专题09 线段的动态问题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

专题09线段的动态问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点问题 题型二、动线段问题 题型三、定值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 线段的动态问题是初中几何与代数综合的核心重难点，涵盖动点、动线段、定值探究三大类题型，所有问题均围绕点的位置随时间（或位移）变化、线段长度的代数表示、运动过程中的分类讨论三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有动点、动线段的位置必须用含参数的代数式准确表示，二是涉及距离、重叠、中点等关系时必须考虑运动阶段和位置分类，所有结果最终均需检验参数的有效范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点问题 典例1 如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 题型模版 一、题型特征 题干给出一条或多条线段，一个或多个点从线段的端点（或某定点）出发，以一定速度沿线段运动，要求在运动过程中求某时刻的线段长度、两点距离、中点位置，或求满足特定条件（如两点重合、某点为中点、两点距离为定值）的运动时间。核心特征是"点动→线段长度随时间变化→建立含时间的等量关系"，解题关键是用含时间 的代数式表示动点位置，再根据题目条件列方程求解。 二、解题方法 画图标注初始状态：画出线段示意图，标出所有定点、动点的起点、运动方向、速度，以及已知线段长度。 设运动时间为 ：通常设运动时间为 秒（或分钟等），注意 。 用 表示动点位置： 若点 从 出发向 运动，速度为 ，则 秒后 ， 。 若两点相向运动，距离逐渐缩短；若同向运动，距离可能先缩短后拉长（追及问题）。 根据条件列方程： 求某时刻的线段长度：直接将 代入表达式计算。 两点重合：令两点到同一端点的距离相等，列方程求 。 某点为中点：利用中点定义（如 是 中点，则 ）列方程。 两点距离为定值：用含 的式子表示两点距离，令其等于定值列方程（注意绝对值，可能有两解）。 检验 的合理性：求出的 必须满足动点仍在运动范围内（如未超出线段端点），否则舍去。 分类讨论（必要时）：若动点运动方向不确定、或存在往返运动、或多个动点速度不同导致位置关系变化，需分情况讨论。 变式1-1如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为． 变式1-2已知：直线上两点、，，是线段上一点，，，且满足． (1)直接写出：______，______； (2)是直线上点右侧一点，是直线上点右侧一点，满足，用含的整式表示线段的长； (3)在（2）的条件下，F是直线m上点B左侧一点，，是中点，N是中点，当时，求t的值． 变式1-3 A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 类型二、同解问题求参数 典例2 如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且． (1)线段的长为 ． (2)点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程的解，在线段上是否存在点D．使？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为t秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，求t的值． 题型模版 一、题型特征 题干给出一条固定线段（或数轴、直线），另一条长度固定的线段在其上运动（平移、滑动），要求在运动过程中求两线段重叠部分的长度、特定时刻的位置关系，或求满足特定条件（如重叠长度为定值、某端点与定点重合、覆盖特定区域）的运动时间或位置。核心特征是"整条线段在动→重叠部分随位置变化→用含时间或位移的代数式表示重叠长度"，解题关键是用端点位置刻画动线段，分段讨论重叠情况。 二、解题方法 画图标注初始状态：画出固定线段和动线段的初始位置，标出固定线段端点、动线段两端点、动线段长度、运动方向和速度。 设运动时间为 或位移为 ：通常设运动时间为 秒，位移 （ 为速度）。 用 表示动线段两端点位置： 设动线段长度为 ，左端点为 、右端点为 ，则 。 若 从某起点以速度 向右运动，则 秒后 的位置为 ， 的位置为 。 分析重叠部分（核心）：设固定线段为 ，动线段为 ，重叠部分为 。重叠长度分以下几种情况： 未进入： 或 ，重叠长度为 。 部分重叠（进入阶段）： 且 ，重叠长度 。 完全包含： 且 ，重叠长度 （动线段全长在固定线段内）。 部分重叠（离开阶段）： 且 ，重叠长度 。 根据条件列方程： 求某时刻重叠长度：先判断 属于哪个阶段，再代入对应公式。 重叠长度为定值：令重叠长度表达式等于定值，解方程（注意可能在不同阶段各有一解）。 端点与定点重合：令 或 的位置等于定点坐标，解方程求 。 检验 的合理性：求出的 必须使动线段处于对应的运动阶段，否则舍去。 分类讨论：动线段运动通常经历"未进入→部分进入→完全在内→部分离开→完全离开"五个阶段，需根据题目要求分段讨论。 变式2-1如图，点和点在数轴上对应的数分别为和，且． （1）求线段的长； （2）点在数轴上所对应的数为，且是方程的解，点在线段上，并且 ，请求出点在数轴上所对应的数； （3）在（2）的条件下，线段和分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，为线段的中点，为线段的中点，若，求的值． 变式2-2如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值： ， ， ． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M速度为4个单位长度/秒，点N速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到线段的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段，（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 类型三、定值问题 典例3 材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 题型模版 一、题型特征 题干给出一条线段（或数轴、直线），其上有一个或多个动点按一定规则运动，要求证明某个线段长度、线段和差、线段比值或中点位置在运动过程中始终保持不变（即为定值），或求出该定值。核心特征是"动中有静、变中不变"，解题关键是用含参数（时间 tt 或动点位置 xx ）的代数式表示目标量，化简后参数恰好消去，从而证明其为定值。 二、解题方法 画图标注：画出线段示意图，标出定点、动点、运动方向、已知长度，明确各点之间的位置关系。 设参数：设运动时间为 tt ，或设某个动点到某定点的距离为 xx （作为变量）。 用参数表示各线段：根据动点运动规则，将所有相关线段长度用含参数的代数式表示。 构造目标表达式：将题目要求证明为定值的量（如某线段长度、两线段之和/差、比值等）用上述代数式写出。 化简消参（核心）：对目标表达式进行代数化简（合并同类项、去括号、约分等），若参数 tt 或 xx 恰好消去，剩余常数即为定值。 验证特殊情况：取参数的特殊值（如 t=0t=0 、动点在端点处）代入验证，确认结果一致，增强信心。 作答：写出化简过程和最终定值，必要时说明"无论动点如何运动，该值始终为……"。 变式3-1如图，线段，，在线段上运动，为的中点，为的中点． (1)若，求的长； (2)判断的长是否为定值，并说明理由； (3)当时，求的取值范围． 变式3-2【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ； ；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 2．【概念学习】点C在直线上，若则称a是点C在直线上的“求真值”，记作 例如，如图，若则点M在直线上的“求真值”是记作若则故点D在直线上的“求真值”是记作 【理解与应用】 (1)已知点M在线段上，若，则若则 ． (2)如图，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1、3的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．若点C、D运动时，总有， ①求的值； ②若N是直线上一点，且，求的值． 3．如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 4．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 5．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 6．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 7．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 8．已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 9．新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 10．综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 11．如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 12．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 13．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 14．如图，在数轴上，点，，表示的数分别为，，． (1)直接写出________，________； (2)设点在数轴上表示的数为． ①若点为线段的中点，求的值； ②若点为数轴上的一个动点，则当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴在，两点之间做往返运动，当点运动到点时，和两点同时停止运动．设运动时间为秒，是否存在值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，． (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点出发，以4个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09线段的动态问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点问题 题型二、动线段问题 题型三、定值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 线段的动态问题是初中几何与代数综合的核心重难点，涵盖动点、动线段、定值探究三大类题型，所有问题均围绕点的位置随时间（或位移）变化、线段长度的代数表示、运动过程中的分类讨论三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有动点、动线段的位置必须用含参数的代数式准确表示，二是涉及距离、重叠、中点等关系时必须考虑运动阶段和位置分类，所有结果最终均需检验参数的有效范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点问题 典例1 如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 【答案】(1)； (2) 解：线段的长度不发生变化，其值为， 分下面两种情况， 当点在、两点之间运动时， ， ， ， ， ②当点在点的左侧运动时， ， ， ， ， 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为． (3)点所表示的数为或． 【分析】（1）由已知先得出和，即可求出的长． （2）此题可分两种情况讨论，即分和两种情况求得的长即可得到答案． （3）分当点在、两点之间运动和点在点的左侧运动两种情况求得的长，从而求得点所表示的数． 【详解】（1）解：、两点所表示的数分别为和， ，， ． （2）略 （3）解：当点在、两点之间运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为； 当点在点的左侧运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为． 题型模版 一、题型特征 题干给出一条或多条线段，一个或多个点从线段的端点（或某定点）出发，以一定速度沿线段运动，要求在运动过程中求某时刻的线段长度、两点距离、中点位置，或求满足特定条件（如两点重合、某点为中点、两点距离为定值）的运动时间。核心特征是"点动→线段长度随时间变化→建立含时间的等量关系"，解题关键是用含时间 的代数式表示动点位置，再根据题目条件列方程求解。 二、解题方法 画图标注初始状态：画出线段示意图，标出所有定点、动点的起点、运动方向、速度，以及已知线段长度。 设运动时间为 ：通常设运动时间为 秒（或分钟等），注意 。 用 表示动点位置： 若点 从 出发向 运动，速度为 ，则 秒后 ， 。 若两点相向运动，距离逐渐缩短；若同向运动，距离可能先缩短后拉长（追及问题）。 根据条件列方程： 求某时刻的线段长度：直接将 代入表达式计算。 两点重合：令两点到同一端点的距离相等，列方程求 。 某点为中点：利用中点定义（如 是 中点，则 ）列方程。 两点距离为定值：用含 的式子表示两点距离，令其等于定值列方程（注意绝对值，可能有两解）。 检验 的合理性：求出的 必须满足动点仍在运动范围内（如未超出线段端点），否则舍去。 分类讨论（必要时）：若动点运动方向不确定、或存在往返运动、或多个动点速度不同导致位置关系变化，需分情况讨论。 变式1-1如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为． 【答案】或或或 【分析】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用和分类讨论思想．关键是根据点、的运动方向分四种情况：均向右运动、向左向右、向右向左、均向左运动，用时间表示出、的相对位置，进而列出关于的方程求解． 【详解】解：设经过秒时，线段的长为． 已知，，点的速度为，点的速度为，则，． 以点为原点，为单位长度，向右为正方向，则点的位置为． ①当点、均向右运动时，点的位置为，点的位置为， ∵， ∴，解得，(舍去)；； ②当点向左运动，点向右运动时，点的位置为，点的位置为， ∵， ∴，解得，(舍去)；； ③当点向右运动，点向左运动时，点的位置为，点的位置为， ∵，且， ∴， 当时，，解得； 当时，(舍去)； ④当点、均向左运动时，点的位置为，点的位置为， ∵，且， ∴， 当时，解得； 当时，(舍去)； 综上，满足条件的的值为或或或． 故答案为：或或或． 变式1-2已知：直线上两点、，，是线段上一点，，，且满足． (1)直接写出：______，______； (2)是直线上点右侧一点，是直线上点右侧一点，满足，用含的整式表示线段的长； (3)在（2）的条件下，F是直线m上点B左侧一点，，是中点，N是中点，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)4或17 【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）由题意可得，再分点D在点O的左侧时、点E在点B的左侧和点D在点O的右侧时、点E在点B的右侧，两种情况分别画出图形，然后利用线段的中点以及线段的和差求解即可； （3）先求得，再分点D在点O的左侧时、点E在点B的左侧和点D在点O的右侧时、点E在点B的右侧，两种情况分别画出图形、线段的和差以及一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，．， ∴．， ∴． （2）解：∵， ∴， 如图：当点D在点O的左侧时，点E在点B的左侧， ∵，， ∴， ∴； 如图：当点D在点O的右侧时，点E在点B的右侧， ∵，， ∴， ∴； ． 综上，线段的长． （3）解：∵，， ∴， 如图：当点D在点O的左侧时，点E在点B的左侧， ∴ ∵是中点，N是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 如图：当点D在点O的右侧时，点E在点B的右侧， ， ∴， ∵是中点，N是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 综上，t的值为4或17． 变式1-3 A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 类型二、同解问题求参数 典例2 如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且． (1)线段的长为 ． (2)点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程的解，在线段上是否存在点D．使？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为t秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，求t的值． 【答案】(1)10 (2)存在，2    (3)t的值为6或16 【分析】（1）根据题意求出a和b的值，进而即可求出线段的长； （2）由题意先解出x，再根据题意求出点在数轴上所对应的数； （3）根据题意先求出M、N初始位置对应数，再根据运动时间为t秒以及，建立关系式，并求出t值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴线段的长为； （2）解：在线段上存在点D，使． ∵， ∴解得，即点C在数轴上对应的数为14． ∵点D在线段上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即点D对应的数为2； （3）解：∵点M为线段的中点，点N为线段的中点， ∴M对应的数是，N对应的数是，即M、N初始位置对应的数分别为0，11． 又∵M在上，N在上， ∴可知M在0处向右，速度为6个单位/秒，N在11处向右，速度为5个单位/秒， ∴运动t秒后，M对应的数为：，N对应的数为：． ∵， ∴， 解得或． ∴t的值为6或16． 题型模版 一、题型特征 题干给出一条固定线段（或数轴、直线），另一条长度固定的线段在其上运动（平移、滑动），要求在运动过程中求两线段重叠部分的长度、特定时刻的位置关系，或求满足特定条件（如重叠长度为定值、某端点与定点重合、覆盖特定区域）的运动时间或位置。核心特征是"整条线段在动→重叠部分随位置变化→用含时间或位移的代数式表示重叠长度"，解题关键是用端点位置刻画动线段，分段讨论重叠情况。 二、解题方法 画图标注初始状态：画出固定线段和动线段的初始位置，标出固定线段端点、动线段两端点、动线段长度、运动方向和速度。 设运动时间为 或位移为 ：通常设运动时间为 秒，位移 （ 为速度）。 用 表示动线段两端点位置： 设动线段长度为 ，左端点为 、右端点为 ，则 。 若 从某起点以速度 向右运动，则 秒后 的位置为 ， 的位置为 。 分析重叠部分（核心）：设固定线段为 ，动线段为 ，重叠部分为 。重叠长度分以下几种情况： 未进入： 或 ，重叠长度为 。 部分重叠（进入阶段）： 且 ，重叠长度 。 完全包含： 且 ，重叠长度 （动线段全长在固定线段内）。 部分重叠（离开阶段）： 且 ，重叠长度 。 根据条件列方程： 求某时刻重叠长度：先判断 属于哪个阶段，再代入对应公式。 重叠长度为定值：令重叠长度表达式等于定值，解方程（注意可能在不同阶段各有一解）。 端点与定点重合：令 或 的位置等于定点坐标，解方程求 。 检验 的合理性：求出的 必须使动线段处于对应的运动阶段，否则舍去。 分类讨论：动线段运动通常经历"未进入→部分进入→完全在内→部分离开→完全离开"五个阶段，需根据题目要求分段讨论。 变式2-1如图，点和点在数轴上对应的数分别为和，且． （1）求线段的长； （2）点在数轴上所对应的数为，且是方程的解，点在线段上，并且 ，请求出点在数轴上所对应的数； （3）在（2）的条件下，线段和分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，为线段的中点，为线段的中点，若，求的值． 【答案】(1) ；(2)点在数轴上所对应的数为；(3)当t=3秒或秒时线段． 【分析】（1）根据平方的非负性，绝对值的非负性求出a=-6，b=8，得到OA=6，OB=8，即可求出AB； （2）解方程求出x=14，得到点在数轴上所对应的数为，设点在数轴上所对应的数为，根据 ，列式求出y； （3）根据中点得到运动前两点在数轴上所对应的数分别为-4,11，运动秒后两点在数轴上所对应的数分别为-4+6t,11+5t ，再分M、N相遇前，相遇后两种情况分别列方程求出t. 【详解】(1)解：∵，且， ∴， ∴a+6=0，b-8=0， ∴a=-6，b=8， ∴OA=6，OB=8， ∴AB=OA+OB=6+8=14， (2)解方程，得 ， 点在数轴上所对应的数为， 设点在数轴上所对应的数为 点在线段上，且， ， ， 解这个方程，得， 点在数轴上所对应的数为． (3)解：由(2)得四点在数轴上所对应的数分别为： ． 运动前两点在数轴上所对应的数分别为-4,11， 则运动 秒后两点在数轴上所对应的数分别为-4+6t,11+5t , ①线段没有追上线段时有：(11+5t)-(-4+6t)=12 解得： ； ②线段追上线段后有：(-4+6t)-(11+5t)=12， 解得：， 综合上述：当t=3秒或秒时线段． 【点睛】此题考查线段的和差计算，平方及绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，利用一元一次方程解决图形问题，注意分类讨论的解题思想. 变式2-2如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值： ， ， ． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M速度为4个单位长度/秒，点N速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到线段的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段，（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 (3)存在，或 【分析】（1）根据绝对值、平方的非负性即可求解、、，问题得解； （2）分别表示出线段的中点E对应的数，线段的中点F对应的数，根据两点距离为6列出方程，即可求解； （3）分别表示出点对应数，点对应数，再分段讨论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，，， ，，． （2）解：存在， 由题意得，点M对应的数为，点N对应的数为． 则线段的中点E对应的数为：，线段的中点F对应的数为： 点E与点F的距离为：， ∵线段的中点E到线段的中点F距离为6， 解得：或， 故存在这样的t，值为或； （3）解：存在， 由题意得，点对应数，点对应数． 分段讨论： 当时，． 重叠部分左端点为中的最大值，右端点为中的最小值， 重叠长度为，令其为1得． 当时，． 重叠长度为，令其为1得． 综上，存在或． 【点睛】重点掌握分类讨论的思想，不要遗漏每一种情况，将距离问题转化为方程问题． 类型三、定值问题 典例3 材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 【答案】(1)，，； (2)点对应的数为或； (3) 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出、的值，再根据数轴中点坐标公式求出的值； （2）设点对应的数为，根据两点距离公式列出绝对值方程，分三种情况讨论求解，舍去矛盾的解； （3）设运动时间为秒，用含、、的式子表示出点、的坐标，再根据中点公式求出点的坐标，计算的距离，根据距离为定值的条件(含的项系数为)求出速度比． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，． ∵点是线段的中点， ∴点对应的数． （2）解：设点对应的数为， ∴，． ∵， ∴， ①当时，方程化为， 解得，与矛盾，舍去； ②当时，方程化为， 解得，符合条件； ③当时，方程化为， 解得，符合条件； 综上，点对应的数为或． （3）解：设运动时间为秒， ∵点从点出发，以每秒个单位长度向左运动，点从点出发，以每秒个单位长度向左运动， ∴秒后点对应的数为，点对应的数为； ∵点是线段的中点， ∴点对应的数为； 则 ∵点到点的距离始终是定值， ∴，即． 题型模版 一、题型特征 题干给出一条线段（或数轴、直线），其上有一个或多个动点按一定规则运动，要求证明某个线段长度、线段和差、线段比值或中点位置在运动过程中始终保持不变（即为定值），或求出该定值。核心特征是"动中有静、变中不变"，解题关键是用含参数（时间 tt 或动点位置 xx ）的代数式表示目标量，化简后参数恰好消去，从而证明其为定值。 二、解题方法 画图标注：画出线段示意图，标出定点、动点、运动方向、已知长度，明确各点之间的位置关系。 设参数：设运动时间为 tt ，或设某个动点到某定点的距离为 xx （作为变量）。 用参数表示各线段：根据动点运动规则，将所有相关线段长度用含参数的代数式表示。 构造目标表达式：将题目要求证明为定值的量（如某线段长度、两线段之和/差、比值等）用上述代数式写出。 化简消参（核心）：对目标表达式进行代数化简（合并同类项、去括号、约分等），若参数 tt 或 xx 恰好消去，剩余常数即为定值。 验证特殊情况：取参数的特殊值（如 t=0t=0 、动点在端点处）代入验证，确认结果一致，增强信心。 作答：写出化简过程和最终定值，必要时说明"无论动点如何运动，该值始终为……"。 变式3-1如图，线段，，在线段上运动，为的中点，为的中点． (1)若，求的长； (2)判断的长是否为定值，并说明理由； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 解：是定值，理由如下： 设， ∴，，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴； (3)或． 【分析】（1）先求得，和的长，再利用中点的意义，求得和的长，结合图形求解即可； （2）设，同（1）理求解即可； （3）设，则，，， 得到，，得到，，根据，得，得，分当时， 当时，分三种情况讨论，当时，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴； （2）略 （3）解：设， 则，，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，成立； 当时，，不成立； 当时，，成立． ∴或． ∵， ∴或． ∴的取值范围为或． 【点睛】本题考查了两点间距离，整式的加减的应用，求不等式的解集，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活应用中点的性质，分类讨论，解题是关键． 变式3-2【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ； ；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】 【感悟体验】：点为所求点，如下图： 【认识概念】； 【运用概念】（1），（2）， 【拓展提升】存在，当时,为定值． 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【详解】【感悟体验】略 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在， 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 2．【概念学习】点C在直线上，若则称a是点C在直线上的“求真值”，记作 例如，如图，若则点M在直线上的“求真值”是记作若则故点D在直线上的“求真值”是记作 【理解与应用】 (1)已知点M在线段上，若，则若则 ． (2)如图，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1、3的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．若点C、D运动时，总有， ①求的值； ②若N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查对新定义的理解，线段的和差计算； （1）由“求真值”的定义可得 ，据此即可求解； （2）①设运动时间为t秒，由，可得，进而得到，即可求出； ②分类讨论：当点N在线段上时，可得，即可求出；当点N在线段的延长线上时，，即可求出. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴. 故答案为：，. （2）解：①设运动时间为t秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ②当点N在线段上时，如图： ∵， ∴ ∴， ∴， 当点N在线段的延长线上时，如图： ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 综上:或. 3．如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段中点特点，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，以及根据题意分情况讨论是解题的关键． （1）根据题意分别求出，再结合线段中点特点得到，进而求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据线段中点特点得到，进而推出，再由得到，即可求出的值； （3）设，则，根据线段在直线上移动，分情况讨论，结合建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： ，， ， D为的中点， ， ， ； （2）解： D为的中点，E为的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解： ，， 设，则， ， 当E在A的左侧时， 有， 解得， ， ； 当A在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在之间时， 有， 解得， ， ， ； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 4．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】(1)， (2)2.25或2.75秒 (3)9或11秒 (4) ①当点P在点A、B两点之间运动时： ②当点P运动到点B的左侧时： 线段MN的长度不发生变化，其值为10 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点间距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系等，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据点B在点A的左侧，且，可得点B表示的数；根据点P的初始位置及运动速度、方向，可得点P表示的数； （2）分点P、Q相遇之前，相遇之后两种情况，分别列一元一次方程，即可求解； （3）设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：点P、Q相遇之前，相遇之后，分别列方程，即可求解； （4）分两种情况：点P在点A、B两点之间运动，点P运动到点B的左侧，画出图形，根据线段之间的和差关系求解． 【详解】（1）解：数轴上点B表示的数：， 点P表示的数：， 故答案为：，； （2）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得，解得； ②点P、Q相遇之后， 由题意得，解得． 答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2； （3）解：设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 则， 解得：， ②点P、Q相遇之后， 则， 解得：， 答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2； （4）解：线段的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： ， ②当点P运动到点B的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为10． 5．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 6．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    7．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 【答案】(1)，； (2)存在，； (3)或 【分析】（1）利用路程速度时间，求出，，即可得解； （2）设运动时间为，则，，进而表示出，，列方程求解即可； （3）设运动时间为，则，，结合，求出，，再判断出点在点的右侧，分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在的延长线上时，利用线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：当点 C、D运动了，，， ，， ， ； （2）解：存在， 设运动时间为，则，， ，， ，， ， ， 解得：， 即点C、D运动时存在，运动时间为； （3）解：设运动时间为，则，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，即， 点在点的右侧， 分两种情况讨论： ①当点在上时，，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，， ， ， ； 综上可知，或． 8．已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)线段的长为 (2)的值是定值，定值为 (3)存在，使得 【分析】本题考查了线段中点性质与线段长度计算，解题的关键是用字母表示线段长度，结合中点定义建立代数关系． （1）当点B、C重合时，先利用中点表示出和，再相加得到； （2）设，分别用表示和，计算判断是否为定值； （3）根据移动距离分两种情况表示和，代入列方程求解． 【详解】（1）解：当点、重合时，，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 答：线段的长为． （2）解：设， 则， ． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 故的值是定值，定值为． （3）解：当线段向左移动距离（）时，分两种情况讨论： 情况一：如图，当线段的两个端点运动到点B的两侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：． 但，故该情况不存在． 情况二：如图，当线段全部运动到点B的左侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：．符合题意． 综合以上三种情况可知，故存在，使得． 9．新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)当为、或时，点是线段的“二倍点” (3) 点是线段的“二倍点”，理由如下 ∵ 点是线段的“二倍点”，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点是线段的“二倍点”． 【分析】本题考查了线段的和差关系、动点问题以及新定义“二倍点”的应用，解题的关键是根据“二倍点”的定义分类讨论线段之间的倍数关系，结合线段长度的计算方法进行求解． （1）根据中点定义及“二倍点”定义判断； （2）用表示和的长度，分三种情况讨论与的倍数关系，列方程求解； （3）先由“二倍点”及确定与的关系，再结合推导与的关系，判断点C是否为线段的“二倍点”． 【详解】（1）解：∵ 点是线段的中点， ∴ ， 满足“二倍点”定义， 故答案为：是． （2）解：由题意得：， ① 当时：， 解得； ② 当时：， 解得； ③ 当时：， 解得； ④ 当时：， 解得； 答：当为、或时，点是线段的“二倍点”． （3）略 10．综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)8，2； (2)； (3)或4； (4)长度不变化，为4． 【分析】本题考查数轴动点问题，根据题意分析动点运动情况进行解题． （1）根据数轴上线段长度的计算方法，用点表示的数减去点表示的数，即为的长；根据中点的性质，确定出中点到点和点的距离，确定中点位置即可； （2）用含的表达式表示、，结合相遇问题，得出方程，解出时间即可； （3）做分类讨论，对相遇前和相遇后都进行计算分析，注意区分相遇前和相遇后的长度计算方式； （4）考虑点经过点和未经过点的情况，用含的表达式表示相关长度，计算的长度； 【详解】（1）解：∵表示，表示， ∴的长度为， 故的长度为， 则中点中点表示的数为 ∴中点表示的数为． （2）解：的长度为，的长度为， 若、点相遇，则， 即，解得． （3）在、点未相遇的情况下： ， 若，即， 解得； 在、点相遇后的情况下： ， 若，即， 解得； 故当的值为或时，． （4）解：当点未经过点时： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 当点经过点后： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 所以长度不会发生变化，的长度始终为． 11．如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1) (2)或 (3)①不正确；②正确， 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点相关计算； （1）设，，由线段的和差得，，即可求解； （2）分类讨论：当在线段的延长线上时，由线段和差得，可得 ，即可求解；当在线段上时，同理可求； （3）分类讨论：当、在在左侧时，由线段中点的定义得，，由线段的和差得 ，求出，，即可求解； 当、在在两侧时，同理可求；当、在在右侧时，同理可求； 能熟练利用线段的和差表示出所求线段，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则，， ， ， ； （2）解：当在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：或； （3）解：当、在在左侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在两侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在右侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 综上所述：①不正确；②正确，． 12．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 13．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 14．如图，在数轴上，点，，表示的数分别为，，． (1)直接写出________，________； (2)设点在数轴上表示的数为． ①若点为线段的中点，求的值； ②若点为数轴上的一个动点，则当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴在，两点之间做往返运动，当点运动到点时，和两点同时停止运动．设运动时间为秒，是否存在值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，②当时，最小值是 (3)或11 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据线段中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案；②表示到的距离，表示到的距离，再根据两点之间线段最短，当动点落在，两点之间（含端点）时，距离之和最小，最小值就是线段的长度； （3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵点P为线段的中点， ∴， ∴， 解得． ②的几何意义：数轴上点到点与点的距离之和， 当点在线段上（即）时，距离和最小，最小值为； （3）解：∵动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动， ∴点运动到点所用时间：（秒），点从点到点所需时间：（秒） ∴点M表示的数为； 当时，点N表示的数为； 当时，点N表示的数为． 当时，， ∴或， 解得或； 当时，， ∴或， 解得或． ∴存在t值，使得，或11． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 15．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，． (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点出发，以4个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①存在，或； ②解：，理由： 分别是线段和的中点，， ， ， ． 【分析】本题主要考查了动点产生的线段的计算，一元一次方程的应用．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）先根据线段中点得到，即可求解，再由求解即可； （2）①分两种情况，当相遇时，表示出，由建立方程求解即可；当相遇后，表示出，由建立方程求解即可；②由线段的中点得到，然后求出，则，那么，再计算，即可得到与线段之间的数量关系． 【详解】（1）解：是线段的中点，， 是线段的中点， ， 点在线段上且， ； （2）解：①存在， 当相遇时， ， ， 解得； 当相遇后， ， 解得； 故或； ②略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $