3.7 弧长及扇形面积（第1课时）（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

年级

九年级

学科

数学

课型

新授课

教材

浙教版九年级上册

教学目标

1.理解弧长公式的推导原理，能分清公式中字母、、的含义，会运用弧长公式及变形进行相关计算。

2.经历从圆周长出发，通过圆心角占比探究弧长的推导过程，体会转化思想、比例思想，提升几何推理能力。

3.能利用弧长知识解释跑道、钟表针尖运动等生活中的弧长问题，感受数学与现实生活的联系，增强几何学习兴趣。

教学重点

弧长公式的推导、字母意义及正向与逆向计算。

教学难点

从圆心角占比抽象出公式；

综合图形和实际情境中确定圆心角与半径、建立弧长模型。

教材分析

本节教学内容源于浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》第七节《弧长及扇形面积》（第1课时）。核心内容为弧长公式的推导及其应用，包括从圆周长出发，借助圆心角占的比例得到圆心角所对弧长，进而归纳，并运用公式及变形求弧长、圆心角或半径，解决跑道、钟表等实际问题。

本课时是在圆周长和圆的基本性质基础上，将曲线长度问题转化为整圆周长按圆心角比例分配的问题。教材先由对应，把圆周平均分成360份，得到圆心角所对弧长为，再以个累加得到，体现转化思想和比例思想。公式揭示弧长由圆心角与半径共同决定，是后续扇形面积、圆锥侧面展开等知识的基础。教学中应突出“整圆—单位弧长—弧长”的形成过程，让学生理解公式来源而非机械记忆，并通过正向计算、逆向变形和实际情境应用，落实公式意义与模型意识。教学重点是弧长公式的推导与运用。

学情分析

学生已学习圆的基本性质、圆周长、圆心角、弧、弦等概念，具备比例思想和一元一次方程、多项式运算基础，能理解“圆心角占的几分之几”的直观含义，因此由等分圆周归纳弧长公式较易。难点在于把弧长的算术结果抽象为的符号表达式，正确区分表示度数而不带单位，并灵活变形求或；在综合图形和实际情境中，需结合圆周角、垂径定理、旋转等确定圆心角和半径，将实际问题转化为弧长计算或方程模型的要求较高。教学中宜用跑道、钟表等情境和分层练习，帮助学生完成从比例计算到公式应用、从公式到模型的转化，明确教学难点为公式推导中的

比例抽象及综合应用中的量关系确定。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【创设情景，引入新课】

圆周长早会算，可这两段“弧”有多长？

生活中见到的圆，常常只是其中一段弯——怎样由整圆推出一段弧的长度？

跑道弯道：运动员经过的那段红色弯道，到底跑了多少米？它和整个圆周长是什么关系？

时钟分针：30分钟，针尖扫过的那一段弧有多长？

思考：一段弧长，是不是只由“半径”和“圆心角占的几分之几”决定？

用跑道弯道、钟表分针等生活情境激发兴趣，把“弧长”问题转化为“整圆周长与圆心角占比”的数学问题，明确本课学习方向：探究弧长公式及其应用。

探究点1：从圆周长到弧长公式

【问题引入】

教师提问：

1.圆心角为的整圆，弧长是多少？

答：圆周长。

2.把圆一周平均分成360份，每份圆心角是多少度？

答：。

3.等分圆周后，每份弧长是多少？

答：。

4.圆心角可看作多少个圆心角？弧长怎样表示？

【师生活动】

教师演示圆等分、橙色小扇形，板书“整圆—1份—n份”的推导链；

学生观察、分组讨论并口答，列式验证。

【新知导出】

通过“整圆→1份→n份”的阶梯式探究，突破弧长公式推导难点，渗透转化思想与比例思想，发展几何推理能力。

① 整圆：圆心角为，对应弧长为。

② 平均分：每份圆心角为。

③ 等弧：每份弧长为。

④ 单位弧长：圆心角所对弧长 。

⑤ 圆心角由个圆心角拼成，故 。

弧长公式：。

【例题巩固】

【典例1】如图，点都在上，，，且半径为，则弧的长度为？

解：连接。

因为，

所以。

又，由垂径定理得，

所以。

代入弧长公式： 。

【变式】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=20°,在直径AB上截取AD=AC，延长CD交⊙O于点E，若CE=2，则劣弧CE的长为？