专题11 二元一次方程组含参压轴题 （压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

专题11 二元一次方程组含参压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解满足特定条件，求参数 题型二、代入、加减消元法 题型三、两方程组同解，求参数 题型四、错解复原（看错系数） 题型五、整数解问题 题型六、二元一次方程组的特殊解法 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法一：解出法 方法：用加减消元或代入消元解出 x、y（结果用含参数的式子表示），再把 x、y 代入题设条件，得到关于参数的方程或不等式（组）并求解。 适用：解满足明确条件，如解的正负、解满足某等式、解落在某象限等。 操作要点：解出结果后务必回代验证，防止增解或漏解。 通法二：整体思想 方法：不求出 x、y 的具体值，而是把两式相加、相减或倍乘后再加减，直接组合出目标代数式（如 x+y、x−y、2x+3y 等）。 适用：题目直接或间接要求某个“整体式”，且两式系数有明显可组合关系。 操作要点：动笔前先观察目标式能否由两式的和、差、倍乘得到，能整体得到就先整体，不要急于展开。 通法三：设参法 方法：当已知 x 与 y 的比例关系（如 x:y = k:m，或 x = 2y）时，设 x = kt、y = mt（t 为辅助参数），代入方程消去 t，转化为关于参数与比例系数的方程。 适用：已知解满足比例关系。 操作要点：辅助参数 t 不为 0（x、y 不全为 0）。 通法四：同解方程组与错解复原法 方法：同解题中，把两组方程里“不含参数的方程”重新组合，先求出共同解，再代入含参数的方程求参数；错解复原题中，记住“谁看错哪个方程，该方程不作数，另一个方程仍成立”，据此列方程。 适用：两方程组同解、甲乙看错系数等经典题。 通法五：整数解枚举法 方法：先解出 x、y（用参数表示），再根据“解为整数或正整数”列出整除关系或不等式组，枚举满足条件的参数。 适用：求使解为整数（正整数）的参数。 操作要点：分母不能为 0；枚举出的参数要逐一代回验证。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解满足特定条件，求参数 【典例1】．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．0 【典例2】．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 【典例3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若方程组的解满足，求的值． 题型模版 题型特征：方程组的解满足某个等式或不等关系（如 x+y=k、x>0、y<0），反求参数的值或取值范围。 【变式1】．（25-26七年级·安徽芜湖·期末）若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 【变式2】．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）若是关于x、y的二元一次方程，则的值_______． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段检测）已知关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)若方程组的解满足方程，求的值． 题型二、代入、加减消元法 【典例4】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例5】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）已知方程组，则_____． 【典例6】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）解方程组：． 题型模版 题型特征：哪个未知数系数为 1 或 −1，优先用代入消元；系数成倍数关系时，优先用加减消元并先配成相同或相反。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）方程组，下列步骤可以消去未知数的是（   ） A．①② B．①② C．①-② D．①+② 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）已知，则用x表示y的关系式为_______________． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）解方程组： 题型三、两方程组同解，求参数 【典例7】．（25-26七年级·安徽芜湖·期末）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（     ） A．0 B．-1 C．1 D．2026 题型模版 题型特征：两个含不同参数的方程组有相同的解，反求参数。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽·单元测试）已知方程组和有相同的解，则的值分别是（    ） A．1、2 B．4、 C．、2 D．14、2 【变式2】．（24-25七年级上·安徽·单元测试）已知关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【变式3】．（24-25七年级·安徽六安·期中）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 题型四、错解复原（看错系数） 【典例8】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【典例9】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）李明、王超两位同学同时解方程组李明解对了，得，王超抄错了m得则原方程组中a的值为___． 题型模版 题型特征：两人解同一方程组，分别看错不同系数，得到两组错误解，求原参数及正确的解。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段检测）甲乙两人解方程组，由于甲看错了方程①中的a，而得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，而得到的解为，则a+b＝__． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段检测）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 题型五、整数解问题 【典例10】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）当a、b都是整数时，我们称（a，b）为一个有序整数对，如（-2，2）和（2，-2）是两个不同的有序整数对，则满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【典例11】．（25-26七年级上·安徽宣城·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解是整数，且是正整数，则___________． 题型模版 题型特征：方程组的解为整数或正整数，反求参数。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若关于x，y的方程组有正整数解，则正整数m的值为（    ） A．1，2，5 B．1，5 C．5 D．2 【变式2】．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段检测）已知关于的二元一次方程组． (1)若，请写出方程①的所有正整数解； (2)由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，求的值及原方程组的解． 题型六、二元一次方程组的特殊解法 【典例12】．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 题型模版 题型特征：已知一组方程组的解，求结构完全相同、只是未知数整体替换的新方程组的解（整体代换 / 换元思想） 【变式1】．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段检测）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x，y的方程组的解为_____． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段检测）小明对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出了这样的想法：这两个方程组之间存在一定的联系，可以尝试用“整体替换”的方法进行求解． 按照小明的想法，可以求出方程组的解为_____________． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．下列方程中，是二元一次方程的为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（    ） A． B． C． D． 3．解方程组，你认为下列四种方法中，最简便的是（    ） A．代入消元法 B．，先消去x C．，先消去y D．，先消去y 4．“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 7．（24-25七年级上·安徽·单元测试）解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 9．对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 二、填空题 11．将方程变形：若用含y的式子表示x，则_______． 12．已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是________． 13．已知方程组的解是，则方程组的解是____________． 14．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 三、解答题 15．（24-25七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 16．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 17．仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组： 解：①-②，得，即．③ ①+②，得，即．④ ③+④，得．③－④，得， 所以原方程组的解为 请你仿照上面的解法解方程组： 18．某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知满足，且，求m的值． 小亮同学说：“先解关于的方程组，将用含m的式子表示出来，再代入，可求出m的值．” 小明同学观察后说：“方程组中含有字母m，解方程组可能比较麻烦．但中不含字母m，可以先解方程组，再将的值代入，求出m的值．” 请你用一种比较简单的方法，求出m的值． 19．定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 20．阅读理解：我们把关于字母、的二元一次方程的系数、、称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． (1)二元一次方程的伴随数是___________； (2)已知关于、的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求、的值． 21．（24-25七年级·安徽合肥·期中）问题：已知关于x，y的方程组的解满足方程，求m的值．同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于x，y的方程组，再求m的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求m的值． … 请用2种不同的方法解决上面的问题． 22．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二元一次方程组含参压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解满足特定条件，求参数 题型二、代入、加减消元法 题型三、两方程组同解，求参数 题型四、错解复原（看错系数） 题型五、整数解问题 题型六、二元一次方程组的特殊解法 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法一：解出法 方法：用加减消元或代入消元解出 x、y（结果用含参数的式子表示），再把 x、y 代入题设条件，得到关于参数的方程或不等式（组）并求解。 适用：解满足明确条件，如解的正负、解满足某等式、解落在某象限等。 操作要点：解出结果后务必回代验证，防止增解或漏解。 通法二：整体思想 方法：不求出 x、y 的具体值，而是把两式相加、相减或倍乘后再加减，直接组合出目标代数式（如 x+y、x−y、2x+3y 等）。 适用：题目直接或间接要求某个“整体式”，且两式系数有明显可组合关系。 操作要点：动笔前先观察目标式能否由两式的和、差、倍乘得到，能整体得到就先整体，不要急于展开。 通法三：设参法 方法：当已知 x 与 y 的比例关系（如 x:y = k:m，或 x = 2y）时，设 x = kt、y = mt（t 为辅助参数），代入方程消去 t，转化为关于参数与比例系数的方程。 适用：已知解满足比例关系。 操作要点：辅助参数 t 不为 0（x、y 不全为 0）。 通法四：同解方程组与错解复原法 方法：同解题中，把两组方程里“不含参数的方程”重新组合，先求出共同解，再代入含参数的方程求参数；错解复原题中，记住“谁看错哪个方程，该方程不作数，另一个方程仍成立”，据此列方程。 适用：两方程组同解、甲乙看错系数等经典题。 通法五：整数解枚举法 方法：先解出 x、y（用参数表示），再根据“解为整数或正整数”列出整除关系或不等式组，枚举满足条件的参数。 适用：求使解为整数（正整数）的参数。 操作要点：分母不能为 0；枚举出的参数要逐一代回验证。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解满足特定条件，求参数 【典例1】．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．0 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义得出，再求出即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， 故选：A． 【典例2】．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 【答案】0 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解． 【详解】解：由解互为相反数，得．与方程联立， 解得． 将代入方程， 得， 即2+5=3a+7，7=3a+7， 解得． 故答案为0． 【典例3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】将方程组中的两个方程相加，得到，即，再结合已知条件，建立关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：， ①+②得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型模版 题型特征：方程组的解满足某个等式或不等关系（如 x+y=k、x>0、y<0），反求参数的值或取值范围。 【变式1】．（25-26七年级·安徽芜湖·期末）若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【详解】解：原方程组是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组， 解得：且 m的值是． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）若是关于x、y的二元一次方程，则的值_______． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程，根据二元一次方程的定义求出a、b的值，再代入求出的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段检测）已知关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)若方程组的解满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解含有参数的二元一次方程组； （1）解方程组得，代入，解一元一次方程，即可求解； （2）解方程组得，代入，解一元一次方程，即可求解； 掌握含有参数的二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程组得， ， ， 解得； （2）解：， ， ， 解得：． 题型二、代入、加减消元法 【典例4】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是将x看成已知求出y．用含的式子表示，可先移项，再将系数化为1即得答案． 【详解】解：对， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 【典例5】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）已知方程组，则_____． 【答案】8 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，通过加减消元法，将两个方程相加后化简，直接得到的值 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得，即， 两边同时除以3，得． 故答案为：8． 【典例6】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）解方程组：． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得③， 将③代入①得：， 解得：， 把，代入③可得，， 原方程组的解是． 题型模版 题型特征：哪个未知数系数为 1 或 −1，优先用代入消元；系数成倍数关系时，优先用加减消元并先配成相同或相反。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）方程组，下列步骤可以消去未知数的是（   ） A．①② B．①② C．①-② D．①+② 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．根据加减消元法进行求解即可． 【详解】解：A、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； B、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； C、①②，得 ， 变形后能消去未知数，故符合题意． D、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）已知，则用x表示y的关系式为_______________． 【答案】/ 【知识点】代入消元法 【分析】考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元的思想是解题的关键，根据消元的方法进行计算即可． 【详解】解：， 由①得：， 将③代入②，得：，即． 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 由①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 则方程组的解为：． 题型三、两方程组同解，求参数 【典例7】．（25-26七年级·安徽芜湖·期末）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（     ） A．0 B．-1 C．1 D．2026 【答案】A 【知识点】方程组相同解问题 【分析】两个方程组的解相同，则该解满足所有方程，先联立不含参数的方程求出，再代入含的方程求出的值，最后计算所求代数式的值即可． 【详解】解：根据题意可得 解得， 将代入， 可得 解得 ∴． 题型模版 题型特征：两个含不同参数的方程组有相同的解，反求参数。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽·单元测试）已知方程组和有相同的解，则的值分别是（    ） A．1、2 B．4、 C．、2 D．14、2 【答案】A 【知识点】加减消元法、方程组相同解问题 【分析】本题考查同解方程组求参数，先由题意得到，利用加减消元法解方程组得到，将其代入方程组和得到求解即可得到答案，熟练掌握方程组的解及解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 【详解】解：方程组和有相同的解， 方程组与和有相同的解， ， 由①②得， 将代入②得， 方程组和的解为， 将代入方程组和得到，解得， 故选：A． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽·单元测试）已知关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、方程组相同解问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解即可，然后将第一个方程组的解代入第二个方程组求出，再整体代入求出即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入方程组得， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（24-25七年级·安徽六安·期中）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】100 【知识点】方程组相同解问题 【分析】由题意可得方程组，则有可求出方程组的解，然后再代入进行求解a、b，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴，化简得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查同解方程组的问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 题型四、错解复原（看错系数） 【典例8】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【详解】解：将、代入得： 得：， 把代入①得：， 解得：． 故选：B 【典例9】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）李明、王超两位同学同时解方程组李明解对了，得，王超抄错了m得则原方程组中a的值为___． 【答案】-5 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】把李明和王超计算结果代入方程ax+by=2，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【详解】把和代入ax+by=2得： ， ①+②得：b=4， 把b=4代入①得：2a+12=2， 解得：a=-5． 故答案为：-5． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 题型模版 题型特征：两人解同一方程组，分别看错不同系数，得到两组错误解，求原参数及正确的解。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段检测）甲乙两人解方程组，由于甲看错了方程①中的a，而得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，而得到的解为，则a+b＝__． 【答案】9． 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】甲看错了a，可把甲的解代入②求得b，乙看错了b，则可把乙的解代入①，可求得a的值，可求得a+b的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的a，而得到方程组的解为， ∴可把代入②，可得﹣4×3+b＝﹣2，解得b＝10， ∵乙看错了方程②中的b，而得到的解为， ∴可把代入①，可得到5a+4×5＝15，解得a＝﹣1， ∴a+b＝﹣1+10＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查方程组解的定义，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段检测）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． （1）由于甲看错了a，将甲计算得到的解代入等式②，可求得b的值；同理，由于乙看错了b，将乙计算得到的解代入等式①，可计算得a的值； （2）将a，b的值代入，利用加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 即； （2）解：由（1）知 原方程组为 由①②得 解得 把代入①得 解得 原方程组的解为． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1，乙把错看成了1 (2) 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，熟练掌握二元一次方程组的解和解二元一次方程组的方法，是解题的关键： （1）分别把两组解代入方程组中，进行求解即可； （2）根据（1）得到正确的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； 故甲把错看成了1； 把代入，得：， 解得：， 故乙把错看成了1； （2）解：由（1）可知，， ∴原方程组为：， 解得：． 题型五、整数解问题 【典例10】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）当a、b都是整数时，我们称（a，b）为一个有序整数对，如（-2，2）和（2，-2）是两个不同的有序整数对，则满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】根据整数的性质可知当a、b都是整数，且|a-b|+|ab|=1时，，或，再根据绝对值的定义以及有理数的混合运算法则分别求出满足与满足的有序整数对即可． 【详解】解：∵a、b都是整数，且|a-b|+|ab|=1， ∴，或． 满足的有序整数对有（1，1），（-1，-1）； 满足的有序整数对有（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1）． 综上所述，满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（1，1），（-1，-1），（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1），一共6个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，有理数的混合运算，绝对值的定义，数的整除，掌握数的整除性以及运算法则是解题的关键． 【典例11】．（25-26七年级上·安徽宣城·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解是整数，且是正整数，则___________． 【答案】11 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据题意得出是13的因数，且为正整数，从而确定是解此题的关键．①②得出，求出，根据方程组的解是整数和为正整数得出或，求出，再得出答案即可． 【详解】解：， ①②，得， ， 关于，的方程组的解是整数，是正整数， 或， 解得：或不是正整数，舍去）， 即． 故答案为：11． 题型模版 题型特征：方程组的解为整数或正整数，反求参数。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若关于x，y的方程组有正整数解，则正整数m的值为（    ） A．1，2，5 B．1，5 C．5 D．2 【答案】D 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法加减消元法，求出，，再根据，是正整数，进行解答，即可求出满足正整数的值． 【详解】∵方程组有正整数解， ∴令， 由，得，解得：， ∴把代入式，解得， ∴方程组的解为：， ∵，，是正整数， ∴是的公因数，即可以取，，； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴只能取， 故选：D． 【变式2】．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，涉及解二元一次方程组，先由加减消元法解得，，再由题意，分类讨论即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②①得，解得； 将代入①得； 若关于的方程组的解为整数， 当取时满足题意， 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 满足条件的所有整数的值的和为， 故选：C． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段检测）已知关于的二元一次方程组． (1)若，请写出方程①的所有正整数解； (2)由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，求的值及原方程组的解． 【答案】(1)， (2)；； 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程组的错解复原问题、二元一次方程的解 【分析】（1）将代入方程，分别令，，求出对应的的值即可； （2）将代入②式可求得的值；将代入①式可求得的值；从而得出原方程组，进一步解方程组即可； 【详解】（1）解：将代入方程可得： 当时，； 当时，； 当时，，没有符合条件的解； ∴该方程的正整数解为：， （2）解：将代入②得： 解得： 将代入①得： 解得： ∴原方程组为 得： 解得： 得： 解得： ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程的关系是解决本题的关键． 题型六、二元一次方程组的特殊解法 【典例12】．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则所求方程组可变形为，根据题意可得方程组的解是，则，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 故选：C． 题型模版 题型特征：已知一组方程组的解，求结构完全相同、只是未知数整体替换的新方程组的解（整体代换 / 换元思想） 【变式1】．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段检测）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x，y的方程组的解为_____． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据题意可得的解为，即可． 【详解】解：∵的解为 ∴的解为，即：； 故答案为：． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段检测）小明对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出了这样的想法：这两个方程组之间存在一定的联系，可以尝试用“整体替换”的方法进行求解． 按照小明的想法，可以求出方程组的解为_____________． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，设，则，根据题意可得方程组的解是，即，解之即可． 【详解】解：设，则方程组即为方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．下列方程中，是二元一次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 【详解】解：A、，是二元一次方程，故选项符合题意； B、，是一元一次方程，故选项不符合题意； C、，不是整式方程，故选项不符合题意； D、，未知数的最高次是，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2．已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由关于x、y的方程组与有相同的解可得：，求得，然后代入原方程组可求解． 【详解】解：由关于x、y的方程组与有相同的解可得： ， 解得：， 把代入和得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 3．解方程组，你认为下列四种方法中，最简便的是（    ） A．代入消元法 B．，先消去x C．，先消去y D．，先消去y 【答案】D 【分析】利用加减消元法计算即可． 【详解】解：解方程组，下列四种方法中，最简便的是②×3−①×2，先消去y， 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 4．“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将原方程组变形为，设，，利用换元法求解即可． 此题考查了利用换元法解二元一次方程组，正确的换元是解题的关键． 【详解】解：将方程组中每一个方程两边同除以4，得， 设，， 则， ∵方程组的解是， ∴， 即， 解得， ∴方程组的解为， 故选：D． 5．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：由新定义得， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 7．（24-25七年级上·安徽·单元测试）解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识，根据题意，由错解得到，再由正解确定，进而得到二元一次方程组，求解即可得到，代入代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识是解决问题的关键． 【详解】解：设一学生将看错成，则方程组的解是， ，则， 方程组的解是， ，则， 综上所示，联立，解得， ， 故选：C． 8．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：C． 9．对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新定义，列出二元一次方程组，进行求解即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选A． 10．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数． 将两方程相加后根据求解即可． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 二、填空题 11．将方程变形：若用含y的式子表示x，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键；把看作已知数，根据等式的性质求出即可． 【详解】解：由原方程， 移项得， 两边同时除以5，得，即； 故答案为． 12．已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 【详解】解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 13．已知方程组的解是，则方程组的解是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组变形为，把看做一个整体，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， 解得， 故答案为：． 14．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 三、解答题 15．（24-25七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减法和代入法是关键. （1）利用代入法解方程组即可； （2）利用加减法解方程组即可. 【详解】（1）解： 把①代入②得， 解得 把代入①得， ∴ （2） 得，， 把代入①得，， 解得 ∴ 16．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 17．仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组： 解：①-②，得，即．③ ①+②，得，即．④ ③+④，得．③－④，得， 所以原方程组的解为 请你仿照上面的解法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握消元法是关键． 先把两式相加得出的值，再把两式相减得出的值，再用加减消元法求出的值即可； 【详解】解：①+②，得，即．③ ①-②，得， 即．④ ，得．，得， 所以原方程组的解为 18．某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知满足，且，求m的值． 小亮同学说：“先解关于的方程组，将用含m的式子表示出来，再代入，可求出m的值．” 小明同学观察后说：“方程组中含有字母m，解方程组可能比较麻烦．但中不含字母m，可以先解方程组，再将的值代入，求出m的值．” 请你用一种比较简单的方法，求出m的值． 【答案】4 【分析】本题考查解二元一次方程组，小明的方法比较简单，先解方程组，再将的值代入，即可求出m的值． 【详解】解：采用小明的方法． ，得：， 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 解得． 19．定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1) x与y具有“友好关系”，理由如下： 由方程组， 得， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值： （1）用，得到，即可得出结论； （2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴③ 联立， 解得， 把代入中得， 则a，b的正整数值为或． 20．阅读理解：我们把关于字母、的二元一次方程的系数、、称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． (1)二元一次方程的伴随数是___________； (2)已知关于、的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法． （1）把化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可； （2）先根据新定义写出方程，然后把x、y的值代入即可求出、的值． 【详解】（1）解：二元一次方程变形为， ∴二元一次方程的伴随数是， 故答案为：； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是， ∴原方程为， ∵，是方程的两组解， ∴， 解得． 21．（24-25七年级·安徽合肥·期中）问题：已知关于x，y的方程组的解满足方程，求m的值．同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于x，y的方程组，再求m的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求m的值． … 请用2种不同的方法解决上面的问题． 【答案】 【分析】解法1：利用加减法求出，再代入，即可得到m的值； 解法2：得，，则，由得到，即可得到m的值； 解法3：解方程组得到，把代入，即可得到m的值． 【详解】解法1： 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得； 解法2： 得，， 则， ∵， ∴， 解得； 解法3： 得，， 把代入①得，， 解得， ∴， 把代入得， ， 解得． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键． 22．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $