2026-2027年九年级数学上学期期中填空压轴题汇编（Word版）-2026-2027年初中数学上册期中测试压轴题汇编（人教版）

【人教版】2026-2027年9年级数学上学期期中填空压轴题汇编（3-2） 一．有理数的混合运算（共1小题） 1．某生态农场有三项任务需要完成，如表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 1.5 2 3 B．智能系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 0.8 3 2 不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人_______ （填“能”或“不能”）在5.2小时内完成全部三项任务； （2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为_____ 小时． 二．因式分解的应用（共1小题） 2．已知一个三位数正整数N的各数位上的数字互不相等且均不为0，若其十位数字与个位数字之和等于百位上的数字，则称数N为“博专数”．例如：数523，∵2+3＝5，∴523是“博专数”，数123，∵2+3≠1，∴123不是“博专数”，则最小的“博专数”为________ ；若将“博专数”的百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为N′，记，当P（N）被7除余2时，记，则当G（N）取得最大值时，“博专数”N为________ ． 三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 3．解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程3（x﹣1）2＝2x﹣2时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为3（x﹣1）2＝2（x﹣1）； 第二步：直接将方程两边同时除以（x﹣1），得到3（x﹣1）＝2； 第三步：去括号，得到3x﹣3＝2； 第四步：移项，得到3x＝5； 第五步：系数化为1，解得x． 请你判断上述推理过程中，第_____ 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 四．一元二次方程的应用（共1小题） 4．对任意实数x，可用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]＝1，[2]＝2，[﹣0.6]＝﹣1．称函数y＝ax2+b[x]+c（b≠0）为“涟漪函数”． （1）当a＝c＝0时，若y＝b，则x的取值范围是__________ ； （2）当，b＝﹣1，c＝1时，“涟漪函数”与x轴共有_____ 个公共点． 五．一元二次方程的应用（共1小题） 5．☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+mx＝36时，若构造后的图形满足AD＝2BD，则m的值为________________ ． 六．函数关系式（共1小题） 6．下表是8个面积相等的矩形的长与宽． 长y/cm 1 2 3 4 5 宽x/cm 2 1 设∠A为这8个矩形的公共角，画出这8个矩形，然后取∠A的8个对角的顶点，并把这8个点用平滑的曲线顺次连接起来．设矩形的长为y（单位：cm），宽为x（单位：cm），则这条曲线对应的函数表达式为____________________ ．（不用写自变量的取值范围） 七．反比例函数图象上点的坐标特征 八．二次函数的性质（共1小题） 7．已知二次函数y＝x2﹣x﹣1，其中m≤x≤m+2（m为常数）． （Ⅰ）当m＝0时，y的取值范围是 ____________________ ； （Ⅱ）若y≤5恒成立，则m的取值范围是 ___________ ． 九．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③4a﹣2b+c＞0； ④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值． 其中正确结论的序号是_______ ． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当时，y1＜y2；⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝﹣1．其中正确的结论有_________ ．（填序号） 十．抛物线与x轴的交点（共1小题） 10．如图，抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点D，E为抛物线对称轴上两点（点E在点D下方），且DE＝1．当AE+CD的值最小时，点E的坐标是 ____________________ ． 十一．抛物线与x轴的交点（共1小题） 11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0），点B（5，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ _____ ． 十二．二次函数与不等式（组）（共1小题） 12．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 __________ ． 十三．全等三角形的判定与性质（共1小题） 13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2． （Ⅰ）线段BC的长为 _______________ ； （Ⅱ）D为边BC的中点，过点B作BE⊥AD，与AD的延长线相交于点E，则线段CE的长为 ____________________ ． 十四．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 14．如图，点A，B的坐标分别为A（8，0），B（0，8），C为坐标平面内一点，，M为线段AC的中点． （1）若∠OBC＝45°，点M的坐标为__________ ； （2）连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为__________ ． 十五．菱形的性质（共1小题） 15．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2．将一块边长足够长的三角板的60°角顶点与点A重合，三角板的外侧边沿分别与BC，CD交于点E，F，则四边形AECF的面积是 _______________ ． 十六．正方形的性质（共2小题） 16．如图，点E在正方形ABCD的边BC上，连接DE、BD，延长CB到点F，使BF＝CE，过点E作EG⊥BD于点G，连接FG．若DE＝4，则FG的长为 ________________ ． 17．如图，正方形ABCD的边长为4，E为正方形内的一个动点，连接DE，AE，BE且满足BE⊥AE，线段DE的最小值为 __________________ ． 十七．圆周角定理（共2小题） 18．如图，⊙O的半径是5cm，C是⊙O的优弧ACB的中点，弦AB＝8cm，则AC的长为__________________ ，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y＝AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤8）秒的函数表达式为_____________ ． 19．如图，AB是⊙O的直径，点E是弦CD的中点，F在上，连接EF，若，∠CEF＝150°，EF＝6，则CD＝________________ ． 十八．圆内接四边形的性质（共1小题） 20．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，，∠D＝122°，则∠B的度数为 _________ ． 十九．作图—复杂作图（共2小题） 21．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段AC的长等于________________ ； （Ⅱ）以BC为直径作圆，在线段AC上有一点P，满足CP＝CB．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）____________________ ． 22．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （Ⅰ）线段AB的长为________________ ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O以及上的一点，P，使得∠PCB＝∠PAC，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）____________________ ． 二十．命题与定理（共1小题） 23．孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足a2＞b2，那么a＞b． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有a2＞b2；① 第二步：把①移项可得a2﹣b2＞0；② 第三步：把②因式分解可得（a+b）（a﹣b）＞0；③ 第四步：把③两边除以（a+b）可得a﹣b＞0；④ 第五步：把④移项可得a＞b．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 _____ 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 二十一．旋转的性质（共4小题） 24．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 __________________ ． 25．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB'C'，连接BB'，若AC′∥BB′，则∠CAB'的度数为 ________ ． 26．如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF＝AF；③∠CMD＝45°；④1．以上结论正确的是 ________ ．（填写序号） 27．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′． （1）线段AO′的长为_______ ； （2）四边形AOBO′的面积为____________________ ． 二十二．坐标与图形变化-旋转（共1小题） 28．如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝2，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为___________ ． 二十三．相似三角形的判定与性质（共1小题） 29．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，连接AC，∠ACD的平分线交AD于点E，过点D作DF⊥CE于点G，分别交AC、AB于点H、F，点P是线段GC上的任意一点，且PQ⊥AC于点Q，连接PH，则下列结论正确的有________ ．（填写序号） ①DH＝2DG； ②CP•CB＝CQ•DF； ③S△CDE：S△DAF＝3：1； ④PH+PQ的最小值是． 二十四．相似三角形的判定与性质（共1小题） 30．在▱ABCD中，DE⊥BC，垂足为E，将△CED绕点E逆时针旋转得到△FEG，点C的对应点F落在CD边上，点D的对应点G落在AB边上，DE与FG相交于点H．若DE＝2CE＝2，则CF＝____________________ ；__________________ ． 二十五．位似变换（共1小题） 31．在平面直角坐标系中，P，Q两点的坐标分别为（﹣5，﹣2），（﹣1，﹣3）．以原点O为位似中心，把线段PQ放大，得到线段P′Q′，点P的对应点P′的坐标是（15，6），则点Q′的坐标是__________ ． 二十六．倍数（共1小题） 32．已知正整数N，满足50＜N＜100，甲、乙、丙、丁四人进一步对这个数进行了猜测，甲说：“N是2的倍数”；乙说“N是3的倍数”；丙说“N是5的倍数”；丁说“N是7的倍数”．已知他们中有一人说错，那么满足条件的N的最大值为_______ ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【人教版】2026-2027年9年级数学上学期期中填空压轴题汇编（3-2） 参考答案与试题解析 一．有理数的混合运算（共1小题） 1．某生态农场有三项任务需要完成，如表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 1.5 2 3 B．智能系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 0.8 3 2 不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人　不能　 （填“能”或“不能”）在5.2小时内完成全部三项任务； （2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为　4　 小时． 【解答】解：（1）A任务每轮耗时1.5小时，需完成2轮，且3名工人刚好满足每轮需求， ∴A任务总耗时为1.5×2＝3小时， 完成A任务后切换到其他任务，有两次任务切换，每次准备时间0.2小时， ∴准备时间共0.2×2＝0.4小时， B任务每轮耗时2小时，需1轮，1名工人即可；C任务每轮耗时0.8小时，需3轮，每轮2名工人， ∴3名工人可同时进行B和C任务（1人做B，2人做C），C任务3轮共0.8×3＝2.4小时，B任务2小时，以耗时较长的C任务为准，B和C任务同时进行最短耗时2.4小时， 三项任务总耗时为3+0.2+2.4＝5.6小时， 5.6＞5.2， ∴3名工人不能在5.2小时内完成全部三项任务， 故答案为：不能； （2）增加2名工人后共5名工人， ∵更换工作会有额外时间， ∴尽量减少工作任务更换， 先安排三人作A任务两轮，共3小时，同时安排1人做任务B，两小时后更换工作至C，一轮，共需3小时，此时，A任务和B任务已经完成，C任务还有两轮，安排4人两轮任务同时进行，共需1小时， ∴总时间为：3+1＝4（小时）． 故答案为：4． 二．因式分解的应用（共1小题） 2．已知一个三位数正整数N的各数位上的数字互不相等且均不为0，若其十位数字与个位数字之和等于百位上的数字，则称数N为“博专数”．例如：数523，∵2+3＝5，∴523是“博专数”，数123，∵2+3≠1，∴123不是“博专数”，则最小的“博专数”为　312　 ；若将“博专数”的百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为N′，记，当P（N）被7除余2时，记，则当G（N）取得最大值时，“博专数”N为　981　 ． 【解答】解：（1）最小的百位数字需满足十位与个位数字之和等于它且互不相等、均不为0， 百位最小可能为3（1+2＝3），对应最小三位数为312（十位＜个位使数更小）， 故答案为：312； （2）设博专数 N＝100a+10b+c，由条件得b+c＝a（a，b，c互不相等且≠0）， 新数N′＝100c+10b+a，则， 由P（N）被7除余2，得9（a﹣c）＝7k+2（k为正整数）， 化简得a﹣c＝8（因a≤9，c≥1，仅a＝9，c＝1满足）， 此时b＝a﹣c＝8，数字9，8，1互不相等，符合条件， 为最大值． 故答案为：981． 三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 3．解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程3（x﹣1）2＝2x﹣2时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为3（x﹣1）2＝2（x﹣1）； 第二步：直接将方程两边同时除以（x﹣1），得到3（x﹣1）＝2； 第三步：去括号，得到3x﹣3＝2； 第四步：移项，得到3x＝5； 第五步：系数化为1，解得x． 请你判断上述推理过程中，第　二　 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【解答】解：3（x﹣1）2＝2（x﹣1）， 3（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）[3（x﹣1）﹣2]＝0， x﹣1＝0或3（x﹣1）﹣2＝0， 解得x1＝1，x2， 第二步直接除以（x﹣1）时，未考虑x﹣1＝0的情况，导致丢失根x＝1，违背了方程变形的基本法则，即第二步是错误的，它违背了数学的基本法则． 故答案为：二 四．一元二次方程的应用（共1小题） 4．对任意实数x，可用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]＝1，[2]＝2，[﹣0.6]＝﹣1．称函数y＝ax2+b[x]+c（b≠0）为“涟漪函数”． （1）当a＝c＝0时，若y＝b，则x的取值范围是　1≤x＜2　 ； （2）当，b＝﹣1，c＝1时，“涟漪函数”与x轴共有　1　 个公共点． 【解答】解：（1）当a＝c＝0时，函数为y＝b[x]， ∵y＝b， ∴b＝b[x]， ∵b≠0， ∴[x]＝1． 根据取整函数定义，[x]＝1表示不超过x的最大整数为1， 因此x的取值范围是1≤x＜2， 故答案为：1≤x＜2． （2）当，b＝﹣1，c＝1时，函数为， 令y＝0，得． 设[x]＝n，则n为整数，且n≤x＜n+1． 则方程化为，即x2＝4（n﹣1）， 由于x2≥0，故4（n﹣1）≥0，即n≥1． 那么，解得， ∴， 解不等式，即n2﹣4n+4≤0，故n＝2． 此时，满足2≤2＜3．因此函数与x轴有一个公共点（2，0）． 故答案为：1． 五．一元二次方程的应用（共1小题） 5．☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+mx＝36时，若构造后的图形满足AD＝2BD，则m的值为　　 ． 【解答】解：根据题意，构造图形如图所示： 则AC＝6，， ∵AD＝2BD， ∴AD＝m， 即m就是x2+mx＝36的一个正根， ∴m2+m2＝36 解得 （负值已舍）． 故答案为：． 六．函数关系式（共1小题） 6．下表是8个面积相等的矩形的长与宽． 长y/cm 1 2 3 4 5 宽x/cm 2 1 设∠A为这8个矩形的公共角，画出这8个矩形，然后取∠A的8个对角的顶点，并把这8个点用平滑的曲线顺次连接起来．设矩形的长为y（单位：cm），宽为x（单位：cm），则这条曲线对应的函数表达式为　　 ．（不用写自变量的取值范围） 【解答】解：∵8个矩形的面积相等， ∵表格x＝2，y＝5， ∴面积是10， ∴根据面积10＝xy，求出表格中x依次为：10，5，，， 表格中y依次为：6，8，10，对应的函数表达式为：， 故答案为：6，8，10，10，5，，，， 七．反比例函数图象上点的坐标特征 八．二次函数的性质（共1小题） 7．已知二次函数y＝x2﹣x﹣1，其中m≤x≤m+2（m为常数）． （Ⅰ）当m＝0时，y的取值范围是 　　 ； （Ⅱ）若y≤5恒成立，则m的取值范围是 　﹣2≤m≤1　 ． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝x2﹣x﹣1，其中m≤x≤m+2（m为常数）． 当m＝0时，0≤x≤2， ∵函数，a＝1＞0， ∴抛物线开口向上 ∴当时，y有最小值为； ∵当x＝0时，y＝0﹣0﹣1＝﹣1；当 x＝2 时，y＝4﹣2﹣1＝1， ∴当x＝2时，y有最大值为1， ∴y的取值范围为； 故答案为：； （2）①当时， ∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大， ∴当x＝m+2时，y有最大值为， 又y≤5， ∴， 解得﹣4≤m≤1； ②当时， ∵抛物线开口向上，当时，y有最小值， ∴当x＝m+2时，y有最大值为，或当x＝m时，y有最大值为， 又y≤5， ∴，或 解得﹣4≤m≤1或﹣2≤m≤3； ③当时， ∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小， ∴当x＝m时，y有最大值为， 又y≤5， ∴， 解得﹣2≤m≤3； 综上，m的取值范围为﹣2≤m≤1， 故答案为：﹣2≤m≤1． 九．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③4a﹣2b+c＞0； ④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值． 其中正确结论的序号是　③④　 ． 【解答】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0， ∴abc＞0， 所以①错误； ②∵对称轴为直线x＝﹣1， 即1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0， 所以②错误； ③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0， 所以③正确； ∵m＞n＞0， ∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1， 由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确； 故答案为③④． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当时，y1＜y2；⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝﹣1．其中正确的结论有　①②③⑤　 ．（填序号） 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线， ∴， ∴a＝b，结论①正确； ∵抛物线的开口向上，与y轴的交点位于y轴负半轴上， ∴a＞0，c＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，结论②正确； 将点（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得：4a﹣2b+c＝0， 将a＝b代入得：4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0， ∴，结论③正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且， ∴y1＞y2，结论④错误； ∵， ∴， 又∵x1≠x2， ∴抛物线上横坐标为x1，x2的两个点关于直线对称， ∴， ∴x1+x2＝﹣1，结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 十．抛物线与x轴的交点（共1小题） 10．如图，抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点D，E为抛物线对称轴上两点（点E在点D下方），且DE＝1．当AE+CD的值最小时，点E的坐标是 　（，）　 ． 【解答】解：把B点向上平移1个单位得到P点，连结PC交对称轴于D点，连结BE，如图， ∵DE∥BP，DE＝BP， ∴四边形BPDE为平行四边形， ∴BE＝PD， ∵AE＝BE， ∴AE＝PD， ∴CD+AE＝CD+DP＝PC， ∴此时CD+AE的值最小， 当y＝0时，x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， ∴A（1，0），B（2，0）， ∴P（2，1）， 当x＝0时，y＝x2﹣3x+2＝2， ∴C（0，2）， 设直线PC的解析式为y＝kx+b， 把P（2，1），C（0，2）分别代入得， 解得， ∴直线PC的解析式为yx+2， ∵抛物线的对称轴为直线x， ∴D（，）， ∴E（，）． 故答案为：（，）． 十一．抛物线与x轴的交点（共1小题） 11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0），点B（5，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ 　6　 ． 【解答】解：根据题意知：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与y轴相交于点C， ∴当x＝0时，y＝c， ∴C（0，c）， ∵CD∥x轴，点D在抛物线上， ∴点C、D的纵坐标相等， 即D（6，c）， ∴CD＝6， 故答案为：6． 十二．二次函数与不等式（组）（共1小题） 12．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 　2＜x＜5　 ． 【解答】解：由图象可得，在点A，B之间的抛物线在直线下方， ∴2＜x＜5时，x2+bx+c＜mx+n， 故答案为：2＜x＜5． 十三．全等三角形的判定与性质（共1小题） 13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2． （Ⅰ）线段BC的长为 　　 ； （Ⅱ）D为边BC的中点，过点B作BE⊥AD，与AD的延长线相交于点E，则线段CE的长为 　　 ． 【解答】解：（Ⅰ）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2， ∴AC2+BC2＝2BC2＝22＝4， ∴； 故答案为：； （Ⅱ）如图，作CF⊥CE，交AD于点F，作CH⊥AD于点H， ∴∠ACB＝∠FCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠FCB＝∠FCE﹣∠FCB， ∴∠ACF＝∠BCE， ∵BE⊥AD， ∴∠BED＝∠ACD＝90°， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴∠CAF＝∠CBE， ∵AC＝BC， ∴△ACF≌△BCE（ASA）， ∴CF＝CE， 在等腰Rt△ABC中，，D为边BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵CE＝CF，CH⊥EF， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 十四．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 14．如图，点A，B的坐标分别为A（8，0），B（0，8），C为坐标平面内一点，，M为线段AC的中点． （1）若∠OBC＝45°，点M的坐标为　（5，3）　 ； （2）连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为　（5，5）　 ． 【解答】解：（1）如图，过C作CG⊥y轴， ∵∠OBC＝45°，BC＝2， ∴BG＝CG＝2， ∴OG＝OB﹣BG＝6， ∴C（2，6）， ∵A（8，0），M为AC中点， ∴M坐标为（5，3）； 故答案为：（5，3）； （2）如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD＝OA＝8，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝8，∠BOD＝90°， ∴BD＝8， ∴CD＝8210， ∴C坐标为（2，10）， ∵A（8，0），M为AC中点， ∴M坐标为（5，5）． 故答案为：（5，5）． 十五．菱形的性质（共1小题） 15．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2．将一块边长足够长的三角板的60°角顶点与点A重合，三角板的外侧边沿分别与BC，CD交于点E，F，则四边形AECF的面积是 　　 ． 【解答】解：连接AC，过点A作AH⊥CD于点H，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形，且AB＝2， ∴BC＝CD＝DA＝AB＝2，AD∥BC，∠B＝∠D， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴△ABC和△ADC均为等边三角形， ∴AB＝AC＝AD，∠ACE＝∠D＝∠CAD＝60°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠EAF＝∠CAD＝60°， ∴∠EAF﹣∠CAE＝∠CAD﹣∠CAE 即∠EAC＝∠FAD， 在△EAC和△FAD中， ， ∴△EAC≌△FAD（ASA）， ∴CE＝CF，S△EAC＝S△FAD， ∴S四边形AECF＝S△EAC+S△ACF＝S△FAD+S△ACF＝S△ACD， ∵AH⊥CD于点H， ∴△ADH都是直角三角形， 在Rt△ADH中，∠DAH＝90°﹣∠D＝30°， ∴DHAD＝1， 由勾股定理得：AH， ∴S△ACDCD•AH， ∴S四边形AECF＝S△ACD． 故答案为：． 十六．正方形的性质（共2小题） 16．如图，点E在正方形ABCD的边BC上，连接DE、BD，延长CB到点F，使BF＝CE，过点E作EG⊥BD于点G，连接FG．若DE＝4，则FG的长为 　　 ． 【解答】解：如图，四边形ABCD为正方形，连接AF，AG，CG， ∴DC＝AB，∠DCE＝∠ABC＝∠ABF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， 在△DCE和△ABF中， ， ∴△DCE≌△ABF（SAS）， ∴AF＝DE＝4， 在△ABG和△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴∠BAG＝∠BCG，AG＝CG， ∵EG⊥BD， ∴∠BGE＝90°， ∴∠BEG＝∠EBG＝45°， ∴EG＝BG，∠CEG＝∠FBG＝135°， 在△CEG和△FBG中， ， ∴△CEG≌△FBG（SAS）， ∴∠ECG＝∠BFG，CG＝FG， ∴∠BAG＝∠BFG，AG＝FG， 设AB与FG交于点O，则∠AOG＝∠FOB， ∴∠AGO＝∠ABF＝90°， ∴△AGF为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 17．如图，正方形ABCD的边长为4，E为正方形内的一个动点，连接DE，AE，BE且满足BE⊥AE，线段DE的最小值为 　22　 ． 【解答】解：取AB的中点F，连接EF，DF， ∵四边形ABCD是边长为4的正方形， ∴AB＝AD＝4，∠DAF＝90°， ∴AFAB＝2， ∴DF2， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∵F是AB的中点， ∴EFAB＝2， ∵DE≥DF﹣EF＝22， ∴线段DE的最小值是22． 故答案为：22． 十七．圆周角定理（共2小题） 18．如图，⊙O的半径是5cm，C是⊙O的优弧ACB的中点，弦AB＝8cm，则AC的长为　　 ，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y＝AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤8）秒的函数表达式为y＝﹣x2+8x ． 【解答】解：延长CO交AB于G，连接OA，AC， 由条件可知CO⊥AB，， ∵⊙O的半径是5cm， ∴OA＝OC＝5cm， ∴， ∴CG＝OC+OG＝8cm， ∴， 由条件可知AE2＝AG2+EG2，EF2＝FG2+EG2， 当0≤x≤4时，AF＝xcm，FG＝（4﹣x）cm， ∴y＝AE2﹣EF2＝AG2+EG2﹣FG2﹣EG2＝AG2﹣FG2＝16﹣（4﹣x）2＝8x﹣x2， 当4≤x≤8时，AF＝xcm，FG＝（x﹣4）cm， ∴y＝AG2﹣FG2＝16﹣（x﹣4）2＝﹣x2+8x， 综上：y＝﹣x2+8x， 故答案为：，y＝﹣x2+8x． 19．如图，AB是⊙O的直径，点E是弦CD的中点，F在上，连接EF，若，∠CEF＝150°，EF＝6，则CD＝　6　 ． 【解答】解：在上取一点H，使，连接OC、OE、OH、OF、OD，则∠FOB＝∠FOH， ∵， ∴， ∴∠AOC＝∠DOH， ∴∠AOC+∠FOB＝∠DOH+∠FOH＝∠DOF， ∵点E是弦CD的中点， ∴OE⊥CD，DE＝CE， ∴∠OEC＝∠OED＝90°， ∵OD＝OC， ∴∠COE＝∠DOE， ∵∠AOC+∠FOB+∠DOF+∠DOE+∠COE＝180°， ∴∠DOF+∠DOF+∠DOE+∠DOE＝180°， ∴∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝90°， ∴∠EOF＝∠OEC， ∴OF∥CD， ∵∠CEF＝150°，EF＝6， ∴∠OFE＝∠DEF＝180°﹣∠CEF＝30°， ∴OEEF＝3， ∴OD＝OF3， ∴DE3， ∴CD＝2DE＝6， 故答案为：6． 十八．圆内接四边形的性质（共1小题） 20．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，，∠D＝122°，则∠B的度数为 　119°　 ． 【解答】解：如图，连接AD， ∵，∠CDE＝122°， ∴∠ADC＝∠ADE122°＝61°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣61°＝119°， 故答案为：119°． 十九．作图—复杂作图（共2小题） 21．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段AC的长等于　　 ； （Ⅱ）以BC为直径作圆，在线段AC上有一点P，满足CP＝CB．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　根据圆的对称性，作另一条直径DE，与BC相交于O，即为圆心，设线段AB与竖直格线的交点为点M，连接OM与⊙O相交于点N，作射线BN与AC交于点P ． 【解答】解：（1）∵在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均在格点上， 由勾股定理得，， 故答案为：； （2）如图，点P即为所求作的点，满足CP＝CB． 作法：根据圆的对称性，作另一条直径DE，与BC相交于O，即为圆心，设线段AB与竖直格线的交点为点M，连接OM与⊙O相交于点N，作射线BN与AC交于点P， 故答案为：根据圆的对称性，作另一条直径DE，与BC相交于O，即为圆心，设线段AB与竖直格线的交点为点M，连接OM与⊙O相交于点N，作射线BN与AC交于点P． 22．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （Ⅰ）线段AB的长为　　 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O以及上的一点，P，使得∠PCB＝∠PAC，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）　作直径MN，直径EF，线段MN交线段EF于点O，取BC的中点J，连接OJ，延长OJ交⊙O于点P，连接PC，PA，点O，点P即为所求　 ． 【解答】解：（Ⅰ）AB． 故答案为：； （Ⅱ）如图，点O，点P即为所求． 方法：作直径MN，直径EF，线段MN交线段EF于点O，取BC的中点J，连接OJ，延长OJ交⊙O于点P，连接PC，PA，点O，点P即为所求． 故答案为：作直径MN，直径EF，线段MN交线段EF于点O，取BC的中点J，连接OJ，延长OJ交⊙O于点P，连接PC，PA，点O，点P即为所求． 二十．命题与定理（共1小题） 23．孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足a2＞b2，那么a＞b． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有a2＞b2；① 第二步：把①移项可得a2﹣b2＞0；② 第三步：把②因式分解可得（a+b）（a﹣b）＞0；③ 第四步：把③两边除以（a+b）可得a﹣b＞0；④ 第五步：把④移项可得a＞b．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 　④　 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 【解答】解：分析每一步推理是否遵循不等式性质如下： 第一步：根据命题条件直接得出a2＞b2，这是对条件的直接引用，严谨． 第二步：将a2＞b2移项得到a2﹣b2＞0，移项法则应用正确，严谨． 第三步：对a2﹣b2因式分解为（a+b）（a﹣b），因式分解法则应用正确，严谨． 第四步：在（a+b）（a﹣b）＞0两边除以（a+b）时，没有考虑（a+b）的正负性．根据不等式的基本性质：不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变；除以同一个负数，不等号方向改变．但此处未分析（a+b）是正还是负，直接除以（a+b），推理不严谨． 第五步：由a﹣b＞0移项得到a＞b，移项法则应用正确，但因第四步不严谨，导致结论错误． 故答案为：④． 二十一．旋转的性质（共4小题） 24．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 　90°或180°或270°　 ． 【解答】解：由题意可知，P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动． 如图：延长BA与⊙A交于P3，连接P3C． ∵P3C＝2AB＝BC， 又∵∠B＝60°， ∴△P3BC为等边三角形， ∴AC⊥AB． 在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴CD⊥AC． ∴∠ACD＝90°， ∴当P在直线AC上时符合题意， ∴α1＝90°，α2＝270°． 连接P3D， ∵AP3∥CD，AP3＝AB＝CD， ∴四边形ACDP3为平行四边形． ∴∠P3DC＝∠P3AC＝90°， 即：P运动到P3时符合题意． ∴α3＝180°． 记CD中点为G，以G为圆心，GC为半径作⊙G． AG， ∴⊙A与⊙G相离， ∴∠DPC＜90°． 故答案为：90°、180°、270°． 25．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB'C'，连接BB'，若AC′∥BB′，则∠CAB'的度数为 　75°　 ． 【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′， ∴∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′， ∴∠AB′B（180°﹣110°）＝35°， ∵AC′∥BB′， ∴∠C′AB′＝∠AB′B＝35°， ∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝110°﹣35°＝75°． 故答案为：75°． 26．如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF＝AF；③∠CMD＝45°；④1．以上结论正确的是 　①③④　 ．（填写序号） 【解答】解：∵把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF， ∴△CBE≌△ABF， ∴CE＝AF，∠BCE＝∠FAB，BE＝BF， ∵正方形ABCD， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， 又∵∠AEM＝∠BEC， ∴∠BEC+∠BCE＝∠FAB+∠AEM＝90°， ∴∠AMC＝90°， 即CM⊥AF， 故①结论正确，符合题意； ∵AB+BF＞AF，CF＝BC+BF＝AB+BF， ∴CF＞AF， 故②结论错误，不符合题意； ∵正方形ABCD， ∴∠CAB＝∠CAD＝∠ACB＝45°， ∴∠AMC＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，如图， ∵， ∴∠CAD＝∠CMD＝45°， 故结论③正确，符合题意； 如图，过N点作NG⊥AC，交AD于G， ∵CE平分∠ACB，∠ACB＝45°， ∴∠ACM＝22.5°， ∵， ∴∠ACM＝∠ADM＝22.5°， ∵∠CAD＝45°， ∴∠AGN＝90°﹣∠CAD＝45°，∠DNG＝180°﹣∠CAD﹣∠ANG﹣∠ADN＝22.5°， ∴∠CAD＝∠AGN＝45°，∠GDN＝∠DNG＝22.5°， ∴AN＝NG＝GD， 设AD＝CD＝BC＝a， 在Rt△ANG中，AN2+NG2＝AG2， ∴2AN2＝（a﹣AN）2， ∴（负根已舍去）， ∵， ∴， ∴， 故结论④正确，符合题意； 综上，①③④结论正确， 故答案为：①③④． 27．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′． （1）线段AO′的长为　10　 ； （2）四边形AOBO′的面积为　　 ． 【解答】解：（1）由旋转得，OB＝O′B，∠OBO′＝60°， 由等边三角形性质可知：AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴∠ABC＝∠OBO′＝60°， ∴∠CBO＝∠ABO′． ∴△ABO′≌△CBO（SAS）． ∴AO′＝OC＝10． 故答案为：10； （2）如图，连接OO′，过点B作BF⊥OO′于点F， 由旋转性质得OB＝O′B＝8，∠OBO′＝60°， ∴△OBO′为等边三角形． ∴OO′＝OB＝O′B＝8， ∴， ∴， ∴． 由（1）可知△ABO′≌△CBO， ∴AO′＝OC＝10， ∴OA2+OO′2＝62+82＝AO′2， ∴△AOO′为直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 二十二．坐标与图形变化-旋转（共1小题） 28．如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝2，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为　（3，﹣2）　 ． 【解答】解：∵OA＝OB＝1，∠ABC＝90°， ∴∠ABO＝45°， 过点C作CD⊥y轴交y轴于点D， ∴∠CBD＝45°， ∵， ∴DB＝CD＝2， ∴C（2，3）， ∵将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴第一次旋转得到C的坐标为（3，﹣2）， 第二次旋转得到C的坐标为（﹣2，﹣3）， 第三次旋转得到C的坐标为（﹣3，2）， 第四次旋转得到C的坐标为（2，3）， 第五次旋转得到C的坐标为（3，﹣2）， 可以发现C的坐标四次一循环， ∴第2025次旋转结束时：2025÷4＝506......1， ∴坐标为（3，﹣2）， 故答案为：（3，﹣2）． 二十三．相似三角形的判定与性质（共1小题） 29．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，连接AC，∠ACD的平分线交AD于点E，过点D作DF⊥CE于点G，分别交AC、AB于点H、F，点P是线段GC上的任意一点，且PQ⊥AC于点Q，连接PH，则下列结论正确的有　①②④　 ．（填写序号） ①DH＝2DG； ②CP•CB＝CQ•DF； ③S△CDE：S△DAF＝3：1； ④PH+PQ的最小值是． 【解答】结论①：DH＝2DG 推导： ∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE＝∠ACE， ∵DG⊥CE， ∴∠DGC＝∠CGH＝90°， ∴△CGD≌△CGH（ASA）， ∴DG＝GH， ∴DH＝2DG， 故①符合题意； 结论②：∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE＝∠ACE， ∵PQ⊥AC， ∴∠CPQ＝90°﹣∠CPQ， ∵AB∥CD， ∴∠AFD＝∠CDG， ∵DG⊥EC， ∴∠CDG＝90°﹣∠DCG， ∴∠DFA＝∠CPQ， ∴△CPQ∽△DFA， ∴CP：DF＝CQ：AD， ∵BC＝AD， ∴CP•BC＝DF•CQ， ．结论②正确． 结论③：∵∠ADF＝∠ECE， ∴△CDE∽△DAF， ∴CD：AD＝2：1， ∴S△CDE：S△DAF＝4：1； 结论③错误． 结论④：PH+PQ 的最小值为 ． 推导： 过点H作HT⊥CD交于T，交CE于K，过K作KR⊥AC交于R， ∵CE平分∠DCH，KT⊥CD，KR⊥AC， ∴KR+KH＝KT+KH＝HT， 当P点与K点重合时，PH+PQ有最小值，最小值为HT的长， ∵AB∥CD， ∴∠TCH＝∠BAC， ∵∠B＝90°，HT⊥CD， ∴∠B＝∠GTC＝90°， ∴△ABC∽△CTH， ∴，即， ∴CT＝2HT， 由①可知，△CDG≌△CHG（ASA）， ∴CH＝CD＝4， 在Rt△CHT中，（2HT）2+HT2＝16， 解得HT， ∴PH+PQ的最小值为， 结论④正确． 故选结论①②④． 二十四．相似三角形的判定与性质（共1小题） 30．在▱ABCD中，DE⊥BC，垂足为E，将△CED绕点E逆时针旋转得到△FEG，点C的对应点F落在CD边上，点D的对应点G落在AB边上，DE与FG相交于点H．若DE＝2CE＝2，则CF＝　　 ；　　 ． 【解答】解：∵DE⊥BC，垂足为E，将△CED绕点E逆时针旋转得到△FEG， ∴EC＝EF，DE＝2CE＝2，根据勾股定理得出CD， 在△CEF中，cos∠C，等腰三角形底边CF＝2•CE•cos∠C， 代入得：CF＝2×1 ＝ ， 如图，过点F，G分别作直线BC的垂线，垂足分别为M，N， ∵将△CED绕点E逆时针旋转得到△FEG， ∴ED＝EG，∠C＝∠EFC， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝∠DEB＝∠FEG＝90°， ∴∠BEG＝∠DEF， ∵在▱ABCD中，AB∥CD， ∴∠C+∠ABE＝180°，∠EFC+∠EFD＝180°， ∴∠GBE＝∠DFE， ∴△BEG≌△FED（AAS）， ∴BE＝EF＝1，GB＝FD， ∵sin∠C， ∴， ∵FC， ∴FM，又EF＝1，根据勾股定理得出EM， ∴MC， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠GBN， 又∠GNB＝∠FMC， ∵cos∠GBN， ∴， ∴BN， ∴NE＝1， ∵FM∥DE∥FN， ∴， 二十五．位似变换（共1小题） 31．在平面直角坐标系中，P，Q两点的坐标分别为（﹣5，﹣2），（﹣1，﹣3）．以原点O为位似中心，把线段PQ放大，得到线段P′Q′，点P的对应点P′的坐标是（15，6），则点Q′的坐标是　（3，9）　 ． 【解答】解：∵点P（﹣5，﹣2）的对应点P′的坐标是（15，6）， ∴线段PQ与线段P′Q′的相似比为1：3， ∴点Q′的坐标是（﹣1×（﹣3），﹣3×（﹣3）），即（3，9）． 故答案为：（3，9）． 二十六．倍数（共1小题） 32．已知正整数N，满足50＜N＜100，甲、乙、丙、丁四人进一步对这个数进行了猜测，甲说：“N是2的倍数”；乙说“N是3的倍数”；丙说“N是5的倍数”；丁说“N是7的倍数”．已知他们中有一人说错，那么满足条件的N的最大值为　90　 ． 【解答】解：四人中有一人说错，可以分四种情况： ①若甲说错，则N是3，5，7的倍数，N最小为3×5×7＝105＞100，没有符合要求的N； ②若乙说错，则N是2，5，7的倍数，2，5，7的最小公倍数为2×5×7＝70，则符合要求的N为70； ③若丙说错，则N是2，3，7的倍数，2，3，7的最小公倍数为2×3×7＝42，则符合要求的N为84； ④若丁说错，则N是2，3，5的倍数，2，3，5的最小公倍数为2×3×5＝30，则符合要求的N为60和90． ∴满足条件的N的最大值为90， 故答案为：90． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $