2026-2027年九年级上数学期中测试选择压轴题汇编（Word版）-2026-2027年初中数学上册期中测试压轴题汇编（北师大版）

【北师大版】2026-2027年9年级上数学期中测试选择压轴题汇编（3-1） 参考答案与试题解析 一．整式的混合运算（共1小题） 1．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+2＝b9 B．a+2＝9b C．2a﹣9＝b D．2a＝9b 【解答】解：∵， ∴32×3a＝39b， ∴a+2＝9b， 故选：B． 二．根的判别式（共1小题） 2．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0两个不相等的实数根；其中正确的是（　　） A．②③④ B．①③④ C．②③ D．①② 【解答】解：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，当c≠0时，ac+b+1＝0，所以①错误； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则Δ＝﹣4ac＞0， 因为方程ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， 所以方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，所以②正确； ③若a﹣b+c＝0时，则b＝a+c，则Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2， ， 解得，x2＝﹣1，所以③正确； ④若b＝2a+3c，则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4a2+8ac+9c2＝4（a+c）2+5c2＞0，所以一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：A． 三．一元二次方程的应用（共1小题） 3．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是（x+x+5）2的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52＝81，因此x＝2．则在下列四个构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：方程x2﹣3x﹣10＝0，即x（x﹣3）＝10的拼图如图所示： 中间小正方形的边长x﹣（x﹣3）＝3，其面积为9， 大正方形的面积：（x+x﹣3）2＝4x（x﹣3）+9＝4×10+9＝49，其边长为7， 因此，C选项所表示的图形符合题意． 故选：C． 四．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 4．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线yx+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N， ∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°， ∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM＝∠PQ′N 在△PQM和△Q′PN中， ∴△PQM≌△Q′PN（AAS）， ∴PN＝QM，Q′N＝PM， 设Q（m，）， ∴PM＝|m﹣1|，QM＝|m+2|， ∴ON＝|3m|， ∴Q′（3m，1﹣m）， ∴OQ′2＝（3m）2+（1﹣m）2m2﹣5m+10（m﹣2）2+5， 当m＝2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 五．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）形状如图，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：由抛物线开口向上，可知a＞0，对称轴偏在y轴的右侧，a、b异号，b＜0，因此①不符合题意； 由对称轴为x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（3，0），可知与x轴另一个交点为（﹣1，0），代入得a﹣b+c＝0，因此②符合题意； 由图象可知，当x＜﹣1或x＞3时，图象位于x轴的上方，即y＞0．因此③符合题意； 抛物线与y＝﹣1一定有两个交点，即一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，因此④符合题意； 综上，正确的有3个， 故选：B． 六．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 6．抛物线y＝x2+2x﹣3上有三个点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3），则y1、y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 【解答】解：y＝x2+2x﹣3的对称轴为x＝﹣1， （﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）三点到对称轴的距离分别为3，1，2， ∴y1＞y3＞y2， 故选：C． 七．抛物线与x轴的交点（共1小题） 7．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的局部对应值如表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 以下结论： ①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； ③当x＝2时，y＝5； ④3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由表格可得x＝﹣1，0，1时，y＝﹣1，3，5， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+3x+3， ∴ac＝﹣3＜0． 故①正确； ∵当x＝0和x＝3时，对应的y的值相等， ∴抛物线对称轴为直线x，抛物线开口向下， ∴当1＜x时，y随x增大而增大． 故②不正确； ③当x＝2时，y＝﹣22+3×2+3＝5． 故③正确； ∵， 由ax2+（b﹣1）x+c＝0可得﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 故④正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 八．菱形的性质（共2小题） 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝5，则菱形ABCD的面积为（　　） A．40 B．80 C．160 D． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD， ∴AC＝2OA＝2×8＝16， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∵OH＝5， ∴BD＝2OH＝2×5＝10， ∴，菱形ABCD的面积为80， 故选：B． 9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE＝3，OB＝4，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝4， ∴OA＝OC，BD＝2OB＝8，AC⊥BD， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴AC＝2OE＝2×3＝6， ∴OA＝3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB5， ∵S菱形ABCD＝AB•CEAC•BD6×8＝24， ∴5CE＝24， ∴CE， 故选：C． 九．矩形的性质（共3小题） 10．已知，O是矩形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，AE∥BD，AE，DE相交于点E，连结BE．下列说法正确的是（　　） ①四边形DEAO为菱形；②AE＝AB；③∠BAE＝120°；④若∠BED＝90°，则AD＝BE． A．①③ B．①②④ C．①④ D．③④ 【解答】解：①∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形DEAO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴四边形DEAO为菱形；故①正确； ②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误； ③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误； ④如图，设AC与BE交于点F， ∵∠BED＝90°， ∴DE⊥BE， ∵DE∥AC， ∴AC⊥BE， ∵O是矩形ABCD对角线BD的中点， ∴F是BE的中点， ∴AF是BE的垂直平分线， ∴AB＝AE， ∵四边形DEAO为菱形， ∴DE＝AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠BCD＝90°，AD＝BC， ∴DE＝DC， 在Rt△BDE和Rt△BDC中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL）， ∴BE＝BC， ∴AD＝BE． ∴说法正确的是①④． 故选：C． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．则PE+PF的值为（　　） A． B． C． D．不是定值 【解答】解：如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵AB＝3，AD＝4， ∴， ∵， ∴， ∴AG， 在矩形ABCD中，OA＝OD， ∵△AOP的面积+△DOP的面积＝△AOD的面积， ∴OA•PEOD•PFOD•AG， ∴． 故选：A． 12．如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　） A．（2，0） B．（ 21，0） C．（ 21，0） D．（2，0） 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC＝2， 由题意可知：AM＝AC＝2， ∵OA＝|﹣1|＝1， ∴OM＝AM﹣OA＝21， ∴点M的坐标为（21，0）， 故选：C． 十．矩形的判定（共1小题） 13．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠BAD＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．AC⊥BD 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°， ∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD为菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 十一．正方形的性质（共6小题） 14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（　　） A．2.4 B．3.4 C． D． 【解答】解：如图，在EF上截取EG＝EC，连接DG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4， 在△DCE和△DGE中， ， ∴△DCE≌△DGE（SAS）， ∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC， ∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4， ∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA， 在Rt△DAF和Rt△DGF中， ， ∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL）， ∴AF＝GF＝1， ∵EG＝EC， ∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3， 在Rt△BEF中，根据勾股定理，得 BE2+BF2＝EF2， ∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2， 解得EG＝2.4， ∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4． ∴EF的长为3.4． 故选：B． 15．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的边AB，BC于点M，N．记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形ABCD的边长AB＝8，S1＝10，则S2的大小为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的边AB，BC于点M，N． ∴AD＝AB＝CB＝8，∠ABC＝∠BAD＝90°，BD⊥AC，OA＝OC， ∴，∠ADO＝∠MBO＝∠NCO＝∠BAO＝45°，∠BOC＝90°，， ∴， ∵四边形OEGF是正方形， ∴∠MON＝90°， ∴∠BOM＝∠CON＝90°﹣∠BON， 在△BOM和△CON中， ， ∴△BOM≌△CON（ASA）， ∴S△BOM＝S△CON， ∴S1+S2＝S△AOM+S△CON＝S△AOM+S△BOM＝S△AOB＝16， ∴S2＝16﹣S1＝16﹣10＝6， 故选：B． 16．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA′等于（　　） A． B．cm C．cm或cm D．cm 【解答】解：将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，如图，设A′B′与AC交于点H，CD与A′C′交于点G， ∴∠DAC＝45°，AB⊥AD，AB∥CD， 由平移的性质得：AA′∥CC′，AA′＝CC′， ∴四边形ACC′A′为平行四边形， ∴AC∥A′C′， ∵A′B′∥CD， ∴四边形A′HCG为平行四边形， ∵∠DAC＝45°，∠AA′B′＝∠DA′B′＝90°， ∴△AA′H为等腰直角三角形， ∴AA′＝A′H， 设AA′＝x，则A′D＝2﹣x，A′H＝x， 由题意，得：x（2﹣x）＝0.5， 解得：， ∴； 故选D． 17．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【解答】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ②∵矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ③根据②得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； ④当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③正确． 故选：B． 18．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　） A．1 B． C．2 D．2 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°， ∴∠DON+∠CON＝90°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∴∠DON+∠DOM＝90°， ∴∠DOM＝∠CON， 在△DOM和△CON中， ， ∴△DOM≌△CON（ASA）， ∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积， ∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积， ∴△DOC的面积是1， ∴正方形ABCD的面积是4， ∴AB2＝4， ∴AB＝2， 故选：C． 19．如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点B的坐标为（0，1），正方形ABCD的面积为5，则点C的坐标是（　　） A．（1，5） B． C．（1，3） D．（3，1） 【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示： ∴∠BEC＝∠O＝90°， ∵点B的坐标为（0，1）， ∴OB＝1， ∵正方形ABCD的面积为5， ∴BC＝AB＝√5，∠ABC＝90°， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA2， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， 又∵∠OBA+∠EBC＝180°﹣∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝∠OAB， 在△EBC和△OAB中， ， ∴△EBC≌△OAB（AAS）， ∴EB＝OA＝2，CE＝OB＝1， ∴OE＝OB+EB＝1+2＝3， ∴点C的坐标为（1，3）， 故选：C． 十二．正方形的性质（共1小题） 20．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论： ①AE＝BF； ②AE⊥BF； ③AO＝OE； ④∠AED＝∠FBC中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD＝AB，∠BAF＝∠ADE＝90°， ∵CE＝DF， ∴DE＝AF， 在△ADE和△BAF中， ， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴AE＝BF（故①正确）；∠AED＝∠FBC（故④正确）； ∵∠ABF+∠AFB＝∠DAE+∠DEA＝90°， ∴∠AFB+∠EAF＝90°， ∴AE⊥BF一定成立（故②正确）； 假设AO＝OE， ∵AE⊥BF， ∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 在Rt△BCE中，BE＞BC， ∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾， ∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）； ∵AE⊥BF， 在Rt△ABO中，AO2+BO2＝AB2， 在Rt△AOF中，AO2+OF2＝AF2， ∴2AO2+BO2+OF2＝AB2+AF2＝BF2， ∴2AO2＝BF2﹣BO2﹣OF， ∴2AO2＝（BO+FO）2﹣BO2﹣FO2， ∴2AO2＝2BO×FO， ∴AO2＝BO×FO，故④正确 故选：C． 十三．作图—基本作图（共1小题） 21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，连接CD；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，若，则线段AB的长为（　　） A．4 B．8 C． D．12 【解答】解：由作图可知，CF⊥BD， ∴∠BFC＝90°， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， 在Rt△BCF中，， ∴BC＝4， 在Rt△ABC中，， ∴AB＝8， 故选：B． 十四．轴对称-最短路线问题（共1小题） 22．如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（　　） A．3 B．5 C．2 D． 【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC于点P，此时PD+PE有最小值为DE'， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0）， ∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴DE'＝OC＝3， 即PD+PE的最小值是3， 故选：A． 十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 23．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接GE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝∠DAB＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2， ∵点E是BC边的中点， ∴BE＝CE＝1， ∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE， ∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2， ∴∠GFE＝∠GBE＝90°， ∵GE＝GE， ∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）， ∴GF＝GB， 设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，DG＝2+x， 根据勾股定理可得AG2+AD2＝DG2， 即（2﹣x）2+22＝（2+x）2， 解得， ∴，， ∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H， ∴点H到AD，AG，GD的距离相等， ∴， 故选：A． 十六．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 24．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AD＝8，AE＝4，AB＝6，则△EBF周长的大小为（　　） A．8 B．10 C．12 D．6 【解答】解：设AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝8﹣a， 在Rt△AEH中，∠EAH＝90°，AE＝4，AH＝a，EH＝DH＝8﹣a， ∴EH2＝AE2+AH2，即（8﹣a）2＝42+a2， 解得：a＝3． ∵∠BFE+∠BEF＝90°，∠BEF+∠AEH＝90°， ∴∠BFE＝∠AEH． 又∵∠EAH＝∠FBE＝90°， ∴△EBF∽△HAE， ∴． ∵C△HAE＝AE+EH+AH＝AE+AD＝12， ∴C△EBFC△HAE＝8． 故选：A． 十七．旋转的性质（共1小题） 25．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A'B'C'D'．若边A'B交线段CD于H，且BH＝DH，则DH的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设DH＝BH＝x， ∵AB＝8，AD＝6，四边形ABCD是矩形， ∴CH＝8﹣x，BC＝AD＝6， 在Rt△BCH中，CH2+BC2＝BH2， ∴x2＝（8﹣x）2+36， ∴x， 即DH． 故选：C． 十八．相似三角形的判定（共2小题） 26．如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝135°，AB＝2，， 在A、C、D三个选项中，都没有135°的角， 选项B中，两边为1和， ∵， ∴B选项中的三角形与△ABC相似； 故选：B． 27．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD•AB；③；④∠ACB＝∠ADC．其中一定使△ABC∽△ACD的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB， ∴当∠ACD＝∠B或∠ACB＝∠ADC，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确； 当AC2＝AD•AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当时，虽∠DAC＝∠CAB但不是其对应的夹角，所以两个三角形不相似，故③不正确． 因此有3个正确． 故选：C． 十九．相似三角形的判定与性质（共3小题） 28．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB、BC上的动点，且BD＝2CE．以DE为边作等边△DEF，使点A与点F在直线DE同侧，DF交AC于点G，EF交AC于点H．给出下面四个结论： ①∠BED＝∠AHF； ②AD•DF＝BE•DG； ③若ED⊥AB，则DF⊥AC； ④若CE：BE＝1：2，则四边形DBEF是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【解答】解：∵△ABC，△DEF都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DEF＝60°， ∵∠BEF＝∠BED+∠DEF＝∠ACB+∠CHE， ∴∠BED＝∠CHE， ∵∠AHF＝∠CHE， ∴∠BED＝∠AHF，故①正确； ∵∠B＝∠BAC＝∠EDF＝60°， ∴∠BDE+∠BED＝120°，∠BDE+∠ADG＝120°， ∴∠BED＝∠ADG， ∴△EDB∽△DGA， ∴，即AD•DE＝BE•DG， ∵DE＝DF， ∴AD•DF＝BE•DG；故②正确； ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝60°， ∵ED⊥AB， ∴∠ADE＝90°， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝60°， ∴∠ADG＝30°， ∴∠ADE＝90°， ∴∠AGD＝90°，即DF⊥AC，故③正确； ∵CE：BE＝1：2， ∴BE＝2CE， ∵BD＝2CE， ∴BD＝BE， ∵∠B＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BE＝BD＝DE＝EF＝DF， ∴四边形DBEF是菱形，故④正确． 故选：D． 29．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O．点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，若OF，则正方形的边长为（　　） A．7 B．7 C．6 D．8 【解答】解：如图，过点E作EG⊥BD于点G， ∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O， ∴AC⊥BD，∠BDC＝45°， ∴∠BOF＝∠BGE， ∵∠OBF＝∠GBE， ∴△BOF∽△BGE， ∴， ∵DE：EC＝1：3， 设DE＝x，则EC＝3x， ∴DC＝BC＝4x， ∴BD＝4x，DG＝GEx， ∴BG＝BD﹣DG＝4xxx， ∴OB＝OD＝2x， ∴， 解得4x＝7， ∴BC＝4x＝7， ∴正方形的边长为7． 故选：A． 30．如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC于点F，若BF＝1，，则AE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：在矩形ABCD中，BE⊥AC于点F，若BF＝1，， ∵BE⊥AC于点F， ∴，∠BCF+∠CBF＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝90°，AD∥BC， ∴∠BCF＝∠ABF， ∵∠BFC＝∠AFB＝90°， ∴△ABF～△BCF， ∴， ∴BF2＝AF•CF，即， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF， ∴△AEF～△CBF， ∴， ∴． 故选：B． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【北师大版】2026-2027年9年级上数学期中测试选择压轴题汇编（3-1） 一．整式的混合运算（共1小题） 1．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+2＝b9 B．a+2＝9b C．2a﹣9＝b D．2a＝9b 二．根的判别式（共1小题） 2．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0两个不相等的实数根；其中正确的是（　　） A．②③④ B．①③④ C．②③ D．①② 三．一元二次方程的应用（共1小题） 3．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是（x+x+5）2的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52＝81，因此x＝2．则在下列四个构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 四．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 4．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线yx+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（　　） A． B． C． D． 五．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）形状如图，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 六．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 6．抛物线y＝x2+2x﹣3上有三个点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3），则y1、y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 七．抛物线与x轴的交点（共1小题） 7．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的局部对应值如表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 以下结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③当x＝2时，y＝5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 八．菱形的性质（共2小题） 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝5，则菱形ABCD的面积为（　　） A．40 B．80 C．160 D． 9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE＝3，OB＝4，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 九．矩形的性质（共3小题） 10．已知，O是矩形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，AE∥BD，AE，DE相交于点E，连结BE．下列说法正确的是（　　） ①四边形DEAO为菱形；②AE＝AB；③∠BAE＝120°；④若∠BED＝90°，则AD＝BE． A．①③ B．①②④ C．①④ D．③④ 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．则PE+PF的值为（　　） A． B． C． D．不是定值 12．如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　） A．（2，0） B．（ 21，0） C．（ 21，0） D．（2，0） 十．矩形的判定（共1小题） 13．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠BAD＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．AC⊥BD 十一．正方形的性质（共6小题） 14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（　　） A．2.4 B．3.4 C． D． 15．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的边AB，BC于点M，N．记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形ABCD的边长AB＝8，S1＝10，则S2的大小为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 16．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA′等于（　　） A． B．cm C．cm或cm D．cm 17．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 18．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　） A．1 B． C．2 D．2 19．如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点B的坐标为（0，1），正方形ABCD的面积为5，则点C的坐标是（　　） A．（1，5） B． C．（1，3） D．（3，1） 十二．正方形的性质（共1小题） 20．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论： ①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④∠AED＝∠FBC中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 十三．作图—基本作图（共1小题） 21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，连接CD；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，若，则线段AB的长为（　　） A．4 B．8 C． D．12 十四．轴对称-最短路线问题（共1小题） 22．如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（　　） A．3 B．5 C．2 D． 十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 23．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（　　） A． B． C． D． 十六．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 24．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AD＝8，AE＝4，AB＝6，则△EBF周长的大小为（　　） A．8 B．10 C．12 D．6 十七．旋转的性质（共1小题） 25．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A'B'C'D'．若边A'B交线段CD于H，且BH＝DH，则DH的值是（　　） A． B． C． D． 十八．相似三角形的判定（共2小题） 26．如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 27．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD•AB；③；④∠ACB＝∠ADC．其中一定使△ABC∽△ACD的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 十九．相似三角形的判定与性质（共3小题） 28．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB、BC上的动点，且BD＝2CE．以DE为边作等边△DEF，使点A与点F在直线DE同侧，DF交AC于点G，EF交AC于点H．给出下面四个结论：①∠BED＝∠AHF；②AD•DF＝BE•DG；③若ED⊥AB，则DF⊥AC；④若CE：BE＝1：2，则四边形DBEF是菱形．上述结论中．所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 29．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O．点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，若OF，则正方形的边长为（　　） A．7 B．7 C．6 D．8 30．如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC于点F，若BF＝1，，则AE的长为（　　） A．1 B． C． D． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $