25.3 .3实际问题与一元二次方程第3课时导学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.3 实际问题与一元二次方程（3）

学习目标：

1．理解循环问题（单循环、双循环）的数量模型，能正确建立一元二次方程模型并求解；

2．掌握销售问题中利润与售价、销售量之间的数量关系，能结合题目条件对方程的根进行检验取舍，规范完成实际问题解答.

【一】情景导入：握手问题

生活中聚会握手蕴含有趣的数学计数问题，每两个人之间只握1次手，不重复握手。接下来请通过模拟握手活动开展探究。

问题1：（1）2人两两握手，每人和他人握手_____次，共握手_____次；

（2）3人两两握手，每人和他人握手_____次，共握手_____次；

（3）4人两两握手，每人和他人握手_____次，共握手_____次；

追问：x人两两握手，每人和他人握手________次，共握手_________次.

归纳：n个人，单循环（计数不重复）总次数：__________。

拓展思考：除握手外，生活中还有哪些属于单循环模型的实例？

 

【二】合作探究1：循环问题

若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？（P23探究3）

分析：双循环是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛。（小组交流并回答问题）

问题2：双循环赛制下，n支球队，每一支球队要和其余多少支球队交手？

还需要除以2吗？

请用式子表示双循环总场数：__________。依据题意你可以列出怎样的方程？

 

 

追问：球队数量应该属于哪一类数？据此能否判断这个人说法是否正确？

 

 

归纳：n支队伍，双循环（计数重复）总次数：__________。

【三】合作探究2：销售问题

在销售场景里，售价、销量与利润之间也蕴含着数学模型。某商品的进价是10元，售价是15元，销售量为100件，则该商品的单件利润为______元，总利润为______元。

归纳：单件利润=         ➖          ；总利润=         ✖         。

一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.

问题3：当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？

（先独立填写下表再在组内讨论并完善解答过程）

解：设当每件商品降    元时，该商店每天的销售利润为1200元.

根据题意，得                     整理，得                 ，解得          

追问：解出方程的根是否都符合题意？

 

 

答：当每件商品降价    元时，该商店每天的销售利润为1200元.

思考：结合以上问题，请你归纳利用一元二次方程解决实际问题有哪些基本步骤?

检验时需要注意什么？

基本步骤： ____  →____→____  →____  →____  →____；

求出方程的根后进行检验，既要使结果符合________，又要满足________，

不符合的根要舍去，最后再规范作答。

【四】当堂检测

1.n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？（P23）

 

2.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. （P23）

 

 

3.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在平台上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.若日销售利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（销售问题）

 

 

 

【五】课堂小结·畅谈收获