2026-2027年九年级上数学期中测试填空压轴题汇编（Word版）-2026-2027年初中数学上册期中测试压轴题汇编（北师大版）

【北师大版】2026-2027年9年级上数学期中测试填空压轴题汇编（3-2） 一．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形OABC的边BC、AB交于点D、E，其中，点D是BC边的中点，则四边形ODBE的面积是_____ ． 二．二次函数的性质（共1小题） 2．写出一个图象开口向上，且经过点（0，1）的二次函数的解析式：__________________ ． 三．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论： ①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有 _________ ． 四．三角形的面积（共1小题） 4．如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝3DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为_____ ． 五．全等三角形的判定与性质（共2小题） 5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，且BF＝AC．给出下面四个结论： ①∠CAD＝∠DBE；②△ADC≌△BDF；③CD＝CE；④若BD＝4，CD＝2，则△ABC的面积为12． 上述结论中，正确结论的序号有________ ． 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为 __________________ ． 六．菱形的性质（共3小题） 7．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，按如下步骤作图：以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为G，作射线CG，CG交AB于点H，连结HO，若HO＝2，BO＝5，则菱形ABCD面积为 _______ ． 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝3，BD＝4，点E，F分别为OB，OD上的点，且BE＝DF，EG⊥BC于点G，连接CF，若，则EF的长为__________________ ． 9．菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为 _________ ． 七．矩形的性质（共6小题） 10．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝6，AE为∠BAD的平分线，点F为AE上一动点，点P为DF的中点，连接PB，则PB的最小值是________________ ． 11．如图，将两张完全相同的矩形纸片ABCD，FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线，重叠部分为四边形DHBG，若AB＝8，AD＝4，则四边形DHBG的面积为_______ ． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE，F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠MNF＝60°，则线段MN的长为 ____________________ ． 13．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝9，AD＝7，E为AB上一点，AE＝6，现要剪下一张以AE为一边的等腰三角形纸片（△AEP），且使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是____________________ ． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E在AB边上，且BE＝2，连接CE、DE，点F是BC的延长线上一点，连接AF，若，则CF的长为_____ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别是（10，0），（0，4），D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是________ ． 八．矩形的性质（共2小题） 16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE＝3，ED＝3BE，则AB的值为 ________________ ． 17．如图，将一张长为16cm，宽为12cm的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_______ cm2． 九．矩形的判定与性质（共1小题） 18．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 _____ ． 十．正方形的性质（共3小题） 19．如图，正方形ABCD的边长为2，以B为圆心，AB为半径在正方形内作圆，再以CD为直径在正方形内作半圆，得图中阴影部分，面积分别表示为S1、S2，则S1﹣S2＝____________________ ． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且对角线交于点O，连OC．若AC＝3，OC，则∠CAO与∠CBO的和为 ________ 度；且另一条直角边BC的长为 _____ ． 21．如图3，正方形ABCD的边长为3，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且AF⊥EG．当CF＝2BF时，EF+AG的最小值为 ________________ ． 十一．正方形的判定（共1小题） 22．小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为 ________________ ． 十二．切线的性质（共1小题） 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为_______________ ． 十三．作图—基本作图（共1小题） 24．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，连接AC．分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接EF，AB相交于点G．与CD相交于点H，连接AH，CG．则GH的长为 ________________ ． 十四．胡不归问题（共1小题） 25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4．D，E分别是边AB，AC上的动点，且CE＝2AD，则BE+2CD的最小值为 _________________ ． 十五．胡不归问题（共1小题） 26．如图所示，四边形OABC是正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上一动点，则的最小值为________________ ． 十六．旋转的性质（共1小题） 27．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝_______________ ． 十七．相似三角形的判定（共1小题） 28．已知Rt△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C折线OAB上的一个动点，线段PC把RI△OAB分割成两部分．若分割得到的三角形与Rt△OAB相似，则符合条件的点C的坐标为____________________ ． 十八．相似三角形的判定与性质（共1小题） 29．如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，边AB被三等分，且EH∥BC．若图中阴影部分的面积为6，则四边形BCGF的面积为_______ ． 十九．相似三角形的应用（共1小题） 30．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图，井径BE＝5尺，立木高AB＝5尺，BD＝4寸＝0.4尺，则井深x为_________ 尺． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【北师大版】2026-2027年9年级上数学期中测试填空压轴题汇编（3-2） 参考答案与试题解析 一．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形OABC的边BC、AB交于点D、E，其中，点D是BC边的中点，则四边形ODBE的面积是　5　 ． 【解答】解：连接CE，过点D作DF⊥x轴于点F，则∠DFO＝90°， 由条件可知∠OCD＝∠OAB＝90° ∴四边形DCOF是矩形， ∴， ∴S矩形ABCO＝10， ∴四边形ODBE的面积是， 故答案为：5． 二．二次函数的性质（共1小题） 2．写出一个图象开口向上，且经过点（0，1）的二次函数的解析式：y＝x2+1（答案不唯一）　 ． 【解答】解：设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵图象为开口向上，且经过（0，1）， ∴a＞0，c＝1， ∴二次函数表达式可以为：y＝x2+1（答案不唯一）． 故答案为：y＝x2+1（答案不唯一）． 三．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论： ①abc＜0； ②4a+2b+c＞0； ③5a﹣b+c＝0； ④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8， 其中正确的结论有 　①②④⑤　 ． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣9a）， ∴y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a， ∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∴b＝4a＞0，c＝﹣5a＜0， ∴abc＜0，所以①正确； 当y＝0时，ax2+4ax﹣5a＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0）， ∵x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，所以②正确； ∵5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a， 而a＞0， ∴5a﹣b+c＜0，所以③错误； ∵方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2， ∴抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2， ∴﹣5＜x1＜x2＜1，所以④正确； ∵方程|ax2+bx+c|＝1有四个根， ∴方程ax2+bx+c＝1有2个根，方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根， ∴所有根之和为2×（）＝2×（）＝﹣8，所以⑤正确． 故答案为①②④⑤． 四．三角形的面积（共1小题） 4．如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝3DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为　2　 ． 【解答】解：连接BE， ∵AD＝3DB， ∴， 设S△BDE＝a，则S△ADE＝3a， ∴S△ABE＝S△ADE+S△BDE＝4a， ∵沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分， ∴S△ABC＝2S△ADE＝2•3a＝6a， ∴S△BCE＝S△ABC﹣S△ABE＝6a﹣4a＝2a， ∴， 故答案为：2． 五．全等三角形的判定与性质（共2小题） 5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，且BF＝AC．给出下面四个结论： ①∠CAD＝∠DBE； ②△ADC≌△BDF； ③CD＝CE； ④若BD＝4，CD＝2，则△ABC的面积为12． 上述结论中，正确结论的序号有　①②④　 ． 【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠CAD+∠C＝∠DBE+∠C＝90°， ∴∠CAD＝∠DBE，故①正确； 在△ADC和△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（AAS），故②正确； ∴CD＝DF， 但CD不一定等于CE，故③不正确； ∵△ADC≌△BDF， ∴AD＝BD＝4， ∵CD＝2， ∴BC＝BD+CD＝6， ∴△ABC的面积BC•AD6×4＝12，故④正确． 故答案为：①②④． 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为 　　 ． 【解答】解：如图连接OE、A'D， ∵AB关于过O的直线对称， ∴A'在BD延长线上， ∵， ∴设AC＝10k，BD＝6k， 在菱形ABCD中，OA＝OC＝5k，OB＝OD＝3k， ∵AB与A'B'关于过O的直线对称， ∴OA＝OA'＝5k，OB＝OB'＝3k，∠A'＝∠DAC＝∠DCA， ∴A'D＝B'C＝2k， ∵∠A'ED＝∠B'CE， ∴△A'ED≌△CEB'（AAS）， ∴DE＝B'E， ∵OE＝OE，OD＝OB'， ∴△DOE≌△B'OE（SSS）， ∴S△DOE＝S△B′OE， ∵， ∴． 故答案为：． 六．菱形的性质（共3小题） 7．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，按如下步骤作图：以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为G，作射线CG，CG交AB于点H，连结HO，若HO＝2，BO＝5，则菱形ABCD面积为 　20　 ． 【解答】解：由作图得CG⊥AB于点H， ∴∠AHC＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O， ∴OA＝OC，OD＝OBBD＝5，AC⊥BD， ∴OHAC＝2， ∴BD＝10，AC＝4， ∴S菱形ABCDAC•BD4×10＝20， 故答案为：20． 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝3，BD＝4，点E，F分别为OB，OD上的点，且BE＝DF，EG⊥BC于点G，连接CF，若，则EF的长为　　 ． 【解答】解：连接CE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，， ∴∠BOC＝90°， 由勾股定理可得，， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， ∴OE＝OF， ∴AC垂直平分EF， ∵EG⊥BC于点G， ∴∠BGE＝90°， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵OE2+OC2＝CE2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为 　5cm或cm ． 【解答】解：∵AC＝6cm，BD＝4cm， ∴AOAC6＝3cm， BOBD4＝2m， 如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G， BG＝AO＝3cm， FG＝AF+AG＝6+2＝8cm， 在Rt△BFG中，BFcm， 如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G， BG＝AO＝3cm， FG＝AF﹣AG＝6﹣2＝4cm， 在Rt△BFG中，BF5cm， 综上所述，BF长为5cm或cm． 故答案为：5cm或cm． 七．矩形的性质（共6小题） 10．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝6，AE为∠BAD的平分线，点F为AE上一动点，点P为DF的中点，连接PB，则PB的最小值是　　 ． 【解答】解：矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE ∵AB＝6， ∴BE＝6， ∵点F是AE上的动点，P是DF的中点， ∴当F在直线AE上运动时，P的轨迹是一条平行于AE的线段l， 取AE的两个特殊点：当F运动到点A时，P是AD的中点，记为M； 当F运动到点E时，P是DE的中点，记为N，连接M、N， 则线段MN即为P的轨迹，且MN∥AE，MN⊥DE， ∴BM⊥MN， 要使PB最小，需PB⊥MN，即BM⊥MN， ∴PB的最小值是即为BM的长度， ∴，即PB的最小值为， 故答案为：． 11．如图，将两张完全相同的矩形纸片ABCD，FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线，重叠部分为四边形DHBG，若AB＝8，AD＝4，则四边形DHBG的面积为　20　 ． 【解答】解：∵将两张完全相同的矩形纸片ABCD，FBED按如图方式放置，AD＝4， ∴BH∥DG，DH∥BG，∠A＝∠F＝90°，DE＝AD＝4， ∴四边形DHBG是平行四边形， ∵BD为重合的对角线， ∴BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， ∴四边形DHBG是菱形， ∴DH＝BH， ∴AH＝AB﹣BH＝AB﹣DH， ∵AD2+AB2＝BD2，AB＝8，AD＝4， ∴42+82＝BD2， 解得（负值舍去）， 又AD2+AH2＝DH2， ∴42+（8﹣DH）2＝DH2， 解得DH＝5， ∴四边形DHBG的面积为BH×AD＝DH×AD＝5×4＝20． 故答案为：20． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE，F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠MNF＝60°，则线段MN的长为 　　 ． 【解答】解：过点M作MH⊥EF于点H，如图所示： ∴∠MHN＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝3， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠B＝∠C＝90°， ∵点E在边BC上，EC＝2BE， ∴BC＝BE+EC＝3BE＝3， ∴BE＝1， ∴EC＝2BE＝2， ∴AB＝EC＝2， 在Rt△ABE中，∠B＝90°， 由勾股定理得：AE， ∵点F是CD的中点， ∴CF1， ∴BE＝CF＝1， 在△ABE和△ECF中， ， ∴△ABE≌△ECF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CEF， 在Rt△ABE中，∠B＝90°， ∴∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CEF+∠BEA＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣（∠CEF+∠BEA）＝90°， ∴AE⊥EF， 又∵MH⊥EF于点H， ∴MH∥AE， ∵点M为AF的中点， ∴MH是△AEF的中位线， ∴MH， 在Rt△MNH中，∠MHN＝90°， ∴sin∠MNF， ∵∠MNF＝60°， ∴MN． 故答案为：． 13．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝9，AD＝7，E为AB上一点，AE＝6，现要剪下一张以AE为一边的等腰三角形纸片（△AEP），且使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　6或或　 ． 【解答】解：由矩形的性质可得∠A＝∠B＝90°，结合等腰三角形的性质分三种情况讨论如下： 如图，AE的垂直平分线交CD于点P， ， 此时△AEP为等腰三角形，底边为AE＝6； 如图，以点A为圆心，以6为半径画弧交AD于点P， 此时△AEP为等腰三角形，底边为； 如图，以点E为圆心，以6为半径画弧交BC于点P， 此时△AEP为等腰三角形，PE＝AE＝6，BE＝AB﹣AE＝3， ∴， ∴底边； 综上所述：等腰三角形AEP的底边长是6或或， 故答案为：6或或． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E在AB边上，且BE＝2，连接CE、DE，点F是BC的延长线上一点，连接AF，若，则CF的长为　6　 ． 【解答】解：过点D作DM⊥AF， ∵DM⊥AF， ∴∠AMD＝90°， ∴∠MAD+∠ADM＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AD∥BF，AD＝BC＝4， ∴∠ADM+∠CDM＝90°， ∴∠MAD＝∠CDM， ∵AD∥BF， ∴∠F＝∠MAD， ∵， ∴， ∴， ∴∠NDM＝∠GDM， 在△NMD与△GMD中， ， ∴△NMD≌△GMD（ASA）， ∴DN＝DG， ∵AD＝BC＝4，AB＝5，BE＝2， ∴AE＝3，， 设DN＝DG＝x， ∵AB∥CD， ∴∠GDN＝∠AEN，∠DGN＝∠EAN， ∴△DGN∽△EAN， ∴， 即：， 解得：x＝2， ∴DN＝DG＝2， ∵AD∥BF， ∴△ADG∽△FCG， ∴， 即：， 解得：CF＝6， 故答案为：6． 15．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别是（10，0），（0，4），D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是　（3，4）或（2，4）或（8，4）　 ． 【解答】解：∵点A、C的坐标分别是（10，0），（0，4）， ∴OA＝10，OC＝4， ∵D是OA的中点， ∴， 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时， 分以下三种情况讨论： ①当OD＝OP＝5时， 在Rt△OPC中，OP2＝OC2+CP2， ∴， ∴点P的坐标是（3，4）； ②当OD＝PD＝5时， 若∠ODP为锐角，如图①， 过点P作PE⊥OD于点E，则PE＝OC＝4， ∴， ∴OE＝CP＝2， ∴点P的坐标是（2，4）； 若∠ODP为钝角，如图②，过点P作PF⊥OD于点F， 同理可得DF＝3， ∴CP＝OF＝8， ∴点P的坐标是（8，4）． ③当OP＝PD＝5时，则OP＝PD＝OD， ∴△OPD是等边三角形，如图③，过点P作PG⊥OD于点G，则， 在Rt△OGP中，， ∴该种情况不成立； 综上所述，点P的坐标是（3，4）或（2，4）或（8，4）． 故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）． 八．矩形的性质（共2小题） 16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE＝3，ED＝3BE，则AB的值为 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OD， ∵ED＝3BE， ∴BD＝4BE， ∴OB＝2BE， ∴BE＝OE， ∵AE⊥BD， ∴AB＝OA， ∴△ABO为等边三角形， ∴∠ABE＝60°， ∴∠BAE＝30°， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，将一张长为16cm，宽为12cm的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为　24　 cm2． 【解答】解：由折叠可知，得到的四边形的对角线互相垂直平分， ∴这个四边形是菱形， ∵原来矩形的长为16cm，宽为12cm， ∴可得菱形的对角线分别为8cm和6cm， ∴菱形的面积8×6＝24（cm2）， 故答案为：24． 九．矩形的判定与性质（共1小题） 18．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 　7　 ． 【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， ∴AC10， ∵P是线段EF的中点， ∴APEF＝3， ∵PG⊥BC，PH⊥CD， ∴∠PGC＝∠PHC＝90°， ∴四边形PGCH是矩形， ∴GH＝CP， 当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3＝7， ∴GH的最小值是7， 故答案为：7． 十．正方形的性质（共3小题） 19．如图，正方形ABCD的边长为2，以B为圆心，AB为半径在正方形内作圆，再以CD为直径在正方形内作半圆，得图中阴影部分，面积分别表示为S1、S2，则S1﹣S2＝　　 ． 【解答】解：记右边的空白部分的面积为S3，则由题意得：，， ∴． 故答案为：． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且对角线交于点O，连OC．若AC＝3，OC，则∠CAO与∠CBO的和为 　180　 度；且另一条直角边BC的长为 　5　 ． 【解答】解：作OF⊥BC于点F，OG⊥AC交CA的延长线于点G，则∠G＝∠OFB＝90°， ∵四边形ABDE是正方形， ∴OA＝ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE，AD⊥BE， ∴OA＝OB，∠AOB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAO+∠CBO＝360°﹣∠AOB﹣∠ACB＝180°； ∵∠G＝∠GCF＝∠OFC＝90°， ∴四边形OFCG是矩形， ∴∠FOG＝90°， ∴∠AOG＝∠BOF＝90°﹣∠AOF， 在△AOG和△BOF中， ， ∴△AOG≌△BOF（AAS）， ∴AG＝BF，OG＝OF， ∴四边形OFCG是正方形， ∴CG＝OG， ∵AC＝3，OC， ∴CG2+OG2＝2CG2＝OC2＝（）2， ∴CF＝CG＝4， ∴AG＝BF＝4﹣3＝1， ∴BC＝4+1＝5， 故答案为：180，5． 21．如图3，正方形ABCD的边长为3，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且AF⊥EG．当CF＝2BF时，EF+AG的最小值为 　　 ． 【解答】解：过点B作BH∥EG交CD于点H，连接FG，设AG，AE，FG，EG的中点分别为M，N，K，T，连接MN，MK，NK，TN，TK，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为3， ∴AB＝BC＝CD＝AB＝3，AB∥CD，∠ABC＝∠C＝90°， ∴BC＝CF+BF＝3， ∵CF＝2BF， ∴2BF+BF＝3， ∴BF＝1， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF， ∵AB∥CD，BH∥EG，AF⊥EG， ∴四边形BEGH是平行四边形，AF⊥BH， ∴EG＝BH，∠BAF+∠ABH＝90°， ∵∠CBH+∠ABH＝ABC＝90°， ∴∠BAF＝∠CBH， 在△BAF和△CBH中， ， ∴△BAF≌△CBH（ASA）， ∴AF＝BH， ∴AF＝EG， ∵AG，AE，FG，EG的中点分别为M，N，K，T， ∴MN，IN是△AEG的中位线，MK是△AFG的中位线，TK是△GEF的中位线， ∴MNEG，MN∥EG，TNAG，MKAF，MK∥AF，TKEF， ∴MN＝MK， ∵AF⊥EG， ∴MN⊥MK， ∴△MNK是等腰直角三角形， 由勾股定理得：NK， ∵TKEF，TNAG， ∴TK+TN（EF+AG）， ∴EF+AG＝2（TK+TN）， ∴当TK+TN为最小时，EF+AG为最小， 根据“两点之间线段最短”得：TK+TN＜NK， ∴当点N，T，K在同一条直线上时，TK+TN的值为最小，最小值为， ∴EF+AG的最小值为． 故答案为：． 十一．正方形的判定（共1小题） 22．小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为 　5　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵AC＝5， ∴AB＝BC＝5， ∵四边形A′B′C′D′为正方形， ∴∠A′B′C′＝90°， 由旋转的性质得出A′B′＝B′C′＝AB＝5， ∴A′C′5， 故答案为：5． 十二．切线的性质（共1小题） 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为　　 ． 【解答】解：连接PQ、OP，如图， ∵直线OQ切⊙P于点Q， ∴PQ⊥OQ， 在Rt△OPQ中，OQ， 当OP最小时，OQ最小， 当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2， ∴OQ的最小值为． 故答案为． 十三．作图—基本作图（共1小题） 24．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，连接AC．分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接EF，AB相交于点G．与CD相交于点H，连接AH，CG．则GH的长为 　2　 ． 【解答】解：如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AB∥CD，∠D＝90°， 根据作图痕迹可得EF垂直平分AC， ∴AH＝CH，AO＝OC，∠AOG＝∠COH＝90°， 42+（8﹣AH）2＝AH2， 解得：AH＝5， 即AH＝CH＝5， ∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠CAB， ∵∠AOG＝∠COH＝90°，AO＝OC， ∴△AOG≌△COH（ASA）， ∴OG＝OH，CH＝AG＝5， 在Rt△ACD中，， ∴， ， 故． 故答案为：． 十四．胡不归问题（共1小题） 25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4．D，E分别是边AB，AC上的动点，且CE＝2AD，则BE+2CD的最小值为 　2　 ． 【解答】解：作Rt△CEF∽Rt△ADC，连接BF，过点B作BH⊥FC，交FC的延长线于点H，如图， ∵Rt△CEF∽Rt△ADC， ∴， ∵CE＝2AD， ∴EF＝2CD． ∴BE+2CD＝BE+EF， ∵BE+EF≥BF， ∴B，E，F在一条直线上时，即BE+EF＝BF时，BE+2CD取得最小值为BF． 由题意：∠ACH＝90°，∠A＝90°，∠BHC＝90°， ∴四边形ABHC为矩形， ∴BH＝AC＝4，CH＝AB＝2． ∵Rt△CEF∽Rt△ADC， ∴， ∴FC＝2AC＝8， ∴FH＝FC+CH＝10， ∴BF2， ∴BE+2CD的最小值为2． 故答案为：2． 十五．胡不归问题（共1小题） 26．如图所示，四边形OABC是正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上一动点，则的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，连接AC、PC， ∵四边形ABCO为正方形， ∴OC＝6，点A、C关于直线OB对称， ∴PA＝PC， ∴， 连接CD，交OB于点P，则当点C、P、D在同一直线上时，PC+PD最小，为CD， ∵D点的坐标为（2，0）， ∴OD＝2， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 十六．旋转的性质（共1小题） 27．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝　　 ． 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，点C和点E是对应点， ∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴BD． 故答案为． 十七．相似三角形的判定（共1小题） 28．已知Rt△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C折线OAB上的一个动点，线段PC把RI△OAB分割成两部分．若分割得到的三角形与Rt△OAB相似，则符合条件的点C的坐标为　（3，0）或（6，4）或　 ． 【解答】 解：如图，当PC1∥AB时，△OPC1∽△OBA，此时C1点坐标为（3，0）； 如图，当PC2∥OA时，△BPC2∽△BOA，此时C2点坐标为（6，4）； 如图，作PC3⊥OB，假设交AB于点C3，此时△BPC3∽△BAO， ∵P（3，4）为OB的中点， ∴B点坐标为（6，8）， ∴AB＝8，OA＝6， 在Rt△OAB中，根据勾股定理得： ， ∴， 根据△BPC3∽△BAO得： ∴， 即：， 解得：， ∵， ∴C3在AB上， ∴， 此时C3点坐标为； 综上所述，C点坐标为（3，0）或（6，4）或． 故答案为：（3，0）或（6，4）或． 十八．相似三角形的判定与性质（共1小题） 29．如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，边AB被三等分，且EH∥BC．若图中阴影部分的面积为6，则四边形BCGF的面积为　10　 ． 【解答】解：由题意可知：EH∥FG∥BC， ∴△AEH∽△AFG∽△ABC（平行线法）， ∵AE＝EF＝BF， ∴， ∴（相似三角形的面积之比等于相似比的平方）， ∵阴影部分的面积是 6， ∴， ∴， ∴S四边形BCGF＝S△ABC﹣S△AFG＝10， 故答案为：10． 十九．相似三角形的应用（共1小题） 30．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图，井径BE＝5尺，立木高AB＝5尺，BD＝4寸＝0.4尺，则井深x为　57.5　 尺． 【解答】解：∵BD∥CF， ∴△ABD∽△ACF， ∴AB：AC＝BD：CF， 即5：AC＝0.4：5， 解得AC＝62.5， ∴BC＝AC﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺． 故答案为：57.5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $