2026-2027年九年级上数学期中测试解答压轴题汇编（Word版）-2026-2027年初中数学上册期中测试压轴题汇编（北师大版）

【北师大版】2026-2027年9年级上数学期中测试解答压轴题汇编（3-3） 参考答案与试题解析 一．一元二次方程的应用（共1小题） 1．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：BQ＝ 　2tcm ，PB＝ 　（5﹣t）cm （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动， ∴AP＝tcm， ∵AB＝5cm， ∴PB＝（5﹣t）cm， ∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动， ∴BQ＝2tcm； （2）由题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52， 解得：t1＝0，t2＝2； 当t＝0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm； （3）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下： 长方形ABCD的面积是：5×6＝30（cm2）， 使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30﹣26＝4（cm2）， （5﹣t）×2t4， 解得：t1＝4（不合题意舍去），t2＝1． 即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2． 二．一元二次方程的应用（共1小题） 2．“户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到169亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元每千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低0.5元，每天可多售出25千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【解答】解：（1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：100（1+x）2＝169， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率为30%； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为（20﹣y﹣12）元，每天能售出（200y）千克，即（200+50y）千克， 根据题意得：（20﹣y﹣12）（200+50y）＝1750， 整理得：y2﹣4y+3＝0， 解得：y1＝3，y2＝1（不符合题意，舍去）， 答：销售单价应降低3元． 三．配方法的应用（共1小题） 3．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 原式：＝2x2+4x﹣6 ＝2（x2+2x）﹣6 ＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6 ＝2（x+1）2﹣8． ∵（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2﹣8≥﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值是﹣8． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： （1）当x＝　3　 时代数式x2﹣6x+14有最小值是　5　 ； （2）当m、n满足什么条件时，多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值，并求出这个最小值． （3）在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP、QD、PD．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设△QPD的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 【解答】解：（1）由题意得，x2﹣6x+14＝（x﹣3）2+5， ∵（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+5≥5， ∴当x＝3时代数式x2﹣6x+14有最小值是5， 故答案为：3；5； （2）由题意得，m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25 ＝（m﹣n﹣2）2+21， ∵（m﹣n﹣2）2≥0， ∴（m﹣n﹣2）2+21≥21， ∴当m﹣n＝2时，多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值是21； （3）由题意得，AQ＝x，BP＝x，0＜x≤3， ∵AB＝3，AD＝4， ∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴BQ＝3﹣x，CP＝4﹣x， ∴S＝S长方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△CDP ， ∵（x﹣2）2≥0， ∴， ∴， ∴当x＝2时，S有最小值，最小值是4． 四．一次函数综合题（共1小题） 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与直线y＝2x相交于点A，与x轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）点P在直线AB上，点Q在坐标平面内，是否存在以PQ，OA为对角线的四边形PAQO是菱形，若存在，请求出菱形PAQO的面积S，若不存在，请说明理由； （3）平面内一动点C（m，n）满足n＝﹣m2+am+1（a为常数），过AC两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求a的值． 【解答】解：（1）A（2，4），B（6，0）．理由如下： 直线y＝﹣x+6与直线y＝2x相交于点A， 联立得：， 解得：， ∴A（2，4）． 直线y＝﹣x+6与x轴交于点B， 当y＝0时，得：﹣x+6＝0， 解得：x＝6， ∴B（6，0）； （2）存在以PQ，OA为对角线的四边形PAQO是菱形．理由如下： 如图1，四边形PAQO是菱形时， 设P（t，﹣t+6），Q（p，q）， ∵PQ，OA为对角线， ∴PQ，OA的中点重合，且PA＝PO． ∴， 解得：， ∴P（7，﹣1）， ∴， ∴菱形PAQO的面积S＝2S△AOP＝2×15＝30； （3）如图2，设点D（x，0），则E（﹣x，0），x＜0， ∵△ABD与△ABE相似， ∴E只能在点B左侧， ∴∠ABE＝∠DBA． 若△ABD∽△EBA，则， ∴AB2＝BE•BD， ∴（2﹣6）2+（4﹣0）2＝（6+x）（6﹣x）， 解得：x＝2（不合题意，舍去）或﹣2， ∴D（﹣2，0）． 设直线AC的表达式为y＝kx+b，将点A，点D的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线AC的表达式为y＝x+2， 把C（m，﹣m2+am+1）代入y＝x+2得：﹣m2+am+1＝m+2， ∴m2+（1﹣a）m+1＝0． ∵有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似， ∴方程m2+（1﹣a）m+1＝0有且只有一个实数根， ∴Δ＝（1﹣a）2﹣4＝0， 解得：a＝3或a＝﹣1； 故满足条件的a值为3或﹣1． 六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x﹣4与反比例函数y的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（5n，n）和（m，﹣5）． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数y图象上任意一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（5n，n）代入y＝x﹣4中得：5n﹣4＝n， 解得n＝1， ∴A（5，1）， 把A（5，1）代入中得：， 解得k＝5， ∴反比例函数解析式为； （2）在y＝x﹣4中，当y＝x﹣4＝0时，x＝4， ∴C（4，0）， ∴OC＝4， ∴S△AOC4×1＝2， ∴S△POC＝2S△AOC＝4， ∴OC•⋅|yP|＝4， ∴|yP|＝2， ∴yP＝±2， 在中，当y＝2时，， 当y＝﹣2时，， ∴点P的坐标为或． 七．二次函数几何综合_存在型_三角形（共1小题） 6．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的关系式； （2）M是第四象限抛物线上一点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形ABMC的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把B，C两点坐标代入抛物线解析式可： ， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，连接BC，过M作x轴的垂线交BC于点N， 在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴A点坐标为（﹣1，0）． ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，且OC＝3， ∴， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y＝x﹣3， 设M点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则N点坐标为（x，x﹣3）， ∵M在第四象限， ∴MN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x， ∴， ∴当时，，x2﹣2x﹣3， ∴当M为时，四边形ABMC的面积有最大值， 最大值． （3）解：在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形．理由如下： 如图2，取BC中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q， 在Rt△OBC中，由勾股定理得， 由题意，当∠BPC＝90°时，， 易求，抛物线的对称轴为直线x＝1， 设点P坐标为（1，n）， ∴，， 由PQ2+DQ2＝PD2，得， 解得，， ∴点P的坐标为或． 八．二次函数几何综合_变换型（共1小题） 7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）， ∴OB＝3， ∵OC＝OB， ∴OC＝3， ∴c＝3， ∴， 解得：， ∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）， ∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a， ∴S四边形BOCEBF•EF（OC+EF）•OF， （a+3）•（﹣a2﹣2a+3）（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）， a， （a）2， ∴当a时，S四边形BOCE最大，且最大值为． 此时，点E坐标为（，）； （3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上， ∴设P（﹣1，m）， ∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上， ①当m≥0时， ∴PA＝PA1，∠APA1＝90°， 如图3，过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M， ∴∠NPA1+∠MPA＝∠NA1P+∠NPA1＝90°， ∴∠NA1P＝∠NPA， 在△A1NP与△PMA中， ， ∴△A1NP≌△PMA， ∴A1N＝PM＝m，PN＝AM＝2， ∴A1（m﹣1，m+2）， 代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3， 解得：m＝1，m＝﹣2（舍去）， ②当m＜0时，要使P2A＝P2A，2，由图可知A2点与B点重合， ∵∠AP2A2＝90°，∴MP2＝MA＝2， ∴P2（﹣1，﹣2）， ∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）． 九．三角形综合题（共2小题） 8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，线段AD绕点A在平面上旋转． （1）如图1，若∠BAC＝α，线段AD旋转到BA延长线上，过点D作DE⊥BC，交BC、AC于E，F，求∠AFD的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，若∠BAC＝90°，线段AD绕点A旋转过程中，点D恰好落在边BC上，过点C作CE∥AB，连接DE，使得AD⊥DE且AD＝DE，求证：； （3）如图3，若∠BAC＝90°，，连接BD，过点C作CE⊥BD，交BD延长线DE于点E．当BE取最大值时，请直接写出的值． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝α， ∴， ∵DE⊥BC， ∴∠BED＝90°， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过A作AF⊥BC于点F，过E作EG⊥BC交BC延长线于点G， 由旋转性质可知：∠ADE＝90°，AD＝ED， ∴∠AFD＝∠ADE＝∠DGE＝90°， ∴∠FAD+∠ADF＝90°，∠EDG+∠ADF＝90°， ∴∠FAD＝∠EDG， 在△AFD和△DGE中， ， ∴△AFD≌△∠DGE（AAS）， ∴DF＝EG，AF＝DG， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵CE∥AB， ∴∠ABC＝∠ECG＝45°， ∵∠AFD＝∠ADE＝∠DGE＝90°， ∴∠ACB＝∠CAF＝∠ECG＝∠CEG＝45°， ∴△ACF、△CEG都是等腰直角三角形， ∴AF＝CF，CG＝EG， ∴由勾股定理得：AF2+CF2＝AC2，CG2+EG2＝CE2， ∴，， ∵CF＝CD+DF， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 在△ABD中，BD＞AB﹣AD， ∵AB不变， ∴AD最小时，BD最大，即有BE最大， 根据垂线段最短可知：当AD⊥BE时，BE取最大值，过A作AF⊥AE交BE于点F，如图3， ∵CE⊥BD， ∴∠BEC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴点A、B、C、E四点共圆， ∴∠ABE＝∠ACE，∠AED＝∠ACB＝45°， ∴∠AED＝∠ACB＝∠AFD＝45°， ∴AD＝DE＝DF， ∵∠BAC＝∠EAF＝90°， ∴∠BAC﹣∠CAF＝∠EAF﹣∠CAF， ∴∠BAF＝∠CAE， 在△ABF和△ACE中， ， ∴△ABF≌△ACE（ASA）， ∴BF＝CE， 设AB＝3x，BF＝CE＝y，则AD＝DE＝DF＝x，EF＝2x，BE＝2x+y， 由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，CE2+BE2＝BC2， ∴（3x）2+（3x）2＝BC2，y2+（2x+y）2＝BC2， ∴y2+（2x+y）2＝（3x）2+（3x）2， 整理得：y2+2xy﹣7x2＝0， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 9．综合与实践 如图，△ABC是等边三角形，点D是射线AC上一个动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE，连接CE，DE． 观察发现 （1）∠BDE＝　60　 °，∠BCE＝　60　 °； 迁移探究 （2）当点D在线段AC上，请判断线段AB，CD，CE三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点D在射线AC上，直线BC和直线DE相交于点F，且CE＝3CD，请直接写出的值． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE， ∴BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴∠BDE＝60°， ∵∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 又∵AB＝BC，BD＝BE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠BCE＝∠A＝60°， 故答案为：60，60； （2）AB＝CD+CE，理由如下： ∵△ABD≌△CBE， ∴AD＝CE， ∴AB＝AC＝AD+CD＝CE+CD； （3）如图，当点D在线段AC上时，过点D作DH∥AB，交CB于H， ∵CE＝3CD，AD＝CE， ∴AD＝CE＝3CD， ∴AC＝CB＝AB＝4CD， ∵DH∥AB， ∴△CDH∽△CAB， ∴， ∴设CD＝CH＝DH＝x， ∴AD＝CE＝3x，AC＝CB＝AB＝4x， ∵∠ABC＝∠BCE＝60°， ∴AB∥CE， ∵DH∥AB， ∴DH∥CE， ∴△DFH∽△EFC， ∴， ∴CF＝3HF， ∴CFx， ∴； 如图，当点D在线段AC的延长线上时，过点D作DH∥AB，交CB于H， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 十．三角形综合_运动型（共1小题） 10．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O． （1）求证：AD＝BE； （2）若BO＝6OE，求CD的长． （3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝CA， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴AD＝BE． （2）解：如图1中，作ET∥CB交AD于T，过点D作DH⊥AC于点H，设AE＝CD＝a，BD＝CE＝b，ET＝x． ∵ET∥BC， ∴， ∴x， ∵， ∴， 整理得b2+ab﹣6a2＝0， ∴（b+3a）（b﹣2a）＝0， ∴b＝2a， 在Rt△CDH中，DHa，CHa， ∴AH＝3aaa， ∵AD＝BE＝BO+AE＝2， ∴（2）2＝（a）2+（a）2， ∴a＝2或﹣2（﹣2舍弃）， ∴CD＝2． （3）解：如图2中，过点O作OJ∥AB交AC于点J．则∠OJE＝∠BAC＝60°， ∴， ∴， ∴OJ，EJ， ∵∠APQ＝∠OPJ+∠OPQ＝∠C，∠OPQ＝∠C＝60°， ∴∠PQC＝∠OPJ， ∵∠C＝∠OJP＝60°， ∴△CQP∽△JPO， ∴， ∴， ∴yx2+5x﹣2（0＜x≤4）． 十一．菱形的判定与性质（共1小题） 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当∠A满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC， ∴∠ACB＝∠DFB＝90°（垂直的定义）， ∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行）， ∵MN∥AB， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴CE＝AD； （2）解：四边形BECD是菱形． 理由：∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵CE＝AD， ∴CE＝BD（等量代换）， ∵MN∥AB， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴， ∴四边形BECD是菱形； （3）解：当∠A＝45°，四边形BECD是正方形． 理由：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣45°＝45°＝∠A， ∴AC＝BC（等角对等边）， ∵D是AB的中点， ∴CD⊥AB，即∠BDC＝90°， ∵由（2）得四边形BECD是菱形， ∴四边形BECD是正方形． 十二．正方形的性质（共1小题） 12．在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形ABCD边BC、CD上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形ABCD为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），∠EAF＝45°，延长CD至G，使DG＝BE，BE＝2，DF＝3，则EF＝ 　5　 ；在图2中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，BE＝1，FD＝1.5，则EF＝ 　2.5　 ； 归纳证明： （2）在图3中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段BE，EF，FD之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【解答】解：（1）如图1所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∵点G是CD延长线上的点，且DG＝BE， ∴∠ADG＝∠B＝90°， 在△ADG和△ABE中， ， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°， ∴∠DAG+∠DAF＝45°， 即∠GAF＝45°， ∴∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF和△GAF中， ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DF+DG＝DF+BE， ∴EF＝DF+BE， 又∵BE＝2，DF＝3， ∴EF＝5， 故答案为：5； 延长CD到G，使DG＝BE，连接AG，如图2所示： ∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠ADG＝∠B＝90°， 在△ADG和△ABE中， ， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵∠BAD＝60°，∠EAF＝30°， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝30°， ∴∠DAG+∠DAF＝30°， 即∠GAF＝30°， ∴∠GAF＝∠EAF＝30°， 在△GAF和△EAF中， ， ∴△GAF≌△EAF（SAS）， ∴FG＝EF， ∵FG＝DF+DG＝DF+BE， ∴EF＝DF+BE， 又∵BE＝1，FD＝1.5， ∴EF＝2.5， 故答案为：2.5； （2）图3中线段BE，EF，FD之间的数量关系是：EF＝BE+FD，证明如下： 延长CD到G，使DG＝BE，连接AG，如图3所示： ∵∠ADG+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADG＝∠B， 在△ADG和△ABE中， ， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF∠BAD， ∴∠DAG+∠DAF∠BAD， 即∠GAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠EAF∠BAD， 在△GAF和△EAF中， ， ∴△GAF≌△EAF（SAS）， ∴FG＝EF， ∵FG＝DG+FD＝BE+FD， ∴EF＝BE+FD． 十三．正方形的性质（共1小题） 13．如图，某农户准备用34m长的栅栏围一个矩形羊圈ABCD和一个边长为1m的正方形狗屋CEFG，点E、G分别在边CD，BC上（图中阴影部分为羊的活动区域），其中AD边靠墙（墙面足够长，靠墙的一面不用栅栏，EF、FG用栅栏）． （1）若羊的活动区域的面积为95m2，求AB的长； （2）羊的活动区域的面积能否为130m2？若能，求出此时边AB的长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设边AB的长为xm，则边BC的长为34﹣2﹣2x＝（32﹣2x）m， 依题意得：羊的活动区域的面积为S矩形ABCD﹣S正方形CEFG， ∴x（32﹣2x）﹣12＝95， 解得x1＝12，x2＝4， ∴边AB的长为12m或4m． （2）不能为130m2．理由如下： 设边AB的长为ym， 依题意得：y（32﹣2y）﹣12＝130， 整理得，2y2﹣32y+131＝0， ∵Δ＝（﹣32）2﹣4×2×131＝﹣24＜0， ∴羊的活动区域的面积不能为130m2． 十四．四边形综合题（共7小题） 14．【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE，AF与BC，CD分别交于E、F两点，为了探究EF，BE，DF之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图2，延长CB到点H，使BH＝DF，连接AH，先证明△ADF≌△ABH，再证明△AHE≌△AFE．从而得到EF，BE，DF之间的数量关系． 【提出问题】（1）EF，BE，DF之间的数量关系为EF＝DF+BE ； 【知识应用】（2）如图3，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，以A为顶点的∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，AE，AF与BC，CD分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【知识拓展】（3）如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD＝9，BC＝15，CD＝10．∠ABC+∠D＝180°，AE，AF与BC，CD分别交于E、F两点，且，请直接写出△EFC的周长＝　25　 ． 【解答】解：（1）延长CB到点H，使BH＝DF，连接AH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°， ∵BH＝DF， ∴△ADF≌△ABH（SAS）， ∴AH＝AF，∠HAB＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠HAE＝45°， ∵AE＝AE， ∴△AHE≌△AFE（SAS）． ∴HE＝EF， ∴EF＝DF+BE， 故答案为：EF＝DF+BE； （2）成立，理由如下：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG， ∵AB＝AD，∠ABG＝∠D， ∵BG＝DF， ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF， ∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°， ∴∠BAE+∠DAF＝60°， ∴∠GAE＝60°， ∵AE＝AE， ∴△AGE≌△AFE（SAS）． ∴GE＝EF， ∴EF＝DF+BE； （3）延长CB到点H，使BH＝DF，连接AH， 则∠ABH+∠ABC＝180°， ∵∠ABC与∠D互补， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∴∠ABH＝∠D， ∵AB＝AD，BH＝DF， ∴△ADF≌△ABH（SAS）， ∴AH＝AF，∠HAB＝∠DAF， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF， ∴∠HAE＝∠FAE， ∵AE＝AE， ∴△AHE≌△AFE（SAS）． ∴HE＝EF， ∴EF＝DF+BE， ∴△CEF的周长为CF+EF+CE＝CE+CF+BE+DF＝CB+CD＝25， 故答案为：25． 15．【问题探究】 （1）如图，已知正方形ABCD，点E在边AB上，点H在射线BC上，连接DE． ①如图1，当点H在BC边上时，过点H作HG⊥DE交DE于点O，则线段DE　＝　 GH；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段GH，使点G与点D重合，点H在BC的延长线上，连接EH，取EH的中点P，连接PC，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为7km的正方形农田ABCD，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库E、H、G（大小忽略不计）分别在边AB、BC、AD上，DE、GH是两条水渠，水渠DE和GH相交于点O．已知∠GOD＝45°，水渠HGkm，求水库E到农田边AD的距离AE． 【解答】（1）①解：如图1，四边形ABCD是正方形，过点C作CF∥GH，交AD于点F， ∴∠A＝∠B＝∠ADC＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD， ∴HC∥GF， ∴四边形GHCF是平行四边形， ∴CF＝GH， ∵GH⊥DE， ∴CF⊥DE， ∴∠EDC+∠DCF＝90°， 又∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠DCF， 在△DAE和△CDF中， ， ∴△DAE≌△CDF（ASA）， ∴DE＝CF， ∴DE＝GH， 故答案为：＝； ②证明：由平移得DE＝GH＝DH，DH⊥DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠A＝∠DCH＝90°， ∴∠ADE+∠EDC＝90°， ∵∠EDH＝∠EDC+∠CDH＝90°， ∴∠ADE＝∠CDH， 在△ADE和△CDH中， ， ∴△ADE≌△CDH（ASA）， ∴AE＝CH， 如图2，在BC上截取BN＝BE，连接EN， ∴△BEN是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵BA＝BC，BE＝BN， ∴CN＝AE＝CH， ∴点C为NH的中点， ∵点P为EH的中点， ∴PC是△ENH的中位线， ∴， ∴，即； （2）解：如图3，过点D作DN∥GH交BC于点N， ∵AD∥BC，即DG∥HN， ∴四边形GHND是平行四边形， ∴， ∵∠C＝90°，DC＝AB＝7km， 在直角三角形CDN中，由勾股定理得：， ∴BN＝BC﹣CN＝7﹣4＝3（km）， 连接EN，在AD上方作∠ADM＝∠CDN，DM交BA的延长线于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠DAM＝∠C＝90°， ∴△ADM≌△CDN（ASA）， ∴AM＝NC，DM＝DN， ∵∠DOG＝45°， ∴∠NDE＝45°， ∴∠ADE+∠CDN＝45°， ∴∠MDE＝∠ADE+∠ADM＝45°， 在△NDE和△MDE中，ND＝MD，∠NDE＝∠MDE，DE＝DE， ∴△NDE≌△MDE（SAS）， ∴EM＝EN＝AE+AM＝AE+CN， 设AE＝x，则BE＝7﹣x， 在Rt△BEN中，BN2+BE2＝EN2，即32+（7﹣x）2＝（x+4）2， 解得：， ∴水库E到农田边AD的距离AE为． 16．【问题探究】 （1）如图1，已知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．AM＝4，BN＝6，MN＝20，则AC+BC＝　10　 ． （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接EF，点M和点N分别是边BC、EF的中点．探究BE与MN的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，正方形ABCD是一块花卉种植基地，边长为4千米，对角线BD为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路BD上确定一点E（不与点B、D重合）．连接AE，以线段AE为斜边，在AE右侧建等腰直角△AEF区域（∠AFE＝90°），用来种植新品花卉，并在F处设立观赏台．G点和D点为基地的两个景观点，G在BD上且BG＝3GD．现要沿FD、FG修建观赏步道，请确定步道FG+FD的最小值．并求出当FG+FD最小时，花卉种植区域的面积（即△AEF的面积）． 【解答】解：（1）如图1，作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于点C， 则AC+BC＝A′C+BC＝A′B，A′B就是AC+BC的最小值； 延长BN使 ND＝A′M，连接A′D， ∵BN⊥MN，AM⊥MN， ∴BD∥AA′． ∵ND＝A′M， ∴四边形A′DNM是平行四边形， ∵AM⊥MN， ∴∠AMC＝90°， ∴∠A'MC＝90°， ∴四边形A′DNM是矩形， ∴A′D＝MN＝20，ND＝AM＝4， ∴BD＝BN+ND＝6+4＝10， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，理由如下：连接AM，AN， ∵AB＝AC，点M是BC的中点， ∴，AM⊥BC， ∴， ∵线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， 同理可得，∠EAN＝45°，， ∴∠BAM＝∠EAN，， ∴∠BAM﹣∠EAM＝∠EAN﹣∠EAM， ∴∠BAE＝∠MAN， ∴△BAE∽△MAN， ∴， ∴； （3）如图，作AH⊥BD于H，作射线HF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD，， ∴， ∴， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴∠BAE＝∠FAH， ∴△BAE∽△HAF， ∴∠AHF＝∠ABD＝45°， ∴点F在过H点且与BD成45°的直线L上运动，直线l交AD于V， ， ∴HF⊥AD， 连接AG，交FH于F′， 当点F在F′处时，GF+DF最小， ∵（千米），BG＝3DG， ∴千米），（千米），千米）， ∴千米）， ∴千米）， ∴千米）， 作GW⊥AD于W， ∴DW＝GWDG＝1（千米）， ∴AW＝AD﹣DW＝3（千米）， ∵FV∥GW， ∴△AF′V∽△AGW， ∴， ∴， ∴（千米）， ∴（千米）， ∴（平方千米）． 17．如图1，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，延长AD至点E，使得AE＝AC，连接CE，点F为CE中点，连接AF，交BD于点G，连接DF． （1）求证：∠OCF＝∠ODF； （2）如图2，H是AE上一点，连接FH，且∠GFH＝∠DFE． ①求证：EH＝DG； ②若AC＝4，CE＝8，求AG的长． 【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，， ∴OC＝OD， ∴∠ACD＝∠BDC，∠ADC＝∠CDE＝90°， ∵AE＝AC，连接CE，点F为CE中点，连接AF， ∴∠ACE＝∠E，AF⊥CE，则∠AFE＝90°， ∴∠FAE+∠E＝∠ECD+∠E＝90°， ∴∠FAE＝∠ECD， ∵点F为CE中点，连接AF，交BD于点G，连接DF，∠CDE＝90°， ∴， ∴∠FCD＝∠FDC， ∴∠ACD+∠FCD＝∠BDC+∠FDC， ∴∠OCF＝∠ODF； （2）①证明：由（1）可知∠OCF＝∠ODF＝∠E，， ∵∠GFH＝∠DFE， ∴∠GFH﹣∠DFH＝∠DFE﹣∠DFH，则∠GFD＝∠HFE， 在△FGD与△FHE中， ， ∴△FGD≌△FHE（ASA）， ∴EH＝DG； ②解：∵，CE＝8，点F为CE中点，AE＝AC， ∴∠AFE＝90°，， ∴在Rt△AEF中，， 由（1）可知∠FAE＝∠ECD，∠E＝∠E， ∴△CDE∽△AFE， ∴， ∴， 解得：， 在矩形ABCD中， ∴， ∴在Rt△ACD中， ∵点O和点F分别为AC和CE中点，连接OF，如图； ∴，OF∥AD， ∴△ADG∽△FOG， ∴， 则：， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 18．（1）【课本再现】如图1，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，则线段MN是△ABC的中位线，请叙述三角形的中位线定理：　三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半　 ； （2）【触类旁通】如图2，△EFG的面积是10，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△ABC的面积是　80　 ； （3）【深度发现】已知：如图3，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．连接DF、FG、EG、DE，试判断四边形DFGE的形状，并说明理由； （4）【探索运用】现将一大一小两个三角板按照如图4所示的方式摆放，C、E、B三点在一条直线上（∠B＝30°），其中AC＝BD＝4，三角板DEB从图4所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转（0°＜旋转角＜150°），在三角板DEB旋转的过程中，取AD的中点G，连接CG，CG是否存在最大值？若存在，请直接写出CG的最大值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； 故答案为：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； （2）∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点， ∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线， ∴， 同理，． ∵FG是△BCE的中位线， ∴， ∴S△ECB＝40， ∴S△ABC＝80． 故答案为：80； （3）四边形DEGF是平行四边形； 证明：∵BE，CD都是△ABC的中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴． ∵F，G分别是OB，OC的中点， ∴， ∴DE∥FG，DE＝FG， ∴四边形DEGF是平行四边形； （4）取AB的中点O，连接OG，OC，如图， ∵点G是AD的中点， ∴． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴， ∴AB＝2AC＝2×4＝8． ∵OC是Rt△ABC的斜边上的中线． ∴． 当点O，C，G不在同一条直线上时， ∵CG＜OC+OG，当点O在线段CG上时，CG＝OC+OG， ∴CG≤OC+OG， 当点O，C，G在同一条直线上时，CG取最大值OC+OG＝4+2＝6． 19．定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是A ． A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 （2）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边上一动点（E不与A，B重合），DE交AC于点F，过F作FG⊥DE交BC于点G． ①判断四边形CDFG是否为“奇妙四边形”，并说明理由； ②若四边形BGFE是“奇妙四边形”，连接DG，请直接写出△DFG的面积． 【解答】解：（1）∵平行四边形和菱形的一组对角相等，但是这组对角不一定是直角， ∴平行四边形和菱形的一组对角不一定互补，故平行四边形和菱形都不一定是“奇妙四边形”， ∵正方形和矩形的四个角都是直角， ∴正方形和矩形都满足有一组对角互补， ∵正方形的一组邻边相等，矩形的一组邻边不一定相等， ∴正方形是“奇妙四边形”，矩形不一定是“奇妙四边形”， 故答案为：A； （2）①四边形CDFG是“奇妙四边形”，理由如下： 如图，过F作FN⊥CD于点N，作FM⊥BC于点M，则∠DNF＝∠CNF＝∠GMF＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD， ∴FM＝FN，四边形CNFM是矩形， ∴∠NFM＝90°， ∴∠MFG+∠NFG＝90°， ∵DF⊥FG， ∴∠DFN+∠NFG＝90°， ∴∠DFN＝∠MFG， ∴△DFN≌△GFM（AAS）， ∴DF＝FG， ∵∠DFG+∠DCG＝90°+90°＝180°， ∴四边形DFGC是“奇妙四边形”； ②∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠BCD＝90°， ∵DF⊥FG， ∴∠GFE＝90°， ∴∠GFE+∠B＝180°， ∴若四边形BGFE是“奇妙四边形”，则需要邻边相等； 若EF＝BE，连接EG，如图， ∵EG＝EG， ∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）， ∴FG＝BG， 设FG＝BG＝x，则CG＝4﹣x， 由（2）①得DF＝FG＝x， ∴ 在Rt△CDG中，由勾股定理得DG2＝CG2+CD2， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴； 若FG＝GB，同理可证明Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），则同理可得； 若FG＝EF，如图，连接BD，则DF＝FG＝EF， ∴DE＝2DF， ∵， ∴， 同理可得， ∵DG≥DC， ∴DE≥BD， ∵点E在AB上， ∴若DE＝BD，则点E和点B重合，此时四边形BEFG不存在； 若BG＝BE，连接EG，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAE＝∠DCG＝90°，AB＝BC＝AD＝CD， ∴AB﹣BE＝BC﹣BG， ∴AE＝CG， 又∵AD＝CD， ∴△DAE≌△DCG（SAS）， ∴DE＝DG， 设AE＝y，则BE＝4﹣y，， ∴，， ∴， 在Rt△EFG中，由勾股定理得EG2＝EF2+FG2， ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 综上所述，△DFG的面积为或． 20．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是D ． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形ABCD的对角线AC，BD的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （4）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）解：∵正方形的对角线相等且互相垂直，由三角形中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角， ∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 故答案为：D； （2）解：AC＝BD，AC⊥BD．理由如下： ∵四边形ABCD是“中方四边形”， ∴四边形EFGH是正方形， ∴∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝∠HEF＝90°，EF＝FG＝HG＝EH． ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点， ∴，EF∥AC，，FG∥BD， ∴AC＝BD，AC⊥BD； （3）证明：如图2，设四边形BCGE的边BC、CG、GE、BE的中点分别为M、N、R、L，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K， ∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L， ∴MN、NR，RL，LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线， ∴MN∥BG，，RL∥BG，，RN∥CE，，ML∥CE，， ∴MN∥RL，MN＝RL，RN∥CE∥ML，RN＝ML， ∴四边形MNRL是平行四边形． ∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， ∴AE＝AB，AG＝AC，∠EAB＝∠GAC＝90°， ∴∠EAC＝∠BAG． 在△EAC和△BAG中， ， ∴△EAC≌△BAG（SAS）， ∴CE＝BG，∠AEC＝∠ABG． 又∵，， ∴RL＝RN， ∴平行四边形MNRL是菱形． ∵∠EAB＝90°， ∴∠AEP+∠APE＝90°． 又∵∠AEC＝∠ABG，∠APE＝∠BPK， ∴∠ABG+∠BPK＝90°， ∴∠BKP＝90°， 又∵MN∥BG，ML∥CE， ∴∠LMN＝90°， ∴菱形MNRL是正方形，即四边形BCGE是“中方四边形”； （4）解：．理由如下： 如图3，记AD、BC的中点分别为E、F，连接ME，MF，EN，FN， ∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， ∴四边形ENFM是正方形， ∴FM＝FN，∠MFN＝90°． 在直角三角形MNF中，由勾股定理得：． ∵M，F分别是AB，BC的中点， ∴， ∴． 十五．四边形综合题（共1小题） 21．在▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F． （1）【问题解决】AC旋转过程中，当∠AOF＝90°时，四边形ABEF是　平行四边形　 ．（填四边形形状） （2）【类比探究】试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等． （3）【拓展应用】在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请证明并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥BE． ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°． 当∠AOF＝90°时，EF⊥AC， ∴AB∥EF， 故四边形ABEF是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）证明：在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠OAF＝∠OCE． 又∵∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE； （3）解：四边形BEDF可能是菱形．理由如下： 证明：当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形． 由（2）知：△AOF≌△COE， ∴OE＝OF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形． ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． ∵AB⊥AC， ∴∠BAO＝90°． 在Rt△ABC中，AB＝1，， 由勾股定理得：AC2， ∴AO＝CO＝1＝AB， ∴∠AOB＝∠ABO＝45°． ∵EF⊥BD， ∴∠FOB＝90°， ∴∠FOA＝90°﹣45°＝45°， 故此时AC绕点O顺时针旋转的角度是45°． 十六．四边形综合_存在型_特殊四边形（共1小题） 22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）用t的代数式表示：AE＝　2t ；DF＝　2t ； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【解答】解：∵直角△ABC中，∠C＝90°﹣∠A＝30°． ∵CD＝4t，AE＝2t， 又∵在直角△CDF中，∠C＝30°， ∴DFCD＝2t， 故答案为：2t，2t； （2）∵DF⊥BC ∴∠CFD＝90° ∵∠B＝90° ∴∠B＝∠CFD ∴DF∥AB， 由（1）得：DF＝AE＝2t， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形， 即60﹣4t＝2t， 解得：t＝10， 即当t＝10时，▱AEFD是菱形； （3）分两种情况： ①当∠EDF＝90°时，如图1，DE∥BC． ∴∠ADE＝∠C＝30° ∴AD＝2AE ∵CD＝4t， ∴DF＝2t＝AE， ∴AD＝4t， ∴4t＝60﹣4t， ∴t ②当∠DEF＝90°时，如图2，DE⊥EF， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD∥EF， ∴DE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠DEA＝30°， ∴ADAE， ∴60﹣4t＝t， 解得t＝12． 综上所述，当ts或12s时，△DEF是直角三角形． 十七．四边形综合_创新型（共2小题） 23．【初步感知】 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，求出图中线段EF，AE，FC之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△CDM位置，如图1，根据“旋转的性质”分析CM与AE之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段EF，AE，FC之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，将∠EDF沿DF进行翻折，得到∠MDF，射线DM交边BC的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段EF，AE，FC之间的数量关系． 任选一位同学的分析，可以得到线段EF，AE，FC之间的数量关系是 EF＝AE+FC ． 【类比探究】 如图3，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD的延长线上，且∠EAF＝45°，连接EF，试问线段EF，BE，DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】 如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝10，CF＝6，直接写出BE的长． 【解答】解：（1）∵△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△CDM， ∴DE＝DM，AE＝CM，∠DCM＝∠A＝∠DCF＝90° ∠ADE+∠CDF＝90°﹣∠EDF＝45°，F，C，M共线 ∠CDF+∠CDM＝∠FDM＝90°﹣∠EDF＝45°， ∴∠EDF＝∠FDM＝45°， 在△EDF与△MDF中， ， ∴△EDF≌△MDF（SAS）， ∴EF＝FM＝FC+CM， ∵AE＝CM， ∴EF＝FC+CM＝FC+AE， 故答案为：EF＝AE+FC； （2）BE＝DF+EF， 在线段BC上取一点G，使BG＝DF，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠BAD＝90°， ∵点F在CD的延长线上， ∴∠ADF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣90°＝90°， 在△ABG和△ADF中： ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠DAE＝45°， ∴∠BAG+∠DAE＝45° ∴∠EAG＝∠BAD﹣（∠BAG+∠DAE）＝90°﹣45°＝45°， 在△EAG和△EAF中： ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴EG＝EF， ∴BE＝BG+GE＝DF+EF； （3）在DC上取一点G，使得DG＝BE， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABC+∠D＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ABE＝∠D， ∵AB＝AD，BE＝DG， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAB+∠BAF＝∠DAG+∠BAF＝45°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠FAG＝∠FAE＝45°， ∵AE＝AG，AF＝AF， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG， 设BE＝x， 则EC＝EB+BC＝8+x， ∴DF＝CF+DC＝FG+DG＝EF+BE＝16， ∴EF＝16﹣BE＝16﹣x， 在Rt△ECF中，EC2+CF2＝EF2， ∴（x+8）2+62＝（16﹣x）2， ∴x， ∴BE， ∴BE的长为 ． 24．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）探究猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　垂直　 ； ②BC、CD、CF之间的数量关系为：BC＝CF+CD ； （2）深入思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2，CDBC，请求出OC的长． 【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACF， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°， 即BC⊥CF； 故答案为：垂直； ②△DAB≌△FAC， ∴CF＝BD， ∵BC＝BD+CD， ∴BC＝CF+CD； 故答案为：BC＝CF+CD； （2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下： ∵正方形ADEF中，AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACF， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°． ∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°， ∴CF⊥BC． ∵CD＝DB+BC，DB＝CF， ∴CD＝CF+BC． （3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2， ∴BC＝4， ∴CDBC＝1， ∴BD＝5， 由（2）同理可证得△DAB≌△FAC， ∴BC⊥CF，CF＝BD＝5， ∵四边形ADEF是正方形， ∴OD＝OF， ∵∠DCF＝90°， ∴DF， ∴OC． 十八．几何变换综合题（共1小题） 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，0°＜∠ABC＜45°．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥BC于点E． （1）求证：△ABC≌△BDE． （2）用圆规和无刻度的直尺作∠ABD的平分线与AC的延长线相交于点F，连结DF并延长与BC的延长线相交于点P．（保留作图痕迹） ①求证：DF＝BE+CF． ②若∠A＝α，则∠P的大小为　（180﹣2α）　 度．（用含α的代数式表示） 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC， ∴∠ACB＝∠BED＝90°， ∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD， ∴AB＝BD，∠ABD＝90°， ∵∠ABC+∠DBE＝180°﹣∠ABD＝90°，∠ABC+∠A＝90°， ∴∠A＝∠DBE， 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（AAS）； （2）解：∠ABD的平分线与AC的延长线相交于点F，连结DF并延长与BC的延长线相交于点P， 如图所示为所求； ①证明：∵BF平分∠ABD， ∴∠ABF＝∠DBF∠ABD90°＝45°， 在△ABF和△DBF中， ， ∴△ABF≌△DBF（SAS）， ∴AF＝DF， 由（1）知：△ABC≌△BDE， ∴AC＝BE， ∴AC+CF＝BE+CF＝AF＝DF， 即DF＝BE+CF； ②由（1）知：△ABC≌△BDE， ∴∠A＝∠PBD＝α， ∵△ABF≌△DBF， ∴∠A＝∠FDB＝α， ∴∠PBD＝∠FDB＝α， ∴PB＝PD， ∴△PBD为等腰三角形， ∴∠P＝180°﹣2α． 故答案为：（180﹣2α）． 十九．相似形综合题（共6小题） 26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求： （1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少． （2）当t为多少时，PQ的长度等于4？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？ 【解答】解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm， ∵AC＝20cm， ∴CP＝（20﹣4t）cm， ∵点P在AC上运动， ∴4t≤20， ∴t≤5， ∵点Q在BC运动， ∴2t≤15， ∴t≤7.5， ∴0≤t≤5， （1）当t＝3时，CP＝8cm，CQ＝6cm， 在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ10（cm）； （2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝CP2+CQ2， ∵PQ＝4， ∴（4）2＝（20﹣4t）2+（2t）2， 解得，t＝2或t＝6（舍去）， 即当t为2时，PQ的长度等于4； （3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，且∠C＝∠C＝90°， ∴①△CPQ∽△CAB， ∴， ∴， ∴t＝3， ②△CPQ∽△CBA， ∴， ∴， ∴t， 即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似． 27．综合与实践 【问题情境】 如图1，点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足分别为点E，F． （1）求证：四边形CEGF是正方形． （2）求的值． 【类比探究】 （3）如图2，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜45°），试探究线段AG与BE长度之间的数量关系． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°， ∵GE⊥BC、GF⊥CD， ∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°， ∴四边形CEGF是矩形， ∵∠BCA＝45°， ∴△CEG是等腰直角三角形， ∴EG＝EC， ∴四边形CEGF是正方形； （2）解：由（1）知四边形CEGF是正方形， ∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°， ∴，GE∥AB， ∴， ∴； （3）解：线段AG与BE长度之间的数量关系为：； 连接CG，如图（2）所示： 由旋转性质得：∠BCE＝∠ACG＝α， ∵，， ∴， ∴△BCE∽△ACG， ∴， ∴线段AG与BE长度之间的数量关系为：． 28．综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等． 【动手操作】如图，已知菱形ABCD，求作点O，使得点O到三个顶点A，D，C的距离相等． 小红同学设计如下作图步骤； ①连接BD； ②分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径在AD的上方与下方作弧，AD上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线MN交BD于点O； ③连接OA，OC，则OA＝OD＝OC． （1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【证明结论】 （2）求证：OA＝OD＝OC． 【拓展延伸】 （3）当∠ABC＝72°时， ①求证：△OAD∽△ABD； ②直接写出△OBC与△OAD的面积比． 【解答】（1）解：根据小红同学设计的尺规作图，如图1即为所求； （2）证明：在菱形ABCD中，∠ADO＝∠CDO，AD＝DC， 在△ADO和△CDO中， ， ∴△ADO≌△CDO（SAS）， ∴OA＝OC． ∵MN垂直平分AD， ∴OA＝OD， ∴OA＝OD＝OC； （3）①证明：在菱形ABCD中，∠ABC＝72°， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°． ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC＝36°，∠DAB＝180°﹣∠ABC＝108°． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADB＝36°， ∴∠OAD＝∠ABD＝36°． ∵∠ADO＝∠BDA， ∴△OAD∽△ABD； ②解：△OBC与△OAD的面积比为．理由如下： ∵△OAD∽△ABD， ∴， ∴AD2＝BD•DO． ∵∠BAO＝∠BAD﹣∠OAD＝72°，∠BOA＝∠OAD+∠ADO＝72°， ∴∠BAO＝∠BOA， ∴BO＝AB． 设AB＝x＝BO，DO＝a（其中x＞0，a＞0），则AD＝x，BD＝BO+DO＝x+a， ∴x2＝（x+a）•a， ∴x2﹣ax﹣a2＝0， 解得：x或x（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 故△OBC与△OAD的面积比为． 29．在矩形ABCD中，M为直线AB上的点（不与点B重合），连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，点P为线段BM上一点，连接DN和CP，CP与DN相交于点H． （1）如图1，若CD＝CM，CP平分∠BCM，求证：△CDH∽△PCB． （2）如图2，若AB＝AD，点M与点A重合，P为BM的中点，△CDH与△PCB还会相似吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下请直接写出的值． 【解答】（1）证明：∵将线段CM绕点C逆时针旋转90°得到线段CN， ∴CM＝CN，∠MCN＝90°， ∴∠MCP+∠NCP＝90°． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD＝∠B＝90°，AB∥CD， ∴∠BCP+∠DCP＝90°，∠DCH＝∠CPB． ∵CP平分∠BCM， ∴∠MCP＝∠BCP， ∴∠DCP＝∠NCP． ∵CD＝CM， ∴CD＝CN， ∴CH⊥DN， ∴∠DHC＝∠B＝90°， ∴△CDH∽△PCB； （2）解：△CDH与△PCB还会相似．理由如下： 如图，设BC与DN的交点为点E， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝AD， ∴四边形ABCD为正方形， ∴∠CAB＝45°，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝BC，AB∥CD． 将线段CM绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，点M与点A重合， ∴CA＝CN，∠ACN＝90°， ∴∠CNA＝∠CAN＝45°， ∴△ACN为等腰直角三角形． ∵∠ABC＝90°， ∴AB＝BN＝BC＝CD． ∵AB∥CD， ∴∠CDE＝∠BNE，∠DCE＝∠NBE＝90°． 在△DCE和△NBE中， ， ∴△DCE≌△NBE（ASA）， ∴，DE＝NE． ∵P为BM的中点， ∴， ∴BP＝BE． 在△CBP和△NBE中， ， ∴△CBP≌△NBE（SAS）， ∴∠BCP＝∠BNE． ∵∠BEN+∠BNE＝90°，∠BEN＝∠CEH， ∴∠BCP+∠CEH＝90°， ∴∠CHE＝180°﹣（∠BCP+∠CEH）＝90°， ∴∠DHC＝180°﹣∠CHE＝90°＝∠PBC． ∵AB∥CD， ∴∠DCH＝∠CPB， ∴△CDH∽△PCB； （3）解：．理由如下： 由（2）可得：∠BCP＝∠DNA，AN＝2AB＝2BC， ∵∠PBC＝∠DAN＝90°， ∴△DAN∽△PBC， ∴． 30．【问题探究】 （1）在正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN． ①如图1，若MC＝CN，求证：∠BAM＝∠DAN； ②如图2，延长AM交DC的延长线于点F，延长AN交BC的延长线于点E，连接AC，若∠MAN＝45°，求证：△ACF∽△ECA； 【问题解决】 （2）如图3，某市计划在新建的“和谐公园”中修建一处特色景观广场，设计图纸如下：在正方形广场ABCD中，A处为入口，在广场内设置两条观光路线AM、AN（点M、N分别在边BC、CD上）．在M、N处分别建造花坛和喷泉，对角线BD是一条石板步道，AM、AN分别交BD于点G、H，过点M作TM⊥BC交BD于点T，在点T和点H处安装路灯．为了保证游客从入口看向花坛和喷泉时的视野夹角更舒适，需使∠MAN的度数为45°，请你帮助工程师计算TH和HD的数量关系，并说明理由．（步道宽度及花坛、喷泉大小忽略不计） 【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝90°， ∵CM＝CN， ∴BM＝DN， ∴△ABM≌△ADN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN； ②∵∠MAN＝45°， ∴∠FAC+∠CAE＝45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴∠CAE+∠AEC＝45°， ∴∠FAC＝∠AEC， 同理得：∠CFA＝∠CAE， ∴△ACF∽△ECA； （2）解：TH＝HD，理由如下： 如图，连接AC，过点T作TP⊥DC于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACM＝∠ADH＝∠CAD＝45°＝∠MAN， ∴∠MAC+∠CAN＝∠HAD+∠CAN， ∴∠MAC＝∠HAD， ∴△AMC∽△AHD， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴， ∴， ∴， ∵TP⊥CD， ∴∠DPT＝90° ∵∠PDT＝45°， ∴△DTP是等腰直角三角形，且PD＝PT， ∴， ∵MT⊥BC， ∴∠CMT＝90°＝∠PCM＝∠CPT， ∴四边形PCMT是矩形， ∴CM＝PT， ∴， ∴TH＝HD． 31．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图2，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，则BE与DG的数量关系为BE＝DG ，位置关系为BE⊥DG ；（直接写出答案） （2）把背景中的正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转至如图3，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若AE＝2，AB＝5，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值． 【解答】解：（1）BE与DG的数量关系为BE＝DG，位置关系为BE⊥DG．理由如下： 如图2，延长DG交BE于M，交AB于N， ∵四边形ABCD、四边形EFGA为正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠GAE＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG． 在△DAG和△BAE中， ， ∴△DAG≌△BAE（SAS）， ∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE． ∵∠AND＝∠BNM， ∴∠BMN＝∠NAD＝90°， ∴BE⊥DG， 故答案为：BE＝DG，BE⊥DG； （2），BE⊥DG．理由如下： 如图3，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P， ∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形， ∴∠EAG＝∠BAD＝90°， ∴∠EAB＝∠GAD． ∵， ∴△EAB∽△GAD， ∴，∠BEA＝∠AGD． ∵∠APE＝∠GPQ， ∴∠EAP＝∠GQP＝90°， ∴BE⊥DG； （3）如图4，连接GE，BD， ∵，AE＝2，AB＝5， ∴AG＝3，， 在直角三角形AEG中，由勾股定理得：EG2＝AE2+AG2＝22+32＝13， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， 由（2）知∠GQP＝90°， ∴∠GQP＝∠EQD＝∠BQD＝∠BQG＝90°， 在直角三角形DEQ中，由勾股定理得：DE2＝DQ2+QE2， 在直角三角形BGQ中，由勾股定理得：BG2＝QG2+QB2， 在直角三角形EGQ中，由勾股定理得：QE2+QG2＝EG2， 在直角三角形BDQ中，由勾股定理得：DQ2+QB2＝BD2， ∴DE2+BG2＝DQ2+QE2+QG2+QB2＝EG2+BD2＝13． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【北师大版】2026-2027年9年级上数学期中测试解答压轴题汇编（3-3） 一．一元二次方程的应用（共1小题） 1．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：BQ＝ _________ ，PB＝ ____________ （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 二．一元二次方程的应用（共1小题） 2．“户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到169亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元每千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低0.5元，每天可多售出25千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 三．配方法的应用（共1小题） 3．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 原式：＝2x2+4x﹣6 ＝2（x2+2x）﹣6 ＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6 ＝2（x+1）2﹣8． ∵（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2﹣8≥﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值是﹣8． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： （1）当x＝_____ 时代数式x2﹣6x+14有最小值是_____ ； （2）当m、n满足什么条件时，多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值，并求出这个最小值． （3）在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP、QD、PD．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设△QPD的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 四．一次函数综合题（共1小题） 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与直线y＝2x相交于点A，与x轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）点P在直线AB上，是否存在平面内一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； （3）平面内一动点C（m，n）满足n＝﹣m2+am+1（a为常数），过AC两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求a的值． 六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x﹣4与反比例函数y的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（5n，n）和（m，﹣5）． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数y图象上任意一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标． 七．二次函数几何综合_存在型_三角形（共1小题） 6．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的关系式； （2）M是第四象限抛物线上一点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形ABMC的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 八．二次函数几何综合_变换型（共1小题） 7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 九．三角形综合题（共2小题） 8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，线段AD绕点A在平面上旋转． （1）如图1，若∠BAC＝α，线段AD旋转到BA延长线上，过点D作DE⊥BC，交BC、AC于E，F，求∠AFD的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，若∠BAC＝90°，线段AD绕点A旋转过程中，点D恰好落在边BC上，过点C作CE∥AB，连接DE，使得AD⊥DE且AD＝DE，求证：； （3）如图3，若∠BAC＝90°，，连接BD，过点C作CE⊥BD，交BD延长线DE于点E．当BE取最大值时，请直接写出的值． 9．综合与实践 如图，△ABC是等边三角形，点D是射线AC上一个动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE，连接CE，DE． 观察发现 （1）∠BDE＝_______ °，∠BCE＝_______ °； 迁移探究 （2）当点D在线段AC上，请判断线段AB，CD，CE三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点D在射线AC上，直线BC和直线DE相交于点F，且CE＝3CD，请直接写出的值． 十．三角形综合_运动型（共1小题） 10．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O． （1）求证：AD＝BE； （2）若BO＝6OE，求CD的长． （3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式． 十一．菱形的判定与性质（共1小题） 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当∠A满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 十二．正方形的性质（共1小题） 12．在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形ABCD边BC、CD上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形ABCD为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），∠EAF＝45°，延长CD至G，使DG＝BE，BE＝2，DF＝3，则EF＝ _____ ；在图2中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，BE＝1，FD＝1.5，则EF＝ ________ ； 归纳证明： （2）在图3中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段BE，EF，FD之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 十三．正方形的性质（共1小题） 13．如图，某农户准备用34m长的栅栏围一个矩形羊圈ABCD和一个边长为1m的正方形狗屋CEFG，点E、G分别在边CD，BC上（图中阴影部分为羊的活动区域），其中AD边靠墙（墙面足够长，靠墙的一面不用栅栏，EF、FG用栅栏）． （1）若羊的活动区域的面积为95m2，求AB的长； （2）羊的活动区域的面积能否为130m2？若能，求出此时边AB的长；若不能，请说明理由． 十四．四边形综合题（共7小题） 14．【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE，AF与BC，CD分别交于E、F两点，为了探究EF，BE，DF之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图2，延长CB到点H，使BH＝DF，连接AH，先证明△ADF≌△ABH，再证明△AHE≌△AFE．从而得到EF，BE，DF之间的数量关系． 【提出问题】（1）EF，BE，DF之间的数量关系为_____________ ； 【知识应用】（2）如图3，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，以A为顶点的∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，AE，AF与BC，CD分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【知识拓展】（3）如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD＝9，BC＝15，CD＝10．∠ABC+∠D＝180°，AE，AF与BC，CD分别交于E、F两点，且，请直接写出△EFC的周长＝_______ ． 15．【问题探究】 （1）如图，已知正方形ABCD，点E在边AB上，点H在射线BC上，连接DE． ①如图1，当点H在BC边上时，过点H作HG⊥DE交DE于点O，则线段DE_____ GH；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段GH，使点G与点D重合，点H在BC的延长线上，连接EH，取EH的中点P，连接PC，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为7km的正方形农田ABCD，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库E、H、G（大小忽略不计）分别在边AB、BC、AD上，DE、GH是两条水渠，水渠DE和GH相交于点O．已知∠GOD＝45°，水渠HGkm，求水库E到农田边AD的距离AE． 16．【问题探究】 （1）如图1，已知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．AM＝4，BN＝6，MN＝20，则AC+BC＝_________________ ． （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接EF，点M和点N分别是边BC、EF的中点．探究BE与MN的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，正方形ABCD是一块花卉种植基地，边长为4千米，对角线BD为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路BD上确定一点E（不与点B、D重合）．连接AE，以线段AE为斜边，在AE右侧建等腰直角△AEF区域（∠AFE＝90°），用来种植新品花卉，并在F处设立观赏台．G点和D点为基地的两个景观点，G在BD上且BG＝3GD．现要沿FD、FG修建观赏步道，请确定步道FG+FD的最小值．并求出当FG+FD最小时，花卉种植区域的面积（即△AEF的面积）． 17．如图1，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，延长AD至点E，使得AE＝AC，连接CE，点F为CE中点，连接AF，交BD于点G，连接DF． （1）求证：∠OCF＝∠ODF； （2）如图2，H是AE上一点，连接FH，且∠GFH＝∠DFE． ①求证：EH＝DG； ②若AC＝4，CE＝8，求AG的长． 18．（1）【课本再现】如图1，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，则线段MN是△ABC的中位线，请叙述三角形的中位线定理：____________________ ； （2）【触类旁通】如图2，△EFG的面积是10，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△ABC的面积是_______ ； （3）【深度发现】已知：如图3，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．连接DF、FG、EG、DE，试判断四边形DFGE的形状，并说明理由； （4）【探索运用】现将一大一小两个三角板按照如图4所示的方式摆放，C、E、B三点在一条直线上（∠B＝30°），其中AC＝BD＝4，三角板DEB从图4所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转（0°＜旋转角＜150°），在三角板DEB旋转的过程中，取AD的中点G，连接CG，CG是否存在最大值？若存在，请直接写出CG的最大值；若不存在，请说明理由． 19．定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是_____ ． A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 （2）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边上一动点（E不与A，B重合），DE交AC于点F，过F作FG⊥DE交BC于点G． ①判断四边形CDFG是否为“奇妙四边形”，并说明理由； ②若四边形BGFE是“奇妙四边形”，连接DG，请直接写出△DFG的面积． 20．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____ ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形ABCD的对角线AC，BD的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （4）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． 十五．四边形综合题（共1小题） 21．在▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F． （1）【问题解决】AC旋转过程中，当∠AOF＝90°时，四边形ABEF是__________ ．（填四边形形状） （2）【类比探究】试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等． （3）【拓展应用】在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请证明并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数． 十六．四边形综合_存在型_特殊四边形（共1小题） 22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）用t的代数式表示：AE＝_______ ；DF＝_______ ； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 十七．四边形综合_创新型（共2小题） 23．【初步感知】 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，求出图中线段EF，AE，FC之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△CDM位置，如图1，根据“旋转的性质”分析CM与AE之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段EF，AE，FC之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，将∠EDF沿DF进行翻折，得到∠MDF，射线DM交边BC的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段EF，AE，FC之间的数量关系． 任选一位同学的分析，可以得到线段EF，AE，FC之间的数量关系是 _____________ ． 【类比探究】 如图3，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD的延长线上，且∠EAF＝45°，连接EF，试问线段EF，BE，DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】 如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝10，CF＝6，直接写出BE的长． 24．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）探究猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：_______ ； ②BC、CD、CF之间的数量关系为：_____________ ； （2）深入思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2，CDBC，请求出OC的长． 十八．几何变换综合题（共1小题） 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，0°＜∠ABC＜45°．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥BC于点E． （1）求证：△ABC≌△BDE． （2）用圆规和无刻度的直尺作∠ABD的平分线与AC的延长线相交于点F，连结DF并延长与BC的延长线相交于点P．（保留作图痕迹） ①求证：DF＝BE+CF． ②若∠A＝α，则∠P的大小为_____________ 度．（用含α的代数式表示） 十九．相似形综合题（共6小题） 26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求： （1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少． （2）当t为多少时，PQ的长度等于4？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？ 27．综合与实践 【问题情境】 如图1，点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足分别为点E，F． （1）求证：四边形CEGF是正方形． （2）求的值． 【类比探究】 （3）如图2，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜45°），试探究线段AG与BE长度之间的数量关系． 28．综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等． 【动手操作】如图，已知菱形ABCD，求作点O，使得点O到三个顶点A，D，C的距离相等． 小红同学设计如下作图步骤； ①连接BD； ②分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径在AD的上方与下方作弧，AD上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线MN交BD于点O； ③连接OA，OC，则OA＝OD＝OC． （1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【证明结论】 （2）求证：OA＝OD＝OC． 【拓展延伸】 （3）当∠ABC＝72°时， ①求证：△OAD∽△ABD； ②直接写出△OBC与△OAD的面积比． 29．在矩形ABCD中，M为直线AB上的点（不与点B重合），连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，点P为线段BM上一点，连接DN和CP，CP与DN相交于点H． （1）如图1，若CD＝CM，CP平分∠BCM，求证：△CDH∽△PCB． （2）如图2，若AB＝AD，点M与点A重合，P为BM的中点，△CDH与△PCB还会相似吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下请直接写出的值． 30．【问题探究】 （1）在正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN． ①如图1，若MC＝CN，求证：∠BAM＝∠DAN； ②如图2，延长AM交DC的延长线于点F，延长AN交BC的延长线于点E，连接AC，若∠MAN＝45°，求证：△ACF∽△ECA； 【问题解决】 （2）如图3，某市计划在新建的“和谐公园”中修建一处特色景观广场，设计图纸如下：在正方形广场ABCD中，A处为入口，在广场内设置两条观光路线AM、AN（点M、N分别在边BC、CD上）．在M、N处分别建造花坛和喷泉，对角线BD是一条石板步道，AM、AN分别交BD于点G、H，过点M作TM⊥BC交BD于点T，在点T和点H处安装路灯．为了保证游客从入口看向花坛和喷泉时的视野夹角更舒适，需使∠MAN的度数为45°，请你帮助工程师计算TH和HD的数量关系，并说明理由．（步道宽度及花坛、喷泉大小忽略不计） 31．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图2，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，则BE与DG的数量关系为__________ ，位置关系为__________ ；（直接写出答案） （2）把背景中的正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转至如图3，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若AE＝2，AB＝5，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $