第5章 二次函数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材青岛版九年级下册
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内容正文：
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此卷只装订不密封
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… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027学年九年级下册数学单元自测
第5章 二次函数·培优冲刺
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．（本题3分）对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
4．（本题3分）已知二次函数，当时，该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表，
x
……
0
3
5
……
y
……
0
……
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当时，的值随的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
6．（本题3分）将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
7．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若为直角三角形，则m的值为（ ）
A． B． C．0 D．
8．（本题3分）已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象经过点和，则该函数图象的对称轴（ ）
A．只能是直线 B．可能在y轴右侧且在直线的左侧
C．可能是y轴 D．可能在y轴左侧且在直线的右侧
9．（本题3分）如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A．B．C． D．
二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.）
11．（本题3分）已知抛物线经过三点，则该抛物线的表达式为_______．
12．（本题3分）已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号）
13．（本题3分）二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________．
14．（本题3分）二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，则___________．
15．（本题3分）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______．
16．（本题3分）若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______．
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题8分）已知函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)写出这个二次函数图象的对称轴；
(3)当时，请直接写出的取值范围．
18．（本题8分）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上．
(1)求和的值；
(2)结合图像写出关于的不等式的解集；
(3)已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围．
19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B、与y轴交于点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标；
(2)如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求所在直线的表达式与线段长度的最大值．
20．（本题10分）泥塑，俗称“彩塑”，是中国传统的一种古老常见的民间艺术形式．某泥塑作坊主营泥塑制作与销售业务，请根据以下素材，完成任务．
素材1
泥塑的制作成本为30元/件，销售数据显示，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件．
素材2
设每件泥塑售价上涨元，月销售量为件．
问题解决
(1)任务1
求出与之间的关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)任务2
为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应上涨多少元?
(3)任务3
若该作坊希望获得最大月销售利润，此时泥塑的售价应定为多少元/件?最大月销售利润是多少元?
21．（本题10分）综合与实践：数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系；
【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，设点的坐标为，探究与的函数关系．
(1)【归纳猜想】在轴上多次改变点的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下：
线段长
1
2
3
4
5
…
线段长
1.25
2
3.25
5
7.25
…
如果，，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象；观察画出的图像，猜想它是我们学过的哪种曲线？
(2)【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点的坐标满足的函数关系：
①猜想关于的函数解析式，请直接写出结论，并写出的取值范围；
②在图1中利用几何推理证明（1）中的结论．
22．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点O作交抛物线于点P，求点P的坐标；
(3)点是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值．
23．（本题14分）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为．
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小．
(3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围．
试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页）
试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）
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第5章 二次函数·培优冲刺
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．（本题3分）对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
4．（本题3分）已知二次函数，当时，该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表，
x
……
0
3
5
……
y
……
0
……
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当时，的值随的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
6．（本题3分）将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
7．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若为直角三角形，则m的值为（ ）
A． B． C．0 D．
8．（本题3分）已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象经过点和，则该函数图象的对称轴（ ）
A．只能是直线 B．可能在y轴右侧且在直线的左侧
C．可能是y轴 D．可能在y轴左侧且在直线的右侧
9．（本题3分）如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A．B．C． D．
二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.）
11．（本题3分）已知抛物线经过三点，则该抛物线的表达式为_______．
12．（本题3分）已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号）
13．（本题3分）二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________．
14．（本题3分）二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，则___________．
15．（本题3分）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______．
16．（本题3分）若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______．
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题8分）已知函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)写出这个二次函数图象的对称轴；
(3)当时，请直接写出的取值范围．
18．（本题8分）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上．
(1)求和的值；
(2)结合图像写出关于的不等式的解集；
(3)已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围．
19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B、与y轴交于点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标；
(2)如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求所在直线的表达式与线段长度的最大值．
20．（本题10分）泥塑，俗称“彩塑”，是中国传统的一种古老常见的民间艺术形式．某泥塑作坊主营泥塑制作与销售业务，请根据以下素材，完成任务．
素材1
泥塑的制作成本为30元/件，销售数据显示，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件．
素材2
设每件泥塑售价上涨元，月销售量为件．
问题解决
(1)任务1
求出与之间的关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)任务2
为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应上涨多少元?
(3)任务3
若该作坊希望获得最大月销售利润，此时泥塑的售价应定为多少元/件?最大月销售利润是多少元?
21．（本题10分）综合与实践：数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系；
【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，设点的坐标为，探究与的函数关系．
(1)【归纳猜想】在轴上多次改变点的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下：
线段长
1
2
3
4
5
…
线段长
1.25
2
3.25
5
7.25
…
如果，，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象；观察画出的图像，猜想它是我们学过的哪种曲线？
(2)【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点的坐标满足的函数关系：
①猜想关于的函数解析式，请直接写出结论，并写出的取值范围；
②在图1中利用几何推理证明（1）中的结论．
22．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点O作交抛物线于点P，求点P的坐标；
(3)点是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值．
23．（本题14分）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为．
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小．
(3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围．
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第5章 二次函数·培优冲刺（参考答案）
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
C
C
D
D
C
B
B
A
二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.）
11．
12．
13．
14．
15． 或
16．且
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（8分）
【详解】（1）解：∵函数是二次函数，
∴，，
∴，，
∴．（2分）
（2）解：由（1）可知，，
∴二次函数解析式为，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线．（4分）
（3）解：由（2）可知，二次函数解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴在上，当时，取得最大值，
当时，，
当时，，
∵，
∴在上，的取值范围是．（8分）
18．（8分）
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
把代入，得，
解得；（2分）
（2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；（6分）
（3）解：∵，，
∴二次函数开口向上，
∴二次函数的最小值为，
观察图象，若P的个数为2，则．（8分）
19．（10分）
【详解】（1）解：把，代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
解得，，
∴．（4分）
（2）解：设直线的表达式为，
把，代入，得，
解得，
∴直线的表达式为，
设，
∵轴，
∴，
∵点P为线段上的一个动点（点P不与点B，C重合），
∴，
∴，
∵，
∴当时，长度的最大值为．（10分）
20．（10分）
【详解】（1）解：根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
又，
∴自变量取值范围，
∴（）；（3分）
（2）解：根据题意，得，
解得，，
∵要让顾客实惠，涨价少，
∴，
答：该泥塑的售价应上涨10元；（6分）
（3）解：设月销售利润为元，
根据题意，得
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为6250，
∴当售价为元时，月销售利润最大，最大值为6250元．（10分）
21．（10分）
【详解】（1）解：以表中每对a，b的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，再用平滑的曲线把各点连接起来，得到的图象是抛物线，属于二次函数的图象．
我们可以通过表格数据验证：当时，时，时，符合二次函数的数值变化规律，
∴猜想该曲线是抛物线．（3分）
（2）①设函数解析式为，，
把代入，
得，
解得，
∴函数解析式为：，
的取值范围是全体实数．（6分）
② 证明：连接：
∵是线段的垂直平分线，
∴。
∵点坐标为，是过的轴的垂线，
∴点坐标为，
∵是竖直线段，
∴长度就是的纵坐标；
∵点坐标为，
∴．
∵，
∴ ，
两边同时平方消去根号： ，
展开并整理： ，
消去同类项后变形得： ，
对任意实数都能找到对应的点和点，
∴取全体实数．（10分）
22．（12分）
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，
将，，代入解析式有：，
解得：，
即抛物线解析式为：；（3分）
（2）设直线的解析式为：，
将，代入解析式有：，
解得：，
即直线的解析式为：，
∵，
∴直线沿y轴向上平移4个单位，即可得到过原点O的直线的解析式，
∴直线的解析式为，
联立：，
解得：，，
点P的坐标为： ，；（7分）
（3）连接，如图，
设，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
当时，的面积有最大值，最大值为．（12分）
23．（14分）
【详解】（1）解：当，时，
函数可化为．
整理得：．
∴该函数图象的顶点坐标为．（3分）
（2）解：已知函数，
其对称轴为，
∵，即对称轴为，
∴，
∴，
将代入函数中，可得，
将代入函数中，可得，
∴，
∴．（9分）
（3）解：把点代入，
得，
∴，
已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴．（14分）
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第5章 二次函数·培优冲刺
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．（本题3分）对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：二次函数的二次项系数不能为0．
选项A：当时，二次项系数为0，不是二次函数．
选项B：当时，，二次项系数为0，不是二次函数．
选项C：当时，，二次项系数为0，不是二次函数．
选项D：∵，∴，即对任意实数，二次项系数恒不为0，一定是二次函数．
2．（本题3分）若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ 点在抛物线上，
∴ ．
∵抛物线可以看作是抛物线向右平移 1 个单位得到，函数平移规律为左加右减．
将各选项坐标代入验证：
选项：把代入右边：，
∵ ，
∴ ，
∴ 点满足解析式．
选项：把代入右边：，
∵ 不一定等于，
∴ 该点不一定在抛物线上．
选项：把代入右边：，
∵ 不一定等于，
∴ 该点不一定在抛物线上．
选项：把代入右边：，
∵ 不一定等于，
∴ 该点不一定在抛物线上．
故选：．
3．（本题3分）已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∵当时，，
∴当时，随增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∴，
∴
∴或
解得或．
4．（本题3分）已知二次函数，当时，该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：．
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
在范围内，
∵点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
，
∴当时，函数取得最大值，
此时．
5．（本题3分）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表，
x
……
0
3
5
……
y
……
0
……
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当时，的值随的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【详解】解：将代入，得．
将，代入解析式，得．
解得．
∴二次函数解析式为．
∵，
∴图象开口向下，A错误．
图象的对称轴是直线，D正确．
∵开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，B错误．
∵抛物线顶点坐标为，开口向下，与轴交于和，
∴当时，，图象经过第一、三、四象限，C错误．
6．（本题3分）将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【详解】解：抛物线，
当时，，
∴抛物线与y轴交于点，
将抛物线向左平移3个单位得到，即，
当时，，
∴抛物线与y轴交于点，
将抛物线向左平移4个单位后所得抛物线表达式为，即，
当时，，
∴抛物线与y轴交于点，
∴抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会先减小后增大．
7．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若为直角三角形，则m的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【详解】解：∵，
令，得，解得，，
∵点A在点B左侧，∴，，可得，
令，得，
∴，C不与A、B重合，故，
若为直角三角形，分情况讨论：
若，
∵在轴上，
∴轴，A的横坐标等于C的横坐标为0，即，得，
此时，C与A重合，舍去；
若，同理得，，
此时，C与B重合，舍去；
因此只有，由勾股定理得，
计算得，，，
代入等式得：，
解得或，
舍去不符合题意的，得．
8．（本题3分）已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象经过点和，则该函数图象的对称轴（ ）
A．只能是直线 B．可能在y轴右侧且在直线的左侧
C．可能是y轴 D．可能在y轴左侧且在直线的右侧
【答案】B
【详解】解：二次函数中，a、b、c为常数，，
抛物线开口向下，
距离对称轴越近，函数值越大，且在对称轴左侧，随的增大而增大，
图象经过点和，
对称轴可能在两点之间，也可能在直线的右侧．
当对称轴在两点之间时，点的纵坐标更大，更靠近对称轴，则对称轴在y轴右侧且在直线的左侧；
综上，只有B选项满足．
9．（本题3分）如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点以的速度从点出发沿运动，
∴，
当时，如图，
∴；
当时，如图，
∵点以的速度从点出发沿运动，
∴，
∴，
∴；
选项符合题意．
10．（本题3分）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【详解】解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的左侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故选项符合题意；
B．图像开口向上，故选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故选项不符合题意；
D．图像开口向上，故选项不符合题意．
故选：A．
二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.）
11．（本题3分）已知抛物线经过三点，则该抛物线的表达式为_______．
【答案】
【详解】解：设抛物线表达式为，
∵抛物线经过三点，
∴，
解得，
∴该抛物线的表达式为．
12．（本题3分）已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号）
【答案】
【详解】解：∵当时，图象在轴下方，
∴，即，故结论正确；
∵抛物线对称轴在轴左侧，
∴，
由图象可知，抛物线开口向下，
∴，
∴，故结论错误；
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴，故结论正确；
综上所述，正确的结论是．
13．（本题3分）二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________．
【答案】
【详解】解：二次函数和一次函数的图象交于点和，
两函数交点的横坐标分别为，
观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：．
故答案为：．
14．（本题3分）二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，则___________．
【答案】
【详解】解：当时，有方程，
因式分解得，
解得或，
∵A点在B点左侧，
∴B点坐标为，
当时，代入二次函数解析式得，
∴C点坐标为，
设原点为，
∵x轴与y轴垂直，
∴，
可得，，
由勾股定理得．
15．（本题3分）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______．
【答案】 或
【详解】解：∵在二次函数 上，
∴．
∵在二次函数上，
∴．
∵，
∴．
又∵ 在二次函数上，
∴，
代入不等式得 ．
即 ．
解左边不等式 即，
因式分解得，
解得 或 ．
解右边不等式，即，
因式分解得，解得 ．
取交集，得或 ．
故答案为或 ．
16．（本题3分）若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______．
【答案】且
【详解】解：∵图象上点与轴距离为，
∴，即或．
∵若为一次函数，其图象与直线和最多共有2个交点，要得到四个点，原函数必为二次函数，
∴，得，且和对应的一元二次方程都要有两个不相等的实数根．
当时，整理方程得：
判别式
∵，
∴，解得．
当时，整理方程得：
判别式
∵，
∴，解得．
综上，的取值范围是且．
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题8分）已知函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)写出这个二次函数图象的对称轴；
(3)当时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)该二次函数图象的对称轴为直线
(3)的取值范围是
【详解】（1）解：∵函数是二次函数，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∴二次函数解析式为，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线．
（3）解：由（2）可知，二次函数解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴在上，当时，取得最大值，
当时，，
当时，，
∵，
∴在上，的取值范围是．
18．（本题8分）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上．
(1)求和的值；
(2)结合图像写出关于的不等式的解集；
(3)已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
把代入，得，
解得；
（2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
（3）解：∵，，
∴二次函数开口向上，
∴二次函数的最小值为，
观察图象，若P的个数为2，则．
19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B、与y轴交于点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标；
(2)如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求所在直线的表达式与线段长度的最大值．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：把，代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
解得，，
∴．
（2）解：设直线的表达式为，
把，代入，得，
解得，
∴直线的表达式为，
设，
∵轴，
∴，
∵点P为线段上的一个动点（点P不与点B，C重合），
∴，
∴，
∵，
∴当时，长度的最大值为．
20．（本题10分）泥塑，俗称“彩塑”，是中国传统的一种古老常见的民间艺术形式．某泥塑作坊主营泥塑制作与销售业务，请根据以下素材，完成任务．
素材1
泥塑的制作成本为30元/件，销售数据显示，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件．
素材2
设每件泥塑售价上涨元，月销售量为件．
问题解决
(1)任务1
求出与之间的关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)任务2
为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应上涨多少元?
(3)任务3
若该作坊希望获得最大月销售利润，此时泥塑的售价应定为多少元/件?最大月销售利润是多少元?
【答案】(1)（）
(2)元
(3)售价：元，最大利润：元
【详解】（1）解：根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
又，
∴自变量取值范围，
∴（）；
（2）解：根据题意，得，
解得，，
∵要让顾客实惠，涨价少，
∴，
答：该泥塑的售价应上涨10元；
（3）解：设月销售利润为元，
根据题意，得
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为6250，
∴当售价为元时，月销售利润最大，最大值为6250元．
21．（本题10分）综合与实践：数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系；
【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，设点的坐标为，探究与的函数关系．
(1)【归纳猜想】在轴上多次改变点的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下：
线段长
1
2
3
4
5
…
线段长
1.25
2
3.25
5
7.25
…
如果，，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象；观察画出的图像，猜想它是我们学过的哪种曲线？
(2)【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点的坐标满足的函数关系：
①猜想关于的函数解析式，请直接写出结论，并写出的取值范围；
②在图1中利用几何推理证明（1）中的结论．
【答案】(1)
(2)① 函数解析式为：，的取值范围是全体实数．
② 证明：连接：
∵是线段的垂直平分线，
∴。
∵点坐标为，是过的轴的垂线，
∴点坐标为，
∵是竖直线段，
∴长度就是的纵坐标；
∵点坐标为，
∴．
∵，
∴ ，
两边同时平方消去根号： ，
展开并整理： ，
消去同类项后变形得： ，
对任意实数都能找到对应的点和点，
∴取全体实数．
【详解】（1）解：以表中每对a，b的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，再用平滑的曲线把各点连接起来，得到的图象是抛物线，属于二次函数的图象．
我们可以通过表格数据验证：当时，时，时，符合二次函数的数值变化规律，
∴猜想该曲线是抛物线．
（2）①设函数解析式为，，
把代入，
得，
解得，
∴函数解析式为：，
的取值范围是全体实数．
②略
22．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点O作交抛物线于点P，求点P的坐标；
(3)点是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2) ，
(3)4
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，
将，，代入解析式有：，
解得：，
即抛物线解析式为：；
（2）设直线的解析式为：，
将，代入解析式有：，
解得：，
即直线的解析式为：，
∵，
∴直线沿y轴向上平移4个单位，即可得到过原点O的直线的解析式，
∴直线的解析式为，
联立：，
解得：，，
点P的坐标为： ，；
（3）连接，如图，
设，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
当时，的面积有最大值，最大值为．
23．（本题14分）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为．
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小．
(3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：当，时，
函数可化为．
整理得：．
∴该函数图象的顶点坐标为．
（2）解：已知函数，
其对称轴为，
∵，即对称轴为，
∴，
∴，
将代入函数中，可得，
将代入函数中，可得，
∴，
∴．
（3）解：把点代入，
得，
∴，
已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴．
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