第1章 二次函数（单元自测）2026-2027学年数学新教材浙教版九年级上册

第1章 二次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．二次函数与反比例函数的图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（ ） A．或 B． C． D．或 3．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A． B．图象与x轴的负半轴交于点 C．函数的最大值为 D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 6．下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ） A． B． C． D． 7．抛物线的对称轴是直线且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A．①②⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 8．二次函数中x与的部分对应值如表，下列说法错误的（ ） x … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．c的值为 D．当时，随x的增大而增大 9．已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知点，和都在抛物线（m是常数，且）上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．二次函数的二次项系数是 ________． 12．二次函数的对称轴是________． 13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的方程的解为________． 14．已知二次函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是________． 15．某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 16．已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的有________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（8分）已知二次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． （2）根据图象，直接写出当时自变量的取值范围． 18．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积． 19．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）直接写出、、三点的坐标 （2）如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 （3）若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 20．（8分）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值． 22．（10分）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 23．（10分）已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）当时，相应函数值的取值范围是________． 24．（10分）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）已知为抛物线的动点，若，直接写出n的取值范围； （3）当时，y的最大值与最小值的差为3，求t的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图象的性质，熟知一次函数和二次函数的图象性质是解答的关键； 根据的图象判断，m 的正负，再判断的图象的开口方向即可； 【解析】 选项A：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项B：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像一致，；符合题意； 选项C： 由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项D：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向上，与图像不一致，不符合题意； 故选B． 2．二次函数与反比例函数的图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的综合，根据函数图象得出当或时，二次函数图象在反比例函数的上面，即可得出当时，的取值范围． 【解析】根据函数图象可得：二次函数与反比例函数的图象交点坐标为，， 当或时，二次函数图象在反比例函数的上面，因此时，则的取值范围或． 故选A． 3．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格中函数值相等的两点确定二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性判断m与n的关系． 【解析】∵二次函数图象过点和， ∴该抛物线的对称轴为， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称， ∴． 故选C． 4．二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A． B．图象与x轴的负半轴交于点 C．函数的最大值为 D． 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向，与y轴交点坐标和对称轴公式求出，，，然后逐项判断即可． 【解析】由图象得，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故A正确； 由图象得，抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点，故B正确； 由图象得，抛物线开口向下， ∴， ∴当时，函数的最大值为，故C正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故D错误．符合题意.故选D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的图象可知，关于x的一元二次方程的解为，．故选D． 6．下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质． 根据各个选项中的函数解析式可以得到相应的对称轴，从而可以解答本题． 【解析】A、的对称轴是直线，不符合题意； B、的对称轴是直线，不符合题意； C、， 的对称轴是直线，符合题意； D、， 的对称轴是直线，不符合题意； 故选C． 7．抛物线的对称轴是直线且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A．①②⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点确定，，的符号及关系，利用对称性求出另一交点坐标，结合函数最值性质逐一判断． 【解析】由图象可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ∵抛物线过点，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，故③错误； ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵当时，有最大值， ∴当时，， ∴， 即，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤．故选A． 8．二次函数中x与的部分对应值如表，下列说法错误的（ ） x … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．c的值为 D．当时，随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的性质和表格中的数据，判断各个小题中的结论是否成立即可． 【解析】∵点和的纵坐标相同， ∴对称轴为直线，故B正确； ∵当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故A正确； 当时，，即，故C正确； 由表格可知，当时，随增大而减小，故D错误， 故选D． 9．已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数顶点坐标和经过点，利用顶点式求出参数关系，再结合m的范围确定a的范围，最后逐一判断各结论． 【解析】∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴当时，， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故①正确； ∴对称轴为直线，即， ∴， 设二次函数为，代入点， 得， ∴． 代入点得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，的值随值的增大而增大，故②错误； ∵，即， ∴， ∴，故结论④正确； 由对称性可得函数与x轴交于和， ∵二次函数的图象开口向下， ∴当时，，故③错误． 综上，正确结论有①④共2个． 故选B． 10．已知点，和都在抛物线（m是常数，且）上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求抛物线对称轴，结合开口向上的性质，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【解析】抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为． ∵， ∴．故选B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．二次函数的二次项系数是 ________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，解决本题的关键是将二次函数化为一般式． 通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可得出二次项系数． 【解析】变形为， 二次项系数为． 故答案为． 12．二次函数的对称轴是________． 【答案】直线 【分析】已知二次函数的一般式，可通过配方化为顶点式，或利用对称轴公式计算得到结果． 【解析】因为， 因此该二次函数图像的对称轴是直线．故答案为直线． 13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，由题意，抛物线与轴的交点为，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应方程的解，即可得出结果． 【解析】由图象可知，抛物线与轴的交点为，对称轴为直线， 则抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 14．已知二次函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，体现了数形结合思想．求出二次函数解析式，得到对称轴为直线，得到点关于直线的对称点为，根据函数图象写出所对应的自变量的范围即可． 【解析】二次函数的图象过点，，开口向上， 即时，，时，， ∴ 解得 ∴ ∴抛物线的对称轴为直线 ∴点关于直线的对称点为，即时，， ∴当时，或． 故答案为或． 15．某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 【答案】 15 【分析】已知利润是的二次函数，二次项系数为负，函数开口向下，最大利润对应二次函数的顶点，计算顶点横坐标即可得到结果． 【解析】展开函数关系式得 ∵该函数是二次函数，二次项系数 ∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得 ∵二次函数顶点的横坐标为，此处， ∴ 即获得最大利润时销售单价为15元．故答案为15． 16．已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的有________． 【答案】②③ 【分析】根据开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点位置可判断①②；根据函数与x轴有两个交点可判断③；根据时，可判断④． 【解析】∵函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，故②正确； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有②③．故答案为②③． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（8分）已知二次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． （2）根据图象，直接写出当时自变量的取值范围． 【答案】（1） 画图如下． （2） 【分析】本题考查二次函数的性质，画二次函数图象； （1）根据题意画出图象即可； （2）由图象可得出答案． 【解析】（1）解：在平面直角坐标系中画出的图象． 步骤一：列表 步骤二：根据表中数值描点， （2）解：由图象可知，当时． 18．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）10 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点，点代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可； （2）根据对称性求出点A的坐标，进一步求出的长，再求出的面积即可． 【解析】（1）解：∵经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为， ∴点A坐标为：，即， ∴， ∴的面积为：． 19．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）直接写出、、三点的坐标 （2）如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 （3）若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或． 【分析】（1）求出时x的值和求出时y的值即可得到答案； （2）过点A作交于点H，过点H作轴于点G，证明，得到，可推出；求出直线的解析式为，再联立函数解析式求解即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【解析】（1）解：在中， 当时，， 解得或， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，过点A作交于点H，过点H作轴于点G， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得或， ∴点D的坐标为； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为或， 综上所述，点E的坐标为或或． 20．（8分）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）、、 、或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，分三种情况列方程求解即可． 【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴；；， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为或； 当时，，解得或， ∴点Q的坐标为或， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为、、 、或 ． 21．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意将点的坐标代入解析式即可求得该抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称性，两点关于对称轴对称，连接交于点，则的周长的最小值为，据此求解即可． 【解析】（1）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点， ， 解得， ． （2）连接，交于点，连接，,如图， 两点关于对称轴对称， 的周长为 的周长最小值为 由，令，解得， 即 在中 即的周长最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．（10分）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【解析】（1）解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 23．（10分）已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）当时，相应函数值的取值范围是________． 【答案】(1)，直线 （2）所画函数图象如图所示 （3） 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴； （2）先求出5个点的坐标，再描点、连线，即可得到抛物线的图象； （3）根据（2）中函数图象即可得出结果． 【解析】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； （2）解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． （3）解：当时，由图象可得：． 24．（10分）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）已知为抛物线的动点，若，直接写出n的取值范围； （3）当时，y的最大值与最小值的差为3，求t的值． 【答案】（1） （2） （3）t的值为和 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）抛物线的动点M在的范围中包含顶点，则可知n的最小值，再根据抛物线的轴对称性，可求得n的最大值，即得答案； （3）分，，三种情况，分别列方程求解即可． 【解析】（1）解：抛物线的顶点坐标为， ， 把代入，得， 解得， 该抛物线的函数关系式为； （2）解：抛物线的顶点坐标为， 二次函数的最小值为， ， 当时，二次函数取得最大值， ． （3）解：当时，， 由y的最大值与最小值的差为3，可得 解得，不合题意，舍去； 当时，， 若，即时， 解得 结合，可得； 若，即时， 解得 结合，可得； 当时， 解得，不合题意，舍去； 综上所述，符合条件的t的值为和． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $