝﹣1或t＝﹣2； ①当t＝﹣1时，2y+1＝﹣1，解得y＝﹣1； ②当t＝﹣2时，2y+1＝﹣2，解得y． 综上所述，原方程的解是：y＝﹣1或y． 3．已知a2﹣3a+1＝0，求a2的值． 【分析】显然a不为0，已知等式两边都除以a，即可求出a3，将a3两边平方，利用完全平方公式展开，即可解答． 解：a2﹣3a+1＝0， 等式两边都除以a，得到：a3， 将a3两边平方得：a2+29，即a27． 4．关于x的方程3x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，求方程的另一个根及m的值． 【解答】解：把x＝﹣1代入方程3x2﹣2x+m＝0得3+2+m＝0，解得m＝﹣5， 设方程的另一个根为t，则﹣1•t， 所以t， 即方程的另一个根为． 5．已知a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，求代数式的值． 【解答】解：∵a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根， ∴a2+3a+1＝0， ∴a2+3a＝﹣1， ∴ ＝﹣3． 6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1，且a、b满足b3，求关于y的方程y2﹣c＝0的根． 【解答】解：∵a，b满足b3， ∵a﹣2≥0，2﹣a≥0， ∴a＝2， 把a＝2代入b3， 得b＝﹣3， ∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1， ∴a+b+c＝0，又a＝2，b＝﹣3， ∴c＝1， ∴关于y的方程y2＝1， 解得y1＝2，y2＝﹣2． 7．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足a+b+c＝O，那么我们称这样的方程为“风凰”方程． 已知：ax2+bx+c＝0（a≠0）是“风凰”方程． 求证：1必是该方程的一个根（用两种不同方法证明） 【分析】方法一：由“风凰”方程的定义，可知ax2+bx+c＝0满足a+b+c＝0，可得：当x＝1时，有a+b+c＝0．故问题可证明； 方法二：将c＝﹣a﹣b代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可． 【解答】证明：方法一：∵ax2+bx+c＝0（a≠0）是“风凰”方程， ∴a+b+c＝0，即a×12+b×1+c＝0， ∴1必是该方程的一个根； 方法二：∵ax2+bx+c＝0（a≠0）是“风凰”方程， ∴a+b+c＝0， ∴c＝﹣a﹣b， 原方程化为ax2+bx﹣a﹣b＝0， 即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）＝0， ∴（x﹣1）（ax+a+b）＝0， ∴1必是该方程的一个根． 8．先阅读，再解题 解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1；y2＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2，当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5 请利用上述这种方法解方程：（2x﹣5）2﹣4（5﹣2x）+3＝0． 【分析】利用换元法、因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：设2x﹣5＝y， 则原方程可化y2+4y+3＝0， 解得y1＝﹣1，y2＝﹣3， 当y＝﹣1时，即2x﹣5＝﹣1， 解得x＝2， 当y＝﹣3时，即2x﹣5＝﹣3， 解得x＝1， 所以原方程的解为x1＝1，x2＝2． 9．试求出所有的正整数a，使得关于x的二次方程ax2+（4a﹣1）x+2（2a﹣3）＝0至少有一个整数根． 【分析】首先将关于x的二次方程ax2+（4a﹣1）x+2（2a﹣3）＝0整理得到a（x+2）2＝x+6，依此求出a的取值范围，得到x2+3x﹣2≤0，然后得到正整数a的值，最后验证即可． 【解答】解：ax2+（4a﹣1）x+2（2a﹣3）＝0， ax2+4ax+4a＝x+6， a（x+2）2＝x+6， 当x＝﹣2时，a不存在， 所以x≠﹣2， ∵a是正整数， ∴a1， 由（x+2）2＞0得（x+2）2≤x+6， 整理得x2+3x﹣2≤0． 解得：x， 所以x可取﹣3、﹣2（舍去）、﹣1、0， 依次代入a得到： x＝﹣3，a＝3；x＝﹣1，a＝5；x＝0，a＝1.5（舍去）． ∴满足条件的正整数a的值是3和5． - - 学科网（北京）股份有限公司 $