阶段复习专题讲义-圆的基本性质（内接四边形、正多边形、弧长与扇形面积） 2026--2027学年浙教版数学九年级上册

阶段复习专题精讲-圆的基本性质 （内接四边形、正多边形、弧长与扇形面积）2026年浙教版数学九年级上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，会求圆中相关角度 · 理解正多边形与圆的关系，会由中心角求边数、由边数求中心角 · 掌握正多边形的周长与面积计算，会解决正多边形内接于圆的综合问题 · 掌握弧长公式 l = ，会求弧长与弧的度数 · 掌握扇形面积公式 S = = lr，会求扇形与阴影面积 · 会计算旋转、折叠、传送带等情境中的弧长路径与不规则图形面积 🍗 知识梳理 ✅️ 1.圆内接四边形及其性质 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫四边形的外接圆 性质一：圆内接四边形的对角互补，即 ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180° 性质二：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 逆用：对角互补的四边形一定有外接圆；求角度时优先找「同一段弧所对的圆周角」 概念辨析例题：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A = 70°，则∠C 的度数是（　　） 答案：110° 解析：圆内接四边形对角互补，∠A + ∠C = 180°，所以∠C = 180° - 70° = 110°。若给的是外角，直接用「外角等于内对角」转化即可。 ✅️ 2.正多边形的概念与中心角 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形；正 n 边形有 n 条边、n 个内角 中心角：正多边形外接圆的圆心与相邻两个顶点的连线所夹的角，等于 中心角与边数互求：由中心角求边数 n = ，由边数求中心角 = 正 n 边形每个内角 = ，每个外角 = ，内角和 = (n-2)·180° 概念辨析例题：一个正多边形的中心角为 30°，则该正多边形的边数为（　　） 答案：12 解析：中心角 = ，所以 n = = 12，即正十二边形。中心角与边数成反比，是正多边形最常用的关系。 ✅️ 3.正多边形与圆的关系 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且这两个圆是同心圆 正 n 边形内接于半径 r 的圆：连接圆心与各顶点可把正多边形分成 n 个全等的等腰三角形 正三角形（正六边形）中常出现等边三角形：正六边形半径等于边长，可拆成 6 个等边三角形 正多边形的面积 = n × × 边长 × 边心距（或拆成 n 个全等三角形面积之和） 概念辨析例题：正六边形的边长为 8，求这个正六边形的面积（　　） 答案：96 解析：正六边形可分成 6 个边长为 8 的等边三角形，每个等边三角形面积为 ×82 = 16，所以总面积为 6×16 = 96。核心是把正六边形拆成等边三角形。 ✅️ 4.弧长公式 弧长公式：l = （n 为弧所对圆心角的度数，r 为半径） 由弧长反求圆心角 n = ，或反求半径 r = 整条弧（圆周长）是 n=360° 的特例，即 C = 2πr 旋转、传送带等情境中，某点运动的路径长等于它所扫过的弧长，关键是找准圆心角 概念辨析例题：在半径为 6 的圆中，60° 的圆心角所对的弧长为（　　） 答案：2π 解析：l = = = 2π。代入公式时注意 n 是圆心角的度数（带单位°），半径 r 用长度。 ✅️ 5.扇形面积公式 扇形面积：S = （n 为圆心角度数），或 S = lr（l 为弧长） 两个公式的沟通桥梁是弧长 l = ，已知 l、r 可直接用 S = lr 由扇形面积与弧长可联立反求半径 r 与圆心角 n 圆面积 S = πr2 是 n=360° 的特例，公式要区分「半径 r」与「半径的平方 r2」 概念辨析例题：半径为 6、圆心角为 120° 的扇形面积为（　　）（结果保留 π） 答案：12π 解析：S = = = 12π。也可先求弧长 l = = 4π，再用 S = lr = ×4π×6 = 12π，两条路径结果一致。 ✅️ 6.阴影面积与弧长路径问题 阴影面积常用「割补法」：阴影面积 = 大图形面积 - 空白面积，或拆成若干个规则图形（扇形、三角形、矩形）的和差 旋转问题中某点路径长 = 该点绕旋转中心扫过的弧长，圆心角即旋转角 折叠问题利用轴对称：折痕是垂直平分线，对应点到折痕的距离相等，从而构造全等 传送带、滚动等情境：物体移动的距离等于接触点扫过的弧长，注意区分「转过的角度」与「实际位移」 概念辨析例题：把一块含 30° 角的直角三角板绕点 A 旋转到新位置，使 B、A、C' 三点在一直线上，若 AB = 6，则顶点 B 从开始到结束所经过的路径长为（　　） 答案：4π 解析：B 点绕 A 旋转，旋转角为 120°（30° 角的外角），路径是以 A 为圆心、AB=6 为半径的一段弧，长为 = 4π。关键是找准旋转角（弧所对圆心角）与旋转半径。 🧀 知识总结表 核心公式 内容 常用变形 中心角 n = ，中心角与边数互求 内角和 (n-2)·180° 每个内角 = 弧长 l = n = ，r = 扇形面积 S = = lr 已知 l、r 直接用 lr 正六边形 半径 = 边长 拆成 6 个等边三角形求面积 圆内接四边形 对角互补 外角等于内对角 📩 核心考点 【考点1】圆内接四边形（第1-13题） · 对角互补是核心：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180° · 外角等于内对角，看到外角立即找对应的内对角转化 · 结合圆周角定理：同弧所对圆周角相等，找出「同弧」是求角度的关键 · 半圆直径所对圆周角是直角，可与圆内接四边形性质联合使用 1．（21-22九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级下·浙江丽水·开学考试）如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形内接于，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）如图，为半圆的直径，四边形内接于半圆．为延长线上一点，切半圆于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，四边形为圆内接四边形，为直径，连接，若，则_____． 6．（2024·山东滨州·三模）如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是______． 7．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 8．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则____． 10．（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）已知四边形是的内接四边形，，连接． (1)如图①．求的度数； (2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积． 11．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，四边形为的内接四边形，为四边形的一个外角．求证：． 13．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【考点2】正多边形的中心角与边数（第14-26题） · 中心角 = ，边数 n = ，两者互求 · 正六边形的中心角是 60°，可拆成等边三角形；正八边形中心角 45° · 已知中心角求边数时，先算 n = 再确认是整数 · 正多边形内角、外角、中心角要分清：内角 = ，外角 = 中心角 = 14．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 15．（25-26九年级上·北京·随堂练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 16．（24-25九年级上·福建福州·期中）一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 17．（23-24九年级上·福建莆田·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 18．（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 19．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的内接正六边形的一边，点在弧上，且是的内接正八边形的一边．则是的内接正___________边形的一边． 20．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点O是正八边形的中心，连接、，则_____． 21．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是________（写出个符合题意的数值即可）． 22．（23-24九年级上·浙江台州·期末）图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则_______．      23．（24-25九年级上·内蒙古兴安·期末）如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． 24．（2024·广东东莞·三模）如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为___． 25．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段检测）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 26．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【考点3】正多边形与圆的综合（第27-39题） · 连接圆心与各顶点，把正 n 边形拆成 n 个全等的等腰三角形 · 正六边形：半径等于边长，常拆成 6 个等边三角形；正三角形内接圆时每个圆心角 120° · 求正多边形面积 = n 个三角形面积之和，或用边长 × 边心距公式 · 综合题注意与勾股定理、等边三角形、正方形性质结合，必要时作弦心距 27．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形．若正六边形的半径为1，则这个正六边形的边长为（   ） A．1 B． C． D． 28．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 29．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·江苏宿迁·三模）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　）    A． B． C． D． 31．（2026·山西长治·三模）在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 32．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________．    33．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ____________________． 34．（2024·福建莆田·一模）如图，点G，H，I，J，K，L分别是正六边形各边的中点，则六边形边长为4，六边形与的周长为______．    35．（2025·浙江·模拟预测）如图是一铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和四边形镶嵌而成，，，为各多边形顶点，则的值为________． 36．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是_____． 37．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在半径为1的圆中用等分圆周的方法设计一个“花瓣”图案（阴影部分），则“花瓣”图案的周长是___．（结果保留） 38．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 39．（25-26九年级上·浙江丽水·阶段检测）如图，正六边形内接于． (1)若P是上的动点，连接，求的度数； (2)已知的面积为，求阴影部分的面积． 【考点4】弧长与扇形面积（第40-52题） · 弧长 l = ，扇形面积 S = = lr · 已知弧长与面积可联立求 r、n：先由 S = lr 求 r，再代弧长公式求 n · 阴影面积用割补法：拆成扇形、三角形、矩形的和差，折叠用轴对称找等量 · 旋转、传送带、滚动问题统一转化为「弧长 = 半径 × 圆心角对应的弧」 40．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 41．（2025·贵州贵阳·一模）如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 42．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知正内接于，的半径为2，则的弧长为（    ） A． B． C． D． 44．（22-23九年级下·浙江杭州·开学考试）已知弧长等于，弧所在圆的半径为6，则该弧的度数是___． 45．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为________． 46．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______． 47．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的弧长为_____． 48．（2022·浙江杭州·模拟预测）半径为，圆心角为的扇形面积为 _______________（结果保留． 49．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，求阴影部分的面积（结果保留）． 50．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均在网格线的交点上，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到． (1)请在网格中画出． (2)求点A从开始到结束所经过的路径长． 51．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 52．（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，切于A、B，若，半径为3，求阴影部分面积． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 圆内接四边形两大性质记牢：对角互补、外角等于内对角 · 正多边形抓住中心角：中心角 = ，与边数成反比 · 正六边形的半径等于边长，可直接拆成 6 个等边三角形 · 弧长 l = ，扇形面积 S = = lr，两个公式要能互相转化 · 阴影面积用割补法，先看清由哪些规则图形组成，再算和差 【作业 1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在圆O中，，点A为圆上除B、C外任意一点，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【作业 2】（2025·河南信阳·三模）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【作业 3】（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【作业 4】（2024·四川广元·二模）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处．若折痕，则图中阴影部分的面积为________． 【作业 5】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图是某传送带的部分示意图，是上的一点，的半径为15厘米，当点转动的度数为时，则传送带上的物体向右移动的距离为_______厘米．（结果保留） 【作业 6】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【作业 7】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【作业 8】（23-24九年级下·浙江台州·期中）如图，矩形内接于，，，则图中阴影部分的面积为______． 【作业 9】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为_____． 【作业 10】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积． 【作业 11】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【作业 12】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 【作业 13】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 【作业 14】（23-24九年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【作业 15】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 【作业 16】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知． (1)用直尺和圆规作出圆的内接正六边形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若半径为6，求的长度（结果保留π）． 【作业 17】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 【作业 18】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段复习专题精讲-圆的基本性质 （内接四边形、正多边形、弧长与扇形面积）2026年浙教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，会求圆中相关角度 · 理解正多边形与圆的关系，会由中心角求边数、由边数求中心角 · 掌握正多边形的周长与面积计算，会解决正多边形内接于圆的综合问题 · 掌握弧长公式 l = ，会求弧长与弧的度数 · 掌握扇形面积公式 S = = lr，会求扇形与阴影面积 · 会计算旋转、折叠、传送带等情境中的弧长路径与不规则图形面积 🍗 知识梳理 ✅️ 1.圆内接四边形及其性质 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫四边形的外接圆 性质一：圆内接四边形的对角互补，即 ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180° 性质二：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 逆用：对角互补的四边形一定有外接圆；求角度时优先找「同一段弧所对的圆周角」 概念辨析例题：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A = 70°，则∠C 的度数是（　　） 答案：110° 解析：圆内接四边形对角互补，∠A + ∠C = 180°，所以∠C = 180° - 70° = 110°。若给的是外角，直接用「外角等于内对角」转化即可。 ✅️ 2.正多边形的概念与中心角 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形；正 n 边形有 n 条边、n 个内角 中心角：正多边形外接圆的圆心与相邻两个顶点的连线所夹的角，等于 中心角与边数互求：由中心角求边数 n = ，由边数求中心角 = 正 n 边形每个内角 = ，每个外角 = ，内角和 = (n-2)·180° 概念辨析例题：一个正多边形的中心角为 30°，则该正多边形的边数为（　　） 答案：12 解析：中心角 = ，所以 n = = 12，即正十二边形。中心角与边数成反比，是正多边形最常用的关系。 ✅️ 3.正多边形与圆的关系 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且这两个圆是同心圆 正 n 边形内接于半径 r 的圆：连接圆心与各顶点可把正多边形分成 n 个全等的等腰三角形 正三角形（正六边形）中常出现等边三角形：正六边形半径等于边长，可拆成 6 个等边三角形 正多边形的面积 = n × × 边长 × 边心距（或拆成 n 个全等三角形面积之和） 概念辨析例题：正六边形的边长为 8，求这个正六边形的面积（　　） 答案：96 解析：正六边形可分成 6 个边长为 8 的等边三角形，每个等边三角形面积为 ×82 = 16，所以总面积为 6×16 = 96。核心是把正六边形拆成等边三角形。 ✅️ 4.弧长公式 弧长公式：l = （n 为弧所对圆心角的度数，r 为半径） 由弧长反求圆心角 n = ，或反求半径 r = 整条弧（圆周长）是 n=360° 的特例，即 C = 2πr 旋转、传送带等情境中，某点运动的路径长等于它所扫过的弧长，关键是找准圆心角 概念辨析例题：在半径为 6 的圆中，60° 的圆心角所对的弧长为（　　） 答案：2π 解析：l = = = 2π。代入公式时注意 n 是圆心角的度数（带单位°），半径 r 用长度。 ✅️ 5.扇形面积公式 扇形面积：S = （n 为圆心角度数），或 S = lr（l 为弧长） 两个公式的沟通桥梁是弧长 l = ，已知 l、r 可直接用 S = lr 由扇形面积与弧长可联立反求半径 r 与圆心角 n 圆面积 S = πr2 是 n=360° 的特例，公式要区分「半径 r」与「半径的平方 r2」 概念辨析例题：半径为 6、圆心角为 120° 的扇形面积为（　　）（结果保留 π） 答案：12π 解析：S = = = 12π。也可先求弧长 l = = 4π，再用 S = lr = ×4π×6 = 12π，两条路径结果一致。 ✅️ 6.阴影面积与弧长路径问题 阴影面积常用「割补法」：阴影面积 = 大图形面积 - 空白面积，或拆成若干个规则图形（扇形、三角形、矩形）的和差 旋转问题中某点路径长 = 该点绕旋转中心扫过的弧长，圆心角即旋转角 折叠问题利用轴对称：折痕是垂直平分线，对应点到折痕的距离相等，从而构造全等 传送带、滚动等情境：物体移动的距离等于接触点扫过的弧长，注意区分「转过的角度」与「实际位移」 概念辨析例题：把一块含 30° 角的直角三角板绕点 A 旋转到新位置，使 B、A、C' 三点在一直线上，若 AB = 6，则顶点 B 从开始到结束所经过的路径长为（　　） 答案：4π 解析：B 点绕 A 旋转，旋转角为 120°（30° 角的外角），路径是以 A 为圆心、AB=6 为半径的一段弧，长为 = 4π。关键是找准旋转角（弧所对圆心角）与旋转半径。 🧀 知识总结表 核心公式 内容 常用变形 中心角 n = ，中心角与边数互求 内角和 (n-2)·180° 每个内角 = 弧长 l = n = ，r = 扇形面积 S = = lr 已知 l、r 直接用 lr 正六边形 半径 = 边长 拆成 6 个等边三角形求面积 圆内接四边形 对角互补 外角等于内对角 📩 核心考点 【考点1】圆内接四边形（第1-13题） · 对角互补是核心：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180° · 外角等于内对角，看到外角立即找对应的内对角转化 · 结合圆周角定理：同弧所对圆周角相等，找出「同弧」是求角度的关键 · 半圆直径所对圆周角是直角，可与圆内接四边形性质联合使用 1． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接、， ， ， ． 2． 【答案】A 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【详解】解：四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 3． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质，求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理得， 故选∶B． 4． 【答案】B 【知识点】切线的性质定理、等边对等角、三角形内角和定理的应用、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形，切线的性质定理，三角形内角和定理，等边对等角． 连接，根据切线的性质定理得到，根据得到，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵切半圆于点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5． 【答案】/140度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】根据圆周角定理，可求，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解： ， ， 四边形为 圆内接四边形， ． 6． 【答案】/50度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意知，，则，，进而可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 7． 【答案】/80度 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【详解】解：∵为四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴． 8． 【答案】/度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】连接,则为直角，可以求出的值，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的值． 【详解】解：连接,如图所示． ∵是圆直径， ∴为直角， ∴， ∴, ∵圆周角与圆周角所对同一段弧， ∴, ∴． 9． 【答案】4 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、用勾股定理解三角形 【分析】连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答， 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴在中，； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 10． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知圆内接四边形求角度、求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差是解题的关键． （1）根据题意得到 ，根据得到 ，从而求得，最后根据，即可得到结果； （2）根据题意得到，利用勾股定理得然后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ； （2）∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 11． 【答案】(1) 证明：根据题意得：， ∵， ， (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、已知圆内接四边形求角度 【分析】题目主要考查圆内接四边形的性质，等角对等边的性质，熟练掌握是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，确定，再由等角对等边即可证明； （2）根据题意得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2），， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 12． 【答案】证明：∵四边形为的内接四边形， ， ， ． 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】先根据圆内接四边形性质得出，再结合即可证明结论． 【详解】略 13． 【答案】(1) (2)证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【考点2】正多边形的中心角与边数（第14-26题） · 中心角 = ，边数 n = ，两者互求 · 正六边形的中心角是 60°，可拆成等边三角形；正八边形中心角 45° · 已知中心角求边数时，先算 n = 再确认是整数 · 正多边形内角、外角、中心角要分清：内角 = ，外角 = 中心角 = 14． 【答案】D 【知识点】求正多边形的中心角、已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 15． 【答案】A 【知识点】求正多边形的中心角、已知正多边形的中心角求边数、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A． 16． 【答案】A 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查正多边形中心角度数，掌握正多边形中心角度数计算公式是解题的关键．根据正多边形中心角的计算公式，中心角的度数为，其中为边数．将已知中心角代入公式即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由正多边形中心角的性质可得： 解得： 因此，该正多边形的边数为6． 故选：A． 17． 【答案】D 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【详解】解：∵内接正多边形的中心角为，且， ∴该正多边形的边数是20． 故选：D． 18． 【答案】A 【知识点】求正多边形的中心角、圆周角定理 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 19． 【答案】二十四 【知识点】求正多边形的中心角、已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，连接，先求得、的度数，然后利用除以度数，根据所得的结果进行分析即可得． 【详解】解：连接， ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴是的内接正二十四边形的一边， 故答案为：二十四． 20． 【答案】45 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据是正八边形即可求出． 【详解】解：∵是正八边形， ∴， 故答案为：45． 21． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】求正多边形的中心角、根据旋转的性质求解 【分析】结合正五边形的性质，得出中心角，再根据旋转的性质，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵这是正五边形卡通贴纸 ∴， ∴ 则将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合， 或将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合． 22． 【答案】/ 【知识点】求正多边形的中心角、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、正多边形的外角问题 【分析】连接，，过C作于T，根据在正八边形性质，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质证得，则，进而， 证明等腰直角三角形，求得即可求解． 【详解】解：连接，，过C作于T，    在正八边形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴等腰直角三角形，则， 由勾股定理得， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握正多边形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 23． 【答案】 【知识点】已知正多边形的中心角求边数、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先求出边数，进而即可得解． 【详解】解：多边形边数， ∴内角和为． 故答案为：． 24． 【答案】18 【知识点】求正多边形的中心角、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 25． 【答案】问题一：45；问题二：，；问题三：． 【知识点】求正多边形的中心角、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正多边形的有关运算，含的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含的直角三角形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键． 问题一：根据正八边形分成的八个等腰三角形的顶角组成，可得等腰三角形每个顶角的度数； 问题二：根据及的长可得和的长度，进而可得的长度，的面积，，把相关数值代入计算即可； 问题三：延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为等腰直角三角形，求得正方形的边长后，正八边形的面积正方形的面积4个等腰直角三角形的面积，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成， 每个顶角的度数为：， 故答案为：45； 问题二：作的中垂线交于D，交于E， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三角形， 正八边形的边长为， ∴， ， 正方形的边长为， 正八边形的面积． 26． 【答案】(1) (2) 【知识点】求正多边形的中心角、正多边形和圆的综合、求弧长 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 【考点3】正多边形与圆的综合（第27-39题） · 连接圆心与各顶点，把正 n 边形拆成 n 个全等的等腰三角形 · 正六边形：半径等于边长，常拆成 6 个等边三角形；正三角形内接圆时每个圆心角 120° · 求正多边形面积 = n 个三角形面积之和，或用边长 × 边心距公式 · 综合题注意与勾股定理、等边三角形、正方形性质结合，必要时作弦心距 27． 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查正多边形和圆，连接，得出是等边三角形，可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵六边形是的内接正六边形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴ 故选：A 28． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 29． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 30． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则，   点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是， 故选：C 31． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过 作于 ，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过 作于 ， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， ∵正方形的面积为 ∴这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为 32． 【答案】10 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 33． 【答案】或或 【知识点】折叠问题、正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】分三种情况讨论，设的半径为，分别根据勾股定理，即可求解． 【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点， ∴， 当经过的中点，则， ∴，， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 当经过的中点，即经过的中点，设的中点为， ∴ ∴ 解得： 综上所述，半径为、、 故答案为：或或． 【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握翻折的性质，勾股定理，正方形的性质以及分类讨论是正确解答的关键． 34． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形的相关计算，设正六边形的中心为O，连接，，，可知为等边三角形，通过解直角三角形的相关应用可求出的长，顺次连接正六边形各边的中点G、H、I、J、K、L得到的六边形为正六边形，可知为等边三角形，即可求出结果． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，，，   ，, 为等边三角形， ,, ， ∵顺次连接正六边形各边的中点G、H、I、J、K、L得到的六边形为正六边形， 同理可知为等边三角形， ， 六边形与的周长为， 故答案为：． 35． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、平面镶嵌、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】在图中标出字母如下，过点作延长线于点，连接，作于点，过点作于点，易得四边形和是矩形，再根据正六边形的性质求出每个内角的度数，进而得到是等边三角形，设，易表示出，，，，再利用矩形的性质和勾股定理求解和的长度即可求解． 【详解】解：在图中标出字母如下，过点作延长线于点，连接，作于点，过点作于点， 则四边形和是矩形． 人行道上地板砖由正六边形和四边形镶嵌而成， 正六边的内角为， ， , ，是等边三角形． 设， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，平面镶嵌，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，标出字母，作出辅助线构建直角三角形是解答关键． 36． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、90度的圆周角所对的弦是直径、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】由正六边形可知，，，，由，，可知在以为直径的圆上运动，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则，过作于，则，，则，，，勾股定理得，，根据的最小值为，计算求解即可． 【详解】解：由正六边形可知，，，， ∵，， ∴在以为直径的半圆上运动， 如图，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则， 过作于，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，等边对等角，解直角三角形的相关计算，勾股定理，的圆周角所对的弦为直径．解题的关键在于确定点的运动轨迹． 37． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质、求弧长 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，圆心角，弧长公式，正多边形和圆的综合，掌握知识点是解题的关键． 令圆心为O，花瓣与圆的交点分别为A，B，C，推导出为等边三角形，得到，则，得到“花瓣”图案的周长是，即可解答． 【详解】解：如图，令圆心为O，花瓣与圆的交点分别为A，B，C，有 ，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 则“花瓣”图案的周长是． 故答案为：． 38． 【答案】(1) (2) 与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求解其他问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． （2）略 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆的综合，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 39． 【答案】(1) (2) 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】此题考查了圆内接正六边形问题，圆周角定理，求阴影部分的面积，解题的关键是掌握圆内接正六边形的性质． （）在取一点，连接，利用圆周角定理，进行求解即可； （2）连接，根据阴影部分的面积等于进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，在取一点，连接， ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，则：， ∵正六边形， ∴， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 【考点4】弧长与扇形面积（第40-52题） · 弧长 l = ，扇形面积 S = = lr · 已知弧长与面积可联立求 r、n：先由 S = lr 求 r，再代弧长公式求 n · 阴影面积用割补法：拆成扇形、三角形、矩形的和差，折叠用轴对称找等量 · 旋转、传送带、滚动问题统一转化为「弧长 = 半径 × 圆心角对应的弧」 40． 【答案】B 【知识点】求扇形面积、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故选：B． 41． 【答案】A 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据直接求解即可． 【详解】解：如图，． 故选：A． 42． 【答案】B 【知识点】求四边形外接圆的直径、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 43． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、求弧长 【分析】本题考查了等边三角形的性质、弧长公式、圆周角定理，由等边三角形的性质结合圆周角定理得出，再由弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， 故选：C． 44． 【答案】/120度 【知识点】求圆心角 【分析】设该弧的度数为，根据弧长列方程求解即可． 【详解】解：设该弧的度数为， 根据题意得，， 解得， ∴该弧的度数为． 45． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查弧长公式，弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长． 【详解】解：半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为：． 故答案为：． 46． 【答案】6 【知识点】求扇形半径 【分析】根据扇形的面积公式，将已知的弧长与面积代入公式，即可求解扇形的半径． 【详解】解：设扇形的半径为，已知扇形的弧长，面积． 由扇形面积公式，可得 化简得 两边同时除以，得． 47． 【答案】 【知识点】求扇形面积、求弧长 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积公式、弧长公式． 根据扇形的面积公式求出半径，再代入弧长公式计算弧长． 【详解】解：设扇形的半径为， 由扇形的面积公式， 代入已知数据得， 解得， （取正值）， 由弧长公式 ， 得． 故答案为：． 48． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】根据扇形的面积公式为，将已知扇形的半径和圆心角，代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解： ． 49． 【答案】 【知识点】求扇形面积、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，先求解，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ， 故答案为：． 50． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【知识点】画旋转图形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查作图-旋转变换、轨迹，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作出对应点，再连接即可； （2）点A从开始到结束所经过的路径是以为圆心为半径的圆上弧，利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：点A从开始到结束所经过的路径长为． 51． 【答案】(1) 如图，即为所求,． (2) 【知识点】画旋转图形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴点B的运动路径长为 52． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、求其他不规则图形的面积 【分析】此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．首先根据切线长定理，可求得的度数与，又由直角三角形的性质，可求得的长，然后求得与扇形的面积，由  则可求得结果． 【详解】解：连接与， ∵切于A、B，若， ∴，， ∴， ∵半径为3， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴阴影部分面积为：． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 圆内接四边形两大性质记牢：对角互补、外角等于内对角 · 正多边形抓住中心角：中心角 = ，与边数成反比 · 正六边形的半径等于边长，可直接拆成 6 个等边三角形 · 弧长 l = ，扇形面积 S = = lr，两个公式要能互相转化 · 阴影面积用割补法，先看清由哪些规则图形组成，再算和差 【作业1】 【答案】D 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．分两种情况，根据圆周角定理直接可得答案． 【详解】解：当点A在优弧上时，如图所示： ∵， ； 当点A在劣弧上时，如图所示： ∵， ∴； 故选：D． 【作业2】 【答案】D 【知识点】求正多边形的中心角、含30度角的直角三角形、写出直角坐标系中点的坐标、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出点K的坐标即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【作业3】 【答案】A 【知识点】作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定综合、已知圆内接四边形求角度、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理．分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：B、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； C、由作图知，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，点和点分别是和的中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； A、由作图知，和分别是的角平分线，不能说明和相似，故本选项符合题意； 故选：A． 【作业4】 【答案】 【知识点】折叠问题、求扇形面积、求其他不规则图形的面积、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键． 根据折叠的性质可得，可得，，可得四边形是正方形，再根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵将扇形折叠，点落在弧的中点处， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴，， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为： ． 【作业5】 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意，应用弧长公式即可求解． 【详解】解：（厘米） ∴传送带上的物体向右移动的距离为厘米． 故答案为：． 【作业6】 【答案】 /30度 【知识点】求扇形半径、求圆心角 【分析】根据扇形面积公式结合已知弧长和面积求出扇形半径，再利用弧长公式计算得到圆心角度数． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：， 解得， 将，代入弧长公式得：， 解得， 即该扇形的圆心角为． 【作业7】 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长． 【作业8】 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、求其他不规则图形的面积、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会用转化的扇形解决问题，属于中考常考题型．根据求解即可． 【详解】 四边形是矩形，， ， ，， ， ， 故答案为：． 【作业9】 【答案】 【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、已知圆内接四边形求角度 【分析】连接，，过点作，垂足为，由圆内接四边形对角互补可得，由圆周角定理可得，再由可得，由角所对直角边等于斜边的一半可得长，利用勾股定理求出，由垂径定理得，即可得出． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰三角形性质，角所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，垂径定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【作业10】 【答案】． 【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了正多边形和圆，扇形的面积．作，求得，利用扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，垂足为， 由题意得，则， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【作业11】 【答案】周长，面积 【知识点】求正多边形的中心角、正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 【作业12】 【答案】(1) 证明：如图，取的中点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形有外接圆； (2) 解：∵正边形是各边长度相等、各内角相等的多边形，其对称中心到所有顶点的距离相等； ∴正边形的所有顶点共圆，外接圆存在． 【知识点】正多边形和圆的综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、求能确定的圆的个数 【分析】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的性质与判定，圆的定义； （1）取的中点，作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而结合已知证明，得出，即可得证 （2）根据正边形的定义可得，对称中心到所有顶点的距离相等，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【作业13】 【答案】(1) (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正多边形与圆、直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，掌握这些是解题的关键． （1）根据正n边形中心角为，即可求解； （2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形性质结合勾股定理求得半径是4，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． 【作业14】 【答案】(1) (2) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【知识点】正多边形和圆的综合、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 【作业15】 【答案】(1) (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是正多边形与圆、锐角三角函数的应用． （1）连接、，作于H，先求出，再由三线合一定理得到，最后根据余弦的定义计算即可； （2）先解直角三角形得到，则，再根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：连接、，作于H， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为； （2）解：在中，， ∴， ∴正六边形的面积． 【作业16】 【答案】(1) 如图，六边形即为所求； (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于半径． （1）连接，以A为圆心，为半径作弧交于B，F，再以B为圆心，为半径作弧交于C，以C为圆心，为半径作弧交于D，以D为圆心，为半径作弧交于E，连接，六边形即为所求； （2）由作图知的长度是周长的，进而可求出的长度． 【详解】（1）略 （2）∵六边形是正六边形， ∴， ∴的长度是周长的， ∴的长度为． 【作业17】 【答案】（1）如图： （2）四边形是矩形．理由如下： 如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【知识点】正多边形和圆的综合、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）由题意可知，因此，故，进而求得四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，因此可得，再由，得，因此，故可证得四边形是矩形． 【详解】解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）略 【作业18】 【答案】(1) (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、根据正方形的性质求面积、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质． （1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数； （2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比． 【详解】（1）解：连接， ∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，设正六边形的边长为． ∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为的等边三角形， ∴， ， ∴正方形的面积为， ∴， 正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $