专题12 与线段有关的计算（专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

专题12 与线段有关的计算 常考题型·精准突破 题型1 按要求画直线、射线、线段（重） 题型2 线段的长短比较 题型3 尺规作图（作线段）（重） 题型4 线段的和差问题（高频） 题型5 线段单中点问题（高频） 题型6 线段双中点问题（高频） 题型7 线段n等分点问题（难） 题型8 与线段有关的动点问题（难） 题型9 数轴上两点之间的距离问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 按要求画直线、射线、线段 1．已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 【答案】(1)，直线如图所示； (2)以点B为端点，向点C方向作射线，标注射线与直线的交点为O，作图见小问1答案 (3)分别连接、，标注两条线段的交点为F，作图见小问1答案 (4)以点F为端点，经过点O作射线，作图见小问1答案 (5)以点A为端点，经过点B作射线，作图见小问1答案 (6)连接点C和点D，得到线段，作图见小问1答案 【详解】（1）作图见答案 （2）作图见小问1答案 （3）作图见小问1答案 （4）作图见小问1答案 （5）作图见小问1答案 （6）作图见小问1答案 2．如图所示，点，，，是同一平面内不重合的四个点， (1)按要求画图： ①画射线；②连接，并延长线段； ③画直线、直线；④直线与直线相交于点． (2)根据画出的图形回答下列问题： ①说出点和点与直线的位置关系； ②用字母表示出图中所有的线段． 【答案】(1) 如图所示： (2)①点在直线上，点在直线外； ②图中的线段有线段，，，，，，， 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）根据射线，线段的概念即可解答； （2）①根据点与直线的关系即可解答；②根据线段的概念即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①点在直线上，点在直线外． ②图中的线段有线段，，，，，，，． 3．如图，在同一平面内有四个点，，，，请按要求完成下列问题．（不要求写画法和结论） (1)画射线与直线相交于点； (2)画线段和线段； (3)用适当的语言描述点与直线的位置关系_____； (4)_____（填，或），理由是_____． 【答案】(1) 点即为所作， (2) 如图：线段、线段即为所作； (3)点在直线外 (4)；两点之间，线段最短 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据射线和直线的定义作图即可； （2）根据线段的定义作图即可； （3）观察图形即可得出结果； （4）根据图形并结合“两点之间，线段最短”即可得出结果． 【详解】（1）解：如图：射线、直线； （2）略 （3）解：由图可得：点在直线外； （4）解：由图可得，，理由是：两点之间，线段最短． ◆题型2 线段的长短比较 4．为了比较线段与的长度，小明将点与点重合，使两条线段在一条直线上，结果点在的延长线上，则（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了线段大小的比较方法，熟练掌握“叠合法”判断两条线段的长短关系是解题的关键． 根据题干信息判断即可得出答案． 【详解】解：∵小明将点与点重合，使两条线段在一条直线上，结果点在的延长线上， ∴线段的长度大于线段的长度． 故选：B ． 5．如图，用圆规比较线段的长短，圆规的两个支腿的夹角不变，其中下列线段比长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较线段的长短，直接根据图形比较长短即可． 【详解】解：A、线段比短，不符合题意； B、线段与一样长，不符合题意； C、线段比长，符合题意； D、线段比短，不符合题意； 故选C． 6．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有_______．（填序号） ①沿点折叠，使和重合，观察点的位置；②用直尺度量出和的长度；③用圆规将线段叠放到线段上，观察点的位置；④凭感觉估计． 【答案】①②③ 【分析】比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 综上所述，科学的方法有①②③． ◆题型3 尺规作图（作线段） 7．如图，已知直线，点在直线外．按要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹：在射线上求作一条线段，使得． 【答案】 如图：线段即为所求： 【分析】先根据射线的定义画出射线，根据线段的定义画出线段，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，则线段即为所求． 【详解】略 8．如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求作图．（用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)作线段，并延长线段到点，使； (4)连结、，我们容易判断出线段与的大小关系是_____， 理由是_____ 【答案】(1)射线如图所示： (2)如图所示：直线、点即为所求， (3)如图所示：线段、线段即为所求， (4)，两点之间线段最短 【分析】（1）根据射线的定义作图即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据线段的定义作图即可； （4）根据两点之间，线段最短解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：如图所示： 根据两点之间线段最短可得，． 9．已知线段和线段，用直尺和圆规作一条线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，线段即为所求； 【分析】作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点，则线段即为所求． 【详解】略 10．作图题：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段， 求作：线段，使． 【答案】解：如图，线段为所求； 【分析】作射线，以点A为圆心，线段n的长为半径画弧，交射线于点N，则，以点N为圆心，线段m的长为半径画弧，交线段于点P，则，同理作线段，则线段，即为所求． 【详解】略 ◆题型4 线段的和差问题 11．已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长度为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况计算线段的长度． 【详解】解：当点C在线段上时，， 当点C在线段的延长线上时，． 12．点，，在同一条直线上，，． (1)用直尺和圆规在射线上作线段，使．（尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，．根据题意画出示意图，并求的长． 【答案】(1)如图，线段即为所求； (2)或 【分析】（1）在射线上先作，则作，即可； （2）分两种情况：当点B在点A，C之间时；当点C在点A，B之间时，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：如图，当点B在点A，C之间时， ∵， ∴； 如图，当点C在点A，B之间时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 13．如图，已知线段的长度是a，线段的长度比线段的长度的2倍多．线段的长度比线段的长度的2倍少． (1)写出用a表示线段的长度的式子； (2)当时，求线段的长度． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求出，进而求出，再由进行求解即可； （2）把代入（1）所求式子中求解即可． 【详解】（1）解：线段的长度是，线段的长度比线段长度的2倍多， ， 线段的长度比线段长度的2倍少， ， ； （2）解：当时，则 解得， ∴线段的长度为． ◆题型5 线段单中点问题 14．如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据线段的和差关系求出的长，再利用中点定义求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∵在线段上， ∴． 15．如图，点是线段的中点，点是线段上一点．若，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和与差． （1）根据，，可求出的长． （2）根据线段中点的定义可得的长，再根据即可求解． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：点是线段的中点， ， ． 16．如图，已知点，，都是线段上的点，线段，，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，点在线段上，且，求的长． 【答案】(1)线段的长为3 (2)的长为23或31 【分析】（1）根据题意，先求出、，然后根据线段和差关系，依次求出、，结合中点定义得到，进而求出． （2）首先根据（1）求出，然后根据点F的位置关系，分两种情况讨论，综合得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． ∵点为线段的中点， ∴， ∴． （2）由（1）得， 点在线段上，且，分两种情况： 情况一：当F在点E左侧时，； 情况二：当F在点E右侧时，； 综上，的长为23或31． ◆题型6 线段双中点问题 17．如图，M是线段的中点，点C在线段上，N为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点的定义得出，求出，再根据中点定义得出，最后根据线段间的数量关系，得出答案即可． 【详解】解：∵N为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵M是线段的中点， ∴， ∴． 18．如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由计算即可． （2）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． （3）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． 【详解】（1）解：∵点、、在同一直线上，在、之间， ∴， ∵，， ∴． （2）解：是中点，是中点， ， ， ， ． （3）解：是的中点，， ， 是中点，， ， ． 19．如图，已知，为的中点，为的中点，且，求的长． 【答案】12 【分析】设，，，由中点的定义就可以得出，，根据题意列出方程解出，利用求出最后结果． 【详解】解：， 则设，，， 为的中点，为的中点， ，， ， ， ， ，，， ． 20．已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，计算的长． 【答案】5或1 【分析】先根据题意求出、的长，再根据当点E在点C左边与当点E在点C右边两种情况解答． 【详解】解：如图， ∵线段，点C为中点， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴当点E在点C左边时，； 当点E在点C右边时，． 21．如图，点C是线段上的一点，M是的中点，N是的中点． (1)若，，求的长度； (2)若，求的长度． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】（1）先根据M是的中点得，再根据N是的中点得，再根据计算即可； （2）先根据M是的中点得，再根据N是的中点得，再根据计算即可． 【详解】（1）解：∵M是的中点，， ∴， ∵N是的中点，， ∴， ∴； （2）解：∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． ◆题型7 线段n等分点问题 22．已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 23．如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差计算，解题关键是正确识别图形，理解线段之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先确定，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：由图可得， ∵点M是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴ 24．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为．定义：在数轴上，如果线段上从左往右的点将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，是靠近的第2个等分点，则记为，，是靠近的第个等分点，则记为， 探究一： 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为、，若，则线段的二等分点表示的数为； (1)探究二：如图2，在数轴上、两点表示的数分别为、，若，则线段上靠近点的第2个五等分点表示的数为_________； (2)应用一：如图3，在数轴上两点、表示的数分别为、，数轴上两点、表示的数分别为、4，若线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合，则的值为__________； (3)应用二：如图4，在数轴上、两点表示的数分别为、，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为__________ 【答案】(1) (2)2 (3)秒或秒 【分析】（1）根据“探究一”的计算方法求值即可； （2）根据题意，点表示的数为，点表示的数为，由此列式即可求解； （3）分别表示表示的数，点表示的数，的值，由线段三等分点的计算方法得到线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为，三等分的第二个点表示的数为，根据题意列式计算即可求解；线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为，三等分的第二个点表示的数为，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：线段上靠近的四等分点表示的数为， 线段上靠近的十等分点表示的数为， ∴， 解得：； （3）解：数轴上两点、表示的数分别为和，点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，出发时间为秒， 线段上靠近的八等分点表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 第一种情况，点在点左边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 第二种情况，点在点右边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 综上所述，线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合，此时的为秒或秒. ◆题型8 与线段有关的动点问题 25．如图，线段，点C是线段上的一个动点，点C从点A出发，以每秒2个单位的速度从点A运动到点B，再从点B运动到点A，然后停止，设点C运动的时间为． (1)当时， ；时， ； (2)用含t的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设点D是线段的中点，E是线段的中点，点C从点A向点B运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 【答案】(1)4，6； (2)当时，；当时， (3)5． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，线段的和差以及线段中点的有关计算，分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点运动到点处，时，点从点处返回点，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的长度； （3）根据线段中点的相关计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点运动到点处，时，点从点处返回点， ∴ 当时，， 当时，（厘米）， 故答案为： 4，6． （2）解：由题意可知时，点C从点A运动到点B，，点C从点B处返回点A， ∴时，， 当点C从B运动到点A时，即时，； （3）解：当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， ∵D是线段的中点，E是线段的中点， ∴，， ∴． 26．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 27．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． ◆题型9 数轴上两点之间的距离问题 28．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为、． (1)点为数轴上一动点，其对应的数为． ①若点到点、点的距离相等，则 ； ②若点到点、点的距离之和为，则 ； (2)若将数轴向右折叠，使与表示的点重合． ①则与原点重合的点表示的数为 ； ②若数轴上、两点之间的距离为，且、两点经过折叠后，点在点的左边，且与点的距离为，求，两点表示的数． 【答案】(1)①1；②6或 (2)①2；②，两点表示的数分别是和或和 【分析】（1）①：因为点P到A、B距离相等，所以P是线段的中点，利用中点坐标公式计算即可．②：点到点的距离为6，点到点、点的距离之和为，大于，分P在A左侧、P在B右侧两种情况讨论，根据数轴上两点距离公式求解． （2）①：先确定和4重合时的折叠中点，再根据折叠后两点到中点距离相等，列等式求与原点重合的数．②：先根据折叠后M、N的距离为2，得到两点到折叠中点的距离，当点在折叠点的右侧时，当点在折叠点的左侧时，分两种情况求解两点表示的数． 【详解】（1）解：①∵点P到A、B距离相等， ∴P是线段的中点， 利用中点坐标公式计算． ②∵点到点的距离为，点到点、点的距离之和为，大于， ∴点在点的左侧或是点的右侧， 当点在点的左侧时，点到点、点的距离之和为，点与点的距离为6，点到点的距离为， ∴点表示的数为． 当点在点的右侧时，同理可得点到的距离为， ∴点表示的数为． 综上，点表示的数的值为或． （2）①∵将数轴折叠，使与表示的点重合， ∴折叠的点表示的数为， ∴原点到的距离为，到的距离为的另一个点表示的数为． ②由折叠可得折叠的点表示的数为， ∵数轴上、两点之间的距离为2026，折叠后点在点的左边，与点的距离为， ∴点到的距离比点N到的距离小， ∴点到的距离为，点到的距离为， 当点在折叠点的右侧时，点表示的数为，点表示的数为， 当点在折叠点的左侧时，点表示的数为，点表示的数为． ∴，两点表示的数分别是和或和． 29．我们知道，若在数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点间的距离可表示为，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)填空：①、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______． ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______，点表示的数为______． (2)数轴上表示数的点到点的距离为3，即，则为______． (3)求当为何值时，、两点相遇，并求出相遇点所表示的数． (4)求当为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 【答案】(1)①10，3；②， (2)或 (3)时，相遇点表示的数是． (4)时，中点为；时，中点为． 【分析】（1）①直接套用数轴两点距离公式算出，套用中点公式算出中点是；②根据点的运动方向与速度，写出秒后、代表的代数式． （2）根据绝对值方程的含义拆成两个一元一次方程，求出或． （3）两点相遇时代表数字相等，列方程求出，再代入算出相遇点数字为． （4）先用距离公式写出，令它等于，解绝对值方程得到两个值，再分别代入求对应的中点． 【详解】（1）解：①，， ， 线段中点：， ②从向右，速度， 秒后表示的数：， 从向左，速度， 秒后表示的数： （2）解：， 或 解得： 或 ． （3）解：相遇时两点表示的数相等 ， ， ， ， 把代入，， 相遇点表示的数是． （4）解：，， ， ， 或 或 或 当： ， ， 中点： 当： ， ， 中点： 时，中点为；时，中点为． 30．如图 ，数轴上点 A 表示的数是，点 B 表示的数是． 点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动；点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向左运动；点 R 从原点出发，以每秒 3 个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为 t 秒． (1)用含 t 的式子表示点 P，Q，R 所表示的数； (2)当点 P，Q 之间的距离为 15 个单位长度时，求 t 的值； (3)是否存在某一时刻，使点 R 恰好是线段的中点？若存在，求出 t 的值及此时点 R 表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P：，Q：，R： (2)或 (3)存在某一时刻，使点 R 恰好是线段 PQ 的中点，此时，点R 表示的数是 6 【分析】（1）根据左减右加，列式计算解答即可； （2）根据点 P，Q 之间的距离为 15 个单位长度，构造绝对值方程求解即可； （3）根据线段的中点，得到，解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，点P运动的路程为个单位长度，点Q运动的路程为个单位长度，点R运动的路程为个单位长度， 根据出发点与运动方向可得：P 表示，Q 表示，R 表示； （2）解：当点 P，Q 之间的距离为 15 个单位长度时， 根据题意，得， 整理，得， 故或， 解得或； （3）解：根据题意，得P 表示，Q 表示，R 表示． 点 R 恰好是线段 的中点, 或 解得或； 当时，P 表示，Q 表示，R 表示，此时点P，点Q重合，线段不存在，舍去． 当时，P 表示，Q 表示，R 表示，符合要求， 故存在某一时刻，使点 R 恰好是线段 PQ 的中点，此时，点R 表示的数是6． 综合攻坚·知能拔高 1．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【详解】解：现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 2．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 3．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 4．若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 5．如图，小明进行了如下操作：（）作射线；（）在射线上依次截取；（）在线段上截取；（）分别找到线段，的中点，． 则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意得：，， ，是线段，的中点， ，， 选项，，说法正确，不符合题意； 选项，，无法说明，说法错误，符合题意； 选项，，说法正确，不符合题意； 选项，，说法正确，不符合题意． 6．如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过计算前几次跳动后点到原点的距离，归纳出第次跳动后点到原点距离的规律，代入计算即可 ． 【详解】解：∵数轴上，两点的距离为，即， 第次跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； … 以此类推，第次跳动后点与原点的距离是， 当时，． 7．如图，点是线段上一定点，，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上），若一个点到达终点时，运动停止．下列结论，错误的是（   ） A．若，当点，运动了，此时，； B．当点，运动了时，求的值为； C．若点，运动时，总有，则； D．若，是直线上一点，且，则． 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点； A、根据题意，根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算即可； B、根据题意，当点，运动了，有，，从而求得即可求解； C、由，的运动速度可知，，再由已知条件，求得，所以； D、分情况讨论：①当点在线段上，②当点在线段的延长线上，分别求解可得． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∵点，运动了，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动， ∴，， ∴，， ∴不符合题意，故此选项错误； B、∵点，运动了， ∴，， ∴，， ∴， ∴不符合题意，故此选项错误； C、由，的运动速度可知，， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意，故此选项错误； D、①如图所示，当点在线段上时， ∵，由C选项可知：， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴， ∴， 综上可知，或， ∴符合题意，故此选项正确； 故选：D． 8．如图，点，在线段上，且满足．点，分别为线段，的中点，如果，线段的长度是_____． 【答案】 【分析】根据的关系，可用表示和，根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点E、F分别为线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【答案】或 【分析】分情况讨论，即或时，列方程即可解答． 【详解】解：当时， 可得厘米， ， 解得； 当时， 可得厘米， ， 解得； 综上，的值为或． 10．如图，平面上有四个点，，，，根据下列语句画图： (1)画直线、射线、线段； (2)连接，并反向延长至点，使； (3)在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离和最小，并说明理由 ． 【答案】(1) 如图，直线AD、射线DC、线段CB即为所求． (2) 如图，BE即为所求． (3) 如图，点O即为所求． 两点之间线段最短． 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．． （1）根据直线、射线、线段的定义作图即可． （2）以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则即为所求． （3）连接，相交于点，则点即为所求．结合线段的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：以点B为圆心，AD的长为半径画弧，交射线BA于点F，再以点F为圆心，AD的长为半径画弧，交射线BA于点E， 则BE即为所求． （3）解：连接AC，BD相交于点O，则点O即为所求． 11．如图，是线段的中点，是线段的中点，． (1)求线段的长； (2)若点是线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为15或25 【分析】（1）根据线段中点的性质求解即可； （2）先根据求出的值，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是线段的中点， ∴． ∵点是线段的中点， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 当点在线段上时，如图： ∴． 当点在线段上时，如图： ∴． 综上所述，线段的长为15或25． 12．如图，，点是线段上一定点，，两点分别从，同时出发以，的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上）． (1)若，当点，运动了3s时，此时 ， ； (2)当点，运动了3s时，求的值； (3)若点，运动时，总有，求的值； (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】(1)3，1 (2) (3) (4)1或 【分析】（1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据C、D的运动速度知：，再根据，可得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，； （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； （3） 解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （4）解：①当点N在线段上时，如图1， ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2， ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 【点睛】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 13．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 【答案】(1)24，12 (2)4或12 (3)①或；②或 【分析】（1）根据线段的和差关系以及数量关系，进行求解即可； （2）分两点重合，以及在点的两侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）求出点到达点时，所用时间，进而求出此时的长，再分两点相遇前和相遇后，两种情况进行讨论对①②进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：当两点重合时，则：，解得； 当在点的两侧时，则，解得； 综上：经过4或12秒，点P、Q到点A的距离相等； （3）解：当点到达点时，所用时间为秒； 此时； 点停止运动时所用时间为秒； ①当相距5个单位长度时，则或 解得或； 故当或时，相距5个单位长度； ②当时，则或， 解得或； 故当或时，． 14．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 与线段有关的计算 常考题型·精准突破 题型1 按要求画直线、射线、线段（重） 题型2 线段的长短比较 题型3 尺规作图（作线段）（重） 题型4 线段的和差问题（高频） 题型5 线段单中点问题（高频） 题型6 线段双中点问题（高频） 题型7 线段n等分点问题（难） 题型8 与线段有关的动点问题（难） 题型9 数轴上两点之间的距离问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 按要求画直线、射线、线段 1．已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 2．如图所示，点，，，是同一平面内不重合的四个点， (1)按要求画图： ①画射线；②连接，并延长线段； ③画直线、直线；④直线与直线相交于点． (2)根据画出的图形回答下列问题： ①说出点和点与直线的位置关系； ②用字母表示出图中所有的线段． 3．如图，在同一平面内有四个点，，，，请按要求完成下列问题．（不要求写画法和结论） (1)画射线与直线相交于点； (2)画线段和线段； (3)用适当的语言描述点与直线的位置关系_____； (4)_____（填，或），理由是_____． ◆题型2 线段的长短比较 4．为了比较线段与的长度，小明将点与点重合，使两条线段在一条直线上，结果点在的延长线上，则（   ） A． B． C． D．以上都不对 5．如图，用圆规比较线段的长短，圆规的两个支腿的夹角不变，其中下列线段比长的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有_______．（填序号） ①沿点折叠，使和重合，观察点的位置；②用直尺度量出和的长度；③用圆规将线段叠放到线段上，观察点的位置；④凭感觉估计． ◆题型3 尺规作图（作线段） 7．如图，已知直线，点在直线外．按要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹：在射线上求作一条线段，使得． 8．如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求作图．（用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)作线段，并延长线段到点，使； (4)连结、，我们容易判断出线段与的大小关系是_____， 理由是_____ 9．已知线段和线段，用直尺和圆规作一条线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 10．作图题：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段， 求作：线段，使． ◆题型4 线段的和差问题 11．已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长度为（   ） A．或 B． C． D． 12．点，，在同一条直线上，，． (1)用直尺和圆规在射线上作线段，使．（尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，．根据题意画出示意图，并求的长． 13．如图，已知线段的长度是a，线段的长度比线段的长度的2倍多．线段的长度比线段的长度的2倍少． (1)写出用a表示线段的长度的式子； (2)当时，求线段的长度． ◆题型5 线段单中点问题 14．如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 15．如图，点是线段的中点，点是线段上一点．若，． (1)求的长． (2)求的长． 16．如图，已知点，，都是线段上的点，线段，，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，点在线段上，且，求的长． ◆题型6 线段双中点问题 17．如图，M是线段的中点，点C在线段上，N为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 18．如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)求线段的长． 19．如图，已知，为的中点，为的中点，且，求的长． 20．已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，计算的长． 21．如图，点C是线段上的一点，M是的中点，N是的中点． (1)若，，求的长度； (2)若，求的长度． ◆题型7 线段n等分点问题 22．已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 23．如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 24．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为．定义：在数轴上，如果线段上从左往右的点将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，是靠近的第2个等分点，则记为，，是靠近的第个等分点，则记为， 探究一： 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为、，若，则线段的二等分点表示的数为； (1)探究二：如图2，在数轴上、两点表示的数分别为、，若，则线段上靠近点的第2个五等分点表示的数为_________； (2)应用一：如图3，在数轴上两点、表示的数分别为、，数轴上两点、表示的数分别为、4，若线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合，则的值为__________； (3)应用二：如图4，在数轴上、两点表示的数分别为、，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为__________ ◆题型8 与线段有关的动点问题 25．如图，线段，点C是线段上的一个动点，点C从点A出发，以每秒2个单位的速度从点A运动到点B，再从点B运动到点A，然后停止，设点C运动的时间为． (1)当时， ；时， ； (2)用含t的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设点D是线段的中点，E是线段的中点，点C从点A向点B运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 26．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 27．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． ◆题型9 数轴上两点之间的距离问题 28．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为、． (1)点为数轴上一动点，其对应的数为． ①若点到点、点的距离相等，则 ； ②若点到点、点的距离之和为，则 ； (2)若将数轴向右折叠，使与表示的点重合． ①则与原点重合的点表示的数为 ； ②若数轴上、两点之间的距离为，且、两点经过折叠后，点在点的左边，且与点的距离为，求，两点表示的数． 29．我们知道，若在数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点间的距离可表示为，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)填空：①、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______． ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______，点表示的数为______． (2)数轴上表示数的点到点的距离为3，即，则为______． (3)求当为何值时，、两点相遇，并求出相遇点所表示的数． (4)求当为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 30．如图 ，数轴上点 A 表示的数是，点 B 表示的数是． 点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动；点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向左运动；点 R 从原点出发，以每秒 3 个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为 t 秒． (1)用含 t 的式子表示点 P，Q，R 所表示的数； (2)当点 P，Q 之间的距离为 15 个单位长度时，求 t 的值； (3)是否存在某一时刻，使点 R 恰好是线段的中点？若存在，求出 t 的值及此时点 R 表示的数；若不存在，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 2．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 3．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 4．若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 5．如图，小明进行了如下操作：（）作射线；（）在射线上依次截取；（）在线段上截取；（）分别找到线段，的中点，． 则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 7．如图，点是线段上一定点，，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上），若一个点到达终点时，运动停止．下列结论，错误的是（   ） A．若，当点，运动了，此时，； B．当点，运动了时，求的值为； C．若点，运动时，总有，则； D．若，是直线上一点，且，则． 8．如图，点，在线段上，且满足．点，分别为线段，的中点，如果，线段的长度是_____． 9．如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 10．如图，平面上有四个点，，，，根据下列语句画图： (1)画直线、射线、线段； (2)连接，并反向延长至点，使； (3)在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离和最小，并说明理由 ． 11．如图，是线段的中点，是线段的中点，． (1)求线段的长； (2)若点是线段上一点，且，求线段的长． 12．如图，，点是线段上一定点，，两点分别从，同时出发以，的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上）． (1)若，当点，运动了3s时，此时 ， ； (2)当点，运动了3s时，求的值； (3)若点，运动时，总有，求的值； (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，则的值为 ． 13．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 14．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 与线段有关的计算 常考题型·精准突破 题型1 按要求画直线、射线、线段（重） 题型2 线段的长短比较 题型3 尺规作图（作线段）（重） 题型4 线段的和差问题（高频） 题型5 线段单中点问题（高频） 题型6 线段双中点问题（高频） 题型7 线段n等分点问题（难） 题型8 与线段有关的动点问题（难） 题型9 数轴上两点之间的距离问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 按要求画直线、射线、线段 1． 【答案】(1)，直线如图所示； (2)以点B为端点，向点C方向作射线，标注射线与直线的交点为O，作图见小问1答案 (3)分别连接、，标注两条线段的交点为F，作图见小问1答案 (4)以点F为端点，经过点O作射线，作图见小问1答案 (5)以点A为端点，经过点B作射线，作图见小问1答案 (6)连接点C和点D，得到线段，作图见小问1答案 【详解】（1）作图见答案 （2）作图见小问1答案 （3）作图见小问1答案 （4）作图见小问1答案 （5）作图见小问1答案 （6）作图见小问1答案 2． 【答案】(1) 如图所示： (2)①点在直线上，点在直线外； ②图中的线段有线段，，，，，，， 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）根据射线，线段的概念即可解答； （2）①根据点与直线的关系即可解答；②根据线段的概念即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①点在直线上，点在直线外． ②图中的线段有线段，，，，，，，． 3． 【答案】(1) 点即为所作， (2) 如图：线段、线段即为所作； (3)点在直线外 (4)；两点之间，线段最短 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据射线和直线的定义作图即可； （2）根据线段的定义作图即可； （3）观察图形即可得出结果； （4）根据图形并结合“两点之间，线段最短”即可得出结果． 【详解】（1）解：如图：射线、直线； （2）略 （3）解：由图可得：点在直线外； （4）解：由图可得，，理由是：两点之间，线段最短． ◆题型2 线段的长短比较 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】①②③ ◆题型3 尺规作图（作线段） 7．【答案】 如图：线段即为所求： 【分析】先根据射线的定义画出射线，根据线段的定义画出线段，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，则线段即为所求． 【详解】略 8．【答案】(1)射线如图所示： (2)如图所示：直线、点即为所求， (3)如图所示：线段、线段即为所求， (4)，两点之间线段最短 【分析】（1）根据射线的定义作图即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据线段的定义作图即可； （4）根据两点之间，线段最短解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：如图所示： 根据两点之间线段最短可得，． 9． 【答案】 如图所示，线段即为所求； 【分析】作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点，则线段即为所求． 【详解】略 10． 【答案】解：如图，线段为所求； 【分析】作射线，以点A为圆心，线段n的长为半径画弧，交射线于点N，则，以点N为圆心，线段m的长为半径画弧，交线段于点P，则，同理作线段，则线段，即为所求． 【详解】略 ◆题型4 线段的和差问题 11．【答案】A 【分析】分两种情况计算线段的长度． 【详解】解：当点C在线段上时，， 当点C在线段的延长线上时，． 12． 【答案】(1)如图，线段即为所求； (2)或 【分析】（1）在射线上先作，则作，即可； （2）分两种情况：当点B在点A，C之间时；当点C在点A，B之间时，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：如图，当点B在点A，C之间时， ∵， ∴； 如图，当点C在点A，B之间时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 13． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求出，进而求出，再由进行求解即可； （2）把代入（1）所求式子中求解即可． 【详解】（1）解：线段的长度是，线段的长度比线段长度的2倍多， ， 线段的长度比线段长度的2倍少， ， ； （2）解：当时，则 解得， ∴线段的长度为． ◆题型5 线段单中点问题 14．【答案】B 15．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和与差． （1）根据，，可求出的长． （2）根据线段中点的定义可得的长，再根据即可求解． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：点是线段的中点， ， ． 16．【答案】(1)线段的长为3 (2)的长为23或31 【分析】（1）根据题意，先求出、，然后根据线段和差关系，依次求出、，结合中点定义得到，进而求出． （2）首先根据（1）求出，然后根据点F的位置关系，分两种情况讨论，综合得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． ∵点为线段的中点， ∴， ∴． （2）由（1）得， 点在线段上，且，分两种情况： 情况一：当F在点E左侧时，； 情况二：当F在点E右侧时，； 综上，的长为23或31． ◆题型6 线段双中点问题 17．【答案】B 【分析】先根据中点的定义得出，求出，再根据中点定义得出，最后根据线段间的数量关系，得出答案即可． 【详解】解：∵N为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵M是线段的中点， ∴， ∴． 18． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由计算即可． （2）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． （3）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． 【详解】（1）解：∵点、、在同一直线上，在、之间， ∴， ∵，， ∴． （2）解：是中点，是中点， ， ， ， ． （3）解：是的中点，， ， 是中点，， ， ． 19． 【答案】12 【分析】设，，，由中点的定义就可以得出，，根据题意列出方程解出，利用求出最后结果． 【详解】解：， 则设，，， 为的中点，为的中点， ，， ， ， ， ，，， ． 20． 【答案】5或1 【分析】先根据题意求出、的长，再根据当点E在点C左边与当点E在点C右边两种情况解答． 【详解】解：如图， ∵线段，点C为中点， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴当点E在点C左边时，； 当点E在点C右边时，． 21． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】（1）先根据M是的中点得，再根据N是的中点得，再根据计算即可； （2）先根据M是的中点得，再根据N是的中点得，再根据计算即可． 【详解】（1）解：∵M是的中点，， ∴， ∵N是的中点，， ∴， ∴； （2）解：∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． ◆题型7 线段n等分点问题 22． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 23． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差计算，解题关键是正确识别图形，理解线段之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先确定，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：由图可得， ∵点M是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴ 24． 【答案】(1) (2)2 (3)秒或秒 【分析】（1）根据“探究一”的计算方法求值即可； （2）根据题意，点表示的数为，点表示的数为，由此列式即可求解； （3）分别表示表示的数，点表示的数，的值，由线段三等分点的计算方法得到线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为，三等分的第二个点表示的数为，根据题意列式计算即可求解；线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为，三等分的第二个点表示的数为，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：线段上靠近的四等分点表示的数为， 线段上靠近的十等分点表示的数为， ∴， 解得：； （3）解：数轴上两点、表示的数分别为和，点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，出发时间为秒， 线段上靠近的八等分点表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 第一种情况，点在点左边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 第二种情况，点在点右边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 综上所述，线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合，此时的为秒或秒. ◆题型8 与线段有关的动点问题 25． 【答案】(1)4，6； (2)当时，；当时， (3)5． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，线段的和差以及线段中点的有关计算，分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点运动到点处，时，点从点处返回点，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的长度； （3）根据线段中点的相关计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点运动到点处，时，点从点处返回点， ∴ 当时，， 当时，（厘米）， 故答案为： 4，6． （2）解：由题意可知时，点C从点A运动到点B，，点C从点B处返回点A， ∴时，， 当点C从B运动到点A时，即时，； （3）解：当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， ∵D是线段的中点，E是线段的中点， ∴，， ∴． 26． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 27． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． ◆题型9 数轴上两点之间的距离问题 28． 【答案】(1)①1；②6或 (2)①2；②，两点表示的数分别是和或和 【分析】（1）①：因为点P到A、B距离相等，所以P是线段的中点，利用中点坐标公式计算即可．②：点到点的距离为6，点到点、点的距离之和为，大于，分P在A左侧、P在B右侧两种情况讨论，根据数轴上两点距离公式求解． （2）①：先确定和4重合时的折叠中点，再根据折叠后两点到中点距离相等，列等式求与原点重合的数．②：先根据折叠后M、N的距离为2，得到两点到折叠中点的距离，当点在折叠点的右侧时，当点在折叠点的左侧时，分两种情况求解两点表示的数． 【详解】（1）解：①∵点P到A、B距离相等， ∴P是线段的中点， 利用中点坐标公式计算． ②∵点到点的距离为，点到点、点的距离之和为，大于， ∴点在点的左侧或是点的右侧， 当点在点的左侧时，点到点、点的距离之和为，点与点的距离为6，点到点的距离为， ∴点表示的数为． 当点在点的右侧时，同理可得点到的距离为， ∴点表示的数为． 综上，点表示的数的值为或． （2）①∵将数轴折叠，使与表示的点重合， ∴折叠的点表示的数为， ∴原点到的距离为，到的距离为的另一个点表示的数为． ②由折叠可得折叠的点表示的数为， ∵数轴上、两点之间的距离为2026，折叠后点在点的左边，与点的距离为， ∴点到的距离比点N到的距离小， ∴点到的距离为，点到的距离为， 当点在折叠点的右侧时，点表示的数为，点表示的数为， 当点在折叠点的左侧时，点表示的数为，点表示的数为． ∴，两点表示的数分别是和或和． 29． 【答案】(1)①10，3；②， (2)或 (3)时，相遇点表示的数是． (4)时，中点为；时，中点为． 【分析】（1）①直接套用数轴两点距离公式算出，套用中点公式算出中点是；②根据点的运动方向与速度，写出秒后、代表的代数式． （2）根据绝对值方程的含义拆成两个一元一次方程，求出或． （3）两点相遇时代表数字相等，列方程求出，再代入算出相遇点数字为． （4）先用距离公式写出，令它等于，解绝对值方程得到两个值，再分别代入求对应的中点． 【详解】（1）解：①，， ， 线段中点：， ②从向右，速度， 秒后表示的数：， 从向左，速度， 秒后表示的数： （2）解：， 或 解得： 或 ． （3）解：相遇时两点表示的数相等 ， ， ， ， 把代入，， 相遇点表示的数是． （4）解：，， ， ， 或 或 或 当： ， ， 中点： 当： ， ， 中点： 时，中点为；时，中点为． 30． 【答案】(1)P：，Q：，R： (2)或 (3)存在某一时刻，使点 R 恰好是线段 PQ 的中点，此时，点R 表示的数是 6 【分析】（1）根据左减右加，列式计算解答即可； （2）根据点 P，Q 之间的距离为 15 个单位长度，构造绝对值方程求解即可； （3）根据线段的中点，得到，解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，点P运动的路程为个单位长度，点Q运动的路程为个单位长度，点R运动的路程为个单位长度， 根据出发点与运动方向可得：P 表示，Q 表示，R 表示； （2）解：当点 P，Q 之间的距离为 15 个单位长度时， 根据题意，得， 整理，得， 故或， 解得或； （3）解：根据题意，得P 表示，Q 表示，R 表示． 点 R 恰好是线段 的中点, 或 解得或； 当时，P 表示，Q 表示，R 表示，此时点P，点Q重合，线段不存在，舍去． 当时，P 表示，Q 表示，R 表示，符合要求， 故存在某一时刻，使点 R 恰好是线段 PQ 的中点，此时，点R 表示的数是6． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】D 【详解】解：现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 2． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 3． 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 4． 【答案】D 【分析】由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 5． 【答案】B 【详解】解：依题意得：，， ，是线段，的中点， ，， 选项，，说法正确，不符合题意； 选项，，无法说明，说法错误，符合题意； 选项，，说法正确，不符合题意； 选项，，说法正确，不符合题意． 6． 【答案】B 【分析】通过计算前几次跳动后点到原点的距离，归纳出第次跳动后点到原点距离的规律，代入计算即可 ． 【详解】解：∵数轴上，两点的距离为，即， 第次跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； … 以此类推，第次跳动后点与原点的距离是， 当时，． 7． 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点； A、根据题意，根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算即可； B、根据题意，当点，运动了，有，，从而求得即可求解； C、由，的运动速度可知，，再由已知条件，求得，所以； D、分情况讨论：①当点在线段上，②当点在线段的延长线上，分别求解可得． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∵点，运动了，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动， ∴，， ∴，， ∴不符合题意，故此选项错误； B、∵点，运动了， ∴，， ∴，， ∴， ∴不符合题意，故此选项错误； C、由，的运动速度可知，， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意，故此选项错误； D、①如图所示，当点在线段上时， ∵，由C选项可知：， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴， ∴， 综上可知，或， ∴符合题意，故此选项正确； 故选：D． 8． 【答案】 【分析】根据的关系，可用表示和，根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点E、F分别为线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9． 【答案】或 【分析】分情况讨论，即或时，列方程即可解答． 【详解】解：当时， 可得厘米， ， 解得； 当时， 可得厘米， ， 解得； 综上，的值为或． 10．【答案】(1) 如图，直线AD、射线DC、线段CB即为所求． (2) 如图，BE即为所求． (3) 如图，点O即为所求． 两点之间线段最短． 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．． （1）根据直线、射线、线段的定义作图即可． （2）以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则即为所求． （3）连接，相交于点，则点即为所求．结合线段的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：以点B为圆心，AD的长为半径画弧，交射线BA于点F，再以点F为圆心，AD的长为半径画弧，交射线BA于点E， 则BE即为所求． （3）解：连接AC，BD相交于点O，则点O即为所求． 11．【答案】(1) (2)线段的长为15或25 【分析】（1）根据线段中点的性质求解即可； （2）先根据求出的值，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是线段的中点， ∴． ∵点是线段的中点， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 当点在线段上时，如图： ∴． 当点在线段上时，如图： ∴． 综上所述，线段的长为15或25． 12．【答案】(1)3，1 (2) (3) (4)1或 【分析】（1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据C、D的运动速度知：，再根据，可得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，； （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； （3） 解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （4）解：①当点N在线段上时，如图1， ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2， ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 【点睛】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 13．【答案】(1)24，12 (2)4或12 (3)①或；②或 【分析】（1）根据线段的和差关系以及数量关系，进行求解即可； （2）分两点重合，以及在点的两侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）求出点到达点时，所用时间，进而求出此时的长，再分两点相遇前和相遇后，两种情况进行讨论对①②进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：当两点重合时，则：，解得； 当在点的两侧时，则，解得； 综上：经过4或12秒，点P、Q到点A的距离相等； （3）解：当点到达点时，所用时间为秒； 此时； 点停止运动时所用时间为秒； ①当相距5个单位长度时，则或 解得或； 故当或时，相距5个单位长度； ②当时，则或， 解得或； 故当或时，． 14． 【答案】(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $