第5章 二次函数（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材青岛版九年级下册

2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第5章 二次函数·基础通关（参考答案） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C A D C C D C A 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11． 12． 13． 14． 15．或 16． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分） 【详解】（1）解：将代入得， ∴；（3分） （2）解：∵ ∴（5分） 将代入得，．（8分） 18．（8分）【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ．（4分） (2) 经过第二、三、四象限， 理由：， ， 由图可知， ， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限．（8分） 19．（10分）(1)补表如下： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … （2分） 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 画图如下： （6分） （2）解：∵， ∴抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线.（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故当时，该函数是二次函数．（4分） （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故当时，该函数是一次函数．（8分） （3）解：该函数的常数项是，不可能为0， ∴该函数不可能是正比例函数．（10分） 21．（10分）(1)证明：抛物线与轴交点的纵坐标为， 当抛物线与轴相交时可得：， ， ，即：， 不论为任何实数，该抛物线与轴总有两个交点；（5分） （2）解：当时，可得：， 抛物线与轴交于和， 可得方程， ，， ．（10分） 22．（12分） 【详解】（1）解：设这款书签月到月销量的月平均增长率为，则 , 解得：(不合题意，舍去)， 因此，这款书签月到月销量的月平均增长率为．（4分） （2）解：每件应降价元,则 , 解得：, 为尽快减少库存，取, 即每件应降价13元．（8分） （3）解：设售价定为元时销售利润是元，则 ， ∵， ∴售价定为元时日销售利润最大，最大利润是元．（12分） 23．（14分） 【详解】（1）解：对称轴直线为：（2分） （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称直线为， ∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值， 即， 解得：，负值舍去（6分） （3）解：当时，则，顶点坐标为： 当时， ， 则在时，最小值为， 即， 解得：，或（舍去）， ∴仅当时，即时，此时最小值为， 最大值为时，即， ∵当时，总有， ∴当时，即时，， 令， 解得：，， ∴．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第5章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 2．（本题3分）已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列抛物线中，对称轴为直线的是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）函数化成的形式是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（     ）． A．40 B． C．60 D． 8．（本题3分）若为二次函数上的三点，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 12．（本题3分）抛物线与轴的交点坐标为_______． 13．（本题3分）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 14．（本题3分）在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 15．（本题3分）如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 16．（本题3分）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于_________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值； (2)若点在该函数的图象上，求m的值． 18．（本题8分）已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 19．（本题10分）已知二次函数． (1)填写表格，并在所给的平面直角坐标系中描点，画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 5 0 … (2)将抛物线如何平移可得到抛物线？ 20．（本题10分）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 21．（本题10分）已知抛物线 (1)求证：不论为任何实数，抛物线与轴总有两个交点． (2)若，抛物线与轴交于和，求的值． 22．（本题12分）年春节期间，国产游戏《黑神话：悟空》的联名文创周边金箍棒造型书签持续热销，一度成为爆款．某电商平台数据显示，该款书签月份销量为万件，月份销量已增至万件． (1)求该电商平台这款书签月到月销量的月平均增长率． (2)某店铺以每件元的价格购进这款书签，当售价为元／件时，日销量为件．市场调查发现，售价每降低元，日销量可增加件．为借助春节热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到元，则每件应降价多少元？ (3)在（2）的条件下，售价定为多少元时日销售利润最大？最大利润是多少元？ 23．（本题14分）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第5章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 【答案】D 【详解】解：∵ 函数是关于的二次函数， ∴ 二次项系数不为0， ∴，解得且， ∴的值不可能是或． 2．（本题3分）已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴． 3．（本题3分）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 4．（本题3分）下列抛物线中，对称轴为直线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、的对称轴为直线，故A选项符合题意； B、C中与的对称轴均为直线，故B、C选项不符合题意； D 的对称轴为直线，故D选项不符合题意； 故选：A． 5．（本题3分）函数化成的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 6．（本题3分）顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 抛物线开口方向和大小与相同， ∴ 二次项系数， ∵ 顶点坐标为， ∴ 抛物线解析式为． 7．（本题3分）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（     ）． A．40 B． C．60 D． 【答案】C 【详解】解：设，鸭舍的面积为， 由题意得， ， ∵墙的长度为，且， ∴， ∴， ∵在中，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴鸭舍面积的最大值为． 8．（本题3分）若为二次函数上的三点，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 故D选项符合题意． 9．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为，在轴的正半轴，故A、B选项不符合题意， ∵C、D选项的抛物线开口向下， ∴， ∴函数的图象经过一、二、四象限， ∴D选项不符合题意，C选项符合题意． 10．（本题3分）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 【答案】 【详解】解：二次函数，与一般形式对比可得 二次项系数， 一次项系数， 常数项． 12．（本题3分）抛物线与轴的交点坐标为_______． 【答案】 【详解】解：令，得， ∴ 抛物线与y轴的交点坐标为． 13．（本题3分）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 【答案】 【详解】解：∵ 原抛物线解析式为， ∴ 向右平移个单位后得到的抛物线为， ∴向上平移个单位后得到的抛物线为． 14．（本题3分）在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 15．（本题3分）如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【详解】解：由图象可知，二次函数和一次函数的交点横坐标分别为和， 当时，即二次函数图象在一次函数图象的上方， 观察图象可知，当或时，抛物线在直线的上方， 的取值范围是或． 16．（本题3分）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于_________． 【答案】 【详解】解：二次函数的图象上有两点和， 把和两点坐标代入函数解析式中， 得，， 整理得，， 是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 又由得，， 将代入所求代数式中得， ． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值； (2)若点在该函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将代入得， ∴； （2）解：∵ ∴ 将代入得，． 18．（本题8分）已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 经过第二、三、四象限， 理由：， ， 由图可知， ， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）略 19．（本题10分）已知二次函数． (1)填写表格，并在所给的平面直角坐标系中描点，画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 5 0 … (2)将抛物线如何平移可得到抛物线？ 【答案】(1)补表如下： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 画图如下： (2)向左平移1个单位，再向上平移4个单位 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 补充表格和画图见答案； （2）解：∵， ∴抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线. 20．（本题10分）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【答案】(1) (2) (3)该函数不可能是正比例函数 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故当时，该函数是二次函数． （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故当时，该函数是一次函数． （3）解：该函数的常数项是，不可能为0， ∴该函数不可能是正比例函数． 21．（本题10分）已知抛物线 (1)求证：不论为任何实数，抛物线与轴总有两个交点． (2)若，抛物线与轴交于和，求的值． 【答案】(1)证明：抛物线与轴交点的纵坐标为， 当抛物线与轴相交时可得：， ， ，即：， 不论为任何实数，该抛物线与轴总有两个交点； (2) 【详解】（1）略 （2）解：当时，可得：， 抛物线与轴交于和， 可得方程， ，， ． 22．（本题12分）年春节期间，国产游戏《黑神话：悟空》的联名文创周边金箍棒造型书签持续热销，一度成为爆款．某电商平台数据显示，该款书签月份销量为万件，月份销量已增至万件． (1)求该电商平台这款书签月到月销量的月平均增长率． (2)某店铺以每件元的价格购进这款书签，当售价为元／件时，日销量为件．市场调查发现，售价每降低元，日销量可增加件．为借助春节热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到元，则每件应降价多少元？ (3)在（2）的条件下，售价定为多少元时日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) 月平均增长率为 (2) 每件应降价13元 (3) 售价定为元时日销售利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：设这款书签月到月销量的月平均增长率为，则 , 解得：(不合题意，舍去)， 因此，这款书签月到月销量的月平均增长率为． （2）解：每件应降价元,则 , 解得：, 为尽快减少库存，取, 即每件应降价13元． （3）解：设售价定为元时销售利润是元，则 ， ∵， ∴售价定为元时日销售利润最大，最大利润是元． 23．（本题14分）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解：对称轴直线为： （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称直线为， ∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值， 即， 解得：，负值舍去 （3）解：当时，则，顶点坐标为： 当时， ， 则在时，最小值为， 即， 解得：，或（舍去）， ∴仅当时，即时，此时最小值为， 最大值为时，即， ∵当时，总有， ∴当时，即时，， 令， 解得：，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第5章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 2．（本题3分）已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列抛物线中，对称轴为直线的是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）函数化成的形式是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（     ）． A．40 B． C．60 D． 8．（本题3分）若为二次函数上的三点，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 12．（本题3分）抛物线与轴的交点坐标为_______． 13．（本题3分）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 14．（本题3分）在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 15．（本题3分）如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 16．（本题3分）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于_________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值； (2)若点在该函数的图象上，求m的值． 18．（本题8分）已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 19．（本题10分）已知二次函数． (1)填写表格，并在所给的平面直角坐标系中描点，画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 5 0 … (2)将抛物线如何平移可得到抛物线？ 20．（本题10分）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 21．（本题10分）已知抛物线 (1)求证：不论为任何实数，抛物线与轴总有两个交点． (2)若，抛物线与轴交于和，求的值． 22．（本题12分）年春节期间，国产游戏《黑神话：悟空》的联名文创周边金箍棒造型书签持续热销，一度成为爆款．某电商平台数据显示，该款书签月份销量为万件，月份销量已增至万件． (1)求该电商平台这款书签月到月销量的月平均增长率． (2)某店铺以每件元的价格购进这款书签，当售价为元／件时，日销量为件．市场调查发现，售价每降低元，日销量可增加件．为借助春节热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到元，则每件应降价多少元？ (3)在（2）的条件下，售价定为多少元时日销售利润最大？最大利润是多少元？ 23．（本题14分）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $