专题07 二元一次方程组的含参问题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

专题07二元一次方程组的含参问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据解的关系求参数 题型二、同解问题求参数 题型三、错解问题求参数 题型四、构造二元一次方程组求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二元一次方程组含参问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕解的关系求参数、同解问题求参数、错解问题求参数、构造方程组求参数四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是错误解只能代入未被看错的方程、正确解必须满足所有方程，二是构造方程组时必须找到两个独立且完整的等量关系，所有参数结果最终均需代回原方程组合规检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据解的关系求参数 典例1 已知关于、的二元一次方程组的解满足，则________． 题型模版 题型特征 题干给出含参数的二元一次方程组（或两个方程组），并附加一个关于解的条件要求求出参数的值。核心特征是"解的条件已知，参数未知"，解题关键是先利用解的关系求出方程组的解（或解之间的关系），再代入含参方程求参数。 变式1-1已知关于、的方程组的解是整数，则整数的值为________． 变式1-2已知，若，则的值为______． 变式1-3 已知关于x、y的方程组．若，求m的值． 类型二、同解问题求参数 典例2 已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求这两个方程组相同的解； (2)求的值． 题型模版 一、题型特征 题干给出两个二元一次方程组（通常各含两个方程），其中部分方程含有未知参数，并明确说明"两个方程组的解相同"，要求求出参数的值。核心特征是"两组方程共享同一组解 "，解题关键是利用"同解"这一条件，将四个方程重新组合——先联立不含参数的两个方程求出确定的 、 ，再代入含参方程求参数。 二、解题方法 识别"不含参数"的方程：两个方程组共四个方程，找出其中不含参数的两个方程（通常每个方程组各贡献一个不含参方程）。 联立求解 、 ：将这两个不含参的方程组成一个新的方程组，用代入消元法或加减消元法求出 、 的具体数值。这组 就是两个原方程组的公共解。 代入含参方程：将求出的 、 值分别代入两个含参方程，得到关于参数的方程（组）。 解参数方程：求出参数的值。若含两个参数，可能需要联立两个含参方程求解。 检验：将参数代回原方程组，验证两个方程组的解确实相同。 三、常见变式 变式一：参数分散在两个方程组中 如 与 同解。此时不含参方程为 和 ，联立求出 、 后代入另两个含参方程求 、 。 变式二：三个方程同解 如三个方程 、 、 有公共解。先联立后两个不含参方程求 、 ，再代入第一个方程求参数关系。 变式三：同解 + 额外条件 如两个方程组同解，且解满足 。此时可将 与一个不含参方程联立求 、 ，再代入含参方程。 四、易错提醒 联立方程选错：错误地将同一方程组内的两个方程联立（这样求出的解只满足该方程组，未必满足另一个），应跨方程组选取不含参方程联立。 计算 、 时出错：消元过程中符号错误或系数算错，导致公共解求错，后续参数全错。 代入时张冠李戴：将 、 的值代入错误的含参方程，或代入时参数与系数混淆。 多参数问题漏解：含两个参数时，需代入两个含参方程联立求解，不要只代入一个就下结论。 忘记检验：求出参数后未验证两个方程组是否确实同解，可能因计算错误导致结论不成立。 五、解题底线 同解问题的核心逻辑是**"公共解同时满足四个方程"**，因此必须先从四个方程中挑出两个不含参的方程联立，求出确定的公共解，再反求参数。 求出参数后务必代回原方程组快速验证，确保两组方程的解确实一致。 变式2-1已知两个关于，的二元一次方程组和的解相同，那么的值为______． 变式2-2已知关于，的方程组和的解相同，则的值为________． 变式2-3 已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 类型三、错解问题求参数 典例3 下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 题型模版 一、题型特征 题干给出一个含参数的二元一次方程组，并描述某人在求解过程中因看错某个方程的系数（或常数项）而得到错误的解，同时给出正确的解（或另一个错误解），要求求出参数的值。核心特征是"利用错误解反推看错的系数，利用正确解求未看错的系数"，解题关键是明确"看错哪个方程的系数，该方程就不成立，但另一个方程仍然成立"。 二、解题方法 理清"看错"的逻辑： 若某人看错了方程①的系数，则他求出的错误解不满足方程①，但一定满足方程②（因为他没有看错方程②）。 若某人看错了方程②的系数，则错误解不满足方程②，但一定满足方程①。 正确解则同时满足两个方程。 建立方程求参数： 将错误解代入未被看错的方程，得到一个关于参数的方程。 将正确解代入两个方程，得到另外关于参数的方程。 联立这些方程，解出所有参数。 验证：将求出的参数代回原方程组，验证正确解是否满足，错误解是否确实不满足被看错的方程。 变式3-1甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了，得到了方程组的解为，乙把字母看错了，得到方程组的解为．求的值． 变式3-2两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则的值为_________． 变式3-3甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 类型四、构造二元一次方程组求参数 典例 4正整数、、满足，且，，求、、的值． 题型模版 题型特征 题干不直接给出完整的二元一次方程组，而是通过文字描述、等量关系、几何条件、实际情境或代数式特征，间接给出两个关于未知数的等量关系，要求先构造出二元一次方程组，再求解或求参数。核心特征是"关系隐含、需自行建模"，解题关键是从题干中准确提取两个独立的等量关系，将其转化为两个一次方程，联立求解。 变式4-1当时，，当时，，则（     ） A．9 B．1 C． D． 变式4-2如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 变式4-3生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等．有一种密码，明文是一个数m，密文是一个数对，且，其中a，b是常数．明文与密文的对应关系如下表所示： 明文 密文 (1)求a，b的值； (2)求密文的明文． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设，，，…，，是从，，这三个数中取值的一列数，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 3．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中且；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．若关于、的方程组为共轭方程组，则________ 4．设有个数，，，，它们每个数的值只能取，，三个数中的一个，且满足，，则______． 5．如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________． 6．已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是___________（请填序号）． ①当时，方程组的解也是方程的解； ②无论取何值，恒成立； ③当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为1； ④无论取什么实数，的值始终为8． 7．定义：若关于、的二元一次方程组的解满足，则称这个方程组为“单位差方程组”． （1）下列方程组中是“单位差方程组”的是________（填正确的序号）． ①；②；③． （2）对于任意不为的数，关于、y的方程组都是“单位差方程组”，则________． 8．已知关于，的方程组的解是整数，且是正整数，则________． 9．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 10．若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是______． 11．关于，的方程组与方程组的解相同，则_____ 12．已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 13．已知有理数a，b，c满足，则________． 14．给出定义：已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“组本方程”，例如方程的“组本方程”为． (1)写出的“组本方程”是______，由该方程和其“组本方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且）的系数满足． ①求该方程与其“组本方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 15．小张和小王解一个关于x，y的二元一次方程组，小张正确解得，小王因看错了c，解得，已知小王解题时除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 16．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07二元一次方程组的含参问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据解的关系求参数 题型二、同解问题求参数 题型三、错解问题求参数 题型四、构造二元一次方程组求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二元一次方程组含参问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕解的关系求参数、同解问题求参数、错解问题求参数、构造方程组求参数四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是错误解只能代入未被看错的方程、正确解必须满足所有方程，二是构造方程组时必须找到两个独立且完整的等量关系，所有参数结果最终均需代回原方程组合规检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据解的关系求参数 典例1 已知关于、的二元一次方程组的解满足，则________． 【答案】 【分析】将方程组两个方程作差，得到关于的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解： 得 整理得 ∵ ∴ 解得． 题型模版 题型特征 题干给出含参数的二元一次方程组（或两个方程组），并附加一个关于解的条件要求求出参数的值。核心特征是"解的条件已知，参数未知"，解题关键是先利用解的关系求出方程组的解（或解之间的关系），再代入含参方程求参数。 变式1-1已知关于、的方程组的解是整数，则整数的值为________． 【答案】或 【分析】通过加减消元得到关于的表达式，根据解为整数得到是的约数，求出的所有可能值后验证是否为整数，即可得到符合条件的． 【详解】解：令，， 得， 得， 整理得，即 ， ∵方程组的解都是整数，是整数， ∴是的约数，的可能取值为，， 分别计算验证： 当时，解得，此时，代入②得，解得，均为整数，符合条件； 当时，解得，此时，代入②得，解得，不是整数，不符合条件； 当时，解得，此时，代入②得，解得，均为整数，符合条件； 当时，解得，此时，代入②得，解得，不是整数，不符合条件； 综上，整数的值为或． 变式1-2已知，若，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，结合已知条件即可求出的值． 【详解】解：， 由得：， 整理得：， ， ， 解得． 变式1-3 已知关于x、y的方程组．若，求m的值． 【答案】的值为 【分析】把方程组中的两个方程相加可得，则，解方程即可得到答案； 【详解】解： ，得． ， ． 解得． 类型二、同解问题求参数 典例2 已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求这两个方程组相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）将和联立方程组求解即可； （2）把代入后相减即可． 【详解】（1）解：由题意可得 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴这两个方程组相同的解为． （2）解：把代入，得， 得，． 题型模版 一、题型特征 题干给出两个二元一次方程组（通常各含两个方程），其中部分方程含有未知参数，并明确说明"两个方程组的解相同"，要求求出参数的值。核心特征是"两组方程共享同一组解 "，解题关键是利用"同解"这一条件，将四个方程重新组合——先联立不含参数的两个方程求出确定的 、 ，再代入含参方程求参数。 二、解题方法 识别"不含参数"的方程：两个方程组共四个方程，找出其中不含参数的两个方程（通常每个方程组各贡献一个不含参方程）。 联立求解 、 ：将这两个不含参的方程组成一个新的方程组，用代入消元法或加减消元法求出 、 的具体数值。这组 就是两个原方程组的公共解。 代入含参方程：将求出的 、 值分别代入两个含参方程，得到关于参数的方程（组）。 解参数方程：求出参数的值。若含两个参数，可能需要联立两个含参方程求解。 检验：将参数代回原方程组，验证两个方程组的解确实相同。 三、常见变式 变式一：参数分散在两个方程组中 如 与 同解。此时不含参方程为 和 ，联立求出 、 后代入另两个含参方程求 、 。 变式二：三个方程同解 如三个方程 、 、 有公共解。先联立后两个不含参方程求 、 ，再代入第一个方程求参数关系。 变式三：同解 + 额外条件 如两个方程组同解，且解满足 。此时可将 与一个不含参方程联立求 、 ，再代入含参方程。 四、易错提醒 联立方程选错：错误地将同一方程组内的两个方程联立（这样求出的解只满足该方程组，未必满足另一个），应跨方程组选取不含参方程联立。 计算 、 时出错：消元过程中符号错误或系数算错，导致公共解求错，后续参数全错。 代入时张冠李戴：将 、 的值代入错误的含参方程，或代入时参数与系数混淆。 多参数问题漏解：含两个参数时，需代入两个含参方程联立求解，不要只代入一个就下结论。 忘记检验：求出参数后未验证两个方程组是否确实同解，可能因计算错误导致结论不成立。 五、解题底线 同解问题的核心逻辑是**"公共解同时满足四个方程"**，因此必须先从四个方程中挑出两个不含参的方程联立，求出确定的公共解，再反求参数。 求出参数后务必代回原方程组快速验证，确保两组方程的解确实一致。 变式2-1已知两个关于，的二元一次方程组和的解相同，那么的值为______． 【答案】 【分析】因为两个方程组解相同，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求解、的值，最后计算的值． 【详解】解：两个关于，的二元一次方程组的解相同， 解方程组， 可得：， 把代入方程和， 可得：， 解得：， ． 变式2-2已知关于，的方程组和的解相同，则的值为________． 【答案】 【分析】两个方程组解相同，说明解是四个方程的公共解，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求出的值，即可计算． 【详解】解：两个方程组的解相同， 公共解满足两个不含参数的方程， 联立得， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把、代入含的方程， 得：， 解得：， ． 变式2-3 已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴， 把代入，得， 把代入，得， 联立， 得：， ∴． 类型三、错解问题求参数 典例3 下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 【答案】(1)加减消元法；等式的基本性质2 (2)解：二，合并同类项计算错误 (3) 【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案； （2）根据解方程的方法即可得出答案； （3）根据，求出的值再代入①即可得出答案． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质2； （2）略 （3）解：，得 ③ ，得 整理可得 将代入①，得 解得 ∴原方程组的解为 题型模版 一、题型特征 题干给出一个含参数的二元一次方程组，并描述某人在求解过程中因看错某个方程的系数（或常数项）而得到错误的解，同时给出正确的解（或另一个错误解），要求求出参数的值。核心特征是"利用错误解反推看错的系数，利用正确解求未看错的系数"，解题关键是明确"看错哪个方程的系数，该方程就不成立，但另一个方程仍然成立"。 二、解题方法 理清"看错"的逻辑： 若某人看错了方程①的系数，则他求出的错误解不满足方程①，但一定满足方程②（因为他没有看错方程②）。 若某人看错了方程②的系数，则错误解不满足方程②，但一定满足方程①。 正确解则同时满足两个方程。 建立方程求参数： 将错误解代入未被看错的方程，得到一个关于参数的方程。 将正确解代入两个方程，得到另外关于参数的方程。 联立这些方程，解出所有参数。 验证：将求出的参数代回原方程组，验证正确解是否满足，错误解是否确实不满足被看错的方程。 变式3-1甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了，得到了方程组的解为，乙把字母看错了，得到方程组的解为．求的值． 【答案】 【分析】甲看错但解满足含的方程，代入甲的解求，乙看错但解满足含的方程，代入乙的解求，最后代入计算的值即可． 【详解】解：由题意，得 把代入中，得， 解得， 把代入中，得， 解得， ． 变式3-2两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则的值为_________． 【答案】1 【分析】将代入方程组得，将代入得，由①②③解得，代入所求式子即可得出结果． 【详解】解：∵甲同学正确地解出， ∴将代入方程组得， ∵乙同学因把c抄错了解得， ∴将代入得， 由①②③解得， ∴． 变式3-3甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组错解问题，解此类问题抓住一句话“看错谁，不用谁”，把解代入未看错方程来组建新的关于，的方程解题． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ， 解得：， 同理乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， 可得：， 解得：， ． 类型四、构造二元一次方程组求参数 典例 4正整数、、满足，且，，求、、的值． 【答案】，， 【分析】利用整体思想，先求出，，根据题干条件正整数、、满足，得到，，再利用列出所有可能的值，最后将所有可能的值代入验证，找出符合题意的结果． 【详解】解：， ， 又， ， ，． 正整数、、满足， ，． 、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、， 代入可得 只能是，，． 题型模版 题型特征 题干不直接给出完整的二元一次方程组，而是通过文字描述、等量关系、几何条件、实际情境或代数式特征，间接给出两个关于未知数的等量关系，要求先构造出二元一次方程组，再求解或求参数。核心特征是"关系隐含、需自行建模"，解题关键是从题干中准确提取两个独立的等量关系，将其转化为两个一次方程，联立求解。 变式4-1当时，，当时，，则（     ） A．9 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将和分别代入原式，化简后将两式相加可消去含的项，直接求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，整理得 ①， ∵当时，， ∴，整理得②， ∴，得， ∴． 变式4-2如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中给出的完整数据，选取两组x和对应整式的值列出方程组，求解即可得到a和b的值． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ， 得， 将代入， 得，解得， 即． 变式4-3生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等．有一种密码，明文是一个数m，密文是一个数对，且，其中a，b是常数．明文与密文的对应关系如下表所示： 明文 密文 (1)求a，b的值； (2)求密文的明文． 【答案】(1) 的值为，的值为 (2) 密文的明文为 【分析】（1）代入两组明文与密文的对应值，列二元一次方程组求解a，b； （2）将a，b与密文的x，y代入公式计算明文． 【详解】（1）解：由题意，将两组对应值代入， 得 解这个方程组，得； （2）由（1）得， 将代入，得 ， 所以密文的明文为1． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设，，，…，，是从，，这三个数中取值的一列数，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设数列中取值为和的个数，利用已知总和、平方和列出二元一次方程组，求解个数后代入计算立方和即可，不影响计算结果无需单独考虑． 【详解】解：设这列数中有个，个，其余均为， ∵ ， ∴ ， 整理得 ①， 又∵ ， ∴ ， 整理得 ②， 用得 ， 解得 ， 把代入①得 ， 解得 ， 计算所求立方和： ． 2．已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【详解】解：根据题意，联立不含参数的方程得 ， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得： ， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 3．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中且；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．若关于、的方程组为共轭方程组，则________ 【答案】1 【分析】根据共轭二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：根据共轭二元一次方程的定义， 得， 解得， ． 4．设有个数，，，，它们每个数的值只能取，，三个数中的一个，且满足，，则______． 【答案】 【分析】设个数中含有个，个，由题意列方程组求出的值，进而代入代数式计算即可求解． 【详解】解：设个数中含有个，个， ∵不影响计算结果， ∴由题意得，， 解得， ∴． 5．如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________． 【答案】 【分析】根据“2性质”方程的定义和方程解的定义，列出关于,的二元一次方程组，求解得到,后即可计算出，考查二元一次方程组的求解． 【详解】解：将原方程整理为符合“2性质”要求的形式，得 ， 该方程是具有“2性质”的方程，满足， 可得， 整理得， 是该方程的一个解，代入原方程得， ， 整理得， 由①得，代入②得， ， 展开计算得， 解得把代入，得 ， 因此． 6．已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是___________（请填序号）． ①当时，方程组的解也是方程的解； ②无论取何值，恒成立； ③当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为1； ④无论取什么实数，的值始终为8． 【答案】①②④ 【分析】先解方程组得到,关于的表达式，再逐个验证每个结论即可． 【详解】解：解方程组， 用①减去②得 ，解得 ， 把代入②，得 ， 因此方程组的解为， ①当时，，， 把,代入， 左边，右边， 左边右边，因此方程组的解也是该方程的解，故①正确； ②计算左边， 把，代入得， ， ， 因此，和右边相等，故②正确； ③若,都为自然数，即,都是非负整数， 当时，，，都是自然数，符合条件， 当时，，，都是自然数，符合条件， 当时，，，都是自然数，符合条件， 因此有多个取值，不是唯一值为，故③错误； ④， ， ， 无论取何实数，结果都为，故④正确， 综上，正确的结论是①②④． 7．定义：若关于、的二元一次方程组的解满足，则称这个方程组为“单位差方程组”． （1）下列方程组中是“单位差方程组”的是________（填正确的序号）． ①；②；③． （2）对于任意不为的数，关于、y的方程组都是“单位差方程组”，则________． 【答案】 ①② 或 【分析】（1）先根据新定义，分别求解每个方程组，验证是否为1； （2）根据“单位差方程组”的定义可知，然后分和两种情况求解． 【详解】（1）①解：解方程组， 可得：， ， 方程组是单位差方程组； ②解：解方程组：， 可得：， ， 方程组是单位差方程组； ③解：解方程组， 可得：， ， 方程组不是单位差方程组； 综上所述，是“单位差方程组”的是①②； （2）解：对任意方程组都是单位差方程组， ， 当时， 解方程组， 解得：， 把代入， 可得：， 整理得：， 为任意非的数， ， 解得：， ； 当时， 解方程组， 解得：， 把代入， 可得：， 为任意非的数， ， 解得：， ， 综上所述，或． 8．已知关于，的方程组的解是整数，且是正整数，则________． 【答案】或或 【分析】先解方程组，根据方程组的解是整数，且是正整数，可得可能取值为，再将的值代入中验证是否为整数，即可得解． 【详解】解：解方程组 ，得， 解得，代入①，得 ， 解得， ∵是整数，且是正整数， ∴是的正因数， ∵的正因数有， 又∵是正整数， ∴， ∴可能取值为， 当时，，此时，，均为整数，符合要求； 当时，，此时，，均为整数，符合要求； 当时，此时，，均为整数，均为整数，符合要求； 综上，的值为或或． 9．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 【答案】 【分析】 本题利用整体换元思想，结合二元一次方程组解的定义，将新方程组中的和看作整体，对应原方程组的解得到关于的新方程组，再解二元一次方程组即可得到结果． 【详解】 解：∵关于、的二元一次方程组的解是， ∴方程组， 由此可得 ， 将两个方程相加，得， 解得 ． 把代入， 得， 解得． ∴方程组的解为． 10．若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是______． 【答案】 【分析】先把待求方程组两边同除以2，变形为和已知方程组结构完全相同的形式，利用方程组解的定义，建立等量关系，得到关于、的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：对的方程组两边同时除以2： ， 对比已知方程组， 它的解为， 根据同结构方程组解的对应关系可得： ， 得到简化方程组： ， ①+②：， ， 把代入②：， ， 综上，方程组的解为． 11．关于，的方程组与方程组的解相同，则_____ 【答案】1 【分析】由于两个方程组解相同，因此先联立不含、的二元一次方程组求出、的值，再代入含、的方程组求出、的值，最后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵两个方程组的解相同， ∴先解，得， 把代入，得， 解得: ， ∴． 12．已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 【答案】 1 －3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 13．已知有理数a，b，c满足，则________． 【答案】1 【分析】令，，则，整体代入第一个方程化简求出，进而求出，，然后整体代入第二个方程化简求出，即可求解. 【详解】解：令，，则， 代入第一个方程化简为， ∴， ∴，， 代入第二个方程化简为， ∴， ∴. 14．给出定义：已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“组本方程”，例如方程的“组本方程”为． (1)写出的“组本方程”是______，由该方程和其“组本方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且）的系数满足． ①求该方程与其“组本方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)①；②2027 【分析】（1）根据“组本方程”定义写出对应方程，再用加减消元法解方程组； （2）①利用加减消元法结合的条件推导方程组的解； ②将方程组的解代入方程得到m与n的数量关系，整体代入代数式求值． 【详解】（1）解：∵原方程为， 根据“组本方程”定义，互换y的系数与常数项， ∴组本方程为； 联立得方程组，解得：． （2）解：①原方程与其组本方程组成的方程组为， 由得：， ∵， ∴， ∴， 将代入①，得，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程组的解为； ②将代入， 得，即， ∴， ∵， ∴， ∴原式． 15．小张和小王解一个关于x，y的二元一次方程组，小张正确解得，小王因看错了c，解得，已知小王解题时除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 【答案】 【分析】先将小张的正确解代入含参数c的方程求出c的值，再将小张和小王的解分别代入不含参数c的方程，联立得到关于a、b的二元一次方程组并求解，最后将a、b、c的值代入计算即可． 【详解】解：∵小张的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解①得； ∵小王只看错了c，没看错a、b， ∴他的解满足，即， 联立②、③，得， 解得； ∴． 16．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，；0 【分析】小明看错了方程①中的，但他的解对于方程②是成立的，因此可以代入方程②求出的值； 小红看错了方程②中的，但她的解对于方程①是成立的，因此可以代入方程①求出的值； 最后将、的值代入代数式计算结果． 【详解】解：将代入②，得，解得． 将代入①，得，解得． 故． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，解题关键是明确：看错某个方程的系数，意味着该解对于另一个未看错系数的方程是成立的，从而代入求解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $