专题10 二元一次方程组的应用（专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

专题10 二元一次方程组的应用 常考题型·精准突破 题型1 行程问题（重） 题型2 工程问题（重） 题型3 数字问题（高频） 题型4 年龄问题 题型5 分配问题（难） 题型6 销售、利润问题（高频） 题型7 和差倍分问题（重） 题型8 几何问题（难） 题型9 图表信息问题 题型10 古代数学问题（高频） 题型11 方案问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 行程问题 1．一条船顺流航行，两小时行驶；逆流航行，三小时行驶．设船在静水中的速度为，水流速度为，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 2．某环形道路长，甲、乙两人从同一地点出发，分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔相遇一次；如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．甲、乙两人的速度分别是多少？ 3．由甲地到乙地的公路全程为，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路．已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是和，从甲地到乙地用时，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米？ ◆题型2 工程问题 4．骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 5．夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？ 6．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 7．【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费元； ②若先由甲队单独施工天，剩余工程交由乙队单独施工天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳务费元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要天，乙队独立完成全部工程需要天．商铺正常营业每日净利润为元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费元，乙队工作天商店需付费元，请列出二元一次方程组，并求解甲、乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个成本更低，并说明理由． ◆题型3 数字问题 8．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将、2、、4、、6、、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（     ） A．11 B．15 C．9 D．13 11．小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔看到一个里程碑上的数，下面是对三个数的描述．请确定小明在时看到的里程碑上的数． 是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为7． 十位数字和个位数字与时所看到的正好互换了． 比时看到的两位数中间多了个0． ◆题型4 年龄问题 12．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 13．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 14．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） ◆题型5 分配问题 15．用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 16．劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身6个，或制作盒底8个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料30张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 17．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 18．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 19．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ ◆题型6 销售、利润问题 20．某县是全国知名的汉服生产基地，某汉服店铺购进基础款汉服和刺绣款马面裙两种服饰．已知购进2件基础款汉服和3件刺绣马面裙一共花费650元；购进3件基础款汉服比购进5件刺绣马面裙少450元，则每件刺绣马面裙的进价为__________元． 21．小明在新华书店准备购买，两本图书，按原价购买这两本书需付款元．因店庆注册会员有优惠活动：图书打七五折，图书打八折．小明注册会员后，购买这两本图书共付款元．则图书打折后是________元． 22．【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 23．列方程（组）解下列问题： 某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元． (1)求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？ (2)该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值． ◆题型7 和差倍分问题 24．2026年5月1日晚，在鞍山市立山区南沙河举办了一场大型无人机灯光秀，这次灯光秀共有3000架无人机参加表演，这3000架无人机由外市用大型箱式半挂车通过高速公路运输到鞍山，然后用中型厢货车一次性转运到表演场地．参与转运的中型厢货车有A，B两种型号，每辆A型车运输240架无人机，每辆B型车运输120架无人机，且两种型号车均满载，A型车数量是B型车数量的2倍，求A型车和B型车各有多少辆？设A型车有辆，B型车有辆，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 25．七年级（1）班的部分同学去某航天科技馆参加科技体验活动，第一组有2人选择“VR星际漫游”项目，3人选择“火箭发射模拟”项目，共花费190元；第二组有4人选择“VR星际漫游”项目，2人选择“火箭发射模拟”项目，共花费220元．求“VR星际漫游”和“火箭发射模拟”项目的单次体验价格各为多少元？ 26．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元．求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． 27．暑假即将来临，某学校为确保学生暑期安全，购买了《交通安全》和《防溺水安全》两种宣传手册，发放给学生进行安全宣传教育．九年级（1）班购买了20本《交通安全》手册和30本《防溺水安全》手册，共花费130元，九年级（2）班购买了25本《交通安全》手册和27本《防溺水安全》手册，共花费131元．求每本《交通安全》手册和《防溺水安全》手册各多少元？ ◆题型8 几何问题 28．如图，宽为50厘米的长方形是由10个相同的小长方形拼成的，其中一个小长方形的面积是（     ） A．600 B．500 C．400 D．300 29．如图1，甲、乙两张等宽的长方形纸片，长分别为a，b，如图2，把甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起，此时纸片总长为30．则关于a，b的方程组不正确的是（     ） A． B． C． D． 30．将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． ◆题型9 图表信息问题 31．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________． 32． 背景 为助力乡村振兴、支持惠农富农，某合作社销售来自山区的甲、乙两种苹果． 素材 已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． 请利用二元一次方程（组）相关知识解决下列问题： (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)王老师购买了甲、乙两种苹果，恰好花费600元，求两种苹果各买了多少箱． 33．项目化学习 校园社团器材采购规划 素材一 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表： 器材类型 每套需管理志愿者人数 单套采购费用（元） 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材二 本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元． (1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ 34．某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． (1)求该团队成人与儿童的人数． (2)请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 35．我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一（2块A型、1块B型，剩余）或裁法二（1块A型、2块B型，剩余）裁下A型与B型两种板材．如图1，（单位：） (1)列出方程（组），求出图中与的值； (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材____________张，B型板材____________张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，求、的值． ◆题型10 古代数学问题 36．《九章算术》中盈不足章有如下记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？”译文：若干人合伙买一块美石，每人出钱，多出钱；每人出钱，还差钱．问人数和美石的价格各是多少？设有人，一块美石为钱，可列方程组（     ） A． B． C． D． 37．中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 38．《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 39．《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 40．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌． 如果设甲有羊只，乙有羊只，那么可列方程组（     ） A． B． C． D． 41．我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（     ） 小青：设人数有人，则； 小军：设鸡价有钱，则； 小萍：设人数有人，鸡价有钱，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ◆题型11 方案问题 42．小芳用50元购买单价5元的笔记本和单价2元的圆珠笔（两种都要买），钱刚好用完，则她购买方案共有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 43．某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元．（题中客车均不考虑司机座） (1)七年级有多少名学生？原计划租用45座客车多少辆？ (2)如果只能租用45座客车或60座客车中的一种，要使每名同学都有座位，租用哪种车辆更合算？ 44．随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 45．某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 46．暑期来临，某校计划组织七年级师生外出研学，结合相关调研数据完成任务． 调研一 租用型客车数量 租用型客车数量 租金总费用 调研二 型客车每辆有个座位，型客车每辆有个座位； 调研三 七年级师生共人前往外地研学； (1)任务一：确定两种型号客车每辆的租金分别是多少元； (2)任务二：某校租用型、型两种客车，若每辆客车恰好都坐满，写出所有租车方案，并从费用和环保两方面考虑选用哪种方案更合适． 47．图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长，宽．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用） 【任务一】拟定裁切方式 (1)若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______块； (2)若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）； 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得． 要求： ①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）； ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材； 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材． 综合攻坚·知能拔高 1．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当．译文：甲和乙隔着一条沟放牧，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“你若给我9只羊，我的羊是你的2倍．”乙对甲说：“你若给我9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 3．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 4．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 5．甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 6．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是______． 7．在数学游艺会上，有一个卡片游戏：50张卡片分别写有1到中的整数，记为、、、、（按环形排列）（如图）．已知相邻两张卡片上的数的和为：，，，，．将卡片上的数从小到大排列，顺序为______（用字母表示）． 8．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 9．某商店准备购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品每件进价 30 元，售价35元；乙种商品每件进价 40 元，售价50元，若商店销售完这50件商品后共获利350元，问购进甲、乙两种商品各多少件？ 10．为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 11．列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．    12．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 13．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 14．为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设备（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等）．据了解，购买1套类设备和3套类设备共需55万元；购买2套类设备和1套类设备共需60万元． (1)、两类设备每套的价格分别为多少万元？ (2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 15．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 16．项目式学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为传承中华传统文化，激发学生的爱国情怀，某中学计划在四月六号组织本校优秀学生代表前往猎民村扫墓． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共600人 ②某租车公司有，两种型号的客车可供选择，型客车每辆有25个座位，型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用型客车数量/辆 租用型客车数量/辆 租车总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决： (1)根据该公司租车记录单上的信息，租用一辆型或型客车的租金分别是多少元？ (2)学校本次研学准备租用该租车公司，两种型号的客车若干辆，若每辆客车恰好都坐满且两种型号的客车都要租，请你求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）的条件下，请你说明应选择哪种方案，才能使租车费用最少？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二元一次方程组的应用 常考题型·精准突破 题型1 行程问题（重） 题型2 工程问题（重） 题型3 数字问题（高频） 题型4 年龄问题 题型5 分配问题（难） 题型6 销售、利润问题（高频） 题型7 和差倍分问题（重） 题型8 几何问题（难） 题型9 图表信息问题 题型10 古代数学问题（高频） 题型11 方案问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 行程问题 1．【答案】D 2．【答案】甲的速度为，乙的速度为． 【分析】设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， ∵反向而行时，两人相遇，总路程等于环形道路周长， ∴， ∵同向而行时，乙追上甲，路程差等于环形道路周长， ∴， 联立得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 3．【答案】汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米 【分析】设汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米， 根据题意得， 解得， 答：汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米． ◆题型2 工程问题 4．【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 5．【答案】每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 【分析】设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台，然后根据每天安装的空调数乘以天数等于安装的总空调数，列出方程组即可解答． 【详解】解：设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台， 依题意得 解得 答：每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 6．【答案】 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 【分析】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 7．【答案】(1)甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元 (2)单独聘请甲队完成装修的总花费更低， 理由：单独聘请甲队完成装修的总花费（元）， 单独聘请乙队完成装修的总花费（元）， ，                        单独聘请甲队完成装修的总花费更低 【分析】（1）根据两队同时施工天的总劳务费和甲单独施工天、乙单独施工天的总劳务费，列出二元一次方程组，解方程组即可得到两队每日劳务费用； （2）分别用“每日劳务费+每日净利润”乘以各自的独立工期，算出单独聘请甲、乙两队的总花费，再比较两个总花费的大小，即可判断哪个成本更低． 【详解】（1）解：由题意列方程组为： ， 解得 ， 答：甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元． （2）略 ◆题型3 数字问题 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】D 11．【答案】小明在时看到的里程碑上的数是16． 【分析】设看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据两数字之和为7，匀速行驶1小时的路程相等列方程组求解． 【详解】解：设时看到的数的十位数字为，个位数字为． 根据题意，得， 解得：， ∴． 答：小明在时看到的里程碑上的数是16． ◆题型4 年龄问题 12．【答案】B 13．【答案】B 14．【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． ◆题型5 分配问题 15．【答案】B 16．【答案】C 17．【答案】应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮 【分析】设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再进行求解即可． 【详解】解：设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮， 由题意可得， 解得， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮． 18．【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 【详解】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 19．【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只 (2)n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只 【分析】（1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），根据竖式箱子做20只，横式箱子做只，根据总板材需求列出方程，化简得出，再对k，n进行讨论，即可求得． 【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B， 设竖式做个，横式做个， 则，解得：， 答：制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只； （2）解：∵1张的C型板材，全切割为A型可得9张A型，全切割为B型可得3张B型；其中1张已经切割为3张A型、2张B型， 设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数）， 已知竖式箱子做20只，总板材需求满足： A型总数：，整理得：，即； B型总数：，整理得：， 将代入，得：， 因为且为整数，所以为正偶数，得为最小奇数（时为负，舍去）； 代入得：，，是最小的正整数， 即的最小值为，此时能制作横式箱子只． ◆题型6 销售、利润问题 20．【答案】150 21．【答案】 22．【答案】(1)A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； (2)购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 【分析】（1）设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，根据购买的数量和对应的费用列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，根据刚好花了220元列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则 解得 答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； （2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则 解得， 则， 答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 23．【答案】(1) 每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元 (2) 的值为16 【分析】（1）根据两组总销售额的等量关系，设未知数列二元一次方程组求解； （2）分别表示9月两款产品的销售额，结合总销售额的增长比例列方程求解． 【详解】（1）解：设每罐A款土蜂蜜售价为元，每袋B款菌菇售价为元， 根据题意，得 解得 答：每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元； （2）解：8月总销售额为（元）， 9月A款蜂蜜销量为罐，B款菌菇销量为袋，B款菌菇售价为元/袋， 根据题意，得 化简得 解得 答：的值为16． ◆题型7 和差倍分问题 24．【答案】A 25．【答案】“VR星际漫游”和“火箭发射模拟”项目单次体验价格分别为35元和40元 【详解】解：设“VR星际漫游”项目的单次体验价格为元，“火箭发射模拟”项目的单次体验价格为元． 由题意可列方程组 解得 答：“VR星际漫游”和“火箭发射模拟”项目单次体验价格分别为35元和40元． 26．【答案】每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元 【分析】设每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元，根据“若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元”列方程组求解即可． 【详解】解：设每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元， 根据题意得：， 解之得． 答：每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元． 27．【答案】每本《交通安全》手册2元，每本《防溺水安全》手册3元 【详解】解：设每本《交通安全》手册元，每本《防溺水安全》手册元． 由题意得， 解得：． 答：每本《交通安全》手册2元，每本《防溺水安全》手册3元． ◆题型8 几何问题 28．【答案】C 29．【答案】C 30．【答案】 ◆题型9 图表信息问题 31．【答案】 32．【答案】(1)甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元 (2)购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱 【分析】（1）设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元，列出方程组，解方程组即可； （2）设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据购买甲、乙两种苹果，恰好花费600元，列出二元一次方程，根据方程的解为正整数，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元； （2）解：设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴， 答：购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱． 33．【答案】(1)采购科创套装套，采购美术套装套 (2)当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低 【分析】（1）设采购科创套装套，采购美术套装套，列二元一次方程组求解； （2）设采购套科创套装，采购美术套装套，可列二元一次方程，根据，均为非负整数，且，求出方程的解即为采购方案． 【详解】（1）解：设采购科创套装套，采购美术套装套， 根据题意得：， 解得：， 答：采购科创套装套，采购美术套装套； （2）解：设采购套科创套装，采购美术套装套， 根据题意得：， 整理可得：， 又，均为非负整数，且， 或， 共有种采购方案， 方案1：采购总成本为（元） 方案2：采购总成本为（元）； ， 当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低． 34．【答案】(1)该团成人有4人，儿童有3人 (2)最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元 【分析】（1）设该团队成人有x人，儿童有y人，根据题意列方程组去求解即可； （2）根据成人有4人，儿童有3人，结合票务信息制定不同方案，分别求出所需费用，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：设该团队成人有x人，儿童有y人， 根据题意，得 解得 答：该团队成人有4人，儿童有3人； （2）解：方案一：按照A方案购票，则所需费用为1190元； 方案二：购买两个B套票，一个儿童票，则所需费用为（元）； 方案三：购买一个B套票，两个C套票，则所需费用为（元）； 方案四：购买四个C套票，则所需费用为（元）； ∵， ∴按照方案三购票最省钱， 答：最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元． 35．【答案】(1)；值为； (2)①64；38；② 【分析】1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解． （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意列 解得 答：图1中a与b的值分别为：52、44； （2）解：①由图示裁法一产生A型板材为：， 裁法二产生A型板材为：，所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：， 裁法二产生B型板材为：，所以两种裁法共产生B型板材为（张） ②根据题意竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，则A型板材需要个，B型板材需要个， 解得 答：竖式有盖礼品盒7个，横式无盖礼品盒12个． ◆题型10 古代数学问题 36．【答案】A 37．【答案】A 38．【答案】B 39．【答案】B 40．【答案】B 41．【答案】C ◆题型11 方案问题 42．【答案】B 43．【答案】(1)七年级有240名学生，原计划租用45座客车5辆 (2)全租用60座客车更合算 【分析】（1）设七年级有名学生，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租这两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级有名学生． 根据题意，得． 解得． ． 答：七年级有240名学生，原计划租用45座客车5辆． （2）解：当全租用45座客车时，要使每名同学都有座位，需要租辆，此时费用为（元）． 当全租用60座客车时，要使每名同学都有座位，需要租辆，此时费用为（元）． 因为， 所以全租用60座客车更合算． 44．【答案】(1)A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克 (2)共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 【分析】（1）根据两组不同架数组合的吊运总质量，列二元一次方程组求解两款无人机的单架次吊运量； （2）根据总吊运质量列二元一次方程，结合租用架数为正整数的条件，枚举所有符合要求的解． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克． （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 45．【答案】(1)共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． (2)应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案． 【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50台”和“买两种电视花去的费用9万元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可． 【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台． 则有： ，解得：， 所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台． ②设购进乙种电视机a台，丙种电视机b台． 则有： ，解得：，（不符合题意舍去）． ③设购进甲种电视机c台，丙种电视机d台． 则有： ，解得：． 所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． 综上，共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． （2）解：方案一获利为：（元）； 方案二获利为：（元）． 因为， 所以应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案，此时获利最多． 46．【答案】(1)元，元 (2)两种方案：方案：型辆，型辆；方案：型辆，型辆；选用方案更合适 【分析】（1）设两种型号客车每辆的租金分别是元，元，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型客车辆，型客车辆，根据题意得出，求出的非负整数解，即可解答； 【详解】（1）解：任务一：设两种型号客车每辆的租金分别是元，元， 由题意得，， 解得， 答：两种型号客车每辆的租金分别是元，元； （2）解：任务二：设租用型客车辆，型客车辆， 由题意得，， 整理得，， ∵为非负整数， ，或，， ∴有两种方案：方案：型辆，型辆； 方案：型辆，型辆； 方案的费用：元； 方案的费用：元， ∵两种方案费用相同， ∴从环保的角度考虑，车辆总数越少越环保， ∴选用方案更合适． 47．【答案】(1) (2)解：∵， ∴只能先将的板材先切成四个的小长方形板材，再去切割桌面或者桌腿挡板， ∵桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为， ∴每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板， ∴板材最多可以切出四块桌面， ∵将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料， ∴满足条件的裁切方案： 方案一：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案二：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案三：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案四：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； (3)该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材 【分析】（1）将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材即可求解； （2）先将的板材先切成四个的小长方形板材，每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板，据此设计方案即可； （3）根据题意还需要块桌面，块桌腿挡板，分别选择两种方案，设出每种方案需要用到的板材数量，根据桌面和桌腿挡板数量列方程组求解即可． 【详解】（1）解：将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材，即桌腿挡板尺寸， ∴将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板块； （2）略 （3）解：∵现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板， ∴还需要块桌面，块桌腿挡板， ①选择方案一和方案二， 设方案一和方案二用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材； ②选择方案一和方案三， 设方案一和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材； ③选择方案一和方案四， 设方案一和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得不是整数，不合题意； ④选择方案二和方案三， 设方案二和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑤选择方案二和方案四， 设方案二和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑥选择方案三和方案四， 设方案三和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； 综上所述，该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为块和块张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为块和块张板材． 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】/35厘米 7．【答案】 8．【答案】14 9．【答案】购进甲种商品 30 件，乙种商品 20 件． 【分析】设购进甲商品的数量为件，乙商品的数量为y件．甲每件利润为售价减进价，乙每件利润同样为售价减进价．总利润等于甲的总利润加乙的总利润，结合两种商品共50件，总获利350元建立二元一次方程组，求解得到的值和y的值． 【详解】解：设购进甲种商品 件，乙种商品 件． 根据题意，得： ， 化简，得， ②-①得 ，， 把代入①，得， 解得， ∴ ， 答：购进甲种商品 30 件，乙种商品 20 件． 10．【答案】每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元 【分析】根据题意找出等量关系，设未知数列出方程组求解即可； 【详解】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得：， 解得：， 答：每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元． 11．【答案】 【分析】设垫台高为，则一层底座高为，则6层底座高为，杯身高为，根据题意列出方程组并解方程组得到的值，即可求出斯韦思林杯的总高度． 【详解】解：设垫台高为，则每层底座高为，则6层底座高为，杯身高为， 根据题意可得， 解得， 则这届斯韦思林杯的总高度为． 12．【答案】(1)， (2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 13．【答案】(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 14．【答案】(1)类设备每套的价格为25万元，类设备每套的价格为10万元 (2)方案1：购买类设备2套，类设备15套；方案2：购买类设备4套，类设备10套；方案3：购买类设备6套，类设备5套 【分析】（1）设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元，根据题意列出方程组解方程组，即可求解． （2）设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数，根据题意列出二元一次方程，根据为正整数得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元． 根据题意，得         解得 答：A类设备每套的价格为25万元，B类设备每套的价格为10万元． （2）解：设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数． 根据题意，得，         解得．             ，均为正整数， 为正偶数，且， 为正偶数，且． 当时，； 当时，； 当时，． 答：方案1：购买A类设备2套，B类设备15套；方案2：购买A类设备4套，B类设备10套；方案3：购买A类设备6套，B类设备5套． 15．【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 16．【答案】(1)每辆型客车的租金是600元，每辆型客车的租金是1000元 (2)共有2种租车方案， 方案1：租用13辆型客车，5辆型客车； 方案2：租用2辆型客车，10辆型客车； (3)租用2辆型客车，10辆型客车，费用最少 【分析】（1）设每辆型客车的租金是元，每辆型客车的租金是元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型客车，辆型客车，根据租用的客车恰好可以乘载人，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，再比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆型客车的租金是元，每辆型客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， 每辆型客车的租金是600元，每辆型客车的租金是1000元； （2）解：设租用辆型客车，辆型客车， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 当时，则； 当时，则； 或， 共有2种租车方案， 方案1：租用13辆型客车，5辆型客车； 方案2：租用2辆型号客车，10辆型客车； （3）解：租用2辆型客车，10辆型客车，理由如下： 当租用13辆型客车，5辆型客车时， 此时租车费用为（元）， 当租用2辆型客车，10辆型客车时， 此时租车费用为（元）， ， 应选择方案2：租用2辆型客车，10辆型客车，费用最少． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二元一次方程组的应用 常考题型·精准突破 题型1 行程问题（重） 题型2 工程问题（重） 题型3 数字问题（高频） 题型4 年龄问题 题型5 分配问题（难） 题型6 销售、利润问题（高频） 题型7 和差倍分问题（重） 题型8 几何问题（难） 题型9 图表信息问题 题型10 古代数学问题（高频） 题型11 方案问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 行程问题 1．一条船顺流航行，两小时行驶；逆流航行，三小时行驶．设船在静水中的速度为，水流速度为，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用顺流速度、逆流速度与静水速度、水流速度的关系，结合路程速度时间，列方程即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为，水流速度为， 顺流航行两小时行驶， ， 逆流航行三小时行驶， ， 因此所列方程组为， 故选：D． 2．某环形道路长，甲、乙两人从同一地点出发，分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔相遇一次；如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．甲、乙两人的速度分别是多少？ 【答案】甲的速度为，乙的速度为． 【分析】设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， ∵反向而行时，两人相遇，总路程等于环形道路周长， ∴， ∵同向而行时，乙追上甲，路程差等于环形道路周长， ∴， 联立得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 3．由甲地到乙地的公路全程为，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路．已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是和，从甲地到乙地用时，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米？ 【答案】汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米 【分析】设汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米， 根据题意得， 解得， 答：汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米． ◆题型2 工程问题 4．骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 5．夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？ 【答案】每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 【分析】设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台，然后根据每天安装的空调数乘以天数等于安装的总空调数，列出方程组即可解答． 【详解】解：设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台， 依题意得 解得 答：每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 6．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【答案】 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 【分析】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 7．【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费元； ②若先由甲队单独施工天，剩余工程交由乙队单独施工天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳务费元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要天，乙队独立完成全部工程需要天．商铺正常营业每日净利润为元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费元，乙队工作天商店需付费元，请列出二元一次方程组，并求解甲、乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个成本更低，并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元 (2)单独聘请甲队完成装修的总花费更低， 理由：单独聘请甲队完成装修的总花费（元）， 单独聘请乙队完成装修的总花费（元）， ，                        单独聘请甲队完成装修的总花费更低 【分析】（1）根据两队同时施工天的总劳务费和甲单独施工天、乙单独施工天的总劳务费，列出二元一次方程组，解方程组即可得到两队每日劳务费用； （2）分别用“每日劳务费+每日净利润”乘以各自的独立工期，算出单独聘请甲、乙两队的总花费，再比较两个总花费的大小，即可判断哪个成本更低． 【详解】（1）解：由题意列方程组为： ， 解得 ， 答：甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元． （2）略 ◆题型3 数字问题 8．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将、2、、4、、6、、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】先计算所有数字总和，利用内外圆和相等得出每组和为2，通过竖线求出b，再通过内圆求出空缺数，最后根据剩余数字确定a的值并计算． 【详解】解：设内圆左侧空缺数为c，外圆右侧空缺数为d， ∵所有数字总和为，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴内、外两圆上的4个数字之和为，即横、竖的4个数字之和为2， ∴，解得， 此时已填数字为，则剩余数字为， ∴a与d分别为与2， 当时，； 当时， ∴的值为或． 9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幻方的性质，即每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等进行分析即可． 【详解】解；如图： 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 所以． 10．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（     ） A．11 B．15 C．9 D．13 【答案】D 【分析】根据“幻方”的定义，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴． 11．小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔看到一个里程碑上的数，下面是对三个数的描述．请确定小明在时看到的里程碑上的数． 是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为7． 十位数字和个位数字与时所看到的正好互换了． 比时看到的两位数中间多了个0． 【答案】小明在时看到的里程碑上的数是16． 【分析】设看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据两数字之和为7，匀速行驶1小时的路程相等列方程组求解． 【详解】解：设时看到的数的十位数字为，个位数字为． 根据题意，得， 解得：， ∴． 答：小明在时看到的里程碑上的数是16． ◆题型4 年龄问题 12．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 13．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 14．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． ◆题型5 分配问题 15．用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是铁皮总张数为56，二是桶身数量与桶底数量相等正好配套，据此即可得到符合题意的方程组． 【详解】解：设用张铁皮做桶身，张铁皮做桶底，根据题意得 ． 16．劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身6个，或制作盒底8个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料30张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据铁皮总张数和配套的数量关系即可列出相应方程组，关键是明确盒底数量应为盒身数量的2倍． 【详解】解：∵共有30张铁皮，张制作盒身，张制作盒底， ∴， ∵一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒，即盒底总数量是盒身总数量的2倍，盒身总数量为，盒底总数量为， ∴， ∴可得方程组． 17．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 【答案】应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮 【分析】设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再进行求解即可． 【详解】解：设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮， 由题意可得， 解得， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮． 18．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 【详解】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 19．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只 (2)n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只 【分析】（1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），根据竖式箱子做20只，横式箱子做只，根据总板材需求列出方程，化简得出，再对k，n进行讨论，即可求得． 【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B， 设竖式做个，横式做个， 则，解得：， 答：制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只； （2）解：∵1张的C型板材，全切割为A型可得9张A型，全切割为B型可得3张B型；其中1张已经切割为3张A型、2张B型， 设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数）， 已知竖式箱子做20只，总板材需求满足： A型总数：，整理得：，即； B型总数：，整理得：， 将代入，得：， 因为且为整数，所以为正偶数，得为最小奇数（时为负，舍去）； 代入得：，，是最小的正整数， 即的最小值为，此时能制作横式箱子只． ◆题型6 销售、利润问题 20．某县是全国知名的汉服生产基地，某汉服店铺购进基础款汉服和刺绣款马面裙两种服饰．已知购进2件基础款汉服和3件刺绣马面裙一共花费650元；购进3件基础款汉服比购进5件刺绣马面裙少450元，则每件刺绣马面裙的进价为__________元． 【答案】150 【分析】设每件基础款汉服的进价为x元，每件刺绣马面裙的进价为y元，根据“2件基础款汉服和3件刺绣马面裙一共花费650元；购进3件基础款汉服比购进5件刺绣马面裙少450元”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设每件基础款汉服的进价为x元，每件刺绣马面裙的进价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：每件基础款汉服的进价为100元，每件刺绣马面裙的进价为150元． 21．小明在新华书店准备购买，两本图书，按原价购买这两本书需付款元．因店庆注册会员有优惠活动：图书打七五折，图书打八折．小明注册会员后，购买这两本图书共付款元．则图书打折后是________元． 【答案】 【分析】设A图书原价为元，B图书原价为元，根据两书原价总和、打折后付款总额列出二元一次方程组，解方程组求出A图书原价，再计算A图书七五折后的价格． 【详解】解：设A图书原价元，B图书原价元． ， 解得， （元）， ∴A图书打折后是元． 22．【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 【答案】(1)A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； (2)购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 【分析】（1）设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，根据购买的数量和对应的费用列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，根据刚好花了220元列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则 解得 答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； （2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则 解得， 则， 答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 23．列方程（组）解下列问题： 某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元． (1)求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？ (2)该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值． 【答案】(1) 每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元 (2) 的值为16 【分析】（1）根据两组总销售额的等量关系，设未知数列二元一次方程组求解； （2）分别表示9月两款产品的销售额，结合总销售额的增长比例列方程求解． 【详解】（1）解：设每罐A款土蜂蜜售价为元，每袋B款菌菇售价为元， 根据题意，得 解得 答：每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元； （2）解：8月总销售额为（元）， 9月A款蜂蜜销量为罐，B款菌菇销量为袋，B款菌菇售价为元/袋， 根据题意，得 化简得 解得 答：的值为16． ◆题型7 和差倍分问题 24．2026年5月1日晚，在鞍山市立山区南沙河举办了一场大型无人机灯光秀，这次灯光秀共有3000架无人机参加表演，这3000架无人机由外市用大型箱式半挂车通过高速公路运输到鞍山，然后用中型厢货车一次性转运到表演场地．参与转运的中型厢货车有A，B两种型号，每辆A型车运输240架无人机，每辆B型车运输120架无人机，且两种型号车均满载，A型车数量是B型车数量的2倍，求A型车和B型车各有多少辆？设A型车有辆，B型车有辆，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实际问题列二元一次方程组，只需从题干提取两个等量关系，分别列方程即可得到正确方程组． 【详解】设A型车有辆，B型车有辆，且A型车数量是B型车数量的倍， 可得第一个方程. 总共有架无人机，每辆A型车运架，每辆B型车运架，且两种车均满载， 运输无人机总数满足. 因此可得方程组． 25．七年级（1）班的部分同学去某航天科技馆参加科技体验活动，第一组有2人选择“VR星际漫游”项目，3人选择“火箭发射模拟”项目，共花费190元；第二组有4人选择“VR星际漫游”项目，2人选择“火箭发射模拟”项目，共花费220元．求“VR星际漫游”和“火箭发射模拟”项目的单次体验价格各为多少元？ 【答案】“VR星际漫游”和“火箭发射模拟”项目单次体验价格分别为35元和40元 【详解】解：设“VR星际漫游”项目的单次体验价格为元，“火箭发射模拟”项目的单次体验价格为元． 由题意可列方程组 解得 答：“VR星际漫游”和“火箭发射模拟”项目单次体验价格分别为35元和40元． 26．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元．求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． 【答案】每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元 【分析】设每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元，根据“若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元”列方程组求解即可． 【详解】解：设每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元， 根据题意得：， 解之得． 答：每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元． 27．暑假即将来临，某学校为确保学生暑期安全，购买了《交通安全》和《防溺水安全》两种宣传手册，发放给学生进行安全宣传教育．九年级（1）班购买了20本《交通安全》手册和30本《防溺水安全》手册，共花费130元，九年级（2）班购买了25本《交通安全》手册和27本《防溺水安全》手册，共花费131元．求每本《交通安全》手册和《防溺水安全》手册各多少元？ 【答案】每本《交通安全》手册2元，每本《防溺水安全》手册3元 【详解】解：设每本《交通安全》手册元，每本《防溺水安全》手册元． 由题意得， 解得：． 答：每本《交通安全》手册2元，每本《防溺水安全》手册3元． ◆题型8 几何问题 28．如图，宽为50厘米的长方形是由10个相同的小长方形拼成的，其中一个小长方形的面积是（     ） A．600 B．500 C．400 D．300 【答案】C 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y，进而可求出小长方形的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 则一个小长方形的面积是． 29．如图1，甲、乙两张等宽的长方形纸片，长分别为a，b，如图2，把甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起，此时纸片总长为30．则关于a，b的方程组不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意找出两个等量关系：一是重叠部分的长度相等，二是拼接后的总长度为30，据此列出方程或方程组进行判断即可． 【详解】解： ∵甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起， ∴重叠部分的长度为，也为，即 变形可得，即或，也可得 ∵此时纸片总长为30 ∴总长可表示为：甲未重叠部分+乙全长，即即或表示为：甲全长+乙未重叠部分，即即， 对于A，符合题意，正确； 对于B，中第二个方程由变形得到，正确； 对于C，中第二个方程与推导出的不符，错误； 对于D，两个方程分别表示总长的两种计算方式，联立可解出满足题意的，正确． 30．将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【答案】 【分析】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：设长方体木块的长为， 由题意可知木块的宽为， 根据图和图可得方程：，即， ，得， 解得． ◆题型9 图表信息问题 31．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________． 【答案】 【分析】先根据例子和图（2）列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5 则根据图2可得：． 故填． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，审清题意、明确图1各符号的含义成为解答本题的关键． 32． 背景 为助力乡村振兴、支持惠农富农，某合作社销售来自山区的甲、乙两种苹果． 素材 已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． 请利用二元一次方程（组）相关知识解决下列问题： (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)王老师购买了甲、乙两种苹果，恰好花费600元，求两种苹果各买了多少箱． 【答案】(1)甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元 (2)购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱 【分析】（1）设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元，列出方程组，解方程组即可； （2）设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据购买甲、乙两种苹果，恰好花费600元，列出二元一次方程，根据方程的解为正整数，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元； （2）解：设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴， 答：购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱． 33．项目化学习 校园社团器材采购规划 素材一 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表： 器材类型 每套需管理志愿者人数 单套采购费用（元） 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材二 本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元． (1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ 【答案】(1)采购科创套装套，采购美术套装套 (2)当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低 【分析】（1）设采购科创套装套，采购美术套装套，列二元一次方程组求解； （2）设采购套科创套装，采购美术套装套，可列二元一次方程，根据，均为非负整数，且，求出方程的解即为采购方案． 【详解】（1）解：设采购科创套装套，采购美术套装套， 根据题意得：， 解得：， 答：采购科创套装套，采购美术套装套； （2）解：设采购套科创套装，采购美术套装套， 根据题意得：， 整理可得：， 又，均为非负整数，且， 或， 共有种采购方案， 方案1：采购总成本为（元） 方案2：采购总成本为（元）； ， 当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低． 34．某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． (1)求该团队成人与儿童的人数． (2)请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 【答案】(1)该团成人有4人，儿童有3人 (2)最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元 【分析】（1）设该团队成人有x人，儿童有y人，根据题意列方程组去求解即可； （2）根据成人有4人，儿童有3人，结合票务信息制定不同方案，分别求出所需费用，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：设该团队成人有x人，儿童有y人， 根据题意，得 解得 答：该团队成人有4人，儿童有3人； （2）解：方案一：按照A方案购票，则所需费用为1190元； 方案二：购买两个B套票，一个儿童票，则所需费用为（元）； 方案三：购买一个B套票，两个C套票，则所需费用为（元）； 方案四：购买四个C套票，则所需费用为（元）； ∵， ∴按照方案三购票最省钱， 答：最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元． 35．我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一（2块A型、1块B型，剩余）或裁法二（1块A型、2块B型，剩余）裁下A型与B型两种板材．如图1，（单位：） (1)列出方程（组），求出图中与的值； (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材____________张，B型板材____________张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，求、的值． 【答案】(1)；值为； (2)①64；38；② 【分析】1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解． （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意列 解得 答：图1中a与b的值分别为：52、44； （2）解：①由图示裁法一产生A型板材为：， 裁法二产生A型板材为：，所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：， 裁法二产生B型板材为：，所以两种裁法共产生B型板材为（张） ②根据题意竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，则A型板材需要个，B型板材需要个， 解得 答：竖式有盖礼品盒7个，横式无盖礼品盒12个． ◆题型10 古代数学问题 36．《九章算术》中盈不足章有如下记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？”译文：若干人合伙买一块美石，每人出钱，多出钱；每人出钱，还差钱．问人数和美石的价格各是多少？设有人，一块美石为钱，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以美石价格为等量，结合两种出钱的盈、不足情况列方程组即可． 【详解】解：设有人，一块美石为钱， ∵每人出钱，多出钱， ∴， ∵每人出钱，还差钱， ∴， ∴可列方程组为． 37．中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛， ∵5个大容器和1个小容器的总容量为3斛， ∴， ∵1个大容器和5个小容器的总容量为2斛， ∴， 联立得． 38．《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重，列出方程组即可． 【详解】解：根据“六鸡、七鸭共重24千克”可得， 根据“互换其中一只，恰好一样重”可得， 故可列方程组为． 39．《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】买一斤（16两）肉还差25文，可得肉总价带的钱；买八两肉多15文，可得肉总价带的钱． 【详解】解：由肉价为x文两，哑巴带钱y文． 买16两肉，需要文，还差25文， 买8两肉，需要8x文，多15文， 联立方程组，对应选项． 40．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌． 如果设甲有羊只，乙有羊只，那么可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵甲得乙9只羊后，甲的羊数为只，乙的羊数为只，此时甲羊数是乙的2倍， ∴． ∵乙得甲9只羊后，乙的羊数为只，甲的羊数为只，此时两人羊数相等， ∴． 联立得方程组． 41．我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（     ） 小青：设人数有人，则； 小军：设鸡价有钱，则； 小萍：设人数有人，鸡价有钱，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】以鸡价不变、人数不变为等量关系，验证三人的解题方案是否正确． 【详解】解：设人数为x人，鸡价为y钱． 由每人出9钱多11钱，可得鸡价为钱，即； 由每人出6钱差16钱，可得鸡价为钱，即， 根据鸡价相等得到，故小青的方案正确； 也可得，故小萍的方案正确； 由每人出9钱多11钱，可得人数为， 由每人出6钱差16钱，可得人数为， 根据人数相等得到，与小军的式子不符，故小军的方案错误． 综上，正确的方案有2个． ◆题型11 方案问题 42．小芳用50元购买单价5元的笔记本和单价2元的圆珠笔（两种都要买），钱刚好用完，则她购买方案共有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】先设未知数，根据总费用列出方程，再结合两种商品都要买的条件，找出所有符合要求的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】设购买笔记本本，圆珠笔支，其中均为正整数， 由题意得： 整理得： ∵为正整数， ∴是整数， 又是奇数， ∴必为偶数， ∵， ∴， 解得， 结合是正偶数，可得的取值为，共种，即共有种购买方案． 43．某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元．（题中客车均不考虑司机座） (1)七年级有多少名学生？原计划租用45座客车多少辆？ (2)如果只能租用45座客车或60座客车中的一种，要使每名同学都有座位，租用哪种车辆更合算？ 【答案】(1)七年级有240名学生，原计划租用45座客车5辆 (2)全租用60座客车更合算 【分析】（1）设七年级有名学生，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租这两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级有名学生． 根据题意，得． 解得． ． 答：七年级有240名学生，原计划租用45座客车5辆． （2）解：当全租用45座客车时，要使每名同学都有座位，需要租辆，此时费用为（元）． 当全租用60座客车时，要使每名同学都有座位，需要租辆，此时费用为（元）． 因为， 所以全租用60座客车更合算． 44．随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 【答案】(1) A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克 (2) 共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 【分析】（1）根据两组不同架数组合的吊运总质量，列二元一次方程组求解两款无人机的单架次吊运量； （2）根据总吊运质量列二元一次方程，结合租用架数为正整数的条件，枚举所有符合要求的解． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克． （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 45．某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 【答案】(1)共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． (2)应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案． 【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50台”和“买两种电视花去的费用9万元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可． 【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台． 则有： ，解得：， 所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台． ②设购进乙种电视机a台，丙种电视机b台． 则有： ，解得：，（不符合题意舍去）． ③设购进甲种电视机c台，丙种电视机d台． 则有： ，解得：． 所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． 综上，共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． （2）解：方案一获利为：（元）； 方案二获利为：（元）． 因为， 所以应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案，此时获利最多． 46．暑期来临，某校计划组织七年级师生外出研学，结合相关调研数据完成任务． 调研一 租用型客车数量 租用型客车数量 租金总费用 调研二 型客车每辆有个座位，型客车每辆有个座位； 调研三 七年级师生共人前往外地研学； (1)任务一：确定两种型号客车每辆的租金分别是多少元； (2)任务二：某校租用型、型两种客车，若每辆客车恰好都坐满，写出所有租车方案，并从费用和环保两方面考虑选用哪种方案更合适． 【答案】(1)元，元 (2)两种方案：方案：型辆，型辆；方案：型辆，型辆；选用方案更合适 【分析】（1）设两种型号客车每辆的租金分别是元，元，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型客车辆，型客车辆，根据题意得出，求出的非负整数解，即可解答； 【详解】（1）解：任务一：设两种型号客车每辆的租金分别是元，元， 由题意得，， 解得， 答：两种型号客车每辆的租金分别是元，元； （2）解：任务二：设租用型客车辆，型客车辆， 由题意得，， 整理得，， ∵为非负整数， ，或，， ∴有两种方案：方案：型辆，型辆； 方案：型辆，型辆； 方案的费用：元； 方案的费用：元， ∵两种方案费用相同， ∴从环保的角度考虑，车辆总数越少越环保， ∴选用方案更合适． 47．图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长，宽．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用） 【任务一】拟定裁切方式 (1)若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______块； (2)若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）； 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得． 要求： ①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）； ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材； 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材． 【答案】(1) (2)解：∵， ∴只能先将的板材先切成四个的小长方形板材，再去切割桌面或者桌腿挡板， ∵桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为， ∴每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板， ∴板材最多可以切出四块桌面， ∵将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料， ∴满足条件的裁切方案： 方案一：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案二：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案三：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案四：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； (3)该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材 【分析】（1）将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材即可求解； （2）先将的板材先切成四个的小长方形板材，每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板，据此设计方案即可； （3）根据题意还需要块桌面，块桌腿挡板，分别选择两种方案，设出每种方案需要用到的板材数量，根据桌面和桌腿挡板数量列方程组求解即可． 【详解】（1）解：将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材，即桌腿挡板尺寸， ∴将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板块； （2）略 （3）解：∵现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板， ∴还需要块桌面，块桌腿挡板， ①选择方案一和方案二， 设方案一和方案二用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材； ②选择方案一和方案三， 设方案一和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材； ③选择方案一和方案四， 设方案一和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得不是整数，不合题意； ④选择方案二和方案三， 设方案二和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑤选择方案二和方案四， 设方案二和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑥选择方案三和方案四， 设方案三和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； 综上所述，该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为块和块张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为块和块张板材． 综合攻坚·知能拔高 1．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 2．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当．译文：甲和乙隔着一条沟放牧，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“你若给我9只羊，我的羊是你的2倍．”乙对甲说：“你若给我9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别整理得到方程，即可得到正确的方程组． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊，根据题意得 3．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，先求出，进而得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则，的值分别为，． 4．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 5．甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为，同向而行需分甲速度大于乙速度、乙速度大于甲速度两种情况讨论，结合路程关系列方程求解. 【详解】解：设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为. ∵相向而行后相遇， ∴， 整理得. 同向而行分两种情况： ① 甲速度大于乙速度，甲追乙，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， ∴甲走完全程的时间为， ② 乙速度大于甲速度，乙追甲，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， 代入得， ∴甲走完全程的时间为； 6．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是______． 【答案】/35厘米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键． 设每块墙砖的长为，宽为，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低”列方程组求解可得． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，根据题意得： 解得：， ． 7．在数学游艺会上，有一个卡片游戏：50张卡片分别写有1到中的整数，记为、、、、（按环形排列）（如图）．已知相邻两张卡片上的数的和为：，，，，．将卡片上的数从小到大排列，顺序为______（用字母表示）． 【答案】 【分析】将所有的式子相加可得出，再通过移项得出每个字母的值等于减去另外四个字母的和，即可求出每个字母的值，最后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴顺序为． 8．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 9．某商店准备购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品每件进价 30 元，售价35元；乙种商品每件进价 40 元，售价50元，若商店销售完这50件商品后共获利350元，问购进甲、乙两种商品各多少件？ 【答案】购进甲种商品 30 件，乙种商品 20 件． 【分析】设购进甲商品的数量为件，乙商品的数量为y件．甲每件利润为售价减进价，乙每件利润同样为售价减进价．总利润等于甲的总利润加乙的总利润，结合两种商品共50件，总获利350元建立二元一次方程组，求解得到的值和y的值． 【详解】解：设购进甲种商品 件，乙种商品 件． 根据题意，得： ， 化简，得， ②-①得 ，， 把代入①，得， 解得， ∴ ， 答：购进甲种商品 30 件，乙种商品 20 件． 10．为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 【答案】每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元 【分析】根据题意找出等量关系，设未知数列出方程组求解即可； 【详解】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得：， 解得：， 答：每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元． 11．列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．    【答案】 【分析】设垫台高为，则一层底座高为，则6层底座高为，杯身高为，根据题意列出方程组并解方程组得到的值，即可求出斯韦思林杯的总高度． 【详解】解：设垫台高为，则每层底座高为，则6层底座高为，杯身高为， 根据题意可得， 解得， 则这届斯韦思林杯的总高度为． 12．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 【答案】(1)， (2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 13．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【答案】(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 14．为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设备（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等）．据了解，购买1套类设备和3套类设备共需55万元；购买2套类设备和1套类设备共需60万元． (1)、两类设备每套的价格分别为多少万元？ (2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 【答案】(1)类设备每套的价格为25万元，类设备每套的价格为10万元 (2)方案1：购买类设备2套，类设备15套；方案2：购买类设备4套，类设备10套；方案3：购买类设备6套，类设备5套 【分析】（1）设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元，根据题意列出方程组解方程组，即可求解． （2）设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数，根据题意列出二元一次方程，根据为正整数得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元． 根据题意，得         解得 答：A类设备每套的价格为25万元，B类设备每套的价格为10万元． （2）解：设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数． 根据题意，得，         解得．             ，均为正整数， 为正偶数，且， 为正偶数，且． 当时，； 当时，； 当时，． 答：方案1：购买A类设备2套，B类设备15套；方案2：购买A类设备4套，B类设备10套；方案3：购买A类设备6套，B类设备5套． 15．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 16．项目式学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为传承中华传统文化，激发学生的爱国情怀，某中学计划在四月六号组织本校优秀学生代表前往猎民村扫墓． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共600人 ②某租车公司有，两种型号的客车可供选择，型客车每辆有25个座位，型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用型客车数量/辆 租用型客车数量/辆 租车总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决： (1)根据该公司租车记录单上的信息，租用一辆型或型客车的租金分别是多少元？ (2)学校本次研学准备租用该租车公司，两种型号的客车若干辆，若每辆客车恰好都坐满且两种型号的客车都要租，请你求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）的条件下，请你说明应选择哪种方案，才能使租车费用最少？ 【答案】(1)每辆型客车的租金是600元，每辆型客车的租金是1000元 (2)共有2种租车方案， 方案1：租用13辆型客车，5辆型客车； 方案2：租用2辆型客车，10辆型客车； (3)租用2辆型客车，10辆型客车，费用最少 【分析】（1）设每辆型客车的租金是元，每辆型客车的租金是元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型客车，辆型客车，根据租用的客车恰好可以乘载人，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，再比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆型客车的租金是元，每辆型客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， 每辆型客车的租金是600元，每辆型客车的租金是1000元； （2）解：设租用辆型客车，辆型客车， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 当时，则； 当时，则； 或， 共有2种租车方案， 方案1：租用13辆型客车，5辆型客车； 方案2：租用2辆型号客车，10辆型客车； （3）解：租用2辆型客车，10辆型客车，理由如下： 当租用13辆型客车，5辆型客车时， 此时租车费用为（元）， 当租用2辆型客车，10辆型客车时， 此时租车费用为（元）， ， 应选择方案2：租用2辆型客车，10辆型客车，费用最少． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $