阶段复习专题精讲 圆的基本性质 培优讲义（知识梳理+典例+练习）2026-2027学年浙教版九年级数学上册

阶段复习专题精讲·圆的基本性质·培优讲义 （概念+圆心角+垂径定理+圆周角）·2026年浙教版九年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解圆的定义与弦、弧、圆心角、圆周角等基本概念，会判断点与圆的位置关系 · 掌握垂径定理及其推论，能结合勾股定理求弦长、半径与弦心距 · 掌握同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系，会进行等弧等弦的证明与计算 · 掌握圆周角定理及其推论：同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角是直角 · 掌握圆内接四边形对角互补的性质，会求圆中相关角度 · 会确定三角形外接圆的圆心（外心），能解决垂径定理的实际应用与尺规作图问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.圆的基本概念与元素 定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点形成的图形叫做圆；定点叫圆心，定长叫半径 弦：连接圆上任意两点的线段；直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦 弧：圆上任意两点间的部分；大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧 等圆与同心圆：半径相等的两个圆是等圆；圆心相同、半径不等的两个圆是同心圆 概念辨析例题：已知⊙O的半径是5，则⊙O中最长的弦长是（　　） 答案：10 解析：圆中最长的弦是直径，直径等于半径的2倍，所以最长弦长为 2×5=10。抓住「直径是圆中最长的弦」这一结论即可直接得解。 ✅️ 2.点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r：d > r 时点在圆外，d = r 时点在圆上，d < r 时点在圆内 判断方法：把点到圆心的距离求出来（常用勾股定理或两点距离公式），再与半径比较 圆外一点到圆的最大距离是 d + r，最小距离是 d - r，两者之差为 2r，由此可反求半径 过圆内一点的最长弦是过该点的直径，最短弦是过该点且垂直于该点与圆心连线的弦 概念辨析例题：圆外一点到圆的最大距离是 9，最小距离是 3，则这个圆的半径为（　　） 答案：3 解析：设点到圆心距离为 d，半径为 r，则 d + r = 9，d - r = 3，两式相减得 2r = 6，所以 r = 3。抓住「最大距离与最小距离之差等于直径」这一结论。 ✅️ 3.垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧 常配套勾股定理：半径 r、弦心距 d、半弦长 满足 r2 = d2 + left( right)2 常用辅助线：作圆心到弦的垂线（弦心距），构造直角三角形；实际情境（拱桥、球形器皿）也用此模型 概念辨析例题：在⊙O中，直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，若 AB = 8，OE = 3，则⊙O的半径长为（　　） 答案：5 解析：由垂径定理得 AE = = 4；在 Rt△AOE 中，OA2 = OE2 + AE2 = 32 + 42 = 25，所以半径 OA = 5。核心是「半径、弦心距、半弦」构成的直角三角形。 ✅️ 4.弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 注意前提「在同圆或等圆中」，不同圆中弧、弦、角不能直接套用 证明等弧常用思路：证圆心角相等 → 得弧相等 → 得弦相等，或反过来 概念辨析例题：在⊙O中，已知弧AB = 弧CD，则 AB 与 CD 的关系是（　　） 答案：AB = CD 解析：在同圆中，由弧相等可得所对的弦相等，故 AB = CD。这是「等弧对等弦」的直接应用，前提是同一个圆（或等圆）。 ✅️ 5.圆周角定理及其推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论一：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论二：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 见到直径优先联想「直径所对圆周角为直角」；见到直角优先联想「所对弦是直径」 概念辨析例题：如图，AB 是⊙O的直径，点 C、D 在⊙O上，若∠ADC = 25°，则∠BAC 的度数为（　　） 答案：25° 解析：∠ADC 与∠ABC 都对着弧AC，同弧所对的圆周角相等，故∠ABC = 25°；又 AB 是直径，∠ACB = 90°，所以∠BAC = 90° - 25° = 65°。注意区分「同弧所对圆周角相等」与「直径所对圆周角为直角」两个结论的配合使用。 ✅️ 6.圆内接四边形与三角形的外接圆 圆内接四边形性质：对角互补，且任意一个外角等于它的内对角 三角形外接圆的圆心叫外心，是三条边垂直平分线的交点；锐角三角形外心在形内，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在形外 确定圆心的方法：在弧上取两条弦，分别作它们的垂直平分线，交点即圆心（残破圆形器皿复原的原理） 直角三角形外接圆半径 R = （c 为斜边）；一般三角形常用勾股定理或等面积法求外接圆半径 概念辨析例题：在圆内接四边形 ABCD 中，若∠A = 80°，则∠C 的度数为（　　） 答案：100° 解析：圆内接四边形对角互补，∠A + ∠C = 180°，所以∠C = 180° - 80° = 100°。若给的是外角，则用「外角等于内对角」直接转化。 🧀 知识总结表 核心结论 内容 常用推论与注意 点与圆的位置 d > r 在圆外，d = r 在圆上，d < r 在圆内 先求点到圆心距离，再与半径比大小 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦并平分弦所对的两条弧 配套勾股：r2 = d2 + ()2 弧弦圆心角关系 同圆或等圆中，等圆心角对等弧、等弦 前提是「同圆或等圆」，跨圆不可用 圆周角定理 同弧所对圆周角等于圆心角的一半 同弧所对圆周角相等；直径所对为直角 圆内接四边形 对角互补，外角等于内对角 求角度的常用突破口 三角形外心 三边垂直平分线的交点 直角三角形外心在斜边中点，R = 📩 核心考点 【考点1】圆的基本概念与点与圆的位置关系（第1-13题） · 区分弦与直径：直径是过圆心的弦，也是圆中最长的弦，长度为 2r · 判断点与圆的位置：先求点到圆心的距离 d（勾股定理或坐标距离公式），再与 r 比较 · 圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差等于直径 2r，可直接反求半径 · 概念辨析题重点识别陷阱：直径是弦但弦不一定是直径；半圆是弧但弧不一定是半圆 1．（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）已知的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）设的半径为4，圆心O的坐标为，点P的坐标是，则点P与圆的位置关系是（    ）． A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．点P在内或上 3．（25-26九年级上·北京·随堂练习）下列说法正确的是（     ） A．圆上任意两点间的部分叫作圆弧 B．圆上任意两点间的线段叫作弧 C．圆上任意两点间的线段长度叫作弧 D．任意两点间的部分叫作弧 4．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 5．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A，B，C在上．若，则的度数为__________ 6．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 7．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，的半径是5，点C是弦延长线上的一点，连结，若，则的长为_______________． 8．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 9．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为________． 10．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为___________． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为________． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点为上的三个点，连接，延长交于点，，若，求的度数． 13．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在中，已知，，． (1)用直尺和圆规作出的外接圆（保留作图痕迹，不必写出作法）； (2)在（1）的条件下，写出中的劣弧_________； (3)若以点A为圆心作，当的半径r满足________时，点B和点C有且只有一个点在内． 【考点2】垂径定理及其应用（第14-26题） · 见到「直径垂直弦」立即用垂径定理：平分弦、平分弧 · 构造直角三角形：连接圆心与弦端点，用 r2 = d2 + ()2 求未知量 · 实际问题（拱桥、球形蒸馏瓶、残破瓷盘）统一转化为垂径定理模型 · 确定圆心用尺规：作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2024·广西梧州·二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·浙江杭州·三模）已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（    ） A．一定等于 B．可能大于 C．不可能大于 D．不可能等于 17．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 18．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 19．（2024·浙江温州·三模）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米． 20．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________．    21．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 22．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 23．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 24．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 25．（23-24九年级上·江西南昌·期中）于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长求半径的长． 26．（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【考点3】弧、弦、圆心角的关系（第27-39题） · 转化链条：圆心角相等 ⇔ 弧相等 ⇔ 弦相等（前提：同圆或等圆） · 证明题常用「等弧对等弦」，再配合等腰三角形性质与全等三角形 · 注意命题真假的判断：缺失「同圆或等圆」前提的结论是假命题 · 旋转情境中抓住旋转角等于圆心角，进而得到弧与弦的关系 27．（2025·海南·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，已知，则与的关系是（　　）    A． B． C． D．不确定 30．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（    ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是_________． 32．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 33．（2026·宁夏银川·二模）如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 34．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 35．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点，，，在在中，若，求证：．    36．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中的弦，求证：． 37．（22-23九年级上·西藏·期末）如图，在中，，求证：． 38．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知，求证：． 39．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A，B，C，D在上，，求证：． 【考点4】圆周角定理与圆内接四边形（第40-52题） · 同弧所对圆周角相等是求角度的第一工具，注意找准「对着哪条弧」 · 见到直径构造直角，见到直角联想直径所对弦，两者互为逆用 · 圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，可与圆周角定理联合使用 · 综合题常用辅助线：连接圆心与关键点、构造直径所对的直角三角形、找外心 40．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 41．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 43．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 44．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为_______． 45．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为________（用含的式子表示）． 46．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是______． 47．（23-24九年级下·四川宜宾·期末）如图，直径，弦，且C、D是半圆的三等分点，则弦、、弧所围成的阴影部分的面积等于_________． 48．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 49．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）如图，已知，求作的外接圆（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求该外接圆的半径． 50．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，弦的延长相交于圆外一点A，连结． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 51．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形内接于一圆，连结． (1)若，求的度数． (2)若为直径，为的中点，请探究与之间的关系． 52．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，的高，交于点，延长交外接圆于点，连接．    (1)求证：； (2)如图，连接，，若平分，求的值； (3)在（2）的条件下，如图，延长交于点，连接，，若，求的面积． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 先把基本结论记牢：d 与 r 比大小定点与圆的位置，直径是最长的弦 · 垂径定理必配勾股定理：半径、弦心距、半弦三者构成直角三角形 · 弧、弦、圆心角的等量转化必须满足「同圆或等圆」这一前提 · 圆周角定理两大用法：同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角是直角 · 圆内接四边形对角互补，求角度时优先看是否构成圆内接四边形 【作业 1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【作业 2】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【作业 3】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【作业 4】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）下列命题是真命题的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等 B．圆心角相等，其所对的弦相等 C．在同圆或等圆中，圆心角不等（除和为外），所对的弦不相等 D．弦相等，它所对的圆心角相等 【作业 5】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【作业 6】（2026·广西柳州·一模）如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 【作业 7】（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留） 【作业 8】（2026·安徽马鞍山·一模）自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【作业 9】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【作业 10】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【作业 11】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 【作业 12】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【作业 13】（24-25九年级上·全国·随堂练习）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹） 【作业 14】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，弦与半径平行，连结交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【作业 15】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，与关于直线对称，为圆心，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若为的中点且，求⊙的半径． 【作业 16】（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【作业 17】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合． (1)求证：； (2)成立吗？为什么． 【作业 18】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段复习专题精讲·圆的基本性质·培优讲义 （概念+圆心角+垂径定理+圆周角）·2026年浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解圆的定义与弦、弧、圆心角、圆周角等基本概念，会判断点与圆的位置关系 · 掌握垂径定理及其推论，能结合勾股定理求弦长、半径与弦心距 · 掌握同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系，会进行等弧等弦的证明与计算 · 掌握圆周角定理及其推论：同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角是直角 · 掌握圆内接四边形对角互补的性质，会求圆中相关角度 · 会确定三角形外接圆的圆心（外心），能解决垂径定理的实际应用与尺规作图问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.圆的基本概念与元素 定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点形成的图形叫做圆；定点叫圆心，定长叫半径 弦：连接圆上任意两点的线段；直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦 弧：圆上任意两点间的部分；大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧 等圆与同心圆：半径相等的两个圆是等圆；圆心相同、半径不等的两个圆是同心圆 概念辨析例题：已知⊙O的半径是5，则⊙O中最长的弦长是（　　） 答案：10 解析：圆中最长的弦是直径，直径等于半径的2倍，所以最长弦长为 2×5=10。抓住「直径是圆中最长的弦」这一结论即可直接得解。 ✅️ 2.点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r：d > r 时点在圆外，d = r 时点在圆上，d < r 时点在圆内 判断方法：把点到圆心的距离求出来（常用勾股定理或两点距离公式），再与半径比较 圆外一点到圆的最大距离是 d + r，最小距离是 d - r，两者之差为 2r，由此可反求半径 过圆内一点的最长弦是过该点的直径，最短弦是过该点且垂直于该点与圆心连线的弦 概念辨析例题：圆外一点到圆的最大距离是 9，最小距离是 3，则这个圆的半径为（　　） 答案：3 解析：设点到圆心距离为 d，半径为 r，则 d + r = 9，d - r = 3，两式相减得 2r = 6，所以 r = 3。抓住「最大距离与最小距离之差等于直径」这一结论。 ✅️ 3.垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧 常配套勾股定理：半径 r、弦心距 d、半弦长 满足 r2 = d2 + left( right)2 常用辅助线：作圆心到弦的垂线（弦心距），构造直角三角形；实际情境（拱桥、球形器皿）也用此模型 概念辨析例题：在⊙O中，直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，若 AB = 8，OE = 3，则⊙O的半径长为（　　） 答案：5 解析：由垂径定理得 AE = = 4；在 Rt△AOE 中，OA2 = OE2 + AE2 = 32 + 42 = 25，所以半径 OA = 5。核心是「半径、弦心距、半弦」构成的直角三角形。 ✅️ 4.弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 注意前提「在同圆或等圆中」，不同圆中弧、弦、角不能直接套用 证明等弧常用思路：证圆心角相等 → 得弧相等 → 得弦相等，或反过来 概念辨析例题：在⊙O中，已知弧AB = 弧CD，则 AB 与 CD 的关系是（　　） 答案：AB = CD 解析：在同圆中，由弧相等可得所对的弦相等，故 AB = CD。这是「等弧对等弦」的直接应用，前提是同一个圆（或等圆）。 ✅️ 5.圆周角定理及其推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论一：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论二：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 见到直径优先联想「直径所对圆周角为直角」；见到直角优先联想「所对弦是直径」 概念辨析例题：如图，AB 是⊙O的直径，点 C、D 在⊙O上，若∠ADC = 25°，则∠BAC 的度数为（　　） 答案：25° 解析：∠ADC 与∠ABC 都对着弧AC，同弧所对的圆周角相等，故∠ABC = 25°；又 AB 是直径，∠ACB = 90°，所以∠BAC = 90° - 25° = 65°。注意区分「同弧所对圆周角相等」与「直径所对圆周角为直角」两个结论的配合使用。 ✅️ 6.圆内接四边形与三角形的外接圆 圆内接四边形性质：对角互补，且任意一个外角等于它的内对角 三角形外接圆的圆心叫外心，是三条边垂直平分线的交点；锐角三角形外心在形内，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在形外 确定圆心的方法：在弧上取两条弦，分别作它们的垂直平分线，交点即圆心（残破圆形器皿复原的原理） 直角三角形外接圆半径 R = （c 为斜边）；一般三角形常用勾股定理或等面积法求外接圆半径 概念辨析例题：在圆内接四边形 ABCD 中，若∠A = 80°，则∠C 的度数为（　　） 答案：100° 解析：圆内接四边形对角互补，∠A + ∠C = 180°，所以∠C = 180° - 80° = 100°。若给的是外角，则用「外角等于内对角」直接转化。 🧀 知识总结表 核心结论 内容 常用推论与注意 点与圆的位置 d > r 在圆外，d = r 在圆上，d < r 在圆内 先求点到圆心距离，再与半径比大小 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦并平分弦所对的两条弧 配套勾股：r2 = d2 + ()2 弧弦圆心角关系 同圆或等圆中，等圆心角对等弧、等弦 前提是「同圆或等圆」，跨圆不可用 圆周角定理 同弧所对圆周角等于圆心角的一半 同弧所对圆周角相等；直径所对为直角 圆内接四边形 对角互补，外角等于内对角 求角度的常用突破口 三角形外心 三边垂直平分线的交点 直角三角形外心在斜边中点，R = 📩 核心考点 【考点1】圆的基本概念与点与圆的位置关系（第1-13题） · 区分弦与直径：直径是过圆心的弦，也是圆中最长的弦，长度为 2r · 判断点与圆的位置：先求点到圆心的距离 d（勾股定理或坐标距离公式），再与 r 比较 · 圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差等于直径 2r，可直接反求半径 · 概念辨析题重点识别陷阱：直径是弦但弦不一定是直径；半圆是弧但弧不一定是半圆 1． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系． 根据圆心A的坐标是，点P的坐标是，可以求得的长，然后用的长与圆的半径比较大小即可判断点P与的位置关系． 【详解】解：∵圆心A的坐标是，点P的坐标是， ∴， ∵的半径为5，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故选：C． 2． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系、坐标与图形 【分析】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形的性质，解题的关键是熟悉半径与两点之间的线段长及点与圆的位置关系． 求得线段的长后与圆的半径比较即可得到答案． 【详解】解：∵圆心O的坐标为，点P的坐标是， ∴， ∵的半径为4， ∴， ∴点P在外． 故选：A． 3． 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】此题考查了圆弧的认识．根据：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，逐一判断即可． 【详解】解：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，圆上任意两点间的线段叫作弦． 观察四个选项，只有选项A说法正确， 故选：A． 4． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、用勾股定理解三角形、利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解． 【详解】解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． 5． 【答案】 【知识点】圆的基本概念辨析、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质可得 ，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6． 【答案】16 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 7． 【答案】 【知识点】圆的基本概念辨析、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及30度角所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据30度角所对的直角边是斜边的一半，得出，再结合勾股定理列式，得，，即可作答． 【详解】解：如图：过点O作，连接 ∵， ∴在中，， ∵的半径是5， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 8． 【答案】内 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在内． 9． 【答案】 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据题意调查到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是半径为5和半径为所组成的环形面积即可．本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：如图， 到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是图中环形， 所以 ． 故答案为：． 10． 【答案】20 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，由点A坐标求长作为半径，则，设与x轴交于点，与y轴交于点，则，，即可求出b、c，在中利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：点到原点O的距离， 故圆的半径为10， ∴， 设与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，， ∵、两点不与原点重合，即，， ∴，， ∴在中，，，由勾股定理得， 则． 故答案为：20． 11． 【答案】/65度 【知识点】圆的基本概念辨析、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）及圆的半径相等的性质，解题的关键是利用圆的半径相等构造等腰三角形，结合直角三角形内角和逐步推导相关角度． 先计算出的度数；由圆的半径相等得，求出的度数；进而求出的度数；再结合求出的度数． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12． 【答案】 【知识点】圆的基本概念辨析、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键．由，，得，，根据等边对等角得，从而，再利用等边对等角及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解： ，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 13． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)， (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、作已知线段的垂直平分线、利用点与圆的位置关系求半径、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查了尺规作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，点和圆的位置关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用尺规作出的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画圆即为所求； （2）根据劣弧的定义求解即可； （3）当经过点C时，求出，然后勾股定理求出，然后求出当经过点B时，，进而求解即可． 【详解】（1）解：连接， 由作图得， ∵， ∴ ∴是的外接圆； （2）解：中的劣弧为，； （3）解：当经过点C时，； ∵，， ∴ 当经过点B时，； ∴当的半径r满足时，点B和点C有且只有一个点在内． 【考点2】垂径定理及其应用（第14-26题） · 见到「直径垂直弦」立即用垂径定理：平分弦、平分弧 · 构造直角三角形：连接圆心与弦端点，用 r2 = d2 + ()2 求未知量 · 实际问题（拱桥、球形蒸馏瓶、残破瓷盘）统一转化为垂径定理模型 · 确定圆心用尺规：作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心 14． 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解： 的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 15． 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握求解的方法是解题的关键． 过点向下作于点，交于点，连接，根据垂径定理得出，根据计算，利用勾股定理计算，最后根据得出答案即可． 【详解】解：如图，过点向下作于点，交于点，连接， ∴，， ∵半径为，瓶内液体最大深度为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 16． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用点与圆的位置关系求半径，解题的关键是根据垂径定理和勾股定理求出． 分为弦是圆的直径和弦不是圆的直径，两种情况进行分析，若弦是圆的直径，则圆的直径是，若弦不是圆的直径，弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，根据矩形的性质得出，根据垂径定理得出，，设圆的半径为，根据勾股定理可求得，即可求解． 【详解】解：如果弦是圆的直径，此时的直径是，故A选项、D选项说法错误； 如果弦不是圆的直径，如图： 弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，，， ∴，， 设圆的半径为，即， 在中，， 在中，， 在中，， 即， 当点在圆上时，， 即， 解得：， 即圆的直径可能等于； 当点在圆内时，， 即， 解得：， 即圆的直径可能小于； 综上，圆的直径不可能大于． 故选：C． 17． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 18． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求同心圆问题、用勾股定理解三角形 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 19． 【答案】20 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接， ， 设半径为米，则米， ∵跨度为24米，， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴这个弧形石拱桥设计的半径为米， 故答案为：． 20． 【答案】5 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理． 连接，先根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，    ∵于点C，， ∴， 在中： ∴． ∴的半径长为5． 故答案为：5 21． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理建立方程求解． 延长交于点，连接，可得，由垂径定理得到，则，设，则，再在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， 解得， ∴的半径为， 故答案为：． 22． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查了垂径定理，先利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为E点，利用垂径定理的推论可判断点E为该圆弧所在圆的圆心，连接，利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：作和的垂直平分线，它们的交点为E点，则点E为该圆弧所在圆的圆心， 连接， 由勾股定理得，， 即圆弧所在圆的半径是， 故答案为：． 23． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】过点作，延长交于点，根据垂径定理可知，利用勾股定理求出，可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，延长交于点， 液面宽的长为， ， ， ， ． 24． 【答案】3 【知识点】求圆中弦的条数、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 25． 【答案】半径的长为 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了弓形的概念，熟练掌握弓形的概念，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．设半径的长为，则，由已知可得然后在中，由勾股定理得，即，由此解出r即可． 【详解】解：设半径的长为，则， ∵弓形高， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：． 答：半径的长为． 26． 【答案】 【知识点】圆的基本概念辨析、利用垂径定理求同心圆问题 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得，则有，然后可设，则，进而问题可求解 【详解】解：连接，过点O作于点H． ， ， ， ．设，则， ， ． 【考点3】弧、弦、圆心角的关系（第27-39题） · 转化链条：圆心角相等 ⇔ 弧相等 ⇔ 弦相等（前提：同圆或等圆） · 证明题常用「等弧对等弦」，再配合等腰三角形性质与全等三角形 · 注意命题真假的判断：缺失「同圆或等圆」前提的结论是假命题 · 旋转情境中抓住旋转角等于圆心角，进而得到弧与弦的关系 27． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用弧、弦、圆心角的关系求解、已知圆内接四边形求角度、等边对等角 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：， ∴， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴ ， 故选：D． 28． 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项． 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 29． 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【详解】解： ， ， ， ． 故选：A． 30． 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了圆心角定理，等腰三角形的判定及性质等；由弧的度数得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】解：连接， 的度数为， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 31． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 32． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 连接，由求得，根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 33． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】先根据圆的半径相等得到，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转的性质得到，利用在同圆中相等的弦所对的圆心角相等即可求解． 【详解】解：在中，， ， ． 弦绕圆心顺时针旋转得到弦， ， ． 34． 【答案】/52度 【知识点】 求圆弧的度数、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 35． 【答案】 证明： ， ， ， ． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，根据同圆中，等弧所对的弦相等，反之亦然，先证明，进而证明，则． 【详解】略 36． 【答案】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，可证明，，则可证明，得到． 【详解】略 37． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了同圆或等圆中等弧所对的弦相等．熟练掌握弧与弦的关系是解题的关键． 根据同圆或等圆中等弧所对的弦相等进行证明即可． 【详解】略 38． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴，即， ∴． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，则，从而可判断． 【详解】略 39． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】根据两个等弧同时加上同一段弧后两弧仍然相等，再通过同弧所对的弦相等，即可证明． 【详解】略 【考点4】圆周角定理与圆内接四边形（第40-52题） · 同弧所对圆周角相等是求角度的第一工具，注意找准「对着哪条弧」 · 见到直径构造直角，见到直角联想直径所对弦，两者互为逆用 · 圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，可与圆周角定理联合使用 · 综合题常用辅助线：连接圆心与关键点、构造直径所对的直角三角形、找外心 40． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、圆心角概念辨析及简单运算 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 41． 【答案】B 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 42． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 43． 【答案】/150度 【知识点】含30度角的直角三角形、 求圆弧的度数 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 44． 【答案】/82度 【知识点】三角形内角和定理的应用、 求圆弧的度数、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．关键是由等边三角形的性质得到． 连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度． 【详解】解：连接，如图， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵B点的对应刻度为， ∴D点的对应刻度是． 故答案为：． 45． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 连接，利用切线的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 46． 【答案】/ 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边三角形的性质、求弧长 【分析】连接，如图，先根据等边三角形的性质得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到，所以，所以封闭图形ABCD的周长的长，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算，弧长公式：其中n为圆心角的度数，R为圆的半径也考查了等边三角形的性质． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 封闭图形的周长的长 故答案为： 47． 【答案】 【知识点】求扇形面积、利用弧、弦、圆心角的关系求解、求其他不规则图形的面积、利用平行线间距离解决问题 【分析】根据半圆弧的三等分点，可得的度数，再根据平行线的性质得出，进而将问题转化为即可． 【详解】解：如图，连接，， 点，点是半圆弧的三等分点， ， ∵直径， ∴， ∵， ， ． 48． 【答案】 【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 49． 【答案】 （1）如图所示：即为所求的外接圆； （2）半径为 【知识点】圆周角定理、判断三角形外接圆的圆心位置、作垂线(尺规作图) 【分析】此题主要考查了作三角形的外接圆、等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，关键是正确找到圆心所在位置． （1）首先画出和的垂直平分线，两线交于一点，以为圆心，长为半径画圆即可． （2）连接，即可得出，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：（1）略； （2）连接，如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即该外接圆的半径为． 50． 【答案】(1) 证明：∵， ∴； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质， （1）根据圆周角定理可得，再由，即可证得； （2）根据，可得，即可求解． 熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 51． 【答案】(1) (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理 【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理． （1）根据圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理求出； （2）根据圆周角定理得到，根据直角三角形的两锐角互余解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵为的中点， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 52． 【答案】(1) 证明：是的高， ， ， 是的高， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ； (2)； (3)． 【知识点】圆周角定理、全等的性质和HL综合（HL）、利用弧、弦、圆心角的关系求证、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据圆周角定理可证，从而可得，根据等腰三角形的三线合一定理可证结论成立； 过点作，，延长交于点，连接，可证四边形是正方形，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可知，利用圆周角定理可知，从而可证是等腰直角三角形，所以可知，根据在同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等，可得，可得：； 过点作，连接，可得和是等腰直角三角形，从而可得：，所以可得点、、在以点为圆心的圆上，所以有，根据等腰三角形的三线合一定理可得：，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可证是的垂直平分线，所以可得是等腰直角三角形且，根据三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示，过点作，，延长交于点，连接， ， 四边形是矩形， 平分， ， 四边形是正方形， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 又， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 即；    （3）解：如下图所示，过点作，连接， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 点、、在以点为圆心的圆上， ， ， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ．    【点睛】本题考查了圆周角定理，弧与弦的关系，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 先把基本结论记牢：d 与 r 比大小定点与圆的位置，直径是最长的弦 · 垂径定理必配勾股定理：半径、弦心距、半弦三者构成直角三角形 · 弧、弦、圆心角的等量转化必须满足「同圆或等圆」这一前提 · 圆周角定理两大用法：同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角是直角 · 圆内接四边形对角互补，求角度时优先看是否构成圆内接四边形 【作业1】 【答案】B 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 【作业2】 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】圆中最长的弦是直径，直径的长度是半径的2倍，解答即可． 本题考查了直径是圆中最大弦，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：∵的半径是， ∴最长的弦（直径）， 故选：B． 【作业3】 【答案】A 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 【作业4】 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、判断命题真假 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 圆心角、弧、弦的关系必须在同圆或等圆中才成立；选项C明确指定前提，是真命题． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，圆心角不等（除和为外），所对的弦不相等，选项C正确，符合题意； ∵A、B、D均缺乏“在同圆或等圆中”的前提，∴可能不成立，均不符合题意； 故选：C． 【作业5】 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 【作业6】 【答案】B 【知识点】圆周角定理、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 连接，根据正六边形的性质可得 为的直径，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而求出，根据为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接 正六边形内接于， ∴ 为的直径． 又， 是等边三角形， ． ∵是的直径， ∴,， ∴在中，， 是的中点， ， 在中， ． 故选：B． 【作业7】 【答案】 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】本题考查了求出阴影部分面积，设大圆的半径为，小圆半径为，利用圆环面积等于即可求出． 【详解】解： 因为两个同心圆组成的圆环面积是16， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积=， 故答案为：． 【作业8】 【答案】144 【知识点】根据旋转的性质求解、求小圆绕某图形一圈自转的圈数 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 【作业9】 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、三线合一 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 【作业10】 【答案】G 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 【作业11】 【答案】(1) 如图，点O即为所求； (2)， (3) 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三角形外接圆的圆心位置、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据外接圆是垂直平分线的交点，故作出，的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，即可作答． （2）观察（1）中的图，得出点O的坐标为，结合网格与勾股定理的性质，得出外接圆的半径 （3）取的中点H，连接结合垂径定理，得，得该圆圆心到弦的距离为即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，； （3）解：取的中点H，连接， ，， ， 该圆圆心到弦的距离为， 故答案为：． 【作业12】 【答案】(1) 如图所示，点即为所求． (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 【作业13】 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查的是确定残弧的圆心与半径，根据弦的垂直平分线过圆心作图即可． 【详解】解：（1）在圆上取两条弦，； （2）分别作，的垂直平分线，交于一点O． 则点O就是所求的圆心． （3）连接，则就是这个圆的半径． 【作业14】 【答案】(1) 证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； (2) 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用垂径定理证明即可； （2）利用垂径定理，勾股定理求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【作业15】 【答案】(1) 证明：∵与关于直线对称， ∴，； ∵为的圆心，， ∴， ∴； ∴， ∴四边形为菱形； (2) 【知识点】证明四边形是菱形、利用垂径定理求值、利用菱形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了圆的垂径定理、轴对称的性质、菱形的判定定理以及勾股定理的应用，关键是结合轴对称性质得到线段的等量关系，利用垂径定理确定弦的中点，再通过设未知数结合勾股定理建立方程求解线段长度． （1）先根据轴对称的性质得到、，再由过圆心且，根据垂径定理推出，进而得到，由此证得四边形的四条边相等，依据四条边相等的四边形是菱形完成证明； （2）先由垂径定理求出的长度，结合为中点设，进而用表示出和半径，再在中根据勾股定理建立关于的方程，求解出的值后，代入计算即可得到⊙的半径． 【详解】（1）略 （2）解：设⊙的半径为， ∵，， ∴． ∵为的中点， ∴， 设，则． ∵与关于对称， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． ∴．故⊙的半径为． 【作业16】 【答案】(1) 证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； (2) 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）略； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 【作业17】 【答案】(1) 证明：∵为直径，， ∴， ∴； (2) 不成立，理由： 如图，在上截取，则， 则，， 在中，， ∴． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】（）直接利用弧度与圆心角的关系得出答案； （）利用三角形三边关系以及圆心角、弧、弦的关系得出即可； 此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系，正确把握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【作业18】 【答案】(1) 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答． （2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $