精品解析：浙江省瑞安市集云实验学校2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷

浙江省瑞安市集云实验学校2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平.答题时，请注意以下几点： 1.全卷共4.页，有三大题，24小题.全卷满分120分.考试时间120分钟. 2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效. 3.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题. 祝你成功！ 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】随机事件. 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断： 抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B. 2. 已知的半径为2，点P到圆心O的距离为3，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径为2，点P到圆心O的距离为3，且， ∴点P在圆外． 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 3. 如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为和，让转盘自由转动1次，则指针落在白色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率的求法，正确求出转动一次指针指向某一区域的概率是解题关键． 根据概率的求法，求出指针指向白色区域的概率，进而即可得出答案． 【详解】解：由图得：白色扇形的圆心角为， 故转动一次，指针落在白色区域的概率为． 故选：B． 4. 将拋物线向右平移5个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减”的规律是解题关键． 根据二次函数图象平移的规律“左加右减”，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为； 故选C． 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，解题的关键是掌握弧长公式． 根据网格得出半径长度，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：根据网格图可知，， ∴的长为， 故选：D． 6. 如图，是的直径，弦于点，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂径定理和圆周角定理即可判断. 【详解】解：AB是直径且AB⊥CD，则由垂径定理可知CM=DM，，再由圆周角定理可知，只有当∠BOD=60°时，才有OM=MB. 故选择D. 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理. 7. 如果一个正多边形的一个内角是，那么这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°列式进行计算即可得解． 【详解】解：设这个正多边形的边数是n， 根据题意得，（n-2）•180°=140°•n， 解得n=9． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键． 8. 开口向下的抛物线经过点，则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图像性质、能结合等式分析参数取值是解题的关键．先根据抛物线过点得出关于、的等式，再结合开口向下得到，然后逐一分析选项． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴，即， 化简得， 又∵抛物线开口向下， ∴， 选项A：若，则，代入，得，即，，符合条件； 选项B：若，与矛盾，不符合； 选项C：∵抛物线经过点， ∴方程有实数根， ∴，与矛盾，不符合； 选项D：若，代入，得，即，解得，与矛盾，不符合． ∴故选：A． 9. 如图，点在上，点在的内部，若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，四边形内角和，由圆周角定理得，即得，进而由圆内接四边形的性质得，即得到，，最后根据四边形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由圆周角定理得，， ∵， ∴， 又由圆内接四边形的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图1，在中，，动点从点出发以1个单位/秒速度向点做匀速运动，设，点运动时间为（秒）（），且关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 当时，则点运动时间为2秒或8秒 C. 点在函数图象上 D. 当时，函数有最小值7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的高知识，过C作于E，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，，则可求，根据二次函数的性质得出当时，y由最大值为，由点和在函数图象上，且可求出该抛物线的对称轴为直线，则，进而求出， ，即可判断选项A、C，把代入，求出对应的x，即可判断选项B，根据二次函数的增减性即可判断选项D． 【详解】解：由题意，得 如图，过C作于E， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴当时，y由最大值为， ∵点和在函数图象上，且， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，故选项A错误； ∴顶点为，故选项C错误； 当时，， 解得或， ∴当时，则点运动时间为2秒或6秒，故选项B错误； 当时，y随x的增大而增大， 当时，； 当时，y随x的增大而减小， 当时，； 故当时，函数有最小值7， 故选项D正确； 故选：D． 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式 可直接得出顶点坐标． 【详解】解：抛物线 是顶点式的形式，其中，，因此顶点坐标为 ． 故答案为： 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则袋中有黑球______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，设袋中有黑球个，根据概率公式列出方程求解即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：设袋中有黑球个，则总球数为个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋中有黑球个， 故答案为：． 13. 已知一个扇形的弧长为，半径为3，则这个扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式． 14. 如图，在中，直径，弦，交于点，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，根据垂径定理得出，然后在中由勾股定理求出的长度，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示： ∵弦于点E，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，拋物线与轴的正半轴交于点，其顶点为，点在该拋物线上且位于、两点之间，过点作轴于点轴于点，与抛物线的另一交点为，连接，当点关于的对称点恰好落在轴上时，点的横坐标为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，轴对称的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作点关于的对称点，连接，由题意可知，，，接着证明,设点，表示出点，然后根据关于抛物线的对称轴对称，求得答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，由题意可知，，，如图所示： ， ，其对称轴为， 点关于的对称点恰好落在轴上， ，, ∵， ， ∴， 设点， ， ， 则点， ， 拋物线与轴的正半轴交于点，其顶点为，点在该拋物线上且位于、两点之间， ， 故答案为：． 16. 如图，四边形内接于，为直径，点E在上，满足，连接并延长交的延长线于点，与交于点G．当时，____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆相关定理、相似三角形的判定与性质、所对直角边等于斜边的一半、勾股定理，熟练掌握圆的相关定理是解题关键． 根据得到，，再通过证明三角形相似，借助勾股定理求出，，求得比值即可． 【详解】解：由于为直径，连接， ， 又， ， ， 根据圆的性质， ， ， 在中，， 设，则根据所对直角边等于斜边的一半，可得， 根据勾股定理可得， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，根据勾股定理有， 在中，， ，则， 在与中， ， ，即， 解得， ． 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标． （2）若点在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式转化以及函数值的计算，熟练掌握配方法将一般式转化为顶点式、代入法求函数值是解题的关键． （1）对于求二次函数顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式来求解． （2）比较两点函数值大小，可分别代入函数解析式求出函数值再比较，或根据二次函数的单调性来判断． 【小问1详解】 解： ， ∴该函数图像的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：把代入，得， 把代入，得， ∵， ∴． 18. 已知教室的粉笔盒里现有1支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同． （1）现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少？ （2）老师先拿出一支粉笔，放回后，再拿出一支粉笔，用画树状图或列表的方法，求拿出的两支粉笔颜色相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及列表法（不同形式列表）求概率是解题的关键． （1）根据概率公式，用黄色粉笔的数量除以粉笔的总数量即可求解． （2）通过调整列表形式（第一次在列、第二次在行）列出所有可能的结果，再找出两支粉笔颜色相同的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：粉笔总数量为（支），黄色粉笔有支． ∴(取出黄色粉笔)； 【小问2详解】 解：列表如下（第一次在列，第二次在行）： 第二次第一次 白 红 黄 白 白-白 红-白 黄-白 红 白-红 红-红 黄-红 黄 白-黄 红-黄 黄-黄 总共有种等可能的结果，其中两支粉笔颜色相同的结果有种（白-白、红-红、黄-黄）． ∴(取出两支粉笔颜色相同)． 19. 如图，在中，弦与交于点E，且，连接．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 即 ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，根据题意得出，结合图形确定，即可证明． 【详解】略 20. 如图是一个的正方形网格，的顶点均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． （1）在图1中画出的外接圆圆心O位置． （2）若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分（弓形）的面积是___________． 【答案】（1） 点O即为所求作． （2） 【解析】 【分析】本题考查了网格作图与扇形面积计算，综合运用了三角形外心的性质、勾股定理、扇形面积公式等知识．掌握垂直平分线的作图原理、直角三角形的判定方法以及不规则图形面积的转化技巧是解题的关键． （1）解题时，应选取三角形的任意两条边（如和），分别作出它们的垂直平分线．垂直平分线可以通过连接格点之间的对角线中点来实现，例如，对于水平或垂直的线段，其中点可直接由格点确定；对于斜向线段，则需要借助网格正方形的对角线交点来定位中点。两条垂直平分线的交点即为所求圆心O． （2）本小题需要计算由圆弧和三角形构成的弓形面积．解题时需先明确阴影部分的几何构成：如图，阴影实际是扇形与的面积差． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接、， ，，， ∵， 即， ∴为直角三角形，， ∴． 故答案为：． 21. 中国石拱桥历史悠久、形式优美而且结构坚固，在世界桥梁史上占据重要地位．如图为一座呈抛物线型的石拱桥的示意图，正常水位时，桥下水面宽度为，拱顶距离水面高度为． （1）以的中点为坐标原点，建立如图坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式． （2）水面在正常水位时，一艘装满物资的小船，露出水面的部分为，宽为，则该小船能从这座拱桥下通过吗？ 【答案】（1） （2）该小船不能从拱桥下通过 理由如下： 船宽为， 当时，， 该小船不能从这座拱桥下通过． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）待定系数法求函数解析式； （2）将代入求的值，进而得到答案． 【小问1详解】 解：以的中点为坐标原点， 设抛物线的解析式为， 桥下水面宽度为，拱顶距离水面高度为， ， ， 将代入得：， 解得：， 故该拱桥所在抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 略 22. 如图，A，B，C是上的三点，且．过点B作于点E，延长交于点D，连结． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 由（1）知， ∵直径，， ∴． ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理和弧与圆心角的关系可得，由得，即可求得结果； （2）由（1）可知，由圆周角定理和可得，可证得，进而可知，即可证得结论． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴，即:． ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题圆周角定理及弧与圆心角之间的关系，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 23. 已知抛物线（为常数）经过点． （1）求的值． （2）若点、都在该抛物线上，求证：． （3）当时，二次函数的最大值和最小值的差为5，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知， ∵点、都在该抛物线上， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴； （3）或或 【解析】 【分析】（1）把代入计算即可； （2）求出，，再计算即可； （3）根据对称轴与的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，再计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（为常数）经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，； 当时，； 分以下三种情况讨论： 当时，当时，随的增大而减小， 当时，有最大值， 当时，有最小值， ∵最大值和最小值的差为5， ∴， 解得，符合题意； 当时， 当时，最小值， 由可得，当时， 有最大值， ∵最大值和最小值的差为5， ∴， 解得，都不满足，不合题意； 当时， 当时，最小值， 由可得，当时， 有最大值 ∵最大值和最小值的差为5， ∴， 解得， 只有满足， ∴此时； 当即时，当时，随的增大而增大， 当时，最大值， 当时，最小值， ∴， 解得， 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 24. 如图，为的直径，P是线段上一点，过点P作（点A在直径上方），连结，并延长交于点，过点作于点，交直径于点． （1）求证：． （2）当，且时，求的半径． （3）当时，_______________． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可证明结论； （2）连接，分点在线段上和点在线段上两种情况，设，用分别表示出、长，利用勾股定理及求出，即可解答本题； （3）设，利用、求出，得到是等边三角形，设， ，通过证明，得，利用垂径定理，得，继而得到，，即可解答本题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，分点在线段上和点在线段上两种情况， 第一种情况，如图所示，当点在线段上时， 设， ， ， 由（1）得，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， ； 第二种情况，如图所示，当点在线段上时， 设， ， ， 由（1）得，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， ； 综上所述，的半径为或； 【小问3详解】 如图所示， 设， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的直径，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、圆周角的性质、垂径定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、能发现原题图中没有的另一种情况是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省瑞安市集云实验学校2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平.答题时，请注意以下几点： 1.全卷共4.页，有三大题，24小题.全卷满分120分.考试时间120分钟. 2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效. 3.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题. 祝你成功！ 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 2. 已知的半径为2，点P到圆心O的距离为3，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不能确定 3. 如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为和，让转盘自由转动1次，则指针落在白色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 将拋物线向右平移5个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，弦于点，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果一个正多边形的一个内角是，那么这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 开口向下的抛物线经过点，则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在上，点在的内部，若，则是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，动点从点出发以1个单位/秒速度向点做匀速运动，设，点运动时间为（秒）（），且关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 当时，则点运动时间为2秒或8秒 C. 点在函数图象上 D. 当时，函数有最小值7 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是____________． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则袋中有黑球______个． 13. 已知一个扇形的弧长为，半径为3，则这个扇形的面积为__________． 14. 如图，在中，直径，弦，交于点，若，则___________． 15. 如图，拋物线与轴的正半轴交于点，其顶点为，点在该拋物线上且位于、两点之间，过点作轴于点轴于点，与抛物线的另一交点为，连接，当点关于的对称点恰好落在轴上时，点的横坐标为______________． 16. 如图，四边形内接于，为直径，点E在上，满足，连接并延长交的延长线于点，与交于点G．当时，____________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标． （2）若点在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 18. 已知教室的粉笔盒里现有1支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同． （1）现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少？ （2）老师先拿出一支粉笔，放回后，再拿出一支粉笔，用画树状图或列表的方法，求拿出的两支粉笔颜色相同的概率． 19. 如图，在中，弦与交于点E，且，连接．求证：． 20. 如图是一个的正方形网格，的顶点均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． （1）在图1中画出的外接圆圆心O位置． （2）若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分（弓形）的面积是___________． 21. 中国石拱桥历史悠久、形式优美而且结构坚固，在世界桥梁史上占据重要地位．如图为一座呈抛物线型的石拱桥的示意图，正常水位时，桥下水面宽度为，拱顶距离水面高度为． （1）以的中点为坐标原点，建立如图坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式． （2）水面在正常水位时，一艘装满物资的小船，露出水面的部分为，宽为，则该小船能从这座拱桥下通过吗？ 22. 如图，A，B，C是上的三点，且．过点B作于点E，延长交于点D，连结． （1）若，求的度数； （2）求证：． 23. 已知抛物线（为常数）经过点． （1）求的值． （2）若点、都在该抛物线上，求证：． （3）当时，二次函数的最大值和最小值的差为5，求的值． 24. 如图，为的直径，P是线段上一点，过点P作（点A在直径上方），连结，并延长交于点，过点作于点，交直径于点． （1）求证：． （2）当，且时，求的半径． （3）当时，_______________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $