2026-2027年九年级数学上学期期中选择压轴题汇编（Word版）-2026-2027年初中数学上册期中测试压轴题汇编（人教版）

【人教版】2026-2027年9年级数学上学期期中选择压轴题汇编（3-1） 一．多项式（共1小题） 1．已知整式，其中a6为正整数，a0，a1，a2，a3，a4，a5均为自然数，记a6+a0＝m，a1+a2+a3+a4+a5＝n．下列说法： ①若m＝2，n＝0，则满足条件的整式M有两个； ②若m＝3，n＝4，则满足条件的整式M中有10个六次六项式； ③若m＝30，n＝75，则M可以分解为（x+2）（2x2+3）（3x3+4）． 其中正确的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二．一元二次方程的应用（共1小题） 2．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程x（x+6）＝72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62＝324＝182，据此易得x+6+x＝18，x＝6（正根）．小熙用此方法解关于x的方程x（7x﹣a）＝20，其中7x﹣a＞x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则a的值是（　　） A．6 B．4 C．2 D．1 三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 3．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+3（k是常数，且k≠0）与反比例函数y2的图象交于A（﹣3，﹣2），B（2，m）两点，则不等式kx+3的解集是（　　） A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 四．二次函数的图象（共2小题） 4．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+bc的图象大致是（　　） A． B． C． D． 五．二次函数图象与系数的关系（共5小题） 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1），其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 … 则下列结论：①a＞0；②c＝﹣2；③抛物线的对称轴为直线x＝1；④方程ax2+bx+c＝0的两个根满足﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）的图象与x轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：①5a﹣2b+c＞0；②当x＜m+1时，y随x的增大而增大，则m的最大值为﹣2；③若m，n（m＜n）是方程a（x+3）（x﹣1）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞1．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点P的坐标为（1，n），抛物线与x轴的一个交点A在（3，0）和（4，0）之间，有下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③n＝c﹣a；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根．其中，正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　） ①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 六．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 11．在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 七．二次函数的最值（共1小题） 12．已知实数x、y满足x﹣y2＝3，则代数式x2﹣2y2+x﹣5的最小值是（　　） A． B．1 C．3 D．7 八．抛物线与x轴的交点（共1小题） 13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 下面有四个结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0； ④x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c+5＝0（a≠0）的一个根．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 九．二次函数的应用（共1小题） 14．以40m/s的速度将小球沿与地面成40°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列说法正确的是（　　） A．小球飞行的高度不能达到15m B．小球飞行的高度不能达到20m C．小球飞行的高度不能达到25m D．小球从飞出到落地要用8s 十．二次函数的应用（共1小题） 15．某茶杯的过最低点B的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面ABC呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点A，点C位于杯口处，且AC＝10cm，点B是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点B到AC的距离）为4cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2cm（点B到EF的距离），求此时EF的长度（　　） A． B． C． D． 十一．二次函数的应用_轨迹问题（共1小题） 16．某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球被踢出9s时落地；③足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 十二．二次函数的应用_几何问题（共1小题） 17．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为（　　） A．7 B． C． D． 十三．二次函数的应用_其他问题（共2小题） 18．心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　） A．8min B．13min C．20min D．25min 19．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在一定条件下，可食用率P与加工时间t（分钟）满足的函数关系式为：p＝at2+bt+c（a≠0），如图记录了三次相同条件下实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　） A．3.5分钟 B．3.75分钟 C．4分钟 D．4.25分钟 十四．线段垂直平分线的性质（共1小题） 20．如图，在△ABC中，∠A＝72°，点D为BC的中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E，连接CE，CF平分∠ACE，交DE的延长线于点F，则∠F的度数为（　　） A．31° B．54° C．41° D．36° 十五．平行四边形的性质（共1小题） 21．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（　　） A．1 B． C．2 D．4 十六．菱形的性质（共1小题） 22．如图，在菱形ABCD中，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径都相等）相交于M，N两点，直线MN与边AB相交于点E，连接CE，DE．若AB＝2，DE⊥DC，则线段CE的长为（　　） A．2 B． C． D． 十七．正方形的性质（共1小题） 23．正方形ABCD，AB＝4cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发，以的速度沿OC、边CB向终点B运动；动点Q从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．当t＝1s时，点P，Q的位置如图所示．有下列结论：①当t＝3s时，△CPQ的面积为；②在运动过程中，△CPQ的面积随t值的增大而增大；③在运动过程中，t有两个不同的值满足△CPQ的面积为，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 十八．圆周角定理（共1小题） 24．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，，BC＝2，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 十九．切线的性质（共1小题） 25．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线ybx与x轴的一个交点为A（﹣8，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连接OD，则OD的最大值是（　　） A． B． C． D． 二十．弧长的计算（共1小题） 26．如图，长沙市某处A位于北纬28°（即∠AOC＝28°），东经113°，南沙群岛某处B位于北纬10°（即∠BOC＝10°），东经113°．设地球的半径为R千米，则在东经113°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　）千米． A． B． C． D． 二十一．作图—复杂作图（共1小题） 27．对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接OP，作OP的垂直平分线交OP于点G，以点G为圆心，OG长为半径画弧交⊙O于M，作直线PM，直线PM即为所求． 乙的作法连接PO并延长，交⊙O于B，C两点，分别，以P，O为圆心，PO，BC长为半径作弧，两弧交于点D，连接OD，交⊙O于点M，作直线PM．直线PM即为所求． 下列说法正确的是（　　） A．乙的作法正确，甲的作法错误 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲和乙的作法都正确 二十二．推理与论证（共1小题） 28．A、B、C、D四个孩子踢球时打碎了玻璃窗，A说：“是C或D打碎的．”B说：“是D打碎的．”C说：“我没有打破玻璃窗．”D说：“不是我打破的”他们中只有一个人说了谎话，请问打碎玻璃窗的是（　　） A．A B．B C．C D．D 二十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 29．如图，在正方形ABCD中，M为BC中点，连接DM，将△CDM沿DM所在的直线翻折到正方形ABCD所在的平面内得△C′DM，连接AC′、BC′，则的值为（　　） A． B． C． D． 二十四．旋转的性质（共1小题） 30．如图，边长为10的等边△ABC绕它的中心O顺时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△DEF，DF分别与AB，AC交于点M，N．给出下面三个结论：①AM的长随α的增大而增大；②AM的取值范围是0＜AM＜5；③当α＝30°时，AM＝2．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二十五．旋转的性质（共1小题） 31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，则BB'的长为（　　） A． B． C． D． 二十六．相似三角形的应用（共1小题） 32．汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度AB＝1.5米，车前盖最高处与地面距离CD＝1米，驾驶员与车头水平距离BE＝2米，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5米，点M在EF上，ME＝0.8米．则MF的长是（　　） A．1.7米 B．2.2米 C．2.5米 D．3米 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【人教版】2026-2027年9年级数学上学期期中选择压轴题汇编（3-1） 参考答案与试题解析 一．多项式（共1小题） 1．已知整式，其中a6为正整数，a0，a1，a2，a3，a4，a5均为自然数，记a6+a0＝m，a1+a2+a3+a4+a5＝n．下列说法： ①若m＝2，n＝0，则满足条件的整式M有两个； ②若m＝3，n＝4，则满足条件的整式M中有10个六次六项式； ③若m＝30，n＝75，则M可以分解为（x+2）（2x2+3）（3x3+4）． 其中正确的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【解答】解：①已知m＝a6+a0＝2，n＝a1+a2+a3+a4+a5＝0， n＝0意味着a1到a5均为0（自然数和为0，仅当各数为0）， a0是自然数（a0≥0），a6是六次项系数（a6≥1，否则不是六次多项式）， 故a6＝1，a0＝1或a6＝2，a0＝0仅2种情况，故说法①正确； ②已知m＝a6+a0＝3，n＝a1+a2+a3+a4+a5＝4， a6≥1，a0≥0，故（a_{6}，a_{0}）$组合为（1，2）或（2，1）或（3，0）， 六次六项式要求a1到a5中有且仅有1个为0（其余4个非0，保证总项数为6）， 对（1，2）：选1个系数为0（5种选法），剩余4个非0系数和为4（仅1种解：各为1），共5×1＝5个， 对（2，1）：同理得5个， 对（3，0），1个， 总计5+5+1＝11个，说法②不正确； ③展开分解式（x+2）（2x2+3）（3x3+4）， 先算（x+2）（2x2+3）＝2x3+4x2+3x+6， 再乘（3x3+4）， 得6x6+12x5+9x4+26x3+16x2+12x+24， 系数：a6＝6，a0＝24，故m＝6+24＝30， a1+a2+a3+a4+a5＝12+16+26+9+1，符合条件，说法③正确． 综上，正确个数为2， 故选：B． 二．一元二次方程的应用（共1小题） 2．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程x（x+6）＝72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62＝324＝182，据此易得x+6+x＝18，x＝6（正根）．小熙用此方法解关于x的方程x（7x﹣a）＝20，其中7x﹣a＞x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则a的值是（　　） A．6 B．4 C．2 D．1 【解答】解：由题意可知，将四个长为7x﹣a，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是7x﹣a+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵x（7x﹣a）＝20，小正方形的面积为64， ∴大正方形的面积为4×20+64＝144， ∴大正方形的边长为12， ∴7x﹣a+x＝8x﹣a＝12， ∴a＝8x﹣12， ∵7x﹣a＞x， ∴7x﹣a﹣x＞0， ∵小正方形的边长为7x﹣a﹣x，也为12﹣2x， ∴12﹣2x＞0， 由题意得：（12﹣2x）2＝64＝82， 解得：x1＝2，x2＝10， 当x＝2时，12﹣2x＝8＞0，符合题意； 当x＝10时，12﹣2x＝﹣8＜0，不符合题意，舍去； ∴x＝2， ∴a＝8×2﹣12＝4， 故选：B． 三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 3．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+3（k是常数，且k≠0）与反比例函数y2的图象交于A（﹣3，﹣2），B（2，m）两点，则不等式kx+3的解集是（　　） A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+3（k是常数，且k≠0）与反比例函数y2的图象交于A（﹣3，﹣2），B（2，m）两点， ∴不等式kx+3的解集是﹣3＜x＜0或x＞2． 故选：C． 四．二次函数的图象（共2小题） 4．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，ab＞0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab＜0，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，对称轴位于y轴左侧，则ab＞0，故选项符合题意； 故选：D． 5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+bc的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由所给二次函数图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， 则bc＜0． 因为一次函数解析式为y＝ax+bc， 所以直线与y轴交于负半轴，且y随x的增大而减小， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 五．二次函数图象与系数的关系（共5小题） 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1），其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，①错误． ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b，②错误． ∵抛物线对称轴为直线x＝1，x＝0时y＞0， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，③正确． 由图象可知，x时，y＞0， ∴x＝1时，y＞0， ∴（3﹣2）a+（1）b+c＞0， ∵b＝﹣2a， ∴c＞0， ∴2c＞b，故④正确； ∵x＝1时y取最大值， ∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），即a+b＞m（am+b）（m≠1），⑤正确． 故选：B． 7．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 … 则下列结论：①a＞0；②c＝﹣2；③抛物线的对称轴为直线x＝1；④方程ax2+bx+c＝0的两个根满足﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣2，且y＝ax2+bx+c中x＝0时y＝c， ∴c＝﹣2，故②正确，符合题意； ∵当x＝﹣1和x＝3时，y＝1，且函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，故③正确，符合题意； ∵对称轴为直线x＝1，且y值随x增大先减后增， ∴抛物线开口向上，即a＞0，故①正确，符合题意； ∵当x＝﹣1时y＝1＞0，x＝0时y＝﹣2＜0， ∴方程 ax2+bx+c＝0在﹣1＜x＜0内有一根x1，即﹣1＜x1＜0； ∵当x＝2时y＝﹣2＜0，x＝3时y＝1＞0， ∴在2＜x＜3内有一根x2，即2＜x2＜3，故④正确，符合题意； 故选：D． 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）的图象与x轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：①5a﹣2b+c＞0；②当x＜m+1时，y随x的增大而增大，则m的最大值为﹣2；③若m，n（m＜n）是方程a（x+3）（x﹣1）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞1．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）的图象与x轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1． ∵对称轴直线 x＝﹣1， ∴，即 b＝2a， ∵点（﹣3，0）在函数图象上， ∴9a﹣3b+c＝0， 代入b＝2a得9a﹣6a+c＝0，即 3a+c＝0， ∴c＝﹣3a； 结论①： 5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a， ∵a＜0， ∴﹣2a＞0，故①正确； 结论②： ∵a＜0，函数开口向下，在x≤﹣1 时y随x增大而增大． 若当x＜m+1 时y随x增大而增大， 则m+1≤﹣1，即 m≤﹣2， ∴m 的最大值为﹣2，故②正确； 结论③： 方程a（x+3）（x﹣1）+3＝0 即a（x+3）（x﹣1）＝﹣3， 函数y＝a（x+3）（x﹣1）开口向下，与x轴交于（﹣3，0）和（1，0）， ∴顶点为（﹣1，﹣4a）， ∵﹣4a＞0，y＝﹣3＜0， ∴方程有两个根，分别位于x＜﹣3 和x＞1， 即m＜﹣3且n＞1，故③正确． 故选：D． 9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点P的坐标为（1，n），抛物线与x轴的一个交点A在（3，0）和（4，0）之间，有下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③n＝c﹣a；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根．其中，正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间， ∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间， ∴x＝﹣1时，y＞0， 即a﹣b+c＞0， 故①正确，符合题意． ∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+c， ∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0， 故②正确，符合题意． ∵抛物线顶点坐标为（1，n）， ∴a+b+c＝n， ∵b＝﹣2a， ∴n＝c﹣a， 故③正确，符合题意． ∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n， ∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝n有一个交点 ∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根， 故④正确，符合题意． 故选：D． 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　） ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＞0； ④a﹣b+c＞0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：①根据抛物线的对称轴位于y轴右侧知：a、b异号，则ab＜0． 由抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0． 所以abc＜0． 故该结论错误； ②由该抛物线的对称轴是直线x＝1知，x1，则2a+b＝0． 故该结论正确； ③由该抛物线与x轴有两个交点知：Δ＝b2﹣4ac＞0． 故该结论正确； ④根据图示知：当x＝﹣1时，y＞0，则a﹣b+c＞0． 故该结论正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故选：B． 六．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 11．在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把x＝1代入y＝ax2﹣2ax得y＝a﹣2a＝﹣a， ∴顶点为（1，﹣a）， ∵两点A（x1，y1）．B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴当x1＜0目y1•y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方）， 故y2＜0， 此时0＜x2＜2，故A选项的结论正确； 当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减， 故x2越大，y2越小， 即y1＞y2，故C选项的结论错误； 当x1＜0且y1•y2＞0时，y2＞0， 此时x2应满足x2＜0或x2＞2，故B选项的结论错误； 当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增， 故x1越大，y1越大， 即y1＞y2，故D选项的结论错误； 故选：A． 七．二次函数的最值（共1小题） 12．已知实数x、y满足x﹣y2＝3，则代数式x2﹣2y2+x﹣5的最小值是（　　） A． B．1 C．3 D．7 【解答】解：∵x﹣y2＝3， ∴y2＝x﹣3≥0， ∴x≥3， ∴x2﹣2y2+x﹣5＝x2﹣2x+6+x﹣5＝（x）2， 当x＝3时，原式7， 即x2﹣2y2+x﹣5的最小值为7， 故选：D． 八．抛物线与x轴的交点（共1小题） 13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线x＝2； ③当﹣2＜x＜4时，y＜0； ④x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c+5＝0（a≠0）的一个根． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线经过点（﹣3，7），（5，7）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，所以②错误； ∴抛物线的顶点为（1，﹣9），即x＝1时，y有最小值﹣9， ∴抛物线开口向上，所以①正确； ∵抛物线经过点（﹣2，0）， ∴抛物线经过点（4，0）， ∴当﹣2＜x＜4时，y＜0，所以③正确； ∵抛物线经过点（3，﹣5）， ∴抛物线经过点（﹣1，﹣5）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5（a≠0）的两个根为3或﹣1， ∴x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c+5＝0（a≠0）的一个根，所以④正确． 故选：C． 九．二次函数的应用（共1小题） 14．以40m/s的速度将小球沿与地面成40°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列说法正确的是（　　） A．小球飞行的高度不能达到15m B．小球飞行的高度不能达到20m C．小球飞行的高度不能达到25m D．小球从飞出到落地要用8s 【解答】解：A、h＝20t﹣5t2，令h＝15，20t﹣5t2＝15，解得：t＝1或t＝3，有实数解，故高度可达15m，A错误，不符合题意； B、令h＝20，20t﹣5t2＝20，解得：t＝2，有实数解，故高度可达20m，B错误，不符合题意； C、令h＝25，20t﹣5t2＝25，即t2﹣4t+5＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝16﹣20＝﹣4＜0，无实数解，故高度不能达到25m，C正确，符合题意； D、令h＝0，20t﹣5t2＝0，解得：t＝0或t＝4，落地时间为4s，不是8s，故D错误，不符合题意， 故选：C． 十．二次函数的应用（共1小题） 15．某茶杯的过最低点B的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面ABC呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点A，点C位于杯口处，且AC＝10cm，点B是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点B到AC的距离）为4cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2cm（点B到EF的距离），求此时EF的长度（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意，设截面抛物线y＝ax2（a≠0）． 将C（5，4）代入，得4＝25a． 解得． ∴． 将y＝2代入， 得． 解得． ∴，， ∴． 故选：A． 十一．二次函数的应用_轨迹问题（共1小题） 16．某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为20m； ②足球被踢出9s时落地； ③足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由题意得，抛物线经过（0，0），（9，0）， ∴设抛物线解析式为h＝at（t﹣9）， 代入（1，8）得，8＝﹣8a， 解得：a＝﹣1， ∴h＝﹣t（t﹣9）＝﹣t2+9t＝﹣（t）2， ∵﹣1＜0， ∴当t时，h取得最大值，最大值为， 故①错误； 令h＝0，则﹣t2+9t＝0， 解得t＝0或t＝9， ∴足球被踢出9s时落地，故②正确； 当t＝1.5时，h＝﹣1.52+9×1.5＝11.25， ∴足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11.25m， 故③错误． 故选：B． 十二．二次函数的应用_几何问题（共1小题） 17．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为（　　） A．7 B． C． D． 【解答】解：在Rt△PCD中，CD，PC＝t， ∴S＝PD2＝t2+（）2＝t2+2， 当S＝6时，6＝t2+2， 解得：t＝2（取正值）， ∴BC＝2， ∴图2中的抛物线经过点（2，6）， 由图象知，图2中的抛物线顶点为（4，2）， ∴设抛物线解析式为：S＝a（t﹣4）2+2， 将（2，6）代入，得：6＝a（2﹣4）2+2， 解得：a＝1， ∴S＝（t﹣4）2+2， 当S＝18时，18＝（t﹣4）2+2， 解得t＝8或t＝0（舍去）， ∴AB＝t﹣2＝8﹣2＝6， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC4． 故选：D． 十三．二次函数的应用_其他问题（共2小题） 18．心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　） A．8min B．13min C．20min D．25min 【解答】解：由题意得：函数过点（0，43）、（20，55）、（30，31）， 把以上三点坐标代入s＝at2+bt+c得： ，解得：， 则函数的表达式为：st2t+43， ∵a，则函数有最大值， 当t13时，s有最大值，即学生接受能力最强， 因此B正确； 备注：本题为选择题，为此可用函数的对称性来解答，从图象看，函数的对称轴大概是在10到15之间的，所以答案是B，这样判断较为简便，可参考． 故选：B． 19．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在一定条件下，可食用率P与加工时间t（分钟）满足的函数关系式为：p＝at2+bt+c（a≠0），如图记录了三次相同条件下实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　） A．3.5分钟 B．3.75分钟 C．4分钟 D．4.25分钟 【解答】解：由题意知，函数p＝at2+bt+c经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）， 则， 解得， ∴p＝at2+bt+c＝﹣0.2t2+1.5t﹣2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.8125， ∴最佳加工时间为3.75分钟， 故选：B． 十四．线段垂直平分线的性质（共1小题） 20．如图，在△ABC中，∠A＝72°，点D为BC的中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E，连接CE，CF平分∠ACE，交DE的延长线于点F，则∠F的度数为（　　） A．31° B．54° C．41° D．36° 【解答】解：由条件可知∠B+∠ACB＝108°， ∵点D为BC的中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E， ∴DE垂直平分BC， ∴BE＝CE，∠FDC＝90°， ∴∠B＝∠BCE， 由条件可知， ∵∠ACB＝∠ACE+∠BCE， ∴∠B+∠ACB＝∠B+∠ACE+∠BCE＝2（∠BCE+∠ECF）＝108°， ∴∠BCE+∠ECF＝54°，即：∠DCF＝54°， ∴∠F＝90°﹣54°＝36°； 故选：D． 十五．平行四边形的性质（共1小题） 21．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（　　） A．1 B． C．2 D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴BO＝DO， ∵AB＝8，点P是AB的中点， ∴BP＝APAB＝4， ∵点O是DB的中点，点E是DP的中点， ∴OEBP＝2， 故选：C． 十六．菱形的性质（共1小题） 22．如图，在菱形ABCD中，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径都相等）相交于M，N两点，直线MN与边AB相交于点E，连接CE，DE．若AB＝2，DE⊥DC，则线段CE的长为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：由题意得ME是AD的垂直平分线， ∴AE＝DE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝AD＝AB＝2，DC∥AB， ∵DE⊥DC， ∴ED⊥AB， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴EDAD， ∴CE． 故选：B． 十七．正方形的性质（共1小题） 23．正方形ABCD，AB＝4cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发，以的速度沿OC、边CB向终点B运动；动点Q从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．当t＝1s时，点P，Q的位置如图所示．有下列结论：①当t＝3s时，△CPQ的面积为；②在运动过程中，△CPQ的面积随t值的增大而增大；③在运动过程中，t有两个不同的值满足△CPQ的面积为，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①动点P从点O出发，以的速度沿OC、边CB向终点B运动；动点Q从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． 由题意可得：； 当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示： 此时，CQ＝3cm， ∴，故此序号正确； ②由题意知，t＝4s时，点Q到达终点D，此时点P在CB上距离C处，并停止运动； ∴两动点的运动时间为0＜t≤4s； 当0＜t≤2s时，点P，Q的位置如图所示： 此时，，CQ＝tcm， 过点P作PE⊥CD交CD于点E，则有△PEC为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当1＜t≤2时，△CPQ的面积随t值的增大而减小；故此序号错误； ③由②知，当0＜t≤2s时，令， 解得：； 当2＜t≤4时，点P，Q的位置如图所示： 此时，CQ＝tcm， ∴， 令， 化简得：， 解得：（负值舍去）； 综上，t有三个不同的值满足△CPQ的面积为；故此序号错误． 故选：B． 十八．圆周角定理（共1小题） 24．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，，BC＝2，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于点F，连接BE、EC， ∵∠AOD＝∠BOE， ∴， ∴， ∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE， ∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB， ∴， ∴∠EBF＝45°， ∴△EBF是等腰直角三角形， ∴EF＝BF＝2， ∴CF＝4， ∴， ∵△OCE是等腰直角三角形， ∴OC． 故选：C． 十九．切线的性质（共1小题） 25．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线ybx与x轴的一个交点为A（﹣8，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连接OD，则OD的最大值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，取点H（8，0），连结PH， ∵抛物线与x轴的一个交点为A（﹣8，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线过原点与点A（﹣8，0）， ∴对称轴为， 当x＝﹣4时，． ∴顶点C（﹣4，5）， ∵⊙C与y轴相切， ∴⊙C的半径为4， ∵点D为PA的中点， ∴， ∴PH最大时，OD有最大值， ∴当PH过点C时，PH有最大值， ∴PH的最大值为， ∴OD的最大值为， 故选：B． 二十．弧长的计算（共1小题） 26．如图，长沙市某处A位于北纬28°（即∠AOC＝28°），东经113°，南沙群岛某处B位于北纬10°（即∠BOC＝10°），东经113°．设地球的半径为R千米，则在东经113°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　）千米． A． B． C． D． 【解答】解：∵∠AOC＝28°，∠BOC＝10°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝28°﹣10°＝18°， ∴点A和点B之间的劣弧长约为πR（千米）． 故选：A． 二十一．作图—复杂作图（共1小题） 27．对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接OP，作OP的垂直平分线交OP于点G，以点G为圆心，OG长为半径画弧交⊙O于M，作直线PM，直线PM即为所求． 乙的作法连接PO并延长，交⊙O于B，C两点，分别，以P，O为圆心，PO，BC长为半径作弧，两弧交于点D，连接OD，交⊙O于点M，作直线PM．直线PM即为所求． 下列说法正确的是（　　） A．乙的作法正确，甲的作法错误 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲和乙的作法都正确 【解答】解：对于甲的作法： 连接OM， 由题意知AB垂直平分OP， ∴GP＝OG， ∴点M为以OP为直径的圆与⊙O的交点， ∴∠PMO＝90°， ∴OM⊥PM， ∴PM为⊙O的切线，故甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得PD＝PO，OD＝BC， ∵， ∴DM＝OM， ∴PM⊥OD， ∴PM为⊙O的切线，故乙的作法正确； 故选：D． 二十二．推理与论证（共1小题） 28．A、B、C、D四个孩子踢球时打碎了玻璃窗，A说：“是C或D打碎的．”B说：“是D打碎的．”C说：“我没有打破玻璃窗．”D说：“不是我打破的”他们中只有一个人说了谎话，请问打碎玻璃窗的是（　　） A．A B．B C．C D．D 【解答】解：假设A说的是实话，“是C或D打碎的”，则C、D中有一个说了实话，一个说了谎话，所以B说的就是实话，打碎玻璃的是D，C说的也是实话，与他们中只有一个人说了谎话符合； 假设B说的是实话，则D说的也就是谎话，A、C说的也是实话，所以打碎玻璃的是D，与他们中只有一个人说了谎话符合； 假设C说的是实话，则A、B、D中有一人撒谎，若D说的是实话，则A、B两人都撒谎，所以不符合只有一人说谎，所以D说谎，故打碎玻璃的是D； 假设D说的是实话，则B说谎，所以C也说了实话，所以打碎玻璃的应是A或B，所以A也说谎，与只有一个人说了谎话矛盾，所以D说谎故都是玻璃的是D． 故选：D． 二十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 29．如图，在正方形ABCD中，M为BC中点，连接DM，将△CDM沿DM所在的直线翻折到正方形ABCD所在的平面内得△C′DM，连接AC′、BC′，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点D作DH⊥AC'于点H，过点B作BN⊥AC'，交AC'的延长线于点N，如图所示： ∴∠N＝∠DHA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠C＝∠CDA＝∠DAB＝90°， 设∠CDN＝α， 在Rt△CDM中，∠CMD＝90°﹣∠CDN＝90°﹣α， 由翻折性质得：CM＝C'M，CD＝C'D，∠C'DM＝∠CDN＝α，∠C'MD＝∠CMD＝90°﹣α， ∴∠C'DC＝∠C'DM+∠CDN＝2α，∠C'MC＝∠C'MD＝∠CMD＝180°﹣2α， ∴∠C'MB＝180°﹣∠C'MC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α，∠C'DA＝∠CDA﹣∠C'DC＝90°﹣2α， ∵点M是BC的中点， ∴BM＝CM， ∴C'M＝BM， 在△C'BM中，∠C'BM＝∠BC'M（180°﹣∠C'MB）（180°﹣2α）＝90°﹣α， ∴∠C'BA＝∠ABC﹣∠C'BM＝90°﹣（90°﹣α）＝α， 在△C'AD中，C'D＝AD，DH⊥AC'于点H， AH＝C'HAC'，∠ADH＝∠C'DH＝1/2∠C'DA＝45°﹣α， 在Rt△ADH中，∠ADH+∠HAD＝90°， 又∵C'AB+∠HAD＝∠DAB＝90°， ∴∠C'AB＝∠ADH＝45°﹣α， ∴∠C'AB+∠C'BA＝45°﹣α+α＝45°， ∵∠BC'N是△C'AB的外角， ∴∠BC'N＝∠C'AB+∠C'BA＝45°， 又∵BN⊥AC'，交AC'的延长线于点N， ∴△C'BN是等腰直角三角形， ∴设BN＝C'N＝a， 由勾股定理得：BC'√， 在△BAN和△ADH中， ， ∴△BAN≌△ADH（AAS）， ∴BN＝AH＝a， ∴AC'＝2AH＝2a， ∴． 故选：D． 二十四．旋转的性质（共1小题） 30．如图，边长为10的等边△ABC绕它的中心O顺时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△DEF，DF分别与AB，AC交于点M，N．给出下面三个结论： ①AM的长随α的增大而增大； ②AM的取值范围是0＜AM＜5； ③当α＝30°时，AM＝2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：如图，连接OA，OC，过点O作OP⊥AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝10，∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵点O是△ABC的中心， ∴OA＝OC，∠CAO＝∠BAO＝∠ACO＝∠BCO＝30°，BP＝AP＝5，∠OPA＝90°， ∴∠POA＝60°，∠COA＝180°﹣60°＝120°，OA＝2OP，OP2+PA2＝OA2， ∴，， 如图，连接OF，过点O作OQ⊥DF， ∴∠FQO＝90°， 根据旋转可得OC＝OF，△DEF是等边三角形，△DEF≌△ABC， ∴， ∵OC＝OA， ∴OF＝OA， ∵FQ＝AP，OA＝OF，∠OQF＝∠OPA＝90°， ∴△OPA≌△OQF（HL）， ∴OP＝OQ，∠FOQ＝∠POA＝60°， 连接OM， ∵OM＝OM，OP＝OQ，∠OQM＝∠OPM＝90°， ∴△OPM≌△OQM（HL）， ∴， 当α增大时，∠FOA逐渐减小， 此时∠POQ＝∠POA+∠QOA＝∠FOQ+∠QOA＝∠FOA， ∴∠POQ在逐渐变小 ∴∠POM在逐渐变小， ∵OP是定值， ∴PM逐渐减小， ∵AM＝AP﹣PM＝5﹣PM， ∴AM逐渐增大，故①正确； 当旋转到120°时，∠COF＝∠COA＝120°， 即点F与点A重合，点M与点P重合， 此时， ∴0＜AM＜5，②正确； 当α＝30°时，∠COF＝α＝30°， ∴∠FOA＝∠COA﹣∠COF＝120°﹣30°＝90°， ∴∠POQ＝90°， ∴， ∴△POM为等腰直角三角形， ∴， ∴，③错误， 故选：A． 二十五．旋转的性质（共1小题） 31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，则BB'的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'， ∴∠BAB′＝90°，AB′＝AB＝5， ∴BB′5， 故选：B． 二十六．相似三角形的应用（共1小题） 32．汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度AB＝1.5米，车前盖最高处与地面距离CD＝1米，驾驶员与车头水平距离BE＝2米，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5米，点M在EF上，ME＝0.8米．则MF的长是（　　） A．1.7米 B．2.2米 C．2.5米 D．3米 【解答】解：由题意得：AB⊥BF，CD⊥BF， ∴∠ABF＝∠CDF＝90°， ∵∠F＝∠F， ∴△CFD∽△AFB， ∴， ∴， 解得：MF＝1.7， 故选：A． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $