专题11 立体图形与平面图形（专项训练）数学新教材湘教版七年级上册
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内容正文：
专题11 立体图形与平面图形
常考题型·精准突破
题型1 实物抽象出立体图形（重）
题型2 辨别立体图形与平面图形
题型3 从不同方向观察立体图形（高频）
题型4 几何体的展开图
题型5 正方体的十一种展开图（重）
题型6 含图案的正方体展开图（难）
题型7小正方体堆叠问题（重）
题型8 与立体图形有关的规律探究（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 实物抽象出立体图形
1．【答案】
（1）长方体和圆柱；（2）圆柱和圆柱；（3）圆锥和圆柱；（4）棱柱和球
【详解】解：（1）上面是圆柱，下面是长方体；
（2）上面是圆柱，下面也是圆柱；
（3）上面是圆锥，下面是圆柱；
（4）上面是球，下面是棱柱.
2．【答案】
左1的图的物体类似于圆柱；
左2的图的物体可看作由球和圆柱构成；
右2的图的物体可看作由圆锥和圆柱构成；
右1的图类似于圆锥；
【分析】本题主要考查了对常见几何体的认识，通过观察题干的物体的形状特征，将其与圆柱、球、圆锥等几何体进行对应，即可作答．
【详解】解：观察左1的图中的物体，其上下底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面，符合圆柱的特征，
∴左1的图的物体类似于圆柱；
观察左2的图中的物体，主体部分是一个球体，下方有一个类似圆柱的部分，
∴左2的图的物体可看作由球和圆柱构成；
观察右2的图的物体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱，
∴该物体可看作由圆锥和圆柱构成；
观察右1的图的物体，有一个顶点，底面是一个圆形，侧面是一个曲面，符合圆锥的特征，
∴右1的图类似于圆锥；
◆题型2 辨别立体图形与平面图形
3．【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ ③④⑧ ①②⑤⑥⑦
【分析】根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑．柱体的定义∶有两个互相平行且完全相同的底面，侧面是平行四边形；沿着一个方向平移底面得到的几何体，锥体定义∶有一个底面，一个顶点，侧面汇聚到同一个顶点；球定义∶半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体；曲面即弯曲的面．
【详解】解：如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为①②⑤⑦⑧，是锥体的为④⑥，是球的为③，
如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为③④⑧，无曲面的为①②⑤⑥⑦．
4．【答案】
【分析】略．
【详解】观察图形可知，该几何体是一个六棱柱. 六棱柱有上下个底面，侧面有个面．
所以该几何体共有个面．
5．【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成．
【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目．
【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；
题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；
题图③由五棱柱、球组成．
◆题型3 从不同方向观察立体图形
6．【答案】A
【分析】根据从不同方向看到的图形解答即可．
【详解】解：由题意可知，该几何体从正面和左面看到的平面图形相同．
7．【答案】B
【详解】A．圆锥：从正面看和从左面看得到的图形均为三角形，不符合题意；
B．圆柱：从正面看和从左面看得到的图形均为长方形，符合题意；
C．球：从正面看和从左面看得到的图形均为圆，不符合题意；
D．三棱锥：从正面看和从左面看得到的图形均为三角形，不符合题意．
8．【答案】
【分析】根据图形可判断几何体为圆柱，并确定底面直径和高，再代入体积公式计算即可．
【详解】解：由图可知，该几何体是圆柱，圆柱的高为，底面圆的直径为，
∴底面半径为，
∴这个几何体的体积．
◆题型4 几何体的展开图
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】①⑤
12．【答案】如图所示：
◆题型5 正方体的十一种展开图
13．【答案】C
14．【答案】C
15．【答案】C
16．【答案】D
17．【答案】4
◆题型6 含图案的正方体展开图
18．【答案】A
19．【答案】D
20．【答案】D
21．【答案】C
◆题型7小正方体堆叠问题
22．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）几何体的下面有个小正方体，上面有个小正方体，共有个小正方体；
（2）根据几何体中小正方体的位置分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
【详解】（1）解：搭成这个几何体共用了个小正方体；
（2）略
23．【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】（1）根据几何体即可得到答案；
（2）由已知图形可知，从正面看有3列，每列小正方形的数量为3、1、2；从左面看有3列，每列小正方形的数量为3、2、1；从上面看有3列，每列小正方形的数量为3、2、1，据此画出形状图即可；
（3）首先计算露出的面数有38个，然后求出这个几何体喷漆的面积．
【详解】（1）解：由图形可知，该几何体下层有6个小正方体，中间层有3个小正方体，上层有1个小正方体，
，
即这个几何体由10个小正方体组成；
（2）略
（3）解：由几何体可知，露出的面数有个，
即这个几何体喷漆的面积为．
24．【答案】(1)
(2)如图，
【分析】（1）分层数出几何体每层小立方块数量，相加得到总个数．
（2）分别从正面、上面、左面观察几何体，确定每一行每一列正方形的分布，画出对应形状图．
【详解】（1）解：由图可得底层：4个，第二层：1个；
故构成这个几何体的小立方块的个数为：（个）；
（2）略
25．【答案】(1)
该几何体从左面看到的形状图如下：
从上面看到的形状图如下：
(2)．
【分析】（1）根据该几何体分别从左面看，从上面看，画出即可；
（2）根据图中标注出应摆放的小正方体的个数即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：在备注数字的位置上加相应数量的小正方体即可，如从上面看到的形状图：
，
所以为保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以再添加块小正方体．
26．【答案】(1)
画出从左面看和从上面看的形状图如下：
(2)
(3)17个
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握看图的方法是解题的关键．
（1）从左面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；从上面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1，据此画出图形即可得；
（2）根据几何体的形状，可得小正方体露出来的面的个数，由此即可得；
（3）根据图形可得，当大正方体的边长为3个小正方体时，搭成这个大正方体所需要的小正方体的个数最少，由此即可得．
【详解】（1）略
（2）解：观察图形可知，露在外面的面有（个），
则这个几何体喷漆的面积是，
故答案为：．
（3）解：由图可知，当大正方体的边长为3个小正方体时，搭成这个大正方体所需要的小正方体的个数最少，
则搭成一个大正方体，至少还需要小正方体的个数是（个），
故答案为：17个．
27．【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据从上面看到的图形小正方形中的数字画出图形即可；
（）求出几何体表面小正方形的总数，再乘以小正方形的面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：由图可知，几何体从正面看小正方形的个数为个，从左边看小正方形的个数为个，从上面看小正方形的个数为个，
∴这个几何体的表面小正方形的总数为个，
∵小正方体的边长均为，
∴这个几何体的表面积为．
◆题型8 与立体图形有关的规律探究
28．【答案】(1)填表如下：
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数a
6
8
10
12
棱数b
9
12
15
18
面数c
5
6
7
8
(2)18；32；48
(3)十二
(4)棱柱的面数顶点数棱数
【分析】（1）根据多面体特征直接填写即可；
（2）根据（1）中的表格总结出规律，进而作答即可；
（3）根据（2）中总结的规律列方程求解即可；
（4）直接根据（2）中总结的规律作答即可．
【详解】（1）略
（2）解：对于棱柱，规律为：面数，顶点数，棱数；
当时：面数 ，顶点数，棱数；
（3）解：已知棱柱棱数为，令，解得，因此该棱柱为十二棱柱；
（4）解：由（2）可知棱柱的面数顶点数棱数．
29．【答案】(1)表格如下：
多面体
顶点数
面数
棱数
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
(2)16
【分析】（1）观察图形即可得出结论，根据表格可得：顶点数+面数棱数=2；
（2）设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为，代入（1）中的式子即可求解．
【详解】（1）解：观察图形，四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；
表格略，
由表格可知，关系式为：；
（2）解：设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为，
由题意得：，
解得，
∴这个多面体有个面．
30．【答案】
；；；；；；；；；
【分析】设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，可得总面数，总边数，从五边形的视角，可得顶点数，代入欧拉公式化简可得，从六边形的视角，可得顶点数，根据不同视角所得顶点数相等，可得，解方程组即可得，．
【详解】解：设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则
（1）总面数计算：总面数用含，的式子表示为：，
（2）边数计算
每个五边形有5条边，每个六边形有6条边，但每条边被两个面共享，因此总边数E用含，的式子表示为：，
（3）顶点数计算
在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边．
从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：，
从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：，
（4）代入欧拉公式计算
将、、代入：，可得：，之间的关系为：，即，
但由和相等得：，即，
把和联立成含有，为未知数的方程组，得，
解这个方程组得：，，
因此，足球的表面必须由个正五边形和个正六边形拼接而成．
综合攻坚·知能拔高
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】和
10．【答案】
11．【答案】4
12．【答案】
13．【答案】(1)画图如下：
(2)
(3)块
【分析】（）根据几何体画图即可；
（）分别数出每个面正方形的个数，再乘以正方形的面积即可；
（）要保持从上面和左面观察到的形状图不变，则从前面看，从左到右第列上面1行最多可增加块小正方体，第列上面1行最多可增加块小正方体，第列上面1行最多可增加块正方体，据此即可求解；
【详解】（1）略
（2）解：几何体的表面积为；
（3）解：添加正方体之前从上面看，如图
添加正方体之后从上面看，如图
要保持从上面和左面观察到的形状图不变，则从前面看，从左到右第列上面1行最多可增加块小正方体，第列上面1行最多可增加块小正方体，第列上面1行最多可增加块正方体，
∴最多可以添加块小立方块．
14．【答案】(1)、
(2)包装盒的体积为，表面积为
【分析】（1）根据长方体的展开图特征判断即可；
（2）根据长方体的侧面积、底面积、表面积公式计算即可．
【详解】（1）解：图2给出的四种纸样、、、，正确的有、；
（2）解：包装盒的体积为，
表面积为：
，
答：包装盒的体积为，表面积为．
15．【答案】(1)
(2)①；②
(3)三角形
【分析】本题主要考查了多面体的顶点、面、棱之间的关系、一元一次方程的应用等知识点，观察并发现规律是解题的关键．
（1）观察数据即可解答；
（2）①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为，又因为正F面体的两个面共用一条边，所以正F面体的棱数为；②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为，又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为；
（3）运算上述公式列出关于F的方程可得，再根据求解即可．
【详解】（1）解：根据观察可得．
故答案为：．
（2）解：①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为，
又∵正F面体的两个面共用一条边，
∴正F面体的棱数为．
故答案为：．
②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为，
又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为．
故答案为：．
（3）解：由题意可得：，
∴,
∴，
根据（1）中公式可得，可得，解得：，
∴这个正多面体的面数为20．
∵，
∴.
∴这个正多面体的一个面是三角形．
16．【答案】（），；（）；；；（）有张硬纸板是型号，张硬纸板是型号，能制成个灯罩．
【分析】本题考查了直五棱柱，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
（）根据直五棱柱的特点求解即可；
（）根据题意进行填表即可；
（）根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】解：（）每个灯罩由个形状、大小完全相同的小长方形侧面和个形状、大小完全相同的正五边形底面组成，
故答案为：，；
（）设其中张硬纸板是型号，其余的都是型号，填表如下：
型号
型号
硬纸板数量
小长方形侧面数量
正五边形顶面数量
故答案为：；；；
（）由（）得，设其中张硬纸板是型号，则张硬纸板是型号，
根据题意得：，
解得：，
∴有张硬纸板是型号，张硬纸板是型号，能制成个灯罩．
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专题11 立体图形与平面图形
常考题型·精准突破
题型1 实物抽象出立体图形（重）
题型2 辨别立体图形与平面图形
题型3 从不同方向观察立体图形（高频）
题型4 几何体的展开图
题型5 正方体的十一种展开图（重）
题型6 含图案的正方体展开图（难）
题型7小正方体堆叠问题（重）
题型8 与立体图形有关的规律探究（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 实物抽象出立体图形
1．下列物体可以近似地看成是由什么几何体组成的?
【答案】
（1）长方体和圆柱；（2）圆柱和圆柱；（3）圆锥和圆柱；（4）棱柱和球
【详解】解：（1）上面是圆柱，下面是长方体；
（2）上面是圆柱，下面也是圆柱；
（3）上面是圆锥，下面是圆柱；
（4）上面是球，下面是棱柱.
2．请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的．
【答案】
左1的图的物体类似于圆柱；
左2的图的物体可看作由球和圆柱构成；
右2的图的物体可看作由圆锥和圆柱构成；
右1的图类似于圆锥；
【分析】本题主要考查了对常见几何体的认识，通过观察题干的物体的形状特征，将其与圆柱、球、圆锥等几何体进行对应，即可作答．
【详解】解：观察左1的图中的物体，其上下底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面，符合圆柱的特征，
∴左1的图的物体类似于圆柱；
观察左2的图中的物体，主体部分是一个球体，下方有一个类似圆柱的部分，
∴左2的图的物体可看作由球和圆柱构成；
观察右2的图的物体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱，
∴该物体可看作由圆锥和圆柱构成；
观察右1的图的物体，有一个顶点，底面是一个圆形，侧面是一个曲面，符合圆锥的特征，
∴右1的图类似于圆锥；
◆题型2 辨别立体图形与平面图形
3．下图是我们常见的几何体，如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为______，是锥体的为______，是球的为______；如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为______，无曲面的为______．（填序号）
【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ ③④⑧ ①②⑤⑥⑦
【分析】根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑．柱体的定义∶有两个互相平行且完全相同的底面，侧面是平行四边形；沿着一个方向平移底面得到的几何体，锥体定义∶有一个底面，一个顶点，侧面汇聚到同一个顶点；球定义∶半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体；曲面即弯曲的面．
【详解】解：如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为①②⑤⑦⑧，是锥体的为④⑥，是球的为③，
如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为③④⑧，无曲面的为①②⑤⑥⑦．
4．如图，这个几何体有__________个面．
【答案】
【分析】略．
【详解】观察图形可知，该几何体是一个六棱柱. 六棱柱有上下个底面，侧面有个面．
所以该几何体共有个面．
5．指出图中各物体是由哪些立体图形组成的．
【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成．
【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目．
【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；
题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；
题图③由五棱柱、球组成．
◆题型3 从不同方向观察立体图形
6．在河南博物院的藏品中，有一件商代原始瓷尊，光亮晶莹，细腻坚硬，不仅掀开了3600多年前商王朝的神秘面纱，还以清脆的金石之声，拉开了我国瓷器发展的序幕，具有极高的历史价值、文化价值．如图，关于从三个不同的方向观察到的平面图形，下列说法正确的是（ ）．
A．从正面与从左面看到的图形相同 B．从正面与从上面看到的图形相同
C．从左面与从上面看到的图形相同 D．从正面、左面、上面看到的图形都不相同
【答案】A
【分析】根据从不同方向看到的图形解答即可．
【详解】解：由题意可知，该几何体从正面和左面看到的平面图形相同．
7．下列几何体中，从正面看和从左面看都是长方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A．圆锥：从正面看和从左面看得到的图形均为三角形，不符合题意；
B．圆柱：从正面看和从左面看得到的图形均为长方形，符合题意；
C．球：从正面看和从左面看得到的图形均为圆，不符合题意；
D．三棱锥：从正面看和从左面看得到的图形均为三角形，不符合题意．
8．一个几何体从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体的体积为______．
【答案】
【分析】根据图形可判断几何体为圆柱，并确定底面直径和高，再代入体积公式计算即可．
【详解】解：由图可知，该几何体是圆柱，圆柱的高为，底面圆的直径为，
∴底面半径为，
∴这个几何体的体积．
◆题型4 几何体的展开图
9．如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（ ）
A．五棱柱 B．四棱柱 C．三棱柱 D．圆锥
【答案】C
【分析】观察展开图的面数与形状，确定底面与侧面特征即可得到答案．
【详解】解：观察图形可知，该展开图由个三角形和个长方形组成，符合三棱柱展开图的特征，故这个几何体是三棱柱．
10．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先判断各几何体的展开图，再确定侧面展开图为扇形的图形即可解答．
【详解】解：A．球体没有侧面展开图，故该选项不符合题意；
B．圆锥的侧面展开图是扇形， 故该选项符合题意；
C．三棱锥的侧面展开图由三个三角形组成，故该选项不符合题意；
D．三棱柱的侧面展开图是矩形，故该选项不符合题意．
11．如图几何体的展开图中，经过折叠能围成圆柱的是_________．
【答案】①⑤
【分析】根据圆柱展开图的特点进行判断即可．
【详解】解：①与⑤中由两个圆与一个长方形组成，且两个圆分别在长方形的两侧，从而经过折叠能围成圆柱，其它几个图不能经过折叠围成圆柱．
12．如图，在第一行中找出与第二行对应的几何体的表面展开图，并用线把它们连起来．
【答案】如图所示：
【分析】结合常见几何体展开与折叠的对应特征，判断每一个平面展开图折叠后形成的立体图形，完成连线匹配．
【详解】解：展开图全部由四个三角形拼接而成，折叠后可得三棱锥；
展开图包含一个三角形面、两个正方形面和两个长方形面，折叠后可得到三棱柱；
展开图两端是全等的五边形，中间由五个长方形依次相连，折叠后可得到五棱柱；
展开图由六个长方形拼接而成，折叠后可得到长方体．
所以用线把它们连起来如下图所示：
◆题型5 正方体的十一种展开图
13．如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（ ）．
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可．
【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型，
∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况，
故选：．
14．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题．
【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体，
放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体．
故选：C．
15．如图，标有“0”的面与（ ）是相对的．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据同行时，隔一相对，隔行，隔列时，异侧相对原则，分析求解即可．
【详解】解：2和4同行，隔3相对；1和5隔2,3,4所在行异侧相对，3和0隔4,5在列异侧相对．
16．“学而不思则罔，思而不学则殆”源自《论语·为政》，是孔子倡导的一种读书与学习的方法．如图，将“学而不思则罔”六个字写在正方体的展开图上，折叠成正方体后，与“不”字相对的面上的字是（ ）
A．学 B．思 C．更 D．罔
【答案】D
【分析】根据正方体相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，以此来找相对面．
【详解】解：由题意得，与“不”字相对的面上的字是“罔”．
17．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法．
【答案】4
【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种．
【详解】解：如图所示：共4种．
◆题型6 含图案的正方体展开图
18．手工课上，小华制作了一个画有图案的正方体礼品盒．下图是该正方体的平面展开图，折叠完成后，原正方体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方体的表面展开图找出它们的相对面、相邻面之间的位置关系进行判断．
【详解】解∶根据题意得：原正方体可能是
19．如图，下面四个图形中是左面正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：由正方体上三个图案的位置关系即可得到正方体的展开图的是．
20．小欣同学用纸（如图）折成了一个正方体盒子，并在里面放了一瓶墨水，混放在下列选项中的盒子里，则墨水所在的盒子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正方体展开图得出两个阴影三角形的两个锐角顶点合在一起且两个圆在相对的面上，据此即可解答．
【详解】解：由正方体展开图可知：两个阴影三角形的两个锐角顶点合在一起且两个圆在相对的面上，故墨水所在的盒子为选项D．
21．把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可．
【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确．
◆题型7小正方体堆叠问题
22．如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体．
(1)搭成这个几何体共用了＿＿＿＿个小正方体；
(2)请分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）几何体的下面有个小正方体，上面有个小正方体，共有个小正方体；
（2）根据几何体中小正方体的位置分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
【详解】（1）解：搭成这个几何体共用了个小正方体；
（2）略
23．如图，在平整地面上，若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体．
(1)这个几何体由 个小正方体组成；
(2)在网格中画出从正面、左面、上面看到的图；
(3)如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则这个几何体喷漆的面积是多少．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】（1）根据几何体即可得到答案；
（2）由已知图形可知，从正面看有3列，每列小正方形的数量为3、1、2；从左面看有3列，每列小正方形的数量为3、2、1；从上面看有3列，每列小正方形的数量为3、2、1，据此画出形状图即可；
（3）首先计算露出的面数有38个，然后求出这个几何体喷漆的面积．
【详解】（1）解：由图形可知，该几何体下层有6个小正方体，中间层有3个小正方体，上层有1个小正方体，
，
即这个几何体由10个小正方体组成；
（2）略
（3）解：由几何体可知，露出的面数有个，
即这个几何体喷漆的面积为．
24．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体．
(1)这个几何体由________个小立方块搭成；
(2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
【答案】(1)
(2)如图，
【分析】（1）分层数出几何体每层小立方块数量，相加得到总个数．
（2）分别从正面、上面、左面观察几何体，确定每一行每一列正方形的分布，画出对应形状图．
【详解】（1）解：由图可得底层：4个，第二层：1个；
故构成这个几何体的小立方块的个数为：（个）；
（2）略
25．如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体．
(1)在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图；
(2)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
【答案】(1)
该几何体从左面看到的形状图如下：
从上面看到的形状图如下：
(2)．
【分析】（1）根据该几何体分别从左面看，从上面看，画出即可；
（2）根据图中标注出应摆放的小正方体的个数即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：在备注数字的位置上加相应数量的小正方体即可，如从上面看到的形状图：
，
所以为保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以再添加块小正方体．
26．如图，在平整的地面上，10个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体．
(1)在下面的网格中画出从左面看和从上面看的形状图．
(2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上黄色的漆，则这个几何体喷漆的面积是______．
(3)若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小正方体的位置），继续添加相同的小正方体，搭成一个大正方体，至少还需要小正方体的个数是______．
【答案】(1)
画出从左面看和从上面看的形状图如下：
(2)
(3)17个
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握看图的方法是解题的关键．
（1）从左面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；从上面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1，据此画出图形即可得；
（2）根据几何体的形状，可得小正方体露出来的面的个数，由此即可得；
（3）根据图形可得，当大正方体的边长为3个小正方体时，搭成这个大正方体所需要的小正方体的个数最少，由此即可得．
【详解】（1）略
（2）解：观察图形可知，露在外面的面有（个），
则这个几何体喷漆的面积是，
故答案为：．
（3）解：由图可知，当大正方体的边长为3个小正方体时，搭成这个大正方体所需要的小正方体的个数最少，
则搭成一个大正方体，至少还需要小正方体的个数是（个），
故答案为：17个．
27．一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．
(1)请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图；
(2)若小正方体的边长均为，这个几何体的表面积为________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据从上面看到的图形小正方形中的数字画出图形即可；
（）求出几何体表面小正方形的总数，再乘以小正方形的面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：由图可知，几何体从正面看小正方形的个数为个，从左边看小正方形的个数为个，从上面看小正方形的个数为个，
∴这个几何体的表面小正方形的总数为个，
∵小正方体的边长均为，
∴这个几何体的表面积为．
◆题型8 与立体图形有关的规律探究
28．观察下列几何体，回答问题．
图形与名称
顶点数
6
______
10
12
棱数
9
12
______
______
面数
5
______
______
8
(1)补全上表；
(2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱；
(3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱；
(4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？
【答案】(1)填表如下：
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数a
6
8
10
12
棱数b
9
12
15
18
面数c
5
6
7
8
(2)18；32；48
(3)十二
(4)棱柱的面数顶点数棱数
【分析】（1）根据多面体特征直接填写即可；
（2）根据（1）中的表格总结出规律，进而作答即可；
（3）根据（2）中总结的规律列方程求解即可；
（4）直接根据（2）中总结的规律作答即可．
【详解】（1）略
（2）解：对于棱柱，规律为：面数，顶点数，棱数；
当时：面数 ，顶点数，棱数；
（3）解：已知棱柱棱数为，令，解得，因此该棱柱为十二棱柱；
（4）解：由（2）可知棱柱的面数顶点数棱数．
29．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数
面数
棱数
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是__________
(2)若一个多面体的面数比顶点数少12，且有42条棱，则这个多面体有________个面？
【答案】(1)表格如下：
多面体
顶点数
面数
棱数
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
(2)16
【分析】（1）观察图形即可得出结论，根据表格可得：顶点数+面数棱数=2；
（2）设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为，代入（1）中的式子即可求解．
【详解】（1）解：观察图形，四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；
表格略，
由表格可知，关系式为：；
（2）解：设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为，
由题意得：，
解得，
∴这个多面体有个面．
30．综合与实践
【项目主题】
为开展室内小足球活动，某课外活动小组对用正五边形和正六边形皮子拼接成足球产生了兴趣．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
（2）足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成的多面体，这种结构的表面究竟是由多少个正五边形和正六边形拼接而成的呢？
【项目分析】
课外活动小组通过欧拉公式和顶点配置做了如下探究．
欧拉公式
对于任何凸多面体，欧拉公式成立：其中，是顶点数，E是边数，F是面数．
设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则
（1）总面数计算：总面数F用含，的式子表示为：①
（2）边数计算
每个五边形有条边，每个六边形有条边，但每条边被两个面共享，因此总边数用含，的式子表示为：②
（3）顶点数计算
在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边．
从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：③
从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：④
（4）代入欧拉公式计算
将③、②、①代入：，可得：，之间的关系为：⑤
但由③和④相等得：⑥
把⑥和⑤联立成含有，为未知数的方程组，解这个方程组得：⑦，⑧
【项目实施】
因此，足球的表面必须由⑨个正五边形和⑩个正六边形拼接而成．这种配置确保了多面体的对称性和接近球形的形状，同时满足几何约束．此外，这种结构在现实中也使足球具有较好的滚动性和稳定性，从而便于在室内开展活动．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①____；②____；③____；④____；⑤_____；⑥____；⑦____；⑧____；⑨_____；⑩_____．
【答案】
；；；；；；；；；
【分析】设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，可得总面数，总边数，从五边形的视角，可得顶点数，代入欧拉公式化简可得，从六边形的视角，可得顶点数，根据不同视角所得顶点数相等，可得，解方程组即可得，．
【详解】解：设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则
（1）总面数计算：总面数用含，的式子表示为：，
（2）边数计算
每个五边形有5条边，每个六边形有6条边，但每条边被两个面共享，因此总边数E用含，的式子表示为：，
（3）顶点数计算
在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边．
从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：，
从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：，
（4）代入欧拉公式计算
将、、代入：，可得：，之间的关系为：，即，
但由和相等得：，即，
把和联立成含有，为未知数的方程组，得，
解这个方程组得：，，
因此，足球的表面必须由个正五边形和个正六边形拼接而成．
综合攻坚·知能拔高
1．如图为小敏同学的几何体素描作品，该作品中不包含的几何体为（ ）
A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱
【答案】D
【分析】识别几何体要抓住特征：正方体、六棱柱的底面都是多边形，都属于棱柱；球是球体；圆锥的底面是圆、侧面是曲面，整体呈锥形．将素描作品中的几何体与四个选项逐一对照即可判断．
【详解】解：观察素描作品可知，作品中含有球、六棱柱、正方体和圆锥四个几何体．
因为正方体和六棱柱的底面都是多边形，所以它们都是棱柱，即作品中包含棱柱、球和圆锥；而圆柱的上、下底面是圆，侧面是曲面，作品中没有这样的几何体．
所以该作品中不包含的几何体为圆柱．
【点睛】易错点：一看到选项是“棱柱”，容易觉得图中没有直接画出“棱柱”而错选A．实际上，正方体、长方体、六棱柱等底面是多边形、侧面是四边形的几何体都属于棱柱；而圆柱的底面是圆，不属于棱柱．判断几何体不能只凭外观名称，要抓住“底面形状”这一本质特征．
2．如图中几何体从左面看的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定从左面看到的图形的层数和列数，以及对应列小正方形的个数即可得到答案．
【详解】解：观察几何体可知，从左面看到的图形分为上下两层，共两列，左边一列下面一层有一个小正方形，右边一列上下两层各有一个小正方形，即看到的图形如下：
3．将如图所示的纸魔方沿某些棱剪开，且使五个面连在一起，然后铺平，得到的图形不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：三棱柱的展开图的侧面是三个长方形，上下底面是全等的三角形，
所以D错误，符合题意．
4．围成下列这些立体图形的各个面中，都是平面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、球面不是平面，故本选项不符合题意；
B、四个面都是平面，故本选项符合题意；
C、侧面不是平面，故本选项不符合题意；
D、侧面不是平面，故本选项不符合题意．
5．如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图，解决本题的关键是根据正方体的表面展开图找出它们的相对面、相邻面之间的位置关系进行判断．
【详解】解：A选项：如下图所示，当在前面时，上面是，左面是，故A选项符合题意；
B选项：当在上面时，前面应是，故B选项不符合题意；
C选项：当在前面时，上面应是，故C选项不符合题意；
D选项：两个应是相对面，不能相邻，故D选项不符合题意．
故选：A．
6．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解．
【详解】解：把图形围成立方体如图所示：
所以与顶点距离最远的顶点是，
故选：A．
7．将下图所示的平面图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：旋转一周得到的立体图形是
故选：D．
8．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可．
【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可．
故选：D．
9．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________．
【答案】和
【分析】根据正方体展开图的特征，确定各面的相对位置，通过折叠想象或标记法找出与点M重合的顶点．
【详解】解：设含点M的正方形为前面，则其上方的正方形为上面，左边的正方形为左面，右边的第一个正方形为右面，右面的第二个正方形为后面，后面下方的正方形为下面，
∵点M位于前面的左下角，
∴与点M重合的点应位于左面的左下角或下面的右下角，
∵左面的左下角为点A，下面的右下角为点D，
∴与点M重合的点是点A和点D．
10．如图所示的是一个正方体纸盒的平面展开图．已知纸盒的相对两个面上的数互为相反数，且，，则的值是________．
【答案】
【分析】本题考查正方体展开图的相对面、相反数与绝对值：正方体展开图中相隔一个面的两个面是相对面；注意绝对值具有非负性，两个非负数互为相反数时它们都为．先由展开图确定相对的面，再由相反数与绝对值的条件求出各字母的值，最后代入计算．
【详解】解：由正方体展开图可知，与相对，与相对，与相对，
∵相对两个面上的数互为相反数，
∴，，，
∵，，且，
∴，
∴，，即，，
∴．
11．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______．
【答案】4
【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可．
【详解】如图，根据题意，得，，
则，
故答案为：4．
12．如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，该几何体共用了______个小正方体搭成．
【答案】
【分析】根据三个不同方向看到的形状图得出每行每列的小正方体的个数即可．
【详解】解：填写如图，则共有个小正方体．
13．如图是由若干棱长为的小正方体搭成的几何体．
(1)请你在网格中分别画出它从左面看和从上面看的图形；
(2)求这个几何体的表面积（含底面）；
(3)若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的图形不变，那么最多可以添加多少块小立方块．
【答案】(1)画图如下：
(2)
(3)块
【分析】（）根据几何体画图即可；
（）分别数出每个面正方形的个数，再乘以正方形的面积即可；
（）要保持从上面和左面观察到的形状图不变，则从前面看，从左到右第列上面1行最多可增加块小正方体，第列上面1行最多可增加块小正方体，第列上面1行最多可增加块正方体，据此即可求解；
【详解】（1）略
（2）解：几何体的表面积为；
（3）解：添加正方体之前从上面看，如图
添加正方体之后从上面看，如图
要保持从上面和左面观察到的形状图不变，则从前面看，从左到右第列上面1行最多可增加块小正方体，第列上面1行最多可增加块小正方体，第列上面1行最多可增加块正方体，
∴最多可以添加块小立方块．
14．有一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．
(1)图2给出的四种纸样、、、，正确的有_________；（写出所有正确答案）
(2)求包装盒的体积和表面积（侧面积与两个底面积的和）．
【答案】(1)、
(2)包装盒的体积为，表面积为
【分析】（1）根据长方体的展开图特征判断即可；
（2）根据长方体的侧面积、底面积、表面积公式计算即可．
【详解】（1）解：图2给出的四种纸样、、、，正确的有、；
（2）解：包装盒的体积为，
表面积为：
，
答：包装盒的体积为，表面积为．
15．小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体．
一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据．
正多面体
F
n
V
E
r
正四面体
4
3
4
6
3
正方体
6
4
8
12
3
正八面体
8
3
6
12
4
(1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________．
(2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系．
①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示）
②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示）
(3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)三角形
【分析】本题主要考查了多面体的顶点、面、棱之间的关系、一元一次方程的应用等知识点，观察并发现规律是解题的关键．
（1）观察数据即可解答；
（2）①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为，又因为正F面体的两个面共用一条边，所以正F面体的棱数为；②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为，又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为；
（3）运算上述公式列出关于F的方程可得，再根据求解即可．
【详解】（1）解：根据观察可得．
故答案为：．
（2）解：①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为，
又∵正F面体的两个面共用一条边，
∴正F面体的棱数为．
故答案为：．
②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为，
又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为．
故答案为：．
（3）解：由题意可得：，
∴,
∴，
根据（1）中公式可得，可得，解得：，
∴这个正多面体的面数为20．
∵，
∴.
∴这个正多面体的一个面是三角形．
16．（问题背景）
小明准备仿照图制作一个上顶面封闭、下底面不封闭的灯罩，抽象出几何模型是一个顶面为正五边形的直五棱柱（如图），运用、两种型号硬纸板进行裁剪，已知一张型号硬纸板可剪成个小长方形侧面，一张型号硬纸板可剪成个与之配套的正五边形顶面．裁剪后剩余角料不再利用．现有两种型号的硬纸板共计张，且裁剪出的侧面和顶面恰好满足组装完整，问：每种型号的硬纸板各多少张？
（理解问题）
（1）每个灯罩由__________个形状、大小完全相同的小长方形侧面和__________个形状、大小完全相同的正五边形底面组成．
（2）分析问题：
设其中张硬纸板是型号，其余的都是型号，请将下表补充完整（用含的代数式表示）
型号
型号
硬纸板数量
__________
小长方形侧面数量
__________
正五边形顶面数量
__________
（解决问题）
（3）每种型号的硬纸板各多少张？能制成多少个灯罩？列出方程并求解．
【答案】（），；（）；；；（）有张硬纸板是型号，张硬纸板是型号，能制成个灯罩．
【分析】本题考查了直五棱柱，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
（）根据直五棱柱的特点求解即可；
（）根据题意进行填表即可；
（）根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】解：（）每个灯罩由个形状、大小完全相同的小长方形侧面和个形状、大小完全相同的正五边形底面组成，
故答案为：，；
（）设其中张硬纸板是型号，其余的都是型号，填表如下：
型号
型号
硬纸板数量
小长方形侧面数量
正五边形顶面数量
故答案为：；；；
（）由（）得，设其中张硬纸板是型号，则张硬纸板是型号，
根据题意得：，
解得：，
∴有张硬纸板是型号，张硬纸板是型号，能制成个灯罩．
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专题11 立体图形与平面图形
常考题型·精准突破
题型1 实物抽象出立体图形（重）
题型2 辨别立体图形与平面图形
题型3 从不同方向观察立体图形（高频）
题型4 几何体的展开图
题型5 正方体的十一种展开图（重）
题型6 含图案的正方体展开图（难）
题型7小正方体堆叠问题（重）
题型8 与立体图形有关的规律探究（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 实物抽象出立体图形
1．下列物体可以近似地看成是由什么几何体组成的?
2．请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的．
◆题型2 辨别立体图形与平面图形
3．下图是我们常见的几何体，如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为______，是锥体的为______，是球的为______；如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为______，无曲面的为______．（填序号）
4．如图，这个几何体有__________个面．
5．指出图中各物体是由哪些立体图形组成的．
◆题型3 从不同方向观察立体图形
6．在河南博物院的藏品中，有一件商代原始瓷尊，光亮晶莹，细腻坚硬，不仅掀开了3600多年前商王朝的神秘面纱，还以清脆的金石之声，拉开了我国瓷器发展的序幕，具有极高的历史价值、文化价值．如图，关于从三个不同的方向观察到的平面图形，下列说法正确的是（ ）．
A．从正面与从左面看到的图形相同 B．从正面与从上面看到的图形相同
C．从左面与从上面看到的图形相同 D．从正面、左面、上面看到的图形都不相同
7．下列几何体中，从正面看和从左面看都是长方形的是（ ）
A． B． C． D．
8．一个几何体从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体的体积为______．
◆题型4 几何体的展开图
9．如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（ ）
A．五棱柱 B．四棱柱 C．三棱柱 D．圆锥
10．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图几何体的展开图中，经过折叠能围成圆柱的是_________．
12．如图，在第一行中找出与第二行对应的几何体的表面展开图，并用线把它们连起来．
◆题型5 正方体的十一种展开图
13．如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（ ）．
A．种 B．种 C．种 D．种
14．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
15．如图，标有“0”的面与（ ）是相对的．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．“学而不思则罔，思而不学则殆”源自《论语·为政》，是孔子倡导的一种读书与学习的方法．如图，将“学而不思则罔”六个字写在正方体的展开图上，折叠成正方体后，与“不”字相对的面上的字是（ ）
A．学 B．思 C．更 D．罔
17．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法．
◆题型6 含图案的正方体展开图
18．手工课上，小华制作了一个画有图案的正方体礼品盒．下图是该正方体的平面展开图，折叠完成后，原正方体可能是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，下面四个图形中是左面正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
20．小欣同学用纸（如图）折成了一个正方体盒子，并在里面放了一瓶墨水，混放在下列选项中的盒子里，则墨水所在的盒子为（ ）
A． B． C． D．
21．把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（ ）
A． B． C． D．
◆题型7小正方体堆叠问题
22．如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体．
(1)搭成这个几何体共用了＿＿＿＿个小正方体；
(2)请分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
23．如图，在平整地面上，若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体．
(1)这个几何体由 个小正方体组成；
(2)在网格中画出从正面、左面、上面看到的图；
(3)如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则这个几何体喷漆的面积是多少．
24．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体．
(1)这个几何体由________个小立方块搭成；
(2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
25．如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体．
(1)在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图；
(2)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
26．如图，在平整的地面上，10个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体．
(1)在下面的网格中画出从左面看和从上面看的形状图．
(2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上黄色的漆，则这个几何体喷漆的面积是______．
(3)若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小正方体的位置），继续添加相同的小正方体，搭成一个大正方体，至少还需要小正方体的个数是______．
27．一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．
(1)请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图；
(2)若小正方体的边长均为，这个几何体的表面积为________．
◆题型8 与立体图形有关的规律探究
28．观察下列几何体，回答问题．
图形与名称
顶点数
6
______
10
12
棱数
9
12
______
______
面数
5
______
______
8
(1)补全上表；
(2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱；
(3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱；
(4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？
29．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数
面数
棱数
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是__________
(2)若一个多面体的面数比顶点数少12，且有42条棱，则这个多面体有________个面？
30．综合与实践
【项目主题】
为开展室内小足球活动，某课外活动小组对用正五边形和正六边形皮子拼接成足球产生了兴趣．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
（2）足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成的多面体，这种结构的表面究竟是由多少个正五边形和正六边形拼接而成的呢？
【项目分析】
课外活动小组通过欧拉公式和顶点配置做了如下探究．
欧拉公式
对于任何凸多面体，欧拉公式成立：其中，是顶点数，E是边数，F是面数．
设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则
（1）总面数计算：总面数F用含，的式子表示为：①
（2）边数计算
每个五边形有条边，每个六边形有条边，但每条边被两个面共享，因此总边数用含，的式子表示为：②
（3）顶点数计算
在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边．
从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：③
从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：④
（4）代入欧拉公式计算
将③、②、①代入：，可得：，之间的关系为：⑤
但由③和④相等得：⑥
把⑥和⑤联立成含有，为未知数的方程组，解这个方程组得：⑦，⑧
【项目实施】
因此，足球的表面必须由⑨个正五边形和⑩个正六边形拼接而成．这种配置确保了多面体的对称性和接近球形的形状，同时满足几何约束．此外，这种结构在现实中也使足球具有较好的滚动性和稳定性，从而便于在室内开展活动．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①____；②____；③____；④____；⑤_____；⑥____；⑦____；⑧____；⑨_____；⑩_____．
综合攻坚·知能拔高
1．如图为小敏同学的几何体素描作品，该作品中不包含的几何体为（ ）
A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱
2．如图中几何体从左面看的图形是（ ）
A． B． C． D．
3．将如图所示的纸魔方沿某些棱剪开，且使五个面连在一起，然后铺平，得到的图形不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．围成下列这些立体图形的各个面中，都是平面的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
7．将下图所示的平面图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
8．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________．
10．如图所示的是一个正方体纸盒的平面展开图．已知纸盒的相对两个面上的数互为相反数，且，，则的值是________．
11．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______．
12．如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，该几何体共用了______个小正方体搭成．
13．如图是由若干棱长为的小正方体搭成的几何体．
(1)请你在网格中分别画出它从左面看和从上面看的图形；
(2)求这个几何体的表面积（含底面）；
(3)若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的图形不变，那么最多可以添加多少块小立方块．
14．有一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．
(1)图2给出的四种纸样、、、，正确的有_________；（写出所有正确答案）
(2)求包装盒的体积和表面积（侧面积与两个底面积的和）．
15．小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体．
一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据．
正多面体
F
n
V
E
r
正四面体
4
3
4
6
3
正方体
6
4
8
12
3
正八面体
8
3
6
12
4
(1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________．
(2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系．
①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示）
②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示）
(3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形．
16．（问题背景）
小明准备仿照图制作一个上顶面封闭、下底面不封闭的灯罩，抽象出几何模型是一个顶面为正五边形的直五棱柱（如图），运用、两种型号硬纸板进行裁剪，已知一张型号硬纸板可剪成个小长方形侧面，一张型号硬纸板可剪成个与之配套的正五边形顶面．裁剪后剩余角料不再利用．现有两种型号的硬纸板共计张，且裁剪出的侧面和顶面恰好满足组装完整，问：每种型号的硬纸板各多少张？
（理解问题）
（1）每个灯罩由__________个形状、大小完全相同的小长方形侧面和__________个形状、大小完全相同的正五边形底面组成．
（2）分析问题：
设其中张硬纸板是型号，其余的都是型号，请将下表补充完整（用含的代数式表示）
型号
型号
硬纸板数量
__________
小长方形侧面数量
__________
正五边形顶面数量
__________
（解决问题）
（3）每种型号的硬纸板各多少张？能制成多少个灯罩？列出方程并求解．
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