精品解析：浙江温州市瑞安市五校联考（安高、滨江、瑞祥等学校）2026-2027学年第一学期九年级期中评价数学试题

2026学年第一学期九年级期中评价 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题祝你成功！ 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 购买两张彩票，一定中奖 B. 太阳东升西落 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 三角形三个内角和小于 2. 已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，弦直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数，下列叙述正确的是（ ） A. 过点 B. 图像的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减少 D. 图像与轴有两个交点 7. 如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为．则这钢梁圆弧的半径长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，、分别从、同时出发，沿方向以1个单位/秒的速度向终点运动；沿方向以个单位/秒的速度向终点运动，、恰好同时到达．设运动时间为秒，，关于的图象如图2所示，点和在函数图象上，则下列选项有错误的是（ ） A. ， B. 当时，取到最小值 C. 当时， D. 当时，则点运动的时间是秒或3秒 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 从“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______． 12. 抛物线的顶点坐标是__________． 13. 如图，在中，半径，线段交于点，若的度数为，则__________度． 14. 如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是________米． 15. 已知抛物线（为常数）经过点．过点与轴平行的直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，则的值为__________． 16. 如图所示，矩形，菱形，菱形置于圆内，其中点、、、在圆上，图形呈轴对称，且、、、、五点共线，若延长，点恰好在延长线上，已知，，，则圆的半径为__________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 某种小麦种子在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽的频数 0 4 45 92 188 476 951 1899 2855 发芽的频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.950 0.952 （1）发芽的概率的估计值是__________．（精确到0.01） （2）若有该小麦种子12000粒，请用（1）中的概率估计能发芽的小麦种子有多少粒？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，经过三点． （1）利用网格，只用无刻度的直尺作出圆心点； （2）圆心的坐标是__________；圆的半径为__________． 19. 小明和小亮用质地均匀的材料做了一个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏．游戏规则是：每人可转动两次转盘，若两次转盘的指针指向的颜色可以配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则小明胜，否则小亮胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止． （1）利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果； （2）求出小明获胜的概率，并判断这个游戏是否公平，请说明理由． 20. 已知：如图，是上的点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 如图，抛物线经过两点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）若点向上平移1个单位，向左平移个单位长度后，恰好落在该抛物线上，求的值． 22. 如图，为的直径，是上的点，，且． （1）求证：； （2）延长至点，使得，连接，已知，求半径的长． 23. 随着浙篮球赛事的举行，瑞安特色文创挂件在瑞安赛场周边售卖引起热潮，每件文创挂件进价元．市场调查：当售价为每件元时，一天可卖出件；售价每提高元，日销售量就减少件，规定售价不低于元．设售价提高元，一天的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式，并求出的取值范围； （2）当售价为多少元时，一天的利润有最大值？一天的最大利润为多少元？ （3）当一天的利润不低于元，请直接写出的取值范围__________． 24. 已知抛物线（是常数），经过点． （1）请用含的代数式表示； （2）当时，该函数的最大值为，求的值； （3）若点在该抛物线上，且当时，恒有成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级期中评价 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题祝你成功！ 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 购买两张彩票，一定中奖 B. 太阳东升西落 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 三角形三个内角和小于 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、C选项的事件均可能发生也可能不发生，是随机事件． B．太阳东升西落是必然发生的，是必然事件． D．三角形三个内角和为，故三个内角和小于是不可能事件． 2. 已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 3. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先排除非整式函数，再判断剩余函数的自变量最高次数是否为2． 【详解】解：A选项是一次函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B选项是二次函数，符合题意； C选项不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； D选项不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意． 4. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为：． 故选：C． 5. 如图，中，弦直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边对等角及平行线的性质计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， 的度数是． 6. 关于二次函数，下列叙述正确的是（ ） A. 过点 B. 图像的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减少 D. 图像与轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】先由二次函数顶点式得出对称轴、开口方向，判断B、C项正误，再验证A、D项． 【详解】解：二次函数解析式为，， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 将代入解析式，得，故A错误； 图像对称轴为直线，不是，故B错误； 抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大，故C错误； 令，得，即，解得，有两个不相等的实数根，故图像与轴有两个交点，故D正确． 7. 如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为．则这钢梁圆弧的半径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把拱高与跨径化归到同一个直角三角形里：设圆心为 、半径为 ，则半弦长 、圆心到弦 的距离 ，由勾股定理列方程即可求 ． 【详解】解：如图，设钢梁圆弧所在圆的圆心为 ，半径为 ，则 ，． ∵ 是拱高， 是跨径， ∴ ，，且点 是 的中点， ∴ ． ∵ 、、 三点在同一条直线上， ∴ ． 在 中，， ∴ ． ∴ ． ∴ ，解得 ． ∴ 这钢梁圆弧的半径长为 ． 8. 如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为，即， ∴一元二次方程的正数解的范围是． 9. 如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两个直角给出；过圆心作弦的垂线，一方面由垂径定理算出圆心到的距离，另一方面借矩形把已知的、搬到辅助线上，再用勾股定理求出，相减即得． 【详解】解：∵，， ∴． 过圆心作于点，延长交的延长线于点（如图）， ∵，且是的弦， ∴点是的中点， ∴． 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、矩形的判定与勾股定理的综合运用．关键有两步：一是由得，从而两平行线间的距离就是；二是过圆心作弦的垂线，先用垂径定理求出与，再由矩形把搬到、把搬到，由得，最后在中求，由得解． 10. 如图1，在中，，、分别从、同时出发，沿方向以1个单位/秒的速度向终点运动；沿方向以个单位/秒的速度向终点运动，、恰好同时到达．设运动时间为秒，，关于的图象如图2所示，点和在函数图象上，则下列选项有错误的是（ ） A. ， B. 当时，取到最小值 C. 当时， D. 当时，则点运动的时间是秒或3秒 【答案】B 【解析】 【分析】过点Q作于点J，根据运动可用t表示出，，结合图象，可知当时的值求出，结合此时点、的位置，可求出，再根据速度可求出整个过程的所需时间，即可求出a，进而求出，再利用勾股定理可求出，即可判断A选项；证明 是等腰直角三角形，进而可表示出，，结合勾股定理表示出y，将此抛物线解析式化为顶点式，假设，求出y的值，此时即可判断B选项，结合图象可知点和关于抛物线对称轴对称，即可求出m、n的值，再将其代入抛物线解析式即可判断C选项；代入y值即可判断D选项． 【详解】解：过点Q作于点J，如图， 根据运动可知：，， 结合图象，可知当时，， ∴， ∵当时，点、分别位于出发点、， ∴， ∵沿方向以1个单位/秒的速度向终点运动， ∴， ∵、恰好同时到达， ∴点达到点时，点也刚好达到点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，故A选项正确； ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，即y的最小值为， 若，结合，可得是等腰直角三角形，且， 此时，，则有， 又∵，，， ∴，此时 ∴此时，则 ∵， ∴此时，不是最小值，故B选项错误； ∵， ∴对称轴为， 根据图象可知点和关于直线对称， ∴， ∵， ∴联立解得：，， 当时，，故C选项正确； 令， 解得：或者，故D选项正确； 故选B． 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 从“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，利用概率公式：概率=所求情况数与总情况数的比值，即可求解． 【详解】解：从“”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母的结果有2种， 因此抽中字母g的概率为， 故答案为． 12. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图像的顶点坐标为，可直接得出答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 13. 如图，在中，半径，线段交于点，若的度数为，则__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角求出，再利用直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 14. 如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为40米，则，且桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解k的值，根据顶点坐标，即可求出此时桥拱最高点P离水面的高度． 【详解】解：桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为40米，则， ∴， 解得，， ∴， 即此时桥拱最高点P离水面的高度是米， 故答案为：． 15. 已知抛物线（为常数）经过点．过点与轴平行的直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将已知点代入抛物线解析式求出的值，得到抛物线的对称轴，再利用平行于轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称的性质，结合是中点的坐标关系建立方程，求出点横坐标后代入解析式计算的值． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴将代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 配方得，其对称轴为直线， ∵过点且与轴平行的直线为，与抛物线交于两点， ∴两点关于对称轴对称， 设，则C点的横坐标为，即， ∵点为线段的中点， ∴根据中点坐标公式，点的横坐标满足， 解得， ∴点坐标为， 将点坐标代入抛物线解析式，得． 16. 如图所示，矩形，菱形，菱形置于圆内，其中点、、、在圆上，图形呈轴对称，且、、、、五点共线，若延长，点恰好在延长线上，已知，，，则圆的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由对称性及矩形边长求得的各边长及，利用 ，，共线及菱形对边平行性质，作垂线求出点到对称轴和水平线的距离，由圆心必在对称轴上，设圆心到的距离为，过圆心向所在直线作垂线构造直角三角形，利用同圆半径相等（）建立方程即可求解． 【详解】解：∵图形呈轴对称，且，，，，五点共线， ∴对称轴为过点且垂直于的直线，且， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵在中，由勾股定理得​， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵延长，点恰好在延长线上，即，，三点共线， ∴， 过点作于点， ∵在中，，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点到所在直线的距离等于，且点到对称轴的水平距离为 ， 设圆心为，由轴对称性可知，圆心必在对称轴上；设到所在直线的距离，连接，，如图， 设圆的半径为， ∵点，在圆上， ∴，即， 过点作直线于点，作直线于点， ∵点在对称轴左侧，到对称轴距离为​，到直线距离为， ∴在中，​，， ∴， ∵点在对称轴右侧，到对称轴的距离为​，， ∴在中，，， ∴， ∴， 解得，即， 在中，， ∴， ∴圆的半径为． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 某种小麦种子在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽的频数 0 4 45 92 188 476 951 1899 2855 发芽的频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.950 0.952 （1）发芽的概率的估计值是__________．（精确到0.01） （2）若有该小麦种子12000粒，请用（1）中的概率估计能发芽的小麦种子有多少粒？ 【答案】（1）0.95； （2）11400 【解析】 【分析】（1）根据大量反复试验下的频率稳定值即为概率的近似值，即得出答案； （2）用12000粒乘以（1）所得概率即可． 【小问1详解】 解：由表格可知小麦种子的发芽频率在0.95左右波动， ∴该种小麦种子发芽的概率的估计值为0.95． 【小问2详解】 解：（粒） 答：估计能发芽的小麦种子有11400粒． 18. 如图，在平面直角坐标系中，经过三点． （1）利用网格，只用无刻度的直尺作出圆心点； （2）圆心的坐标是__________；圆的半径为__________． 【答案】（1）圆心点如图所示： （2）； 【解析】 【分析】（1）线段、的垂直平分线的交点即为圆心点； （2）由（1）中的图直接写出圆心的坐标，结合网格图由勾股定理求出圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，圆心的坐标是； 圆的半径为． 19. 小明和小亮用质地均匀的材料做了一个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏．游戏规则是：每人可转动两次转盘，若两次转盘的指针指向的颜色可以配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则小明胜，否则小亮胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止． （1）利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果； （2）求出小明获胜的概率，并判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】（1）根据题意，列表如下： 红 蓝 黄 红 （红，红） （红，蓝） （红，黄） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，黄） 黄 （黄，红） （黄，蓝） （黄，黄） （2）解：游戏不公平．理由如下： 共有种等可能的结果，其中小明胜有种结果，小亮胜有种结果， （小明胜），（小亮胜）， ， 游戏不公平． 【解析】 【分析】（1）利用列表的方法，解答即可； （2）根据列表，计算各自获胜的概率，比较判断公平与否即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知：如图，是上的点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆心角，弦，弧之间的关系，证明即可； （2）根据圆的性质，三角形内角和，圆心角，弦，弧之间的关系，解答即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：， ， ， 由（1）可知，， ， 的度数为． 21. 如图，抛物线经过两点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）若点向上平移1个单位，向左平移个单位长度后，恰好落在该抛物线上，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）根据平移方式求得平移后的点的坐标，代入解析式即可求得的值； 【小问1详解】 解：把代入抛物线， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点向上平移1个单位，向左平移个单位长度后得到点， 把点代入， ， 化简得， 解得或， ， ． 22. 如图，为的直径，是上的点，，且． （1）求证：； （2）延长至点，使得，连接，已知，求半径的长． 【答案】（1）方法一：证明：连接 是等边三角形 方法二：连接， 四边形是平行四边形 四边形是菱形 ； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：连接，证明是等边三角形，得到，利用平行线的性质推出即可得到结论；方法二：连接，，证明四边形是平行四边形，推出即可得到结论； （2）过点C作⟂于点H，设半径的长为，由（1）已证明，得到，，在中，由勾股定理得，代入求出r即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作⟂于点H， 设半径的长为， 由（1）已证明， ∴， ∴， 在中，， ， 解得， 即半径的长为2． 23. 随着浙篮球赛事的举行，瑞安特色文创挂件在瑞安赛场周边售卖引起热潮，每件文创挂件进价元．市场调查：当售价为每件元时，一天可卖出件；售价每提高元，日销售量就减少件，规定售价不低于元．设售价提高元，一天的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式，并求出的取值范围； （2）当售价为多少元时，一天的利润有最大值？一天的最大利润为多少元？ （3）当一天的利润不低于元，请直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）； （2）当售价为35元时，一天的利润最大，最大为900元； （3）． 【解析】 【分析】（1）用“每件利润×日销售量”列式，再由“日销售量不能为负、售价不低于元”确定的范围； （2）配方求顶点，得最大利润； （3）令利润等于元，求出两个临界值，再结合图象的开口方向与的范围写出结果． 【小问1详解】 解：∵每件进价元，售价为每件元， ∴每件利润为元； ∵售价每提高元，日销售量就减少件， ∴日销售量为件， ∴． ∵售价不低于元，且日销售量不能为负数， ∴且， ∴． 【小问2详解】 解：． ∵， ∴抛物线的开口向下，当时取最大值． ∴售价为元时，一天的利润最大，最大利润为元． 【小问3详解】 解：令， ∴， ∴，即或． ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时， 又， ∴． 24. 已知抛物线（是常数），经过点． （1）请用含的代数式表示； （2）当时，该函数的最大值为，求的值； （3）若点在该抛物线上，且当时，恒有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式，得到一个关于、的等式，从中解出； （2）配方后看顶点，再按对称轴与的位置分三种情况，分别用“顶点处取最大值”“端点处取最大值”列方程； （3）开口向下时，点离对称轴越近函数值越大，把转化为三个点到对称轴的距离关系，再按与的位置分类． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：把代入，得． ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴要按对称轴与的位置分类． ①当时，在上随的增大而减小， ∴当时取最大值， ∴，解得，符合． ②当时，当时取最大值， ∴， ∴，即， ∴或， ∵，不在内，舍去， ∴． ③当时，在上随的增大而增大， ∴当时取最大值， ∴，解得， ∵，不符合，舍去． 综上，的值为或． 【小问3详解】 解：∵，且抛物线开口向下， ∴点离对称轴越近，对应的函数值越大． 其中点、、到对称轴的距离分别为、、， ∵对恒成立， ∴对恒成立． ①恒成立： 若，取得，与矛盾，舍去； 若，则时最小， ∴，即， ∴； 若，则时最小， ∴，即， ∴． ②恒成立： 当时，时最大， ∴， ∴， 结合得； 当时，时最大， ∴， ∴， 结合得． 综上，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数在给定范围上的最值与图象上点的函数值比较．关键有两处：一是求最值必须按对称轴与给定范围的相对位置分类，不能一律代入端点；二是比较抛物线上点的函数值时，开口向下就看“谁离对称轴更近”，把函数值的大小关系转化为距离的大小关系，再用平方去掉绝对值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $