2026-2027年九年级数学上学期期中解答压轴题汇编（Word版）-2026-2027年初中数学上册期中测试压轴题汇编（人教版）

【人教版】2026-2027年9年级数学上学期期中解答压轴题汇编（3-3） 参考答案与试题解析 一．解答题（共34小题） 1．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（b，c为常数，b＞﹣1）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C． （Ⅰ）当b＝4时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）当AC＝AB时，求b的值； （Ⅲ）将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得线段AD，点C的对应点为D，若点D在抛物线上，求b的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）在抛物线上， ∴﹣2﹣b+c＝0，即c＝b+2． 当b＝4时，y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，8）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，y＝﹣2x2+bx+b+2， ∴点C的坐标为（0，b+2），抛物线的对称轴为直线， ∵b＞﹣1， ∴OC＝b+2． ∵点A（﹣1，0）， ∴OA＝1，点B的坐标为， ∴． 在Rt△AOC中，得AC2＝OA2+OC2＝1+（b+2）2， ∵AC＝AB， ∴， 解得，b2＝﹣2（舍去）． ∴所求b的值为； （Ⅲ）过点D作DH⊥x轴于点H．如图所示： ∴∠AHD＝90°，得∠HAD+∠ADH＝90°， ∵∠CAD＝90°，有∠CAO+∠HAD＝90°， ∴∠ADH＝∠CAO． 又∵AD＝AC，∠AHD＝∠AOC＝90°， ∴△ADH≌△CAO（AAS）． ∴DH＝AO＝1，AH＝OC＝b+2． 由OH＝AH﹣AO，得OH＝b+1． ∴点D的坐标为（b+1，﹣1）． ∵点D在抛物线y＝﹣2x2+bx+b+2上， ∴﹣1＝﹣2（b+1）2+b（b+1）+b+2． 即b2+2b﹣1＝0， 解得，（舍去）． ∴所求b的值为． 2．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，顶点为D，点，连接AD，BD，BE，求证：∠ADB＝2∠DBE； （3）当a≤x≤2时，y的取值范围是m≤y≤n，且m+n＝﹣2，求a的值； （4）已知直线FG∥BC，且与抛物线交于F，G两点（点F在点G的左侧）．当直线FG在直线BC下方运动时，作直线CF与直线BG交于点H，在直线FG运动的过程中，点H的横坐标是否是一个定值，若是，请直接写出点H的横坐标；若不是，请说明理由． 【解答】（1）解：∵点（﹣1，0），（0，﹣3）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）证明：过点D作DM⊥x轴于点M，交BE于点N， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴点B（3，0）． ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点D为（1，﹣4）． 设yBE＝kx+b1， ∵点B（3，0），点在yBE＝kx+b1的图象上， ∴， 解得， ∴， 当x＝1时，， ∴， ∴， ∴∠BDN＝∠DBE． ∵点A，B关于直线x＝1对称， ∴AD＝BD， ∵DM⊥x轴， ∴∠ADB＝2∠BDN， ∴∠ADB＝2∠DBE； （3）解：∵1＞0， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1， 当x＝1时，y有最小值为﹣4， ∵a≤x≤2， 当x＝a时，y＝a2﹣2a﹣3， 当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3， ∵﹣4+（﹣3）＝﹣7≠﹣2， ①当a≤1时，a2﹣2a﹣3+（﹣4）＝﹣2， 解得，（舍），； ②当1＜a≤2时，a2﹣2a﹣3+（﹣3）＝﹣2， 解得，（舍），（舍）． 综上所述，a的值为； （4）解：如图， 设直线BC的解析式为y＝k“x+b”， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3； ∵BC∥FG， ∴可设直线FG的解析式为y＝x+t，联立， 得x2﹣3x﹣3﹣t＝0； 设F（m，m2﹣2m﹣3），G（n，n2﹣2n﹣3）， ∴m+n＝3，即n＝3﹣m， 设直线FC的解析式为y＝k2x+b2， ∴， 解得， ∴直线FC的解析式为y＝（m﹣2）x﹣3， 同理可得直线BG的解析式为y＝（n+1）x﹣3n﹣3， 联立， 得（m﹣2）x﹣3＝（n+1）x﹣3n﹣3， 解得， ∴点H的横坐标为； ∴在直线FG运动的过程中，点H的横坐标是一个定值，为． 3．在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（a，b）和过点Q垂直于x轴的直线l．对于点P和图形W，给出如下定义：将点P关于直线l的对称点向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，若点P'在图形W上，则称点P是图形W关于点Q的关联点”． （1）已知点A（1，0），B（1，1），C（0，1）和点Q（1，2）． ①在点P1（2，﹣1），，P3（1，﹣3）中，正方形OABC关于点Q的“关联点”是P1和P2 ； ②若点D是正方形OABC关于点Q的“关联点”，直接写出OD长的最大值； （2）已知点E（t，0），F（t+1，0），G（t+1，1），H（t，1）和点Q（﹣t+1，﹣t+2）．若存在点P是正方形EFGH关于点Q的“关联点”，使得△POQ是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出t的取值范围． 【解答】解：①如图，可以看出当P1关于直线l的对称点P1′向上平移2个单位长度则与点C重合，P2的对称点P2′向上平移2个单位长度后在OA的中点，都在正方形OABC上，所以P1、P2是正方形OABC关于点Q的“关联点”，而P3不符合要求． 故答案为：P1和P2． ②如①题图，当点D在正方形EFP2P1上时，点D关于直线l的对称点向上平移2个单位长度都在正方形OABC上．可以看出OD的最大值为OP2的长度．OP22． ∴OD长的最大值为2． （2）根据“关联点”的定义，当点P′在正方形EFGH上时，可得点P应该在正方形E′F′G′H′上， 则各点坐标为E′（﹣3t+2，t﹣2），F′（﹣3t+1，t﹣2），G′（﹣3t+1，t﹣1），H′（﹣3t+2，t﹣1）． ∵△POQ是以点O为直角顶点的等腰直角三角形， ∴点P相当于点Q绕点O逆时针或顺时针旋转90°，则点P坐标为（﹣t+2，t﹣1）或（t﹣2，﹣t+1）． 由于点P在正方形E′F′G′H′上，观察点P纵坐标与正方形各顶点纵坐标，由于t﹣1≠t﹣2，故分两种情况： ①点P（﹣t+2，t﹣1）纵坐标与G′、H′的纵坐标相同， ∴点P（﹣t+2，t﹣1）在线段G′H′上， ∴﹣3t+1≤﹣t+2≤﹣3t+2，即0≥t． ②当﹣t+1＝t﹣2时，即t，由于﹣3t+1≤﹣3t+2≤t﹣2，点P′不在线段E′F′上，故t不符合题意．当﹣t+1＝t﹣1时，即t＝1，满足﹣3t+1≤t﹣2≤﹣3t+2，点P′在线段G′H′上，则t＝1符合题意． 故t的取值范围为0≥t或t＝1． 4．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA． （1）求抛物线解析式； （2）点M是直线AC上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形ABCM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； （3）如图2，D（0，﹣2），连接BD，将△OBD绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′．若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标． 【解答】解：（1）由A（﹣3，0），且OC＝OA可得A（﹣3，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 将C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）如图1， 设直线AC解析式为y＝kx+d， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴， 解得， ∴直线AC解析式为y＝x+3， 设M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（m，m+3），则MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0）， S△ACM＝S△AMN+S△CMNMN×3， ∴S＝S△ACM+S△ABC4×36， ∵MN＝﹣m2﹣3m， 而a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0， ∴m时，MN最大，此时S△ACM最大，S△ACM，此时S也最大， ∴四边形ABCM的最大面积S6． （3）如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等． ∵O′B′＝OB＝1，O′D′＝OD＝2， 设B′（t，﹣t2﹣2t+3），则D′（t+1，﹣t2﹣2t+3+2）， ∵D′在抛物线上，则﹣（t+1）2﹣2（t+1）+3＝﹣t2﹣2t+3+2， 解得，t，则B′的坐标为（，）， P是点B（1，0）和点B′（，）的对称中心， ，， ∴P（，）． 5．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“美好函数”，该点称为“美好点”，例如：“美好函数”y＝x+1，其“美好点”为（1，2）． （1）判断：函数y＝2x+3　不是　 “美好函数”（填“是”或“不是”）； （2）若抛物线上有两个“美好点”，求m的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“美好点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值． 【解答】解：（1）①令2x+3＝2x，方程无解， ∴函数y＝2x+3不是“美好函数”； 故答案为：不是； （2）由题意可知，2x， 整理得，（m﹣1）x2+（m﹣2）xm＝0， ∵抛物线上有两个“美好点”， ∴Δ＝（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）＞0且m﹣1≠0， 解得m且m≠1． （3）由题意可知，x2+（m﹣k+2）x2x， 整理得，x2+（m﹣k）x0， ∴Δ＝（m﹣k）2﹣4（）＝0， 整理得，n＝（m﹣k）2+2k（﹣1≤m≤3）， 对称轴为直线m＝k，此时n的最小值为2k； 根据题意需要分类讨论： ①当﹣1≤k≤3时，n的最小值为2k， ∵当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k， ∴2k＝k， ∴k＝0； ②当k＞3时，n的最小值为n＝（3﹣k）2+2k＝k，无解； ③当k＜﹣1时，n的最小值为n＝（﹣1﹣k）2+2k＝k， ∴k或k（舍去）． 综上，k的值为0或． 6．如图1，四边形ABCD的边AB，BC，CD均与⊙O相切，切点分别为E，F，G，且AB≠AD，连接OD，OD平分∠ADC． （1）求证：AD与⊙O相切； （2）如图2，记AD与⊙O的公共点为点H，连接EG，FH交于点I，若EG⊥FH，求证：四边形ABCD对角互补； （3）如图3，⊙O的半径为r，连接AC，BD，AC与⊙O交于点M，N，BD与⊙O交于点P，Q，AC⊥BD，连接PM，令PM＝x，MN＝y，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【解答】（1）证明：如图1，CD与⊙O相切，连接OG，过点O作OH⊥AD于点H， ∴OG⊥CD， 又∵OD平分∠ADC， ∴OG＝OH， ∴OH是圆的半径， ∴AD与⊙O相切； （2）证明：如图2，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OE，OF，OG，OH，HG， ∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD， ∴∠OEA＝∠OHA＝90°， 在四边形AEOH中，∠A+∠EOH＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 同理可证，∠FOG+∠C＝180°． ∵EG⊥FH， ∴∠IGH+∠IHG＝90°， ∵∠EOH＝2∠EGH，∠GOF＝2∠GHF， ∴∠FOG+∠EOH＝180°， ∴∠A+∠C＝180°， ∴四边形ABCD对角互补； （3）解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆， ∴AB+CD＝AD+BC，① 记AC与BD的交点为点T， ∵AC⊥BD， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2＝AT2+BT2+CT2+DT2，② 由①②可得AB•CD＝AD•BC， 设AB+CD＝AD+BC＝m，AB•CD＝AD•BC＝n， ∴AB，CD和AD，BC都是方程x2﹣mx+n＝0的两根， 又∵AB≠AD， ∴AB＝BC，AD＝CD， 又∵AC⊥BD， ∴BD平分∠ABC， ∴PQ为直径， 连接MQ，则∠PMQ＝90°， 在直角三角形MPQ中，由勾股定理得：， ∴， ∵PQ为直径，AC⊥BD， ∴MN＝2MT， ∴． 7．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点C和⊙O的弦AB，给出如下定义：点C向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C′，若点C′在弦AB上，且不与点A，B重合，则称点C是弦AB的“伴随点”． （1）如图，点A（0，1），B（﹣1，0），在点C1（0.5，1.5），C2（1，1），C3（2，0）中，弦AB的“伴随点”是C1 ； （2）已知D是直线y＝x上一点，且存在⊙O的弦EF＝1，使得点D是弦EF的“伴随点”．记点D的横坐标为t，直接写出t的取值范围； （3）已知点M（m，0.5），N（m+1，0.5）．对于线段MN上任意一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“伴随点”，将点S对应的弦PQ的长度的最小值记为d，直接写出d的最大值及m的取值范围． 【解答】解：（1）根据新定义，将弦AB向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 则平移后经过点C1，则C1是弦AB的“伴随点”， 故答案为：C1； （2）⊙O的弦EF＝1，⊙O的半径为1． ∴△OEF是等边三角形， 设OM⊥EF， 则， ∴EF在的圆环内， 如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以G（1，1）为圆心的圆环，设y＝x分别和圆环交于D1，D2，D3，D4， 则点D是弦EF的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合）， 由于y＝x与x轴的夹角为45°， ∴D1的横坐标为，D2的横坐标为， 同理可得D3的横坐标为，D4的横坐标为， ∴或； （3）如图，将⊙O向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以G（1，1）为圆心的圆，设P1Q1为PQ的对应弦， 线段MN上任意一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“伴随点”，则P1Q1为的圆环内的弦， 当S经过r的⊙G的切点时，d取得最小值dmin， 当S为半径为⊙G的切点时，即P1Q1的中点时，dmin取得最大值， ∵点，在上， ∴PQ的最大值为P1Q1， ∴， ∴d的最大值为， ∴，， ∵，，， 即MN是线段P1Q1上的点，当M，P1重合时m取得最小值，当N，Q1重合时m取得最大值，而不包括端点，则不能取等于号， ∴． 8．在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和直线l，给出如下定义：将图形M绕点O顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到图形M′，再将图形M′关于直线l对称，得到图形N，则称图形N为图形M的“α﹣l变换图形”． （1）已知点A（2，2），B（0，3），图形M为线段AB． ①当直线l为y轴时，图形M的“90°﹣l变换图形”为N，则以下说法正确的是D ； A．图形M与图形N关于原点中心对称 B．图形M与图形N关于y轴对称 C．图形M与图形N关于直线y＝x对称 D．图形M与图形N关于直线y＝﹣x对称 ②当直线l为y＝x时，若图形M的“α﹣l变换图形”与x轴负半轴有公共点，直接写出α的取值范围； （2）已知正方形EFGH的顶点坐标分别为E（3，3），F（3，﹣3），G（﹣3，﹣3），H（﹣3，3），长为的线段CD（点C在点D左侧）在直线上，且点C的横坐标为t，直线l由直线x＝0绕点（0，t）逆时针旋转30°得到．若线段CD的“120°﹣l变换图形”与正方形EFGH有公共点，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）①线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B'， ∵A（2，2），B（0，3）， ∴A'（2，﹣2），B'（3，0）， 将线段A'B'关于y轴对称，得到线段A''B''， 其中A''（﹣2，﹣2），B''（﹣3，0）， 则线段A''B''与线段AB关于直线y＝﹣x对称， ∴此时图形M与图形N关于直线y＝﹣x对称， 故答案为：D； ②若图形M的“α﹣l变换图形”与x轴负半轴有公共点，即图形N与x轴负半轴有公共点， ∵图形N是由AB旋转后的A'B'关于y＝x对称得到的， ∴将N与x轴负半轴都关于y＝x对称回去，即A'B'与y轴负半轴有交点． ∵，OB＝OB'＝3， 则A'在以O为圆心，为半径的⊙O上，B'在以O为圆心，3为半径的⊙O上． 要使得A'B'与x轴负半轴有交点，即找到临界状态即可， 当A'落在y轴负半轴上时，α＝∠AOA'＝45°+90°＝135°， 当B'落在y轴负半轴上时，α＝∠BOB'＝180°， ∴135°≤α≤180°； （2）如图，直线l由直线x＝0绕点（0，t）逆时针旋转30°得到， 设点B坐标为（0，t）， 则B（0，t），OB＝t，∠1＝30°， ∴， ∴， 设直线l解析式为y＝kx+t， 代入，得：， 解得：， ∴直线l解析式为， ∵正方形EFGH的顶点坐标分别为E（3，3），F（3，﹣3），G（﹣3，﹣3），H（﹣3，3）， ∴正方形EFGH的中心为点O（0，0）， 将正方形EFGH关于直线对称，设正方形中心O对称点为O'， 如图，过点O'作O'K⊥x轴，则BA⊥OO'，， ∵OB＝t，∠1＝30°， ∴∠2＝60°＝∠3，∠5＝60°， ∴∠4＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴，， ∴， ∴点O'为， 再将正方形E'F′G'H′绕点O逆时针旋转120°得到正方形E''F''G''H''， 设点O对应的为点O''，则∠O'OO''＝120°， ∴∠6＝120°﹣∠5＝60°， ∴∠5＝∠6， ∴点O和点O''关于y轴对称， ∴， ∵如图，长为的线段CD（点C在点D左侧）在直线上，且点C的横坐标为t，过点C作CG⊥y轴，过点D作DG⊥x轴， 则， 令y＝0，则， 解得：x＝﹣2， 令x＝0，则y＝1， ∴OM＝1，ON＝2，， ∴，， ∴，， ∴DG＝1，CG＝2， ∴， ∵直线与x轴夹角为∠2＝60°，那么原本水平的HE，翻折后会与x轴形成60°夹角，那么再绕点O旋转120°，会再次平行于x轴． 要使得线段CD的“120°﹣l变换图形”与正方形EFGH有公共点，则CD与E''F''G''H''有交点即可，如图， ∵， ∴线段E''F''在直线上，线段H''G''在直线上， ∵，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，或． 9．定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． （1）如图1，等边△ABC为⊙O的内接三角形，过点O作OE，BC交BC于点D，交⊙O于点E，判断△ABC　是　 （填“是”或“不是”）⊙O的“梦之三角形”，请说明理由； （2）如图2，已知△ABC是⊙O的“梦之三角形”，其内心I关于BC的对称点F在⊙O上，若BC＝6，求⊙O的半径； （3）如图3，已知⊙O的半径为，弦BC＝24，点A在⊙O上，若△ABC为⊙O的“梦之三角形”，求AC的长度． 【解答】解：（1）是，理由如下： 如图，连接OB，OC， ∵△ABC为⊙O的内接等边三角形， ∴∠BAC＝60°，点O为△ABC的内心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵OE⊥BC，且OB＝OC， ∴∠OBD＝90°﹣∠BOD＝30°， ∴， ∵OB＝OE， ∴， ∴等边△ABC的内心O关于BC的对称点E在⊙O上， ∴△ABC是⊙O的“梦之三角形”． 故答案为：是； （2）如图，连接IB，IC，FB，FC， 设∠ABI＝α，∠ACI＝β， ∵I是△ABC的内心， ∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB， ∴∠ABI＝∠CBI＝α，∠ACI＝∠BCI＝β， ∵点I和点F关于BC对称， ∴∠FBC＝∠CBI＝α，∠FCB＝∠BCI＝β， ∴∠ABF＝3α，∠ACF＝3β， ∵∠ABF+∠ACF＝180°， 即3α+3β＝180°， ∴α+β＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝2α+2β＝120°， ∴∠BAC＝60°； 连接OB，OC，过点O作OG⊥BC于点G， 则， ∵∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∴∠OBG＝∠OCG＝30°， 设圆的半径为r， 则， ∴， 解得：， 即⊙O的半径为； （3）由（2）知若△ABC为⊙O的“梦之三角形”，则△ABC必有一个角为60°， 若∠BAC＝60°，如图，连接OB，OC， 可知∠BOC＝120°， ∴， 因此，∠BAC≠60°． 分两种情况进行讨论： ①当∠ACB＝60°时，如图，连接OB，OA1， 可知∠BOA1＝120°， ∴， 过B作BM⊥A1C于点M， ∵∠BCA1＝60°， ∴， ， 在Rt△A1BM中， ， ∴A1C＝A1M+CM＝15； 过B作BN⊥A2C，此时CN＝12，A2N＝3， ∴A2C＝CN﹣A2N＝9； ②当∠ABC＝60°时， 此时A3C为60°对边， 如图，连接OA3，OC， 可知∠A3OC＝120°， ∴， ∴A3C＝A4C＝21； 综上，AC可能的值为9或15或21． 10．如图1，半径为4的⊙O中，点C是上的一个动点，∠AOB＝120°，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE． （1）求DE的长； （2）记△OAB的内心为I，外心为T，求I，T两点间的距离； （3）如图2，连接OD，OE，分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S1•S2时，求弦AC的长． 【解答】解：（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F， ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝120°， ∴， ∵OF⊥AB， ∴，AB＝2AF， ∴， ∴， ∵点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点， ∴DE是△ACB的中位线， ∴； （2）如图，过点O作OF⊥AB于点F，连接AI、BI，作IH⊥OA于H，IK⊥OB于K， ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝120°，OF⊥AB， ∴， ∵记△OAB的内心为I， ∴AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，点I在OF上， ∴由角平分线的性质定理可得：IF＝IH＝IK， ∵，， ∴， ∴， 延长OF 交⊙O于点T，连接AT，BT， ∵OA＝OB＝OT＝4，∠AOF＝∠BOF＝60°， ∴△AOT，△BOT均为等边三角形， ∴由等边三角形的性质可得，点T在边OA的垂直平分线上，点T在边OB的垂直平分线上， ∵由垂径定理可得OF垂直平分AB， ∴点T为△OAB的外心， ∴FT＝OT﹣OF＝4﹣2＝2， ∴； （3）如图，过点O作OF⊥AB于点F，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交DE于点N，过点C作CP⊥OF交OF延长线于点P，OP交DE于点Q， 则∠CMF＝∠CPF＝∠MFP＝90°， ∴四边形CMFP为矩形， ∴CP＝MF，CM＝FP， 由（1）可得DE是△ACB的中位线，AD＝CD， ∴DE∥AB， ∴，∠CNQ＝∠PQN＝∠MNQ＝∠FQN＝90°， ∴CN＝MN，四边形CPQN、MNQF均为矩形， ∴CN＝PQ＝FQ＝MN， ∵记△ODE，△CDE的面积为S1，S2， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴OP＝3， ∴FP＝OP﹣OF＝3﹣2＝1， ∴CM＝FP＝1， 连接OC， ∵， ∴， 当AC＜BC时，，此时， 当AC＞BC时，，此时； 综上所述，AC的长为或． 11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，c＞0）与x轴交于点A和点B（c，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E在线段BC（点B除外）上运动，将线段OE绕点O逆时针旋转90°得到线段OH． （Ⅰ）当c＝4时． ①若点A的坐标为（﹣1，0），求该抛物线顶点的坐标； ②若，且点H在抛物线上，求抛物线的解析式； （Ⅱ）当时，点P为第一象限的动点，∠OPB＝90°，连接PH．当PH取得最小值，且点H在抛物线上时，求c的值． 【解答】解：（Ⅰ）①抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，c＞0）与x轴交于点A和点B（c，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝c， ∴C（0，c）， ∵c＝4， ∴B（4，0），C（0，4）， 将点A（﹣1，0），点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即顶点坐标为； ②由①得B（4，0），C（0，4），则OB＝OC＝4，即△OBC为等腰直角三角形， 分别过点E，H作x的垂线，垂足分别为F，G，如图1， 则△BEF为等腰直角三角形，∠HGO＝∠OFE， 设BF＝EF＝t， 由可得，t2+t2＝2， 解得：t＝1或﹣1（不合题意，舍去）， ∴OF＝3，EF＝1， ∵将线段OE绕点O逆时针旋转90°得到线段OH． ∴∠EOH＝∠EFO＝∠HGO＝∠BOC＝90°，OH＝OE， ∴∠EOF+∠HOG＝∠HOG+∠GHO， ∴∠EOF＝∠GHO， 在△OEF和△HOG中， ， ∴△OEF≌△HOG（AAS）， ∴OG＝EF＝1，HG＝OF＝3，即H（﹣1，3）， 将C、B、H的坐标分别代入抛物线得： ， 解得：， 即抛物线的解析式为； （Ⅱ）由可得抛物线为， 取点D（﹣c，0），连接CH，CD， 由题意可得，OB＝OC，∠BOE＝∠COH，OE＝OH， ∴△OBE≌△OHC（SAS）， ∴∠OBE＝∠OCH＝∠OCD＝45°，即H在线段CD上运动， 设CD直线为y＝kx+t，将D（﹣c，0），C（0，c）代入得： ， 解得，即y＝x+c， 故设H（m，m+c）， 由∠OPB＝90°，点P为第一象限的动点，可得点P是在以OB为直径的半圆上运动， 取，连接MH，MP，如图2， 则， 由三角形三边关系可得，PH≥MH﹣MP，当P、M、H共线时，取得等号， 则当MH取得最小值时，PH取得最小值，， ∵2＞0，开口向上，对称轴为， ∴当时，MH2最小，即PH取得最小值，此时点， 将B、H代入抛物线得： ， 解得：， ∴． 12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，b＜0）与x轴相交于A，B两点A（﹣2，0），点C为抛物线与y轴的交点．点O的坐标为（0，0）． （Ⅰ）当a＝1，c＝﹣6时． ①求抛物线的解析式及点B的坐标； ②E（m，yE）是线段BC上一点，F是抛物线上一点，且EF∥y轴，求线段EF的最大值，及线段EF的值最大时点F的坐标； （Ⅱ）若点B（n，0），点P在抛物线对称轴l上． ①当，且AP+CP取得最小值为时，直接写出n的值和抛物线解析式； ②当∠OAC＝2∠OBC，且AP+CP取得最小值为时，直接写出抛物线解析式． 【解答】解：（I）①当a＝1，c＝﹣6时，y＝x2+bx﹣6， 把A（﹣2，0）代入y＝x2+bx﹣6，得：（﹣2）2﹣2b﹣6＝0， 解得b＝﹣1， ∴y＝x2﹣x﹣6， 当y＝x2﹣x﹣6＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣2， ∴B（3，0）； ②∵y＝x2﹣x﹣6， ∴当x＝0时，y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx﹣6， 把B（3，0）代入，得3k﹣6＝0， 解得k＝2， ∴y＝2x﹣6， ∴E（m，2m﹣6）， ∵EF∥y轴， ∴F（m，m2﹣m﹣6）， ∴， ∴当时，EF有最大值为，此时； （II）①∵，A（﹣2，0），B（n，0）， ∴， ∴当x＝0时，y＝﹣n，即C（0，﹣n）， ∵A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴AP+CP＝BP+CP≥BC， ∴当点P在线段BC上时，，值最小， ∴， 解得n＝±4， ∴或（不合题意，舍去）； ②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，b＜0）与x轴相交于A，B两点，A（﹣2，0）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧， ∴点B（n，0）在x轴的正半轴上，点C在y轴负半轴上， ∴n＞0， ∴y＝a（x+2）（x﹣n）＝ax2+a（2﹣n）x﹣2an， ∴当x＝0时，y＝﹣2an， ∴C（0，﹣2an）， ∵A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴AP+CP＝BP+CP≥BC， ∴当点P在线段BC上时，，值最小， ∴①； 作点A（﹣2，0）关于y轴的对称点D（2，0），连接CD， 则CA＝CD， ∴∠CAO＝∠CDO＝2∠CBO， ∵∠CDO＝∠CBO+∠DCB， ∴∠CBO＝∠DCB， ∴CD＝BD， ∴（2an）2+22＝（n﹣2）2②， 由①可知，，代入②， 得， 解得或（舍去）， ∴， 解得（负值舍去）； ∴． 13．如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0）， ∴． （2）当x＝0时，， ∴C（0，2）， 设直线BC为y＝kx+2， ∴3k+2＝0， 解得， ∴直线BC为， 设， ∴， ∴2PD+PE， 当时，有最大值， 此时． （3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK， ∴∠BCK＝∠BCT＝45°， ∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M， 如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3， ∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB， ∴∠QCT+∠CTQ＝90°＝∠CTQ+∠BTG， ∴∠QCT＝∠BTG， ∵CT＝BT， ∴△CQT≌△TGB（AAS）， ∴QT＝GB，CQ＝TG， 设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m， ∴QO＝3﹣m﹣2＝1﹣m， ∴T（m，m﹣1）， 由TC＝TB可得m2+（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（m﹣1）2， 解得， ∴， 设CT为y＝nx+2， ∴， 解得n＝﹣5， ∴直线CT为y＝﹣5x+2， ∴， 解得或， ∴，，C（0，2），B（3，0），正方形CTBK． ∴， 同理可得直线CK为， ∴， 解得或， ∴， 综上，点M的坐标为或． 14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点． （1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值； （2）当a时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值； （3）当a时，求MN+ND的最小值． 【解答】解：（1）∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4， ∴AB＝AC． 当点D和点N分别是AC和BC的中点时， 可得ADAC，BNBC＝2， 故a． （2）∵，AD＝aBN， ∴ADBN，设BN＝x，则，CN＝BC﹣BN＝4﹣x， ∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4， ∴，， ∵M是AB的中点， ∴， ∴∠B＝∠C＝45°， 当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况： ①当△CDN∽△BMN时，则， 即，此方程无解，不符合题意； ②当△CND∽△BMN时，则， ∴解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， 综上可得． （3）法一（几何法）： ∵，AD＝aBN， ∴． 以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE，则∠ADE＝∠C＝45°， 如图所示： ∴， ∴AE＝DE＝BN， ∵∠ADE＝∠C＝45°， ∴DE∥BN， ∴四边形EDNB为平行四边形， ∴BE＝DN， 将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF， 则BF＝AB＝2，∠ABF＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠NBF＝45°＝∠BAE， 又∵AB＝BF，AE＝BN， ∴△AEB≌△BNF（SAS）， ∴BE＝NF， ∴DN＝NF， ∴MN+ND＝MN+NF≥MF， ∴当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小为MF的长， 在Rt△MBF中，，， 故， ∴MN+ND的最小值为． 法二（代数法）：作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，如图所示： ∵BM， ∴BE＝ME＝1，设BN＝x， 则AD，CD＝AC﹣AD， ∵∠C＝45°， ∴DF＝CFCD＝2﹣x， ∴EN，NF＝BC﹣BN﹣CF＝4﹣x﹣2+x＝2， 由勾股定理可得MN+ND ， 上式结果可看成点（x，0）到点（1，1）和点（2，2）的距离之和， 欲求和最小，根据将军饮马原理，作点（1，1）关于x轴的对称点（1，﹣1）， 则MN+ND的最小值为； 法三（几何法）： 作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F， ∵BC＝4，△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝AC＝2， 设BN＝x，则ADx， 则CD＝2x，CF＝DF＝2﹣x， EF＝CE＝CF＝2﹣（2﹣x）＝x，故NE＝BE﹣BN＝2﹣x， 又∵AE＝NF＝NE+EF＝2﹣x+x＝2， 在△ANE和△NDF中， ， ∴△ANE≌△NDF（SAS）， ∴ND＝AN， ∴MN+AN＝MN+ND， 作M点关于BC的对称点H，连接AH， 则MN+ND≥NH+ND≥AH， 构造Rt△AGH，使∠AGH＝90°， 则AH， 即MN+ND的最小值为． 15．如图，AB，CD为圆O的直径，且AB⊥CD，点E是弧AD上的一个动点（不与点A，D重合），OF⊥AE于点F，OG⊥DE于点G，连接AD分别交OF，OG于点M，N． （1）如图1，若OA＝4，则FG＝ 　2　 ，∠FOG＝ 　45　 °； （2）如图2，连接OE交AD于点H，当四边形AODE的面积最大时，试判断线段AE和OM的数量关系，并说明理由； （3）在（1）的条件下，设AM＝x，记△OMN的面积为S1，以线段AM，MN，DN为边构成的三角形的外接圆的面积为S2，，试求y与x的函数关系，并求出y的最小值． 【解答】解：（1）连接OE， ∵AB⊥CD， ∴∠AOD＝90°， ∵OA＝OD＝4， ∴， ∵OF⊥AE于点F，OG⊥DE于点G， ∴EF＝AF，EG＝DG，∠AOF＝∠FOE，∠DOG＝∠EOG， ∴FG是△AED的中位线，∠FOG＝∠FOE+∠GOE， ∴FGAD＝2， 故答案为：，45； （2）AE＝OM．理由如下： 如图，向右平移直线AD得直线l，当直线l与弧AD相切时，直线l与直线AD的距离最大，此时切点E使△ADE的面积最大，OE⊥l， ∴OE⊥AD， ∴点E为弧AD的中点， ∵S四边形AODE＝S△AOD+S△ADE， 而S△AOD为定值， ∴当点E为弧AD中点时，△ADE的面积最大， 此时四边形AODE的面积最大． ∵∠AOD＝90°，OA＝OD， ∴∠OAD＝45°＝∠AOH， ∴OH＝AH， ∵∠AHO＝∠AFO＝90°，∠OMH＝∠AMF， ∴∠MOH＝∠MAF， 在△OMH与△AEH中， ∴△OMH≌△AEH（ASA）， ∴AE＝OM． （3）如图2，将△ODN绕点O逆时针方向旋转90°得△OAK，连接KM， 则∠OAD＝∠ODA＝∠OAK＝45°，∠DON＝∠AOK，ON＝OK，AK＝DN， ∴∠MAK＝90°， 由（1）知∠MON＝45°， ∴∠MOK＝∠AOM+∠AOK＝∠AOM+∠DON＝45°， ∴∠MON＝∠MOK， 又∵OM＝OM，ON＝OK， ∴△MON≌△MOK（SAS）， ∴MN＝MK， ∴以线段AM，MN，DN为边构成的三角形是以MN为斜边的直角三角形． ∴，， ∴y， 设DN＝t， ∵AM＝x，AD＝4， 则MN＝4x﹣t， ∵AM2+DN2＝MN2， ∴， 化简得， ∴， ∴， 设， 显然， 令，，则a＞0，b＞0， ∵， ∴， ∴， 即当4时，ω有最小值8﹣4， ∴当x＝44时，ω有最小值8﹣4，此时y有最小值． 综上，y，其中，当x4时，y有最小值． 16．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点A，C． （1）求b，c的值． （2）直线x＝m与二次函数y1，y2的图象分别交于点M，N，与直线AC交于点G，当0＜m＜3时， ①求证：MG＝GN； ②当CM∥AN时，求MN的长． （3）二次函数与二次函数（0＜x≤3）组成新函数y3，当t≤x≤3时，函数y3的最大值与最小值的差为，直接写出t的值． 【解答】（1）解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1， ∴A（3，0），B（﹣1，0）， 又∵y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， ∴C（0，3）． ∵y＝x2+bx+c过点A，点C， ∴， ∴； （2）如图， ①证明：∵A（3，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3． ∴M（m，﹣m2+2m+3），G（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3）， ∴MG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， NG＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m， ∴MG＝NG． ②解：如图， ∵CM∥AN， ∴∠MCG＝∠NAG，∠CMG＝∠ANG． ∵MG＝NG， ∴△CMG≌△ANG（AAS）． ∴CG＝AG． 设直线x＝m交x轴于点P， ∴PG∥OC． ∴． ∴． ∴， ∴MN＝MG+NG＝2（﹣m2+3m）． （3）解：∵（x﹣2）2﹣1， ∴当x＝2时，y2的最小值是﹣1． ∴当2＜t≤3时，如图， y最大＝0，． ∴， ∴t1＝4（舍），（舍）． 当1≤t≤2时，如图， ∵y最大＝0，y最小＝﹣1， ∴， ∴． 当0＜t＜1时，如图， ∵，y最小＝﹣1， ∴． ∴t1＝2（舍），． ∵当y＝﹣1时，﹣1＝﹣x2+2x+3， ∴（舍），． ∴当时，如图， ∵y最大＝3，y最小＝﹣1， ∴， 解得． 当时，如图， ∵y最大＝3，， ∴． ∴t1＝2（舍），t2． ∴综上所述，t的值为，，，． 17．综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． （1）理解应用 如图1，在▱ABCD中，AE⊥BD于点P，交CD于点E，若E为CD的三等分点，则▱ABCD是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，BP＝6，则DP＝ 　2　 ；AD＝ 　　 ． （2）问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形ABCD中，P是垂三等分点，且满足．若CE＝CB，试猜想BD与BC的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸 如图3，已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P，交CD于点E，AB＝6，当四边形ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长度． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，， ∴△DEP∽△BAP， ∴，即， ∴DP＝2． ∵AE⊥BD， 在Rt△ABP中，由勾股定理得：， 在Rt△ADP中，由勾股定理得：． 故答案为：2；； （2）BD＝2BC；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵， ∴， ∵AB∥CD， ∴△BEP∽△DCP， ∴， ∴设EP＝2a，则CP＝3a，CE＝CP+EP＝5a， ∴BC＝CE＝5a， ∵CE⊥BD， 在Rt△BCP中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴BD＝DP+BP＝10a， ∵BC＝5a， ∴BD＝2BC； （3）AD的长为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①如图3，若， 在矩形ABCD中，CD∥AB， ∴△DEP∽△BAP， ∴， 设EP＝a，则AP＝3EP＝3a，AE＝AP+EP＝4a， ∵AE⊥BD， ∴∠DPE＝90°， 在矩形ABCD中，∠ADC＝90°， ∴∠DPE＝∠ADE， ∵∠DEP＝∠AED， ∴△DEP∽△AED， ∴，即， 解得a＝1或a＝﹣1（舍去）， ∴AE＝4， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：． ②如图，， 在矩形ABCD中，CD∥AB， ∴△DEP∽△BAP， ∴， 设EP＝2b，则，AE＝AP+EP＝5b， ∵AE⊥BD， ∴∠DPE＝90°， 在矩形ABCD中，∠ADC＝90°， ∴∠DPE＝∠ADE， ∵∠DEP＝∠AED， ∴△DEP∽△AED， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：． 综上所述，AD的长为或． 18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，直线AE交CD的延长线于点E，延长AD，BC相交于点F，DA平分∠BDE． （1）求证：AB＝AC． （2）若AE是⊙O的切线． （Ⅰ）求证：△ABF∽△EAC． （Ⅱ）若AE＝2，DE＝1，C是BF的中点，则⊙O的半径为 　　 ． 【解答】（1）证明：∵DA平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠ADB， ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）（Ⅰ）证明：连接AO并延长交BC于点G，如图， 由（1）知：AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，， ∴AG⊥BC， ∵AE是⊙O的切线， ∴AG⊥AE， ∴AE∥BC， ∴∠F＝∠EAD，∠EAC＝∠ACB， ∴∠EAC＝∠ABC． ∵AE是⊙O的切线， ∴∠EAD＝∠ECA， ∴∠ECA＝∠F， ∴△ABF∽△EAC； （Ⅱ）解：连接AO并延长交BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，连接OB，如图， ∵AE是⊙O的切线， ∴AE2＝DE•EC， ∵AE＝2，DE＝1， ∴EC＝4． ∴CD＝EC﹣ED＝3， 由（Ⅰ）知：AE∥BC， ∴△AED∽△FCD， ∴， ∴， ∴CF＝6． ∵C是BF的中点， ∴BC＝CF＝6， ∵AB＝AC，AG⊥BC， ∴BG＝CG3， ∵AG⊥BC，EH⊥BC，AE∥BC， ∴四边形AGHE为矩形， ∴GH＝AE＝2，AG＝EH， ∴CH＝CG﹣GH＝1， ∴AG＝EH． 设⊙O的半径为r，则OB＝OA＝r， ∴OG＝AG﹣OAr， ∵OG2+BG2＝OB2， ∴， ∴r． 故答案为：． 19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝1，与y轴交点的坐标为（0，﹣2），点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为1﹣2m． （1）求此抛物线对应的函数表达式． （2）当点A、点B关于此抛物线的对称轴对称时，连接AB，求线段AB的长． （3）将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G． ①当图象G对应的函数值y随x的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h的取值范围； ②设点E的坐标为（﹣2﹣2m，1），点F的坐标为（﹣2﹣2m，﹣3﹣2m），连接EF，当线段EF和图象G有公共点时，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得：，c＝﹣2， ∴b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x﹣2； （2）∵点A在点B的左侧，点A的横坐标为m，点B的横坐标为1﹣2m，点A、点B关于此抛物线的对称轴直线x＝1对称， ∴1﹣m＝1﹣2m﹣1， 解得：m＝﹣1， ∴点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为3， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4， ∴线段AB的长为4； （3）①当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，可知： 点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意， 点A在左侧，点B在右侧； 可得：， 解得：m＜0； 图象G在m≤x≤1时，y随x的增大而先减小；在1＜x≤1﹣2m时，y随x的增大而增大； 则最低点即为抛物线顶点（1，﹣3）； 当1﹣m≥（1﹣2m）﹣1，即m≥﹣1时；点A（m，m2﹣2m﹣2）为图象G的最高点； 则h＝（m2﹣2m﹣2）﹣（﹣3）＝（m﹣1）2； 由﹣1≤m＜0可得：1＜h≤4； 当1﹣m＜（1﹣2m）﹣1，即m＜﹣1时； 点B（1﹣2m，4m2﹣3）为图象G的最高点；则h＝（4m2﹣3）﹣（﹣3）＝4m2； 由m＜﹣1得：h＞4； ∴综上，h的取值范围为：h＞1； ②设点E的坐标为（﹣2﹣2m，1），点F的坐标为（﹣2﹣2m，﹣3﹣2m），连接EF， 由题意，m＜1﹣2m，即， 当线段EF与图象G有公共点时，m≤﹣2﹣2m≤1﹣2m， 解得：， 当x＝﹣2﹣2m时，代入抛物线表达式可得y＝（﹣2﹣2m）2﹣2（﹣2﹣2m）﹣2＝4m2+12m+6， 设线段EF与抛物线的交点为P点，则P（﹣2﹣2m，4m2+12m+6）， 由题意可知点P在线段EF上； 当1＞﹣3﹣2m，即m＞﹣2时，则点E在点F上方， ∴﹣3﹣2m≤4m2+12m+6≤1， 又， 解得：； 当1＜﹣3﹣2m，即m＜﹣2时；则点E在点F下方， ∴1≤4m2+12m+6≤﹣3﹣2m， 又， 解得：， 综上所述：或． 20．在等边三角形ABC中，AB＝6，D是直线BC上一点． （1）如图1，当点D在线段CB的延长线上时，在AC边上有一点E，满足AE＝2CE，若，求线段BD的长． （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转120°至AE，连接BE交AC于点G，求证：． （3）如图3，点E在直线BC上，连接AE，将△ABE沿着AE所在的直线翻折到△ABC所在的平面内得△AEB′，作AD⊥BC于点D，连接DB′，G是DB′的中点，当线段CG取得最小值时，请直接写出△CDB′的面积． 【解答】（1）解：过点E作EN⊥BC于点N， ∴∠ENC＝∠END＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∵AE＝2CE，AC＝BC＝6， ∴CE＝2， 在Rt△CEN中，CE＝2，∠C＝60°， ∴CN＝1，， ∴BN＝BC﹣CN＝5， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长BA到H，使AH＝AB，连接EH， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴AC＝AH， ∵∠DAE＝120°， ∴∠DAC＝120°﹣∠CAE， 又∵∠EAH＝120°﹣∠CAE， ∴∠EAH＝∠DAC， 又∵AD＝AE， ∴△ADE≌△AEH（SAS）， ∴EH＝CD，∠H＝∠C＝60°， ∴∠H＝∠BAC， ∴AC∥EH， ∴， ∴BG＝GE， ∴AG是△BEH的中位线， ∴， ∴； （3）由题可知AB＝AB'＝6， 取AD中点O，连接OG， ∵G为DB'中点， ∴OG为△DAB'的中位线， ∴OGAB'＝3， ∴点G的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆， 当点O、C、G三点共线时，且点G在线段OC上时有最小值，此时如图， ∵AB＝6，BD＝3， ∴AD3， ∴ODAD， ∴OC， 则CG3， 过D作DK⊥OC于点K， 则DK， ∴S△CDG（3）， ∵点G为DB'中点， ∴S△CDB'＝2S△CDG． 21．如图，一次函数y＝kx﹣k﹣1与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于A，B两点． （1）直线AB经过一个定点D，直接写出点D的坐标； （2）如图（2），当k＜0时，直线AB交y轴于点G，E为抛物线的顶点，射线AE交y轴于点F，若AG＝AF，求点A的横坐标； （3）如图（3），过点B作BC∥x轴，交抛物线于另一点C，求直线AC经过的定点的坐标． 【解答】解：（1）y＝kx﹣k﹣1＝k（x﹣1）﹣1， 当x＝1时，y＝﹣1， ∴D（1，﹣1）； （2）连接DE，过点A作AH⊥DE于点H． ∴点E的坐标为（1，﹣4）， ∴DE∥y轴， ∴∠ADE＝∠AGF，∠AED＝∠AFG， ∵AG＝AF， ∴∠AGF＝∠AFG， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴点H的坐标为（1，﹣2.5）， ∴点A的纵坐标为﹣2.5， 令x2﹣2x﹣3＝﹣2.5， 解得， ∵k＜0，点A在第四象限， ∴点A的横坐标为； （3）设A（a，a2﹣2a﹣3），B（b，b2﹣2b﹣3）， 令x2﹣2x﹣3＝kx﹣k﹣1， 则x2﹣（k+2）x+k﹣2＝0， ∴a+b＝k+2，a•b＝k﹣2， ∴a+b﹣a•b＝4， ∵抛物线的对称轴为x＝1，BC∥x轴， ∴C（2﹣b，b2﹣2b﹣3）， ∴lAC：y＝（a﹣b）x+ab﹣2a﹣3＝（a﹣b）x+b﹣a﹣7， ∴当x＝1时，y＝﹣7， ∴直线AC过定点（1，﹣7）． 22．已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m≤3≤n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）最大值与最小值的差为16，求n﹣m的最大值与最小值． 【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5， 得：1﹣a+5＝0， 解得：a＝6； （2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5， ∴对称轴为直线， ∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴xA+xC＝2xB，即xC＝2xB， 由对称性知， ∴xB＝2， ∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5， 得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3， ∴t＝﹣3； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4）， ∵m≤3≤n， ∴抛物线的一段y＝x2﹣6x+5（m≤x≤n）的最小值取在顶点处取得， 即当x＝3，y最小＝﹣4， ∵抛物线的一段y＝x2﹣6x+5（m≤x≤n）最大值与最小值的差为16， ∴y最大＝16+（﹣4）＝12， 当y＝12时，代入y＝x2﹣6x+5得： x2﹣6x+5＝12， 解得：x1＝﹣1，x2＝7， 由题意可知，需满足﹣1≤m≤3，3≤n≤7，且m＝﹣1或n＝7， 当m＝﹣1，n＝7时，n﹣m取得最大值7﹣（﹣1）＝8； 当m＝﹣1，n＝3时，或当m＝3，n＝7时，n﹣m取得最小值4， 故n﹣m的最大值为8，最小值为4． 23．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a其中a为实数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标　（a，a）　 ；（用含有a的式子表示） （2）当﹣2≤x≤1，a≥2时，求y的最小值； （3）当﹣1≤x≤1时，二次函数的最大值为M，最小值为m，令S＝M+m，求S的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a＝（x﹣a）2+a， ∴抛物线的顶点坐标为（a，a）． 故答案为：（a，a）； （2）∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a图象开口向上，对称轴为直线x＝a， ∴当x＜a时，y随x的增大而减小， ∵a≥2， ∴在﹣2≤x≤1内，x＝1时y有最小值，最小值为y＝12﹣2a+a2+a＝（a）2， ∴a＝2时，y＝（2）23， 故y的最小值为3； （3）∵当﹣1≤x≤1时，二次函数的最大值为M，最小值为m， ①当a≥1时，则M＝（﹣1﹣a）2+a，m＝（1﹣a）2+a， ∴S＝M+m＝（﹣1﹣a）2+a+（1﹣a）2+a＝2a2+2a+2＝2（a）2， ∵a≥1， ∴S≥6； ②当a≤﹣1时，则M＝（1﹣a）2+a，m＝（﹣1﹣a）2+a， ∴S＝M+m＝（﹣1﹣a）2+a+（1﹣a）2+a＝2a2+2a+2＝2（a）2， ∵a≤﹣1， ∴S≥2； ③当0≤a＜1时，则M＝（﹣1﹣a）2+a，m＝a， ∴S＝M+m＝（﹣1﹣a）2+a+a＝a2+4a+1＝（a+2）2﹣3， ∵0≤a＜1， ∴1≤S＜6； ④当﹣1＜a＜0时，则M＝（1﹣a）2+a，m＝a， ∴S＝M+m＝（1﹣a）2+a+a＝a2+1， ∵﹣1＜a＜0， ∴S＞1； 综上，S的取值范围是S≥1． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求b，c的值； （2）点P为抛物线的第一象限上一动点，连接OP，BC交于点D，当取最大值时，求点P的坐标； （3）将抛物线C1沿射线CB平移得到新抛物线C2，当抛物线C2经过点B时，抛物线C2存在两点，N（x2，y2），若对于满足m＜x2＜m+2的任意实数x2，总有y2＜y1，求m的取值范围． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得， ， 解得：； （2）由（1）知抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b'，把B（3，0）和C（0，3）代入得， ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E． 设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），点E的坐标为（a，﹣a+3）， ∴PE＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a， ∵PE∥y轴， ∴∠PEC＝∠OCE，∠OPE＝∠COP， ∴△PED∽△COD， ∴， ∴当时，取得最大值为，此时点P的坐标为； （3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵由题知平移后点C的对应点为B，即将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴平移后抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+1， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝4， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足m＜x2＜m+2的任意实数x2，y2＜y1总成立， ∴或， ∴或． 25．如图1，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与y轴交于C，与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，作直线AC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，点D是直线AC上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交AC于点E，当线段DE的长度取最大时，求点D的坐标； （3）在（2）中DE取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与y轴交于C，与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入得： ， 解得， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴C（0，3）， 设直线AC为y＝kx+n， ∴， 解得：， ∴直线AC为y＝x+3， 点D是直线AC上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交AC于点E，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则E（x，x+3）， ∴DE＝﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝﹣x2﹣3x， ∵﹣1＜0， ∴当时，DE有最大值， 最大值为：； ∴； （3）点M的坐标为或M（﹣1，﹣6）或M（﹣1，2）；理由如下： ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 如图3，当BM为对角线时， ∵，B（1，0），设M（﹣1，t），N（x，﹣x2﹣2x+3）， ∴， 解得：， ∴； 当BN为对角线时，如图4， 同理可得：， 解得：， ∴M（﹣1，﹣6）； 如图5，当MN为对角线时， ∴， 解得：， ∴M（﹣1，2）； 综上：点M的坐标为或M（﹣1，﹣6）或M（﹣1，2）． 26．在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（2，0），C（0，2）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转，得正方形OA′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．记旋转角为α，且0＜α＜360°． （Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点A′和点C′的坐标； （Ⅱ）如图②，当α＝60°时，A′B′分别与y轴，BC相交于点D，E，求点D和点E的坐标； （Ⅲ）若直线BB′与CC′相交于点F，求∠B′FC′的大小（直接写出结果即可）． 【解答】解：（Ⅰ）如图，分别过点A'，C'作A'M⊥x轴，CN⊥x轴，垂足分别为M，N， ∵C′N⊥x轴， ∴CN∥y轴， ∴∠OC'N＝30°， ∵A（2，0），C（0，2）． ∴AO＝CO＝2， 将正方形OABC绕点O逆时针旋转，得正方形OA'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A，B'，C'．记旋转角为α，且α＝30°， ∴∠A'OA＝∠C'OC＝α＝30°， 由旋转性质得OA'＝OA＝OC＝OC'＝2， ∴，ONOC'＝1， 在Rt△A'OM中，MO， 在Rt△C'ON中，C'N， ∴A'（，1），C'（﹣1，）； （Ⅱ）∵四边形OABC是正方形， ∴∠A＝∠OCB＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转，得正方形OA'B'C'， ∴四边形OA'B'C'是正方形，∠A'＝90°， ∵α＝60°， ∴∠A'OD＝90°﹣α＝30°， ∴，∠ODA'＝60°， ∴∠DEC＝30°，则CDDE， 在Rt△OA′D中，OD2＝OA'2+A'D2， ∵OA'＝OA＝2，， ∴OD2＝22+4OD2，则OD， ∴点D的坐标为（0，）， 则， 在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2， ∵， ∴CD2+CE2＝4CD2， ∴， ∴； （Ⅲ）连接OB，OB'，直线BB'与CC'相交于点F， ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转，得正方形OA'B'C'， ∴∠C'OC＝∠B'OB＝α，CO＝C'O，OB＝OB'， ∴， ∴△C'OC∽△B'OB， ∴∠OC'C＝∠OB'B， ∵∠C'NO＝∠B'NF， ∴180°﹣∠C'NO﹣∠OC'C＝180°﹣∠B'NF﹣∠OB'B， 即∠C'OB'＝∠B'FC'， ∵四边形OA'B'C'是正方形， ∴∠C'OB'＝45°， 即∠B'FC'＝45°． 27．在△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE． （1）如图1，当点D恰好落在BC的平行线AF上时，连接EC，取EC的中点G，连接AG． ①求证：△ACE是等腰直角三角形； ②请直接写出AD，BC与AG的数量关系　2AG2＝AD2+BC2 ． （2）如图2，若AB＝6，BC＝8． ①当点D恰好落在△ABC的中线BO的延长线上时，求OD的长； ②当DE所在直线经过BC中点M，且与BC的平行线AF交于点N时，请在图3中补全图形，求△AND的面积． 【解答】（1）①证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∵AF∥BC， ∴∠ACB＝∠FAC， ∵∠B＝90°， ∴∠ACB+BAC＝∠DAE+∠FAC＝90°，即∠CAE＝90°， ∵AC＝AE， ∴△ACE是等腰直角三角形； ②解：由旋转可得，DE＝BC，∠ADE＝∠B＝90°， ∴AD2+BC2＝AD2+DE2＝AE2， ∵△ACE是等腰直角三角形， ∴CE2＝2AE2＝2（AD2+BC2）， ∵点G是EC的中点， ∴， ∴，即， ∴2AG2＝AD2+BC2， 故答案为：2AG2＝AD2+BC2； （2）解：①∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴， ∵BO是AC的中线， ∴， ∴∠BAO＝∠ABO， 由旋转得，AB＝AD＝6， ∴∠ABD＝∠BDA， ∴△ABO∽△BDA， ∴，即， ∴， ∴； ②如图，连接AM， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴AB＝AD＝6，∠B＝∠ADE＝∠ADM＝90°， ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△ADM（HL）， ∴BM＝DM，∠1＝∠2， ∵M为BC中点，BC＝8， ∴， ∵AF∥BC， ∴∠1＝∠FAM， ∴∠2＝∠FAM， ∴AN＝MN＝DN+DM＝DN+4， 在Rt△ADN中，∠ADN＝90°，AD＝6， ∵AD2+DN2＝AN2， ∴62+DN2＝（DN+4）2， ∴， ∴． 28．在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，旋转△DEC，使点D在△ABC内，连接AD，BE． （1）如图1，求证：△ADC≌△BEC； （2）当AD∥CE时，延长AD交BC于点F． ①如图2，若，CF＝1，求BE的长； ②如图3，连接BD，若点F是BC的中点，判断线段AD与线段BD的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE． 在△ADC和△BEC中， ， ∴△ADC≌△BEC（SAS）． （2）解：①∵∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2，AC2+CF2＝AF2． ∵AC＝BC，， ∴． ∴， ∴， ∵AD∥CE， ∴∠ADC＝∠DCE＝90°， ∴∠ADC＝∠ACF， ∵∠DAC＝∠CAF， ∴△ADC∽△ACF， ∴， ∴； 同（1）可知，△ADC≌△BEC， ∴． ②；理由如下： 如图3，延长AF交BE于点G． ∵△ADC≌△BEC， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°，AD＝BE， ∴∠BEC＝∠DCE＝∠CDG＝90°， ∴四边形CDGE是矩形， ∵CD＝CE， ∴四边形CDGE是正方形， ∴CD＝EG＝DG，∠DGE＝90°， ∴∠CDF＝∠BGF＝90°，， 在△CDF和△BGF中， ， ∴△CDF≌△BGF（AAS）， ∴BG＝CD， ∴，BD＝DE， ∴， ∴． 29．【感知】 （1）如图①，点A、B、C、D均在⊙O上，点E在⊙O外，点A、B、E三点共线，∠ADC＝60°，则∠EBC为 　60　 度； 【理解】 （2）如图②，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接AC、DB，点O在AC上，AB＝BC，若延长DA到点E，使AE＝CD，连接BE，请探究线段AD，BD，CD之间的数量关系； 【应用】 （3）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点C是弧AB的中点，点D为圆周上一动点，若AB＝13，AD＝12，求CD的长度． 【解答】解：（1）∵点A、B、C、D均在⊙O上，∠ADC＝60°， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°， ∵点A、B、E三点共线， ∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°， 故答案为：60； （2）∵⊙O是四边形ABCD的外接圆， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAD+∠BAE＝180°， ∴∠BCD＝∠BAE， ∵AB＝BC，AE＝CD， ∴△BCD≌△BAE（SAS）， ∴BD＝BE，∠CBD＝∠ABE， ∵点O在AC上， ∴∠ABC＝90°， 即∠ABD+∠CBD＝90°， ∴∠ABD+∠ABE＝90°， 即∠DBE＝90°， ∴BE2+BD2＝DE2， ∵BD＝BE，DE＝AD+AE，AE＝CD， ∴2BD2＝（AD+CD）2， ∴； （3）当点D与点C分别在直径AB的异侧时，如图，连接AC，BC，DB，过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵点C是弧AB的中点， ∴， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴，∠BAC＝∠ABC＝45°， ∴， ∴∠BDC＝∠BAC＝45°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴， 在Rt△ABD中，， ∵∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△CAD和△CBE中， ∴△CAD≌△CBE（SAS）， ∴BE＝AD＝12， ∴DE＝BD+BE＝5+12＝17， ∴； 当点D与点C直径AB同侧时，如图， 同理DE＝BE﹣BD＝12﹣5＝7， ∴CDDE； 综上，CD的长为或． 30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是线段AB上一点，点E是射线CB上一点，且满足，设∠ACD＝α（0°＜α＜90°）． （1）如图1，当α＝30°时，直接写出∠CDE的度数； （2）如图2，当0°＜α＜45°时，求出∠CDE的度数（用含α的式子表示）； （3）如图3，当45°＜α＜90°时，将点C绕点A顺时针旋转90°得到点F，连接DF，DE，请补全图形，用等式表示DF与EF的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）∠CDE的度数60°；理由如下： 已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°． 过点D作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G． ∵∠A＝45°，∠AFD＝90°， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴． 又∵， ∴． 由于四边形DFCG是矩形， ∴DF＝CG， ∴CE＝2CG，即G是CE的中点． ∵DG⊥CE， ∴DG垂直平分CE， ∴CD＝DE． 已知∠ACD＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°． 又∵CD＝DE， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠CDE＝60°； （2）过点D作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G． 同理，△ADF是等腰直角三角形，，又，可得CE＝2DF． ∵四边形DFCG是矩形， ∴DF＝CG，则CE＝2CG，即G是CE中点，且DG⊥CE， ∴CD＝DE，△CDE为等腰三角形． 此时∠DCE＝90°﹣α， ∴∠CDE＝180°﹣2∠DCE，将∠DCE＝90°﹣α代入可得： ∠CDE＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α； （3）补全图形如图3即为所求；； 证明：连接AF，过点D作DH⊥AC于点H，DG⊥BC于点G， 由（1）（2）可知四边形CHDG是矩形， ∴DG垂直平分CE， ∴CD＝DE， ∴∠ACD＝∠CDG＝∠GDE＝α，且∠ADH＝∠HAD＝45°， 由旋转的性质得，AC＝AF，∠CAF＝90°， ∴∠FAD＝90°﹣∠CAD＝45， 在△CAD和△FAD中， ， ∴△CAD≌△FAD（SAS）， ∴CD＝DF，∠AFD＝∠ACD＝α， ∴∠ADF＝135°﹣α，DF＝DE， ∴∠FDE＝360°﹣∠ADF﹣∠ADH﹣∠HDG﹣∠EDG ＝360°﹣（135°﹣α）﹣45°﹣90°﹣α ＝90°， ∴△FDE是等腰直角三角形， 在Rt△FDE中，由勾股定理得：EF2＝DE2+DF2＝2DF2， ∴． 31．我们约定：当x1，y1，x2，y2满足，且x1﹣y1≠0时，则称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“互换点”．若某函数图象上至少存在一对“互换点”，就称该函数为“互换函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点A（2，m）与点B（﹣1，n）是关于x的“互换函数”y＝tx2+3（t≠0，t是常数）的图象上的一对“互换点”，则m＝ 　﹣1　 ，n＝ 　2　 ，t＝ 　﹣1　 （将正确答案填在相应的横线上）； （2）若关于x的一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2，b1，b2都是常数，且b1•b2＜0均是“互换函数”，函数y1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，函数y2的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，求四边形ABCD的面积； （3）若点M，N为关于x的“互换函数”y＝ax2+bx（a＞0，a，b是常数）的图象上的一对“互换点”，且直线MN过点（1，1），则该“互换函数”的图象是否总经过除原点外的某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【解答】解：（1）∵，，， ∴x1﹣y2＝0，x2﹣y1＝0， ∴x1＝y2，x2＝y1， ∵点A（2，m）与点B（﹣1，n）是关于x的“互换函数”y＝tx2+3（t≠0，t是常数）的图象上的一对“互换点”， ∴n＝2，m＝﹣1， ∴A（2，﹣1）， 将A（2，﹣1）代入y＝tx2+3， 则4t+3＝﹣1， 解得t＝﹣1， 故答案为：﹣1，2，﹣1； （2）由（1）可得点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“互换点”，则x1＝y2，x2＝y1， ∴设y1上至少存在一对“互换点”（m，n），（n，m）， 则， ①﹣②得：k1（m﹣n）＝n﹣m， ∵m﹣n≠0， ∴k1＝﹣1， 同理可求：k2＝﹣1， ∴y1＝﹣x+b1，y2＝﹣x+b2， 令y1＝0，则﹣x+b1＝0， 解得x＝b1， 令x＝0，则y1＝b1， ∴A（b1，0），B（0，b1）， 同理C（b2，0），D（0，b2）， 可画示意图为： ∴四边形ABCD的面积； （3）过定点，定点为（2，﹣2），理由如下： 由（1）可得点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“互换点”，则x1＝y2，x2＝y1， ∴设“互换函数”y＝ax2+bx的图象上至少存在一对“互换点”为M（m，n），N（n，m）， ∴， 由①﹣②得：a（m+n）（m﹣n）+b（m﹣n）＝n﹣m， ∵m﹣n≠0， ∴（m+n）a+b＝﹣1， 由（2）得kMN＝﹣1， ∴设直线MN：y＝﹣x+p， ∵直线MN过点（1，1）， ∴﹣1+p＝1， 解得p＝2， ∴直线MN：y＝﹣x+2， 将M（m，n）代入得，m+n＝2， 由（m+n）a+b＝﹣1得，2a+b＝﹣1， ∴b＝﹣2a﹣1， ∴y＝ax2+bx＝ax2+（﹣2a﹣1）x＝a（x2﹣2x）﹣x， 当x2﹣2x＝0时，解得x1＝2，x2＝0（舍）， ∴过定点 （2，﹣2）． 32．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 　（4，2）　 ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ 　4　 m，BC＝ 　2　 m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；理由为 y＝﹣2x+6与函数图象没有交点　 ． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，求出直线y＝﹣2x+a与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及a的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围 　8≤a≤17　 ． 【解答】解：（1）将反比例函数与直线l1：y＝﹣2x+10联立得： ， ∴， ∴x2﹣5x+4＝0， ∴x1＝1，x2＝4， ∴另一个交点坐标为（4，2）， ∵AB为xm，BC为ym， ∴AB＝4m，BC＝2m． 故答案为：（4，2）；4；2； （2）不能围出矩形地块；理由如下： y＝﹣2x+6的图象，如图中l2所示： ∵y＝﹣2x+6与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为8m2的矩形． 故答案为：y＝﹣2x+6与函数图象没有交点； （3）如图中直线l3：y＝﹣2x+a所示， ∵直线y＝﹣2x+a与反比例函数的图象有唯一交点， ∴由唯一解，即：方程2x2﹣ax+8＝0只有一个解， ∴a2﹣4×2×8＝0， 解得：a＝8（负值舍去）， 此时：2x2﹣8x+8＝0， 解得：x＝2， 当x＝2时，y＝4， ∴此时交点坐标为（2，4）； （4）∵AB和BC的长均不小于1m， ∴x≥1，y≥1， ∴， ∴x≤8， ∴1≤x≤8， 如图所示，直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动， 把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17， ∴8≤a≤17， 故答案为：8≤a≤17． 33．如图，一次函数y＝2x+8的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线CD与x轴、y轴分别交于C、D两点，与直线AB交于点． （1）求直线CD的函数表达式； （2）点F为线段AB延长线上一点，连结FC、FD，当△FDC面积为30时，求点F坐标；此时，y轴上有一个动点P，求的最小值； （3）在直线CD上有一动点M，当∠MAE＝90°﹣2∠ABD时，请直接写出所有符合条件的点M坐标，并写出其中一个求解点M坐标的过程． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝4， ∴E（﹣2，4）， 当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， ∵OCOA， ∴OC＝6， ∴C（6，0）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx+3； （2）设F（n，2n+8）， ∴△FDC的面积＝△ACF的面积﹣△AEC的面积﹣△EDF的面积（2n+8）10×45×（n+2）＝30， 解得n＝2， ∴F（2，12）； 作F点关于y轴的对称点H，则H（﹣2，12），作射线BH，过点F作FG⊥HB交于G点，交y轴于P点， ∵AO＝4，BO＝8， ∴AB＝4， ∴sin∠ABO， ∵∠FBP＝∠ABO，∠HBP＝∠PBF， ∴∠HBP＝∠ABO， 在Rt△BPG中，GPBP， ∴5（PFBP）＝5（PF+GP）＝5GF， 在△BHF中，HF＝4，BF＝2， ∵2GF， ∴GF， ∴的最小值为8； （3）∵AC＝10，AE＝2，CE＝4， ∴CD2＝AE2+AC2， ∴△AEC是直角三角形，且∠AEC＝90°， ∵2∠ABD＝∠HBF， ∴∠MAE＝90°﹣2∠ABD＝90°﹣∠HBF＝∠GFB， 在Rt△GFB中，BF＝2，GF， ∴GB， ∴tan∠GFB， 在Rt△AEM中，， 解得EM， 设M（n，n+3）， ∴， 解得n＝1或n＝﹣5， ∴M（1，）或（﹣5，）． 34．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转得到线段CF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BF，DF． （1）若α＝40°，则∠BFC＝ 　65°　 ； （2）过点B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G，连接AG． ①如图2，若AG＝6，求DF的长； ②在图3中，取BF的中点E，作射线CE交DF的延长线于点G，连接BG．请探究线段CG、BG、FD之间的数量关系，并给出证明． 【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝CB，∠BCD＝90°， ∵∠FCD＝40°， ∴∠BCF＝90°﹣40°＝50°， ∵CF＝CD， ∴CB＝CF， ∴∠BFC＝∠CBF（180°﹣50°）＝65°， 故答案为：65°； （2）①如图2中，过点A作AH∥DG，交BG的延长线于点H，AE∥BH交DG于点E，过点C作CK⊥DG于点K， ∵AH∥DG，AE∥BH， ∴四边形AHGE为平行四边形， ∵BG⊥DG， ∴∠HGE＝90°， ∴四边形AHGE为矩形， ∴∠AHD＝∠HAE＝∠H＝90°， ∴∠HAB+∠BAE＝90°，∠BAE+∠DAE＝90°， ∴∠HAB＝∠EAD， 在△BAH和△DAE中， ， ∴△BAH≌△DAE（AAS）， ∴AH＝AE， ∴四边形AHGE为正方形， ∴AGAE． ∵AG＝6， ∴AE＝3， 由题意：CD＝CF， ∵CK⊥DG， ∴DK＝KFDF． ∵∠KDC+∠KCD＝90°，∠KDC+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠KCD． 在△DCK和△DAE中， ， ∴△DCK≌△DAE（AAS）， ∴DK＝AE， ∴DF＝2AE＝6； ②结论：CGBGDF． 理由：如图3中，过点C作CH⊥DF于点H． 在△CFD中，CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF（180°﹣α）＝90°α， 在△CFB中，CF＝CB，∠BCF＝90°﹣α， ∴∠CFB＝∠CBF（180°﹣∠BCE）＝45°α， ∴∠BFG＝180°﹣∠CFD﹣∠CFB＝45°， ∵CD＝CF，CH⊥DF， ∴DH＝FHDF， ∵CB＝CF，BE＝EF， ∴CG⊥BF， ∴GB＝GF， ∴EFG＝∠EGF＝45°， ∴CGGH（GF+FH）（BGDF）， ∴CGBGDF． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/31 15:30:53；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【人教版】2026-2027年9年级数学上学期期中解答压轴题汇编（3-3） 一．解答题（共34小题） 1．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（b，c为常数，b＞﹣1）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C． （Ⅰ）当b＝4时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）当AC＝AB时，求b的值； （Ⅲ）将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得线段AD，点C的对应点为D，若点D在抛物线上，求b的值． 2．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，顶点为D，点，连接AD，BD，BE，求证：∠ADB＝2∠DBE； （3）当a≤x≤2时，y的取值范围是m≤y≤n，且m+n＝﹣2，求a的值； （4）已知直线FG∥BC，且与抛物线交于F，G两点（点F在点G的左侧）．当直线FG在直线BC下方运动时，作直线CF与直线BG交于点H，在直线FG运动的过程中，点H的横坐标是否是一个定值，若是，请直接写出点H的横坐标；若不是，请说明理由． 3．在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（a，b）和过点Q垂直于x轴的直线l．对于点P和图形W，给出如下定义：将点P关于直线l的对称点向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，若点P'在图形W上，则称点P是图形W关于点Q的关联点”． （1）已知点A（1，0），B（1，1），C（0，1）和点Q（1，2）． ①在点P1（2，﹣1），，P3（1，﹣3）中，正方形OABC关于点Q的“关联点”是__________ ； ②若点D是正方形OABC关于点Q的“关联点”，直接写出OD长的最大值； （2）已知点E（t，0），F（t+1，0），G（t+1，1），H（t，1）和点Q（﹣t+1，﹣t+2）．若存在点P是正方形EFGH关于点Q的“关联点”，使得△POQ是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出t的取值范围． 4．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA． （1）求抛物线解析式； （2）点M是直线AC上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形ABCM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； （3）如图2，D（0，﹣2），连接BD，将△OBD绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′．若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标． 5．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“美好函数”，该点称为“美好点”，例如：“美好函数”y＝x+1，其“美好点”为（1，2）． （1）判断：函数y＝2x+3_______ “美好函数”（填“是”或“不是”）； （2）若抛物线上有两个“美好点”，求m的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“美好点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值． 6．如图1，四边形ABCD的边AB，BC，CD均与⊙O相切，切点分别为E，F，G，且AB≠AD，连接OD，OD平分∠ADC． （1）求证：AD与⊙O相切； （2）如图2，记AD与⊙O的公共点为点H，连接EG，FH交于点I，若EG⊥FH，求证：四边形ABCD对角互补； （3）如图3，⊙O的半径为r，连接AC，BD，AC与⊙O交于点M，N，BD与⊙O交于点P，Q，AC⊥BD，连接PM，令PM＝x，MN＝y，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 7．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点C和⊙O的弦AB，给出如下定义：点C向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C′，若点C′在弦AB上，且不与点A，B重合，则称点C是弦AB的“伴随点”． （1）如图，点A（0，1），B（﹣1，0），在点C1（0.5，1.5），C2（1，1），C3（2，0）中，弦AB的“伴随点”是_______ ； （2）已知D是直线y＝x上一点，且存在⊙O的弦EF＝1，使得点D是弦EF的“伴随点”．记点D的横坐标为t，直接写出t的取值范围； （3）已知点M（m，0.5），N（m+1，0.5）．对于线段MN上任意一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“伴随点”，将点S对应的弦PQ的长度的最小值记为d，直接写出d的最大值及m的取值范围． 8．在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和直线l，给出如下定义：将图形M绕点O顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到图形M′，再将图形M′关于直线l对称，得到图形N，则称图形N为图形M的“α﹣l变换图形”． （1）已知点A（2，2），B（0，3），图形M为线段AB． ①当直线l为y轴时，图形M的“90°﹣l变换图形”为N，则以下说法正确的是_____ ； A．图形M与图形N关于原点中心对称 B．图形M与图形N关于y轴对称 C．图形M与图形N关于直线y＝x对称 D．图形M与图形N关于直线y＝﹣x对称 ②当直线l为y＝x时，若图形M的“α﹣l变换图形”与x轴负半轴有公共点，直接写出α的取值范围； （2）已知正方形EFGH的顶点坐标分别为E（3，3），F（3，﹣3），G（﹣3，﹣3），H（﹣3，3），长为的线段CD（点C在点D左侧）在直线上，且点C的横坐标为t，直线l由直线x＝0绕点（0，t）逆时针旋转30°得到．若线段CD的“120°﹣l变换图形”与正方形EFGH有公共点，直接写出t的取值范围． 9．定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． （1）如图1，等边△ABC为⊙O的内接三角形，过点O作OE，BC交BC于点D，交⊙O于点E，判断△ABC_____ （填“是”或“不是”）⊙O的“梦之三角形”，请说明理由； （2）如图2，已知△ABC是⊙O的“梦之三角形”，其内心I关于BC的对称点F在⊙O上，若BC＝6，求⊙O的半径； （3）如图3，已知⊙O的半径为，弦BC＝24，点A在⊙O上，若△ABC为⊙O的“梦之三角形”，求AC的长度． 10．如图1，半径为4的⊙O中，点C是上的一个动点，∠AOB＝120°，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE． （1）求DE的长； （2）记△OAB的内心为I，外心为T，求I，T两点间的距离； （3）如图2，连接OD，OE，分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S1•S2时，求弦AC的长． 11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，c＞0）与x轴交于点A和点B（c，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E在线段BC（点B除外）上运动，将线段OE绕点O逆时针旋转90°得到线段OH． （Ⅰ）当c＝4时． ①若点A的坐标为（﹣1，0），求该抛物线顶点的坐标； ②若，且点H在抛物线上，求抛物线的解析式； （Ⅱ）当时，点P为第一象限的动点，∠OPB＝90°，连接PH．当PH取得最小值，且点H在抛物线上时，求c的值． 12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，b＜0）与x轴相交于A，B两点A（﹣2，0），点C为抛物线与y轴的交点．点O的坐标为（0，0）． （Ⅰ）当a＝1，c＝﹣6时． ①求抛物线的解析式及点B的坐标； ②E（m，yE）是线段BC上一点，F是抛物线上一点，且EF∥y轴，求线段EF的最大值，及线段EF的值最大时点F的坐标； （Ⅱ）若点B（n，0），点P在抛物线对称轴l上． ①当，且AP+CP取得最小值为时，直接写出n的值和抛物线解析式； ②当∠OAC＝2∠OBC，且AP+CP取得最小值为时，直接写出抛物线解析式． 13．如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点． （1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值； （2）当a时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值； （3）当a时，求MN+ND的最小值． 15．如图，AB，CD为圆O的直径，且AB⊥CD，点E是弧AD上的一个动点（不与点A，D重合），OF⊥AE于点F，OG⊥DE于点G，连接AD分别交OF，OG于点M，N． （1）如图1，若OA＝4，则FG＝ ________________ ，∠FOG＝ _______ °； （2）如图2，连接OE交AD于点H，当四边形AODE的面积最大时，试判断线段AE和OM的数量关系，并说明理由； （3）在（1）的条件下，设AM＝x，记△OMN的面积为S1，以线段AM，MN，DN为边构成的三角形的外接圆的面积为S2，，试求y与x的函数关系，并求出y的最小值． 16．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点A，C． （1）求b，c的值． （2）直线x＝m与二次函数y1，y2的图象分别交于点M，N，与直线AC交于点G，当0＜m＜3时， ①求证：MG＝GN； ②当CM∥AN时，求MN的长． （3）二次函数与二次函数（0＜x≤3）组成新函数y3，当t≤x≤3时，函数y3的最大值与最小值的差为，直接写出t的值． 17．综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． （1）理解应用 如图1，在▱ABCD中，AE⊥BD于点P，交CD于点E，若E为CD的三等分点，则▱ABCD是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，BP＝6，则DP＝ _____ ；AD＝ ________________ ． （2）问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形ABCD中，P是垂三等分点，且满足．若CE＝CB，试猜想BD与BC的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸 如图3，已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P，交CD于点E，AB＝6，当四边形ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长度． 18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，直线AE交CD的延长线于点E，延长AD，BC相交于点F，DA平分∠BDE． （1）求证：AB＝AC． （2）若AE是⊙O的切线． （Ⅰ）求证：△ABF∽△EAC． （Ⅱ）若AE＝2，DE＝1，C是BF的中点，则⊙O的半径为 ____________________ ． 19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝1，与y轴交点的坐标为（0，﹣2），点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为1﹣2m． （1）求此抛物线对应的函数表达式． （2）当点A、点B关于此抛物线的对称轴对称时，连接AB，求线段AB的长． （3）将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G． ①当图象G对应的函数值y随x的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h的取值范围； ②设点E的坐标为（﹣2﹣2m，1），点F的坐标为（﹣2﹣2m，﹣3﹣2m），连接EF，当线段EF和图象G有公共点时，直接写出m的取值范围． 20．在等边三角形ABC中，AB＝6，D是直线BC上一点． （1）如图1，当点D在线段CB的延长线上时，在AC边上有一点E，满足AE＝2CE，若，求线段BD的长． （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转120°至AE，连接BE交AC于点G，求证：． （3）如图3，点E在直线BC上，连接AE，将△ABE沿着AE所在的直线翻折到△ABC所在的平面内得△AEB′，作AD⊥BC于点D，连接DB′，G是DB′的中点，当线段CG取得最小值时，请直接写出△CDB′的面积． 21．如图，一次函数y＝kx﹣k﹣1与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于A，B两点． （1）直线AB经过一个定点D，直接写出点D的坐标； （2）如图（2），当k＜0时，直线AB交y轴于点G，E为抛物线的顶点，射线AE交y轴于点F，若AG＝AF，求点A的横坐标； （3）如图（3），过点B作BC∥x轴，交抛物线于另一点C，求直线AC经过的定点的坐标． 22．已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m≤3≤n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）最大值与最小值的差为16，求n﹣m的最大值与最小值． 23．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a其中a为实数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标__________ ；（用含有a的式子表示） （2）当﹣2≤x≤1，a≥2时，求y的最小值； （3）当﹣1≤x≤1时，二次函数的最大值为M，最小值为m，令S＝M+m，求S的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求b，c的值； （2）点P为抛物线的第一象限上一动点，连接OP，BC交于点D，当取最大值时，求点P的坐标； （3）将抛物线C1沿射线CB平移得到新抛物线C2，当抛物线C2经过点B时，抛物线C2存在两点，N（x2，y2），若对于满足m＜x2＜m+2的任意实数x2，总有y2＜y1，求m的取值范围． 25．如图1，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与y轴交于C，与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，作直线AC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，点D是直线AC上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交AC于点E，当线段DE的长度取最大时，求点D的坐标； （3）在（2）中DE取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 26．在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（2，0），C（0，2）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转，得正方形OA′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．记旋转角为α，且0＜α＜360°． （Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点A′和点C′的坐标； （Ⅱ）如图②，当α＝60°时，A′B′分别与y轴，BC相交于点D，E，求点D和点E的坐标； （Ⅲ）若直线BB′与CC′相交于点F，求∠B′FC′的大小（直接写出结果即可）． 27．在△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE． （1）如图1，当点D恰好落在BC的平行线AF上时，连接EC，取EC的中点G，连接AG． ①求证：△ACE是等腰直角三角形； ②请直接写出AD，BC与AG的数量关系_________________ ． （2）如图2，若AB＝6，BC＝8． ①当点D恰好落在△ABC的中线BO的延长线上时，求OD的长； ②当DE所在直线经过BC中点M，且与BC的平行线AF交于点N时，请在图3中补全图形，求△AND的面积． 28．在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，旋转△DEC，使点D在△ABC内，连接AD，BE． （1）如图1，求证：△ADC≌△BEC； （2）当AD∥CE时，延长AD交BC于点F． ①如图2，若，CF＝1，求BE的长； ②如图3，连接BD，若点F是BC的中点，判断线段AD与线段BD的数量关系，并说明理由． 29．【感知】 （1）如图①，点A、B、C、D均在⊙O上，点E在⊙O外，点A、B、E三点共线，∠ADC＝60°，则∠EBC为 _______ 度； 【理解】 （2）如图②，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接AC、DB，点O在AC上，AB＝BC，若延长DA到点E，使AE＝CD，连接BE，请探究线段AD，BD，CD之间的数量关系； 【应用】 （3）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点C是弧AB的中点，点D为圆周上一动点，若AB＝13，AD＝12，求CD的长度． 30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是线段AB上一点，点E是射线CB上一点，且满足，设∠ACD＝α（0°＜α＜90°）． （1）如图1，当α＝30°时，直接写出∠CDE的度数； （2）如图2，当0°＜α＜45°时，求出∠CDE的度数（用含α的式子表示）； （3）如图3，当45°＜α＜90°时，将点C绕点A顺时针旋转90°得到点F，连接DF，DE，请补全图形，用等式表示DF与EF的数量关系，并证明． 31．我们约定：当x1，y1，x2，y2满足，且x1﹣y1≠0时，则称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“互换点”．若某函数图象上至少存在一对“互换点”，就称该函数为“互换函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点A（2，m）与点B（﹣1，n）是关于x的“互换函数”y＝tx2+3（t≠0，t是常数）的图象上的一对“互换点”，则m＝ _______ ，n＝ _____ ，t＝ _______ （将正确答案填在相应的横线上）； （2）若关于x的一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2，b1，b2都是常数，且b1•b2＜0均是“互换函数”，函数y1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，函数y2的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，求四边形ABCD的面积； （3）若点M，N为关于x的“互换函数”y＝ax2+bx（a＞0，a，b是常数）的图象上的一对“互换点”，且直线MN过点（1，1），则该“互换函数”的图象是否总经过除原点外的某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 32．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 __________ ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ _____ m，BC＝ _____ m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；理由为 ____________________ ． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，求出直线y＝﹣2x+a与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及a的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围 ___________ ． 33．如图，一次函数y＝2x+8的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线CD与x轴、y轴分别交于C、D两点，与直线AB交于点． （1）求直线CD的函数表达式； （2）点F为线段AB延长线上一点，连结FC、FD，当△FDC面积为30时，求点F坐标；此时，y轴上有一个动点P，求的最小值； （3）在直线CD上有一动点M，当∠MAE＝90°﹣2∠ABD时，请直接写出所有符合条件的点M坐标，并写出其中一个求解点M坐标的过程． 34．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转得到线段CF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BF，DF． （1）若α＝40°，则∠BFC＝ ________ ； （2）过点B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G，连接AG． ①如图2，若AG＝6，求DF的长； ②在图3中，取BF的中点E，作射线CE交DF的延长线于点G，连接BG．请探究线段CG、BG、FD之间的数量关系，并给出证明． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $