第5章 二次函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材青岛版九年级下册

2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第5章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 2．（本题3分）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．当时，随增大而增大 C．对称轴是轴 D．有最大值0 【答案】B 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴二次项系数 ，顶点坐标为，对称轴为轴， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，当时，有最大值， ∵ 开口向下，对称轴为轴， ∴ 当时，随的增大而减小，故选项A，C，D正确，B错误． 3．（本题3分）将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 【答案】B 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到，再向下平移个单位长度，得到. 4．（本题3分）平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：由题意可得，直线轴且过，因此直线的方程为． 设抛物线上任意一点， ∵点到直线的距离与相等， ∴点到直线的距离，由两点间距离公式得 ∵，， ∴， 由，两边同时平方得： 展开得： 整理得：， 该等式对任意恒成立， 因此， 解得． 5．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】A 【详解】解：由图象开口向下得；顶点横坐标为2，即，得，则， B正确； 由图象与轴交于点得，所以，A错误； 抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，C正确； 时图象在轴下方，，D正确． 6．（本题3分）二次函数在范围内的最大值为8，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，在范围内，，，， ∴ 当时，取得最大值， ∵ 函数在范围内的最大值为， ∴ ， 解得. 7．（本题3分）如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：取，代入三个函数表达式得：三个函数值分别为， 由图象可知：直线与三个函数图象的交点纵坐标从上到下依次为， 故 8．（本题3分）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的图象上有两点和， 把和两点坐标代入函数解析式中， 得，， 整理得，， 是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 又由得，， 将代入所求代数式中得， ． 9．（本题3分）抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，经过点， ， ， 结合图象可得， ∴，， ∴，故①正确， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，，故②正确， ∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故③错误， ， ∴，故④错误， 当时，最大值， 当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确， 故正确的有3个. 10．（本题3分）如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 12．（本题3分）已知点，在抛物线上，且，则______． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴． 13．（本题3分）若一元二次方程的两个根分别为和4，则抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为和， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∵抛物线关于对称轴对称，即抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称， ∴对称轴为直线． 14．（本题3分）二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次不等式的解集是___________． 【答案】或 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上，且开口向上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的不等式的解集是或． 15．（本题3分）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 【答案】 【详解】解：令，得一元二次方程 ， 设点，点，且， 故是一元二次方程的两个根， ，， 由题意得，且， ∴ ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 16．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【详解】解：令，得， 点的坐标为， ． 令，得， 整理得， 解得， ． 点在轴的负半轴， 点的坐标为， ． ． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）（1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【详解】解：（1）根据题意得：，解得， 又， ， 的值是； （2）根据题意得：，解得， 当时，， 此时交点坐标为， 当时，， 此时交点坐标为， 综上所述，交点坐标是或． 18．（本题8分）抛物线经过和两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 【答案】(1)； (2)对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线图象如图所示： 【详解】（1）解：把和两点代入可得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 列表： x … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … 描点、连线见答案． 19．（本题10分）【定义】若二次函数的顶点在直线上，则称二次函数为直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． 【应用】 (1)若二次函数是直线的开心函数，求的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求证：； ②若，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)①证明：， 顶点，     二次函数是直线的开心函数， ，     ； ②1或5 【详解】（1）解：， 顶点为，     二次函数是直线的开心函数， ， 解得； （2）①略； ②解：的对称轴为直线， 当时，，y有最小值， 解得（舍）或； 当时，，y有最小值， 解得； 综上所述：的值为1或5． 20．（本题10分）如图，抛物线的顶点为，交轴于点，两点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)求出的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：顶点为， 对称轴为直线， 交轴于点， ， 解得， ； （2）解：可设，则有 ， 解得， ， 当时， ， ， 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交轴于点，交轴的垂线于点，则有 ，，，， ， ． 21．（本题10分）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点，关于直线对称． ∴． （2）解：若，则． 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 若，则． 当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 综上，的取值范围是或． 22．（本题12分）根据以下素材，探索完成任务． 素材 1 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线形建造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面． 素材 2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于． 素材 3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 (1)【任务1】确定桥拱形状：在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． (2)【任务2】探究悬挂范围：在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． (3)【任务3】拟定设计方案：符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的一种方案． 【答案】(1) (2) (3)需要准备 7 盏灯笼 【详解】（1）解：∵ 以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，抛物线顶点在原点，则顶点为， ∴ 设抛物线解析式为 ∵ 水面宽，拱顶离水面，可得抛物线上一点 把 代入 ，得 ∴ ． ∴ 抛物线的函数解析式为． （2）解：∵ 原水面位置纵坐标为 ，水位上涨，灯笼高，灯笼底部距离最高水位不小于， ∴ 悬挂点纵坐标最小值：， ∴ 悬挂点纵坐标的最小值是， 把 代入 ，得 ∴ ． ∴ 悬挂点横坐标的取值范围是 ． （3）解：∵ 横坐标范围 ，相邻灯笼悬挂点水平间距为，且轴对称分布， 方案一：从顶点 开始，向左右每隔设置一个悬挂点，横坐标依次为 ， 一共 7 个点，所以需要准备 7 盏灯笼． 23．（本题14分）已知抛物线（为常数）． (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线与轴只有一个交点，求的值，并写出该交点的坐标； (3)若抛物线的顶点在直线上，求的值，并求此时抛物线与轴两交点间的距离． 【答案】(1)和 (2)的值为，该交点的坐标为 (3)的值为，抛物线与轴两交点间的距离为 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为和． （2）解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为． （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴抛物线与轴两交点间的距离为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第5章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．当时，随增大而增大 C．对称轴是轴 D．有最大值0 3．（本题3分）将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 4．（本题3分）平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 5．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 6．（本题3分）二次函数在范围内的最大值为8，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（本题3分）如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（） A． B． C． D． 9．（本题3分）抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（本题3分）如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 12．（本题3分）已知点，在抛物线上，且，则______． 13．（本题3分）若一元二次方程的两个根分别为和4，则抛物线的对称轴是直线______． 14．（本题3分）二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次不等式的解集是___________． 15．（本题3分）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 16．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）（1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 18．（本题8分）抛物线经过和两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 19．（本题10分）【定义】若二次函数的顶点在直线上，则称二次函数为直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． 【应用】 (1)若二次函数是直线的开心函数，求的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求证：； ②若，的最小值为，求的值． 20．（本题10分）如图，抛物线的顶点为，交轴于点，两点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)求出的面积． 21．（本题10分）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 22．（本题12分）根据以下素材，探索完成任务． 素材 1 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线形建造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面． 素材 2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于． 素材 3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 (1)【任务1】确定桥拱形状：在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． (2)【任务2】探究悬挂范围：在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． (3)【任务3】拟定设计方案：符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的一种方案． 23．（本题14分）已知抛物线（为常数）． (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线与轴只有一个交点，求的值，并写出该交点的坐标； (3)若抛物线的顶点在直线上，求的值，并求此时抛物线与轴两交点间的距离． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第5章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．当时，随增大而增大 C．对称轴是轴 D．有最大值0 3．（本题3分）将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 4．（本题3分）平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 5．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 6．（本题3分）二次函数在范围内的最大值为8，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（本题3分）如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（） A． B． C． D． 9．（本题3分）抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（本题3分）如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 12．（本题3分）已知点，在抛物线上，且，则______． 13．（本题3分）若一元二次方程的两个根分别为和4，则抛物线的对称轴是直线______． 14．（本题3分）二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次不等式的解集是___________． 15．（本题3分）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 16．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）（1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 18．（本题8分）抛物线经过和两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 19．（本题10分）【定义】若二次函数的顶点在直线上，则称二次函数为直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． 【应用】 (1)若二次函数是直线的开心函数，求的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求证：； ②若，的最小值为，求的值． 20．（本题10分）如图，抛物线的顶点为，交轴于点，两点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)求出的面积． 21．（本题10分）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 22．（本题12分）根据以下素材，探索完成任务． 素材 1 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线形建造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面． 素材 2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于． 素材 3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 (1)【任务1】确定桥拱形状：在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． (2)【任务2】探究悬挂范围：在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． (3)【任务3】拟定设计方案：符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的一种方案． 23．（本题14分）已知抛物线（为常数）． (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线与轴只有一个交点，求的值，并写出该交点的坐标； (3)若抛物线的顶点在直线上，求的值，并求此时抛物线与轴两交点间的距离． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第5章 二次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B A A B D B D B 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11． 12． 13． 14．或 15． 16． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分） 【详解】解：（1）根据题意得：，解得， 又， ， 的值是；（3分） （2）根据题意得：，解得， 当时，， 此时交点坐标为， 当时，， 此时交点坐标为， 综上所述，交点坐标是或．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：把和两点代入可得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为；（4分） （2）解：， 二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 列表： x … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … 抛物线图象如图所示：（8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：， 顶点为，     二次函数是直线的开心函数， ， 解得；（3分） （2）①证明：， 顶点，     二次函数是直线的开心函数， ，     ；（6分） ②解：的对称轴为直线， 当时，，y有最小值， 解得（舍）或； 当时，，y有最小值， 解得； 综上所述：的值为1或5．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：顶点为， 对称轴为直线， 交轴于点， ， 解得， ；（3分） （2）解：可设，则有 ， 解得， ， 当时， ， ，（6分） 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交轴于点，交轴的垂线于点，则有 ，，，， ， ．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点，关于直线对称． ∴．（4分） （2）解：若，则． 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 若，则． 当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 综上，的取值范围是或．（10分） 22．（12分） 【详解】（1）解：∵ 以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，抛物线顶点在原点，则顶点为， ∴ 设抛物线解析式为 ∵ 水面宽，拱顶离水面，可得抛物线上一点 把 代入 ，得 ∴ ． ∴ 抛物线的函数解析式为．（4分） （2）解：∵ 原水面位置纵坐标为 ，水位上涨，灯笼高，灯笼底部距离最高水位不小于， ∴ 悬挂点纵坐标最小值：， ∴ 悬挂点纵坐标的最小值是， 把 代入 ，得 ∴ ． ∴ 悬挂点横坐标的取值范围是 ．（9分） （3）解：∵ 横坐标范围 ，相邻灯笼悬挂点水平间距为，且轴对称分布， 方案一：从顶点 开始，向左右每隔设置一个悬挂点，横坐标依次为 ， 一共 7 个点，所以需要准备 7 盏灯笼．（12分） 23．（14分） 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为和．（3分） （2）解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为．（8分） （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴抛物线与轴两交点间的距离为．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $