2026-2027年八年级上数学期中测试填空压轴题汇编（Word版）-2026-2027年初中数学上册期中测试压轴题汇编（人教版）

【人教版】2026-2027年8年级上数学期中测试填空压轴题汇编（3-2） 一．估算无理数的大小（共1小题） 1．若用[x]表示实数x的整数部分，例如：[3]＝3，[2.9]＝2，，则式子[]﹣[]+[]﹣[]+…+[]﹣[]+[]﹣[]＝ ________ ．（式子中“+”，“﹣”依次相间） 二．多项式乘多项式（共1小题） 2．关于x的多项式乘多项式（x2﹣3x﹣2）（ax+1），若结果中不含有x的一次项，则a的值为 ___________________ ． 三．因式分解的应用（共1小题） 3．对于一个各位数字均不为0的四位自数，若（k为正整数），则称这个四位数为“k倍体数”．例如：∵18﹣11＝7×1，∴1118是1倍体数；∵17﹣11＝6≠7k，∴1117不是k倍体数．若M是5倍体数且它的十位与个位上的数的和为18，则M＝_________ ；对于一个k倍体数，我们规定，当Q（4）＝1时，存在整数u，v使得（a+u）5＝（5b﹣v）2，（c+u）6＝（5d﹣v）4成立，则符合题意的所有N中，N的最大值与最小值的差为_________ ． 四．三角形的面积（共1小题） 4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，△BDE的面积为12，△ABC的面积是17，若AB＝24，则AC的值为 _______ ． 五．全等三角形的判定（共1小题） 5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm．BC＝15cm，点E为AB的中点，如果点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 ___________________ cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 六．全等三角形的判定（共1小题） 6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝6cm，BC＝9cm，CD＝12cm，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D匀速运动，若△BAP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为____________________ ． 七．全等三角形的判定与性质（共9小题） 7．甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′对应的边或角添加等量条件（点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点）．某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．如表记录了两人游戏的部分过程： 轮次 行动者 添加条件 1 甲 AB＝A′B′＝2cm 2 乙 BC＝B′C′＝4cm 3 甲 … 下列说法中所有正确的结论序号是 _______ ． ①若第3轮甲添加AC＝A′C′＝5cm，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件∠C＝∠C′＝30°； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°． 8．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则AQ+CP的最小值为 ________________ ． 9．如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD＝30°，AC＝AE，且满足∠CAE＝∠ABD，若S△ABC＝10，则AB＝_________________ ． 10．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD＝CE；②∠AEF＝∠ADF；③BD⊥CE；④AF平分∠CAD；⑤∠AFE＝45°，其中结论正确的序号是 _________ ． 11．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有________ ．（请填写序号） ①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°； ②BE＝CE； ③AB＝BG+AD； ④． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．现有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB．其中所有正确结论的序号为 ________ ． 13．如图，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D是AB边上的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE＝CF．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论： ①∠EDF保持90°不变； ②DF长度有最小值； ③在发生变化； ④四边形CEDF的面积保持不变． 其中正确的结论有：________ ．（填写序号即可） 14．如图，点A、B在坐标轴上，∠ABO的平分线过点D（2，﹣2）与x轴交于点C．下列结论：①AD平分△OAB的外角；②∠BDA＝45°；③BD＝AB+OC；④OA﹣OB+AB＝4．其中正确的结论有 ________ ．（填序号） 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高． （1）若∠ECF＝α，则∠CAB＝_____ （用含α的代数式表示）； （2）点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 ________ s时，CF＝AB． 八．角平分线的性质（共1小题） 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝30°，AE平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AE于E．给出下列3个结论：①BD＝2CD；②AE＝3DE；③AB＝AC+BE；所有正确的有________ （填序号）． 九．等腰三角形的性质（共2小题） 17．如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，则∠APO+∠DCO的度数为________ ． 18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，P为BA延长线上的一个动点，线段PC的垂直平分线交直线AD于点O（不与A，D重合），下列四个结论中： ①点P在运动的过程中，始终有∠POC＝60°； ②当O点在线段AD上时，60°＜∠PCB＜90°； ③当O点在线段AD上时，AB＝AP+AO； ④当O点不在线段AD上时，AP＝AO+AB． 所有正确结论的序号是：________ ． 十．等边三角形的性质（共1小题） 19．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．若AB＝4，，则△BDE的面积是 ________________ ． 十一．勾股定理（共1小题） 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC与∠ABC的平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，记△ABC的周长为p，PD＝r，给出下面三个结论：①∠APB＝135°；②CD＝r；③AC•BC＝pr，上述结论中，所有正确结论的序号是________ ． 十二．勾股定理的逆定理（共1小题） 21．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝____________________ s时，△PBQ为直角三角形． 十三．三角形综合题（共1小题） 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点G，过点A作AF⊥BE于点H，交BC于点F，下列结论： ①∠AGE＝∠AEG； ②AE＝DF； ③GD+DC＝AB； ④S△ABF＝2S△AFC+S△AGE； 其中正确的是 ________ ．（填序号） 十四．作图—基本作图（共1小题） 23．如图，△ABC中∠B＝31°，∠BCA＝79°，请依据尺规作图的作图痕迹计算∠α＝________ ． 十五．利用轴对称设计图案（共1小题） 24．在平面直角坐标系xOy中，横，纵坐标都是整数的点叫做整点，如图，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（1，1），点C为第一象限内的整点（在所给网格中），若不在同一条直线上的A，B，C三点构成轴对称图形，则点C的坐标可以是____________________ ．（写出两个符合要求的点的坐标） 十六．轴对称-最短路线问题（共3小题） 25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是∠BAC的平分线且AD＝8，若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ________ ． 26．如图．△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C的度数之比为2：3：4，点D为BC上一个定点，点E，F分别是AB，AC上的两个动点（不与点A，B，C重合）．则∠A＝ ________ °；当△DEF的周长最小时，∠EDF＝ _______ °． 27．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DMNE的周长最小时，∠DMN+∠ENM的大小是 ________ ． 十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 28．如图，在△ABC中，BC＝6cm，沿着过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，已知△AED周长等于7cm，则△ABC周长为_______ cm． 十八．胡不归问题（共1小题） 29．如图，在等边△ABC中，点D为BC中点，AD＝2，点E为线段AD上一动点，连接CE，则的最小值是_____ ． 十九．旋转的性质（共1小题） 30．如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，∠EAB＝45°，把AC绕A点逆时针旋转90°得到AD，连接DB交AE于点F，若S△BAD＝4，BE＝3CE，则EF的长为 ____________________ ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【人教版】2026-2027年8年级上数学期中测试填空压轴题汇编（3-2） 参考答案与试题解析 一．估算无理数的大小（共1小题） 1．若用[x]表示实数x的整数部分，例如：[3]＝3，[2.9]＝2，，则式子[]﹣[]+[]﹣[]+…+[]﹣[]+[]﹣[]＝ 　﹣22　 ．（式子中“+”，“﹣”依次相间） 【解答】解：∵[]＝1，[]＝1，[]＝1，[]＝2，[]＝2，[]＝2，[]＝2，[]＝2，[]＝3，[]＝3，…[]＝45，[]＝45， ∴原式＝1﹣1+1﹣2+2﹣2+2﹣2+3﹣3+3﹣3+3﹣3+3﹣4+…+45﹣45 ＝1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+43﹣44 ＝﹣1﹣1﹣…﹣1 ＝﹣22． 故答案为：﹣22． 二．多项式乘多项式（共1小题） 2．关于x的多项式乘多项式（x2﹣3x﹣2）（ax+1），若结果中不含有x的一次项，则a的值为 　　 ． 【解答】解：原式＝ax3+x2﹣3ax2﹣3x﹣2ax﹣2 ＝ax3+（1﹣3a）x2﹣（3+2a）x﹣2， ∵关于x的多项式乘多项式（x2﹣3x﹣2）（ax+1）的结果中不含有x的一次项， ∴3+2a＝0，解得， 故答案为：． 三．因式分解的应用（共1小题） 3．对于一个各位数字均不为0的四位自数，若（k为正整数），则称这个四位数为“k倍体数”．例如：∵18﹣11＝7×1，∴1118是1倍体数；∵17﹣11＝6≠7k，∴1117不是k倍体数．若M是5倍体数且它的十位与个位上的数的和为18，则M＝　6499　 ；对于一个k倍体数，我们规定，当Q（4）＝1时，存在整数u，v使得（a+u）5＝（5b﹣v）2，（c+u）6＝（5d﹣v）4成立，则符合题意的所有N中，N的最大值与最小值的差为　3737　 ． 【解答】解：①设M（a、b、c、d均为1到9的整数）， 则5×7＝35， ∵c+d＝18， ∴c＝d＝9， ∴99﹣35＝64， ∴M＝6499； ②由题可知N，且7k， ∴10c+d﹣（10a+b）＝10（c﹣a）+（d﹣b）＝7k， ∵Q（4）1， ∴4c+6a+5＝c2﹣a2， 整理可得（a+3）2＝（c﹣2）2， ∴a+3＝c﹣2， ∴c﹣a＝5， 则6≤c≤9，1≤a≤4， 代入10（c﹣a）+（d﹣b）＝7k，可得50+（d﹣b）＝7k， ∴d﹣b＝6或﹣1， ∵（a+u）5＝（5b﹣v）2，（c+u）6＝（5d﹣v）4， 设a+u＝m2，5b﹣v＝n5，c+u＝x2，5d﹣v＝y3， ∴c﹣a＝（c+u）﹣（a+u）＝x2﹣m2＝（x+m）（x﹣m）＝5， ∵x、m均为正整数， ∴，即， ∴a+u＝m2＝4，c+u＝x2＝9， ∵（a+u）5＝（5b﹣v）2，（c+u）6＝（5d﹣v）4， ∴5b﹣v＝32，5d﹣v＝27， 两式相减得b﹣d＝1， ∴2≤b≤9，1≤d≤8， ∴当a＝4，b＝9，c＝9，d＝8时，N最大值＝4998， 当a＝1，b＝2，c＝6，d＝1时，N最小值＝1261， ∴N最大值﹣N最小值＝4998﹣1261＝3737． 故答案为：6499，3737． 四．三角形的面积（共1小题） 4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，△BDE的面积为12，△ABC的面积是17，若AB＝24，则AC的值为 　10　 ． 【解答】解：过点D分别作DM⊥AB，DN⊥AC，如图， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴DM＝DN， ∵AD＝DE， ∴△ABD和△BDE的面积相等，等于12， ∴，解得DM＝1， ∴DN＝1， ∵△ABC的面积是17， ∴△ACD的面积是5， ∴， ∴AC＝10， 故答案为：10． 五．全等三角形的判定（共1小题） 5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm．BC＝15cm，点E为AB的中点，如果点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 　　 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 【解答】解：设点Q的运动时间为ts，运动的速度为xcm/s，则CQ＝xtcm，BP＝5tcm，CP＝（15﹣5t）cm， ∵点E为AB的中点， ∴BE＝10cm， ∵∠B＝∠C， ∴当BE＝CP，BP＝CQ时，△BEP≌△CPQ（SAS）， 即10＝15﹣5t，5t＝xt， 解得t＝1，x＝5（舍去）； 当BE＝CQ，BP＝CP时，△BEP≌△CQP（SAS）， 即10＝xt，5t＝15﹣5t， 解得t，x； 综上所述，点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 故答案为：． 六．全等三角形的判定（共1小题） 6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝6cm，BC＝9cm，CD＝12cm，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D匀速运动，若△BAP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为　cm/s或2cm/s ． 【解答】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为vcm/s，则BP＝2tcm，CQ＝vtcm， ∵BC＝9cm， ∴CP＝BC﹣BP＝（9﹣2t）cm， ∵∠B＝∠C＝120°， ∴△BAP≌△CQP或△BAP≌△CPQ， ①当△BAP≌△CQP时，CQ＝AB＝6cm，BP＝CPBCcm， ∴2t， ∴t（s）， ∴， 解得：v； ②当△BAP≌△CPQ时，CP＝BA，BP＝CQ＝vtcm， ∴2t＝vt， 解得：v＝2； 综上所述，点Q运动速度为cm/s或2cm/s． 故答案为：cm/s或2cm/s． 七．全等三角形的判定与性质（共9小题） 7．甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′对应的边或角添加等量条件（点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点）．某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．如表记录了两人游戏的部分过程： 轮次 行动者 添加条件 1 甲 AB＝A′B′＝2cm 2 乙 BC＝B′C′＝4cm 3 甲 … 下列说法中所有正确的结论序号是 　①③　 ． ①若第3轮甲添加AC＝A′C′＝5cm，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件∠C＝∠C′＝30°； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°． 【解答】解：①若第3轮甲添加AC＝A′C′＝5cm时， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）， 根据游戏规则得乙获胜，甲失败， 故结论①正确，符合题意； ②当第3轮可以添加条件∠C＝∠C′＝30°时， 在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝acm，如图所示： 在Rt△ACD中，∠C＝30° ∴AC＝2AD＝2a， 由勾股定理得：CD（cm）， ∴BD＝BC﹣CDcm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2＝BD2+AD2， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴AC＝2a（cm）， 在△ABC中，AB2+AC216， 又∵BC2＝16， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，即∠BAC＝90°， 同理：∠B′A′C′＝90°， 此时△ABC和△A′B′C′都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）， 根据游戏规则得乙获胜，甲失败， 故结论②不正确，不符合题意； ③若第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°时，有以下4种情况： （1）当第三轮甲添加∠B＝∠B'时， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）， 根据游戏规则得乙获胜，甲失败， （2）当第三轮甲添加∠C＝∠C'时， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）， 根据游戏规则得乙获胜，甲失败， （3）当第三轮甲添加BC＝B'C'时， 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）， 根据游戏规则得乙获胜，甲失败， （4）当第三轮甲添加AC＝A'C'时， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）， 根据游戏规则得乙获胜，甲失败， ∴若第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°时，无论第三轮甲添加任何条件都能判定△ABC与△A′B′C′全等， 据游戏规则得乙获胜，甲失败， 故结论③正确，符合题意， 综上所述：正确的结论是①③． 故答案为：①③． 8．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则AQ+CP的最小值为 　　 ． 【解答】解：如图，过点B作BM⊥AB，使得BM＝AC，连接AM，QM， ∴∠QBM+∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠PAC+∠ABC＝90°， ∴∠QBM＝∠PAC， ∵BM＝AC，AP＝BQ， ∴△QBM≌△PAC（SAS）， ∴MQ＝CP， ∴AQ+CP＝AQ+MQ， 在△AQM中，AQ+MQ＞AM， 当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ＝AM， ∴AQ+MQ≥AM， ∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°， ∴， ∵BM＝AC＝3，∠ABM＝90°， ∴， ∴， 即AQ+CP的最小值为． 故答案为：． 9．如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD＝30°，AC＝AE，且满足∠CAE＝∠ABD，若S△ABC＝10，则AB＝　　 ． 【解答】解：如图，作CF⊥AB于点F，作AH⊥BD，交BD延长线于点H， 则∠AFC＝∠H＝90°， ∵∠CAE＝∠ABD，∠CAF＝∠CAE+∠EAB，∠AEH＝∠ABD+∠EAB， ∴∠AEH＝∠CAF， 在△AFC和△EHA中， ， ∴△AFC≌△EHA（AAS）， ∴CF＝AH， ∴∠ABD＝30°，∠H＝90°， ∴， ∴， ∵S△ABC＝10， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD＝CE；②∠AEF＝∠ADF；③BD⊥CE；④AF平分∠CAD；⑤∠AFE＝45°，其中结论正确的序号是 　①②③⑤　 ． 【解答】解：由条件可知∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠AEF＝∠ADF，故①②符合题意； 设BD与AC交于点G， 由全等可知∠ABF＝∠ACF， ∵∠ABF+∠BGA＝90°，∠BGA＝∠CGF， ∴∠ACF+∠CGF＝90°， ∴∠CFG＝90°，即BD⊥CE，故③符合题意； 分别过A作AM⊥BD，AN⊥CE，垂足分别为M、N， ∵△BAD≌△CAE， ∴AM＝AN， ∴∠BFA＝∠EFA， 若AF平分∠CAD， ∴∠CAF＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠EAF，而FA＝FA， ∴△BAF≌△EAF（ASA）， ∴AB＝AE， 但AB、AE未必相等， 故④不符合题意； ∵FA平分∠BFE，BF⊥CF， ∴∠AFE＝45°，故⑤符合题意． 故答案为：①②③⑤． 11．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有　①③④　 ．（请填写序号） ①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°； ②BE＝CE； ③AB＝BG+AD； ④． 【解答】解：①∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣60°＝50°， ∵AG平分∠BAC， ∴， ∵BE⊥AG， ∴∠E＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣35°＝55°， ∴∠EBC＝∠ABE﹣∠ABC＝55°﹣50°＝5°， 故①正确，符合题意； ②如图所示，延长BE，AC交于点H， 由题意可得： ∴∠BAE＝∠HAE，∠AEB＝∠AEH＝90°， 在△ABE和△AHE中， ， ∴△ABE≌△AHE（ASA）， ∴BE＝HE； 假设HE＝CE，则BE＝HE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB，∠ECH＝∠EHC， ∴∠BCH＝∠BCE+∠HCE＝∠EBC+∠EHC， ∵∠BCH+∠EBC+∠EHC＝180°， ∴∠BCH＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BCH＝180°﹣90°＝90°，与∠ACB＝60°矛盾， ∴假设不成立，即HE≠CE， ∴BE≠CE，故结论②错误，不符合题意； ③如图，在AB上截取BN＝BG，连接NF； 由题意可得：， ， ∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∴， ∴∠AFB＝180°﹣（∠FAB+∠FBA）＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BFG＝180°﹣∠AFB＝180°﹣120°＝60°， 在△BFN和△BFG中， ， ∴△BFN≌△BFG（SAS）， ∴∠BFN＝∠BFG＝60°， ∴∠AFN＝∠AFB﹣∠BFN＝120°﹣60°＝60°， ∵∠BFG＝∠AFD， ∴∠AFD＝60°＝∠AFN， 在△AFD和△AFN中， ， ∴△AFD≌△AFN（ASA）， ∴AD＝AN， ∴AB＝BN+AN＝BG+AD， 故③正确，符合题意； ④如图，过点N作NQ⊥AF于点Q，过点N作NP⊥BF于点P， ∵∠AFN＝∠BFN＝60°，NP⊥BF，NQ⊥AF， ∴NP＝NQ， ∵，， ∴， 由三角形全等的性质可得： ∴S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN， ∴， 故④正确，符合题意； 故答案为：①③④． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．现有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB．其中所有正确结论的序号为 　①②④　 ． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA， ∴， ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°，所以结论①正确，符合题意； ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA），所以结论②正确，符合题意； ∴∠BAP＝∠BFP（全等三角形对应角相等），AB＝FB，PA＝PF（全等三角形对应边相等）， ∴∠PAH＝∠PFD（等量代换）， 在△PAH和△PFD中， ， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP， ∵∠FDP是△ABD的外角， ∴∠FDP＞∠ABC， ∴∠AHP＞∠ABC，所以结论③错误，不符合题意； 又∵AH＝FD，AB＝FB， ∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD， 即AH+BD＝AB，所以结论④正确，符合题意， 综上所述，所有正确结论的序号为①②④． 故答案为：①②④． 13．如图，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D是AB边上的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE＝CF．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论： ①∠EDF保持90°不变； ②DF长度有最小值； ③在发生变化； ④四边形CEDF的面积保持不变． 其中正确的结论有：　①②④　 ．（填写序号即可） 【解答】解：连接CD，过点D作DH⊥BC于点H，如图所示： 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2， ∴BC＝AC＝2，∠A＝∠B＝45°， ∵点D是AB边上的中点， ∴CD⊥AB，AD＝CD＝BDAB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ADC和△BDC都是等腰直角三角形， ∴∠DCF＝45°， 又∵DH⊥BC于点H， ∴DHBC＝1， 对于结论①， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴∠ADE＝∠CDF， ∵∠ADE+∠EDC＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDF＝90°， ∴∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°， 故该结论正确； 对于结论②， ∵点F在BC上运动， 根据“垂线段最短”得：DF≤DH＝1， ∴当点F与点H重合时，DF为最小，最小值为1， ∴DF长度有最小值， 故该结论正确， 对于结论③ ∵△ADE≌△CDF， ∴DE＝DF， ∴DE/DF＝1不发生变化， 故该结论不正确； 对于结论④， ∵△ADE≌△CDF， ∴S△ADE＝S△CDF， S四边形CEDF＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△ADE＝S△ADC， ∵点D是AB边上的中点， ∴S△ADC＝S△BDCS△ABCAC•BC2×2＝1， ∴S四边形CEDF＝1， ∴四边形CEDF的面积保持不变， 故该结论正确， 综上所述：正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 14．如图，点A、B在坐标轴上，∠ABO的平分线过点D（2，﹣2）与x轴交于点C．下列结论：①AD平分△OAB的外角；②∠BDA＝45°；③BD＝AB+OC；④OA﹣OB+AB＝4．其中正确的结论有 　①②④　 ．（填序号） 【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，作DH⊥x轴于点H，作DF⊥BA的延长线于点F， ∴∠DEB＝∠AHD＝∠AFD＝90°， ∵D（2，﹣2）， ∴DE＝DH＝2， ∵BD平分∠ABO， ∴DE＝DF＝2， ∴DH＝DF， 在Rt△AHD与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AHD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠HAD＝∠FAD， ∴AD平分∠OAF， 即AD平分△OAB的外角，故①正确； ∵Rt△AHD≌Rt△AFD， ∴∠ADH＝∠ADF， ∵DH⊥x轴， ∴DH∥BE， ∴∠CDH＝∠CBO， ∵BD平分∠ABO， ∴∠CBO＝∠FBD， ∵∠AFD＝90°， ∴△BFD为直角三角形， ∴∠FBD+∠BDF＝90°， ∵∠BDF＝∠CDH+∠ADH+∠ADF， ∴∠CBO+∠CDH+∠ADH+∠ADF＝2∠CDH+2∠ADH＝90°， ∴∠BDA＝∠CDH+∠ADH＝45°，故②正确； 无法得出③的结论，故错误； 设AF＝x，则AH＝x， ∵DE＝2，DH＝2， ∴OH＝2，OE＝2， 在Rt△BED与Rt△BFD中， ， ∴Rt△AHD≌Rt△AFD（HL）， ∴BE＝BF， ∵BF＝AB+AF＝AB+x，BE＝OB+OE＝OB+2， 即AB+x＝OB+2， ∵OA＝AH+OH＝2+x， ∴x＝OA﹣2， ∴AB+x＝AB+OA﹣2＝OB+2， ∴AB+OA﹣OB＝2+2＝4，故④正确； 故答案为：①②④． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高． （1）若∠ECF＝α，则∠CAB＝　α　 （用含α的代数式表示）； （2）点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　2或5　 s时，CF＝AB． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBD＝90°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠ECF， ∴∠ECF＝∠A＝α； 故答案为：α； （2）∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F， ∴∠CEF＝90°＝∠ACB， 在△CEF和△ACB中， ， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE＝AC＝7cm， ①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：10÷2＝5（s）； ②当点E在射线CB上移动时，BE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：4÷2＝2（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB； 故答案为：2或5． 八．角平分线的性质（共1小题） 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝30°，AE平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AE于E．给出下列3个结论：①BD＝2CD；②AE＝3DE；③AB＝AC+BE；所有正确的有　①②③　 （填序号）． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝30°，∠C+∠CBA+∠CAB＝180°， ∴∠CAB＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AB＝2AC， ∵AE平分∠CAB交BC于点D， ∴∠CAD＝∠BAD∠CAB60°＝30°， ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝90°， ∴AB＝2BE，AD＝2CD， ∴AB＝AC+BE， ∴结论③正确，符合题意； ∵∠BAD＝∠ABC＝30°， ∴BD＝AD＝2CD， ∴结论①正确，符合题意； ∵∠BAD＝∠ABC＝30°， ∴∠BDE＝30°+30°＝60°， ∵∠E＝90°， ∴∠DBE＝30°， ∴BD＝2DE＝AD， ∴AE＝3DE， ∴结论②正确，符合题意， 综上所述，所有正确的有①②③， 故答案为：①②③． 九．等腰三角形的性质（共2小题） 17．如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，则∠APO+∠DCO的度数为　30°　 ． 【解答】解：如图所示：连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°， ∴BD＝CD，， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°， ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABC＝30°， 故答案为：30°． 18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，P为BA延长线上的一个动点，线段PC的垂直平分线交直线AD于点O（不与A，D重合），下列四个结论中： ①点P在运动的过程中，始终有∠POC＝60°； ②当O点在线段AD上时，60°＜∠PCB＜90°； ③当O点在线段AD上时，AB＝AP+AO； ④当O点不在线段AD上时，AP＝AO+AB． 所有正确结论的序号是：　①②③　 ． 【解答】解：①∵线段PC的垂直平分线交直线AD于点O， ∴OC＝OP， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠CAB， ∴∠OAC＝∠OAB， 在△AOC和△AOB中， ， ∴△AOC≌△AOB（SAS）， ∴OC＝OB＝OP，∠ACO＝∠ABO， ∴∠OPA＝∠OBA， ∵AB＝AC，∠ABC＝30°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠OCD＝∠OBD， 设∠OCD＝∠OBD＝β，∠OPA＝∠OBA＝α，则α+β＝30°， 由三角形内角和得∠CAB＝120°， ∴∠OAC＝∠OAB＝60°， ∴∠CAP＝180°﹣∠CAB＝180°﹣120°＝60°， ∴∠OAP＝∠OAC+∠CAP＝120°， 在△OAP中，∠AOP＝180°﹣∠OPA﹣∠OAP＝60°﹣α， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在△ODC 中，∠DOC＝90°﹣∠OCD＝90°﹣β， 在△POC 中，∠POC＝180°﹣∠DOC﹣∠AOP ＝180°﹣90°+β﹣60°+α ＝30°+β+α， ∵α+β＝30°， ∴∠POC＝60°． ∴①是正确的； ②∵P为BA延长线上的一个动点，线段PC的垂直平分线交直线AD于点O， ∴当点P越接近点A时，∠PCB越小，当点P越远离点A时，∠PCB越大， 当O点在线段AD上时，可分两种情况讨论： 当点P越接近点A时，O点越靠近点D，当点O与点D重合时，∠PCB最小，如图所示， ， ∵线段PC的垂直平分线交直线AD于点D， ∴DC＝DP， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴DC＝DB，∠ABC＝∠ACB， ∴DB＝DP， ∴∠DPB＝∠ABC， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ACB＝30°，∠DPB＝30°， ∴∠PDC＝∠DPB+∠ABC＝60°， ∵DC＝DP且∠PDC＝60°， ∴△CDP是等边三角形， ∴∠PCB＝60°； 当点P越远离点A时，O点越靠近点A，当点O与点A重合时，∠PCB最大，如图所示， ， ∵线段PC的垂直平分线交直线AD于点A，交直线CP于点E， ∴AC＝AP，AE⊥PC， ∴AE平分∠CAP， ∵AB＝AC，∠ABC＝30°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠CAP＝∠ABC+∠ACB＝60°， ∴∠CAE＝∠PAE＝30°， ∴∠PCA＝60°， ∴∠PCB＝90°， ∵O点不与A，D重合， ∴当O点在线段AD上时，60°＜∠PCB＜90°， ∴②是正确的； ③当O点在线段AD上时，如图所示，在AB上截取AQ＝AO， ， 由（1）得∠DAB＝60°，∠OBA＝∠OPA， ∴△AOQ是等边三角形， ∴OA＝OQ＝AQ， ∴∠OAP＝∠OQB＝120°， 在△OPA和△OQB中， ， ∴△OPA≌△OBQ（AAS）， ∴AP＝QB， ∵AB＝AQ+BQ， ∴AB＝OA+AP； ∴③是正确的； ④当O点不在线段AD上，可以在DA的延长线上，也可以在AD的延长线上，需分类讨论： 当O点在DA的延长线上时，如图所示，在AP上截取AF＝AO， ， 由（1）得∠DAB＝60°， ∴∠OAP＝60°， ∴△AOF是等边三角形， ∴OA＝OF＝AF， ∴∠OFP＝∠OAB＝120°， ∵线段PC的垂直平分线交DA的延长线于点O， ∴OC＝OP， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠CAB， ∴∠DAC＝∠DAB， ∴∠OAC＝∠OAB， 在△AOC和△AOB中， ， ∴△AOC≌△AOB（SAS）， ∴OC＝OB＝OP， ∴∠OPF＝∠OBA， ∴∠POF＝∠BOA， 在△OPF和△AOB中， ， ∴△OPF≌△AOB（SAS）， ∴PF＝AB， ∵AP＝AF+PF， ∴AP＝OA+AB； 当O点在AD的延长线上时，如图所示，在AB上截取AG＝AO， 由（1）得∠DAB＝60°， ∴△AOG是等边三角形， ∴OA＝OG＝AG， ∴∠OAP＝∠OGB＝120°， ， ∵线段PC的垂直平分线交直线AD于点O， ∴OC＝OP， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠CAB， ∴∠OAC＝∠OAB， 在△AOC 和△AOB 中， ， ∴△AOC≌△AOB（SAS）， ∴OC＝OB＝OP， ∴∠OPG＝∠OBA， ∴∠POA＝∠BOG， 在△OPA和△GOB中， ， ∴△OPA≌△GOB（SAS）， ∴AP＝BG， ∵AB＝AG+BG， ∵AB＝AO+AP； ∴④是不正确的； 综上所述，正确结论的序号是：①②③． 故答案为：①②③． 十．等边三角形的性质（共1小题） 19．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．若AB＝4，，则△BDE的面积是 　3　 ． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴∠DBC＝30°，AC＝AB＝BC＝4，CD＝2， ∵CE＝CD＝2， ∴BE＝4+2＝6， ∵DF⊥BE， ∴BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝30°，∠DFB＝90°， ∴DFBD， ∴△BDE的面积是3． 十一．勾股定理（共1小题） 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC与∠ABC的平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，记△ABC的周长为p，PD＝r，给出下面三个结论：①∠APB＝135°；②CD＝r；③AC•BC＝pr，上述结论中，所有正确结论的序号是　①②③　 ． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， 又∵AP、BP分别平分∠BAC、∠ABC ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠BAP+∠ABP）＝135°，故①正确． 过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥AB于点F，连接PC， ∵PD⊥BC， ∴四边形CDPE是矩形， ∵AP、BP分别是∠BAC、∠ABC的平分线，PE⊥AC，PF⊥AB，PD⊥BC ∴PE＝PF＝PD＝r， ∴矩形CDPE是正方形， ∴CD＝PD＝r，故②正确． ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP+S△BCP， ∴， ∴AC•BC＝AB•r+AC•r+BC•r， ∴AC•BC＝（AB+AC+BC）•r＝pr，故③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 十二．勾股定理的逆定理（共1小题） 21．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝　或　 s时，△PBQ为直角三角形． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°， 当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°， ∴BP＝2BQ． ∵BP＝6﹣2x，BQ＝x， ∴6﹣2x＝2x， 解得x； 当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°， ∴BQ＝2PB， ∴x＝2（6﹣2x）， 解得x． 答：或秒时，△BPQ是直角三角形． 故答案为或． 十三．三角形综合题（共1小题） 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点G，过点A作AF⊥BE于点H，交BC于点F，下列结论： ①∠AGE＝∠AEG； ②AE＝DF； ③GD+DC＝AB； ④S△ABF＝2S△AFC+S△AGE； 其中正确的是 　①③④　 ．（填序号） 【解答】解：∵BE平分∠ABC交AC于点E， ∴∠ABG＝∠CBG， ∵AF⊥BE， ∴∠BAC＝∠AHB＝90°， ∴∠ABG+∠AEG＝∠CBG+∠BGD＝90°， ∴∠BGD＝∠AEB， ∵∠AGE＝∠BGD， ∴∠AGE＝∠AEG，故①正确； 如图，连接FG， ∵∠ABH＝∠FBH，∠AHB＝∠FHB，BH＝BH， ∴△ABH≌△FBH（AAS）， ∴AH＝HF， ∴BH垂直平分AF， ∴AG＝FG， ∴AE＝FG， ∵AD⊥BC， ∴∠GDF＝90°， ∴FG＞DF， ∴AE＞DF，故②错误； ∵BH垂直平分AF， ∴AB＝BF， ∴△ABG≌△FBG（SSS）， ∴∠BFG＝∠BAD＝45°， ∴△DGF是等腰直角三角形， ∴DF＝DG， ∵BD＝CD， ∴AB＝BF＝BD+DF＝CD+DG，故③正确； ∵∠AGE＝∠AEG，AF⊥EG， ∴GH＝EH， ∵AH＝FH，∠AHE＝∠FHG， ∴△AEH≌△FGH（SAS）， ∴S△AEG＝S△AFG， ∵AD＝BD＝CD，DG＝DF， ∴AG＝CF， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠C＝45°， ∴△ABG≌△CAF（SAS）， ∴S△ABG＝S△ACF， ∵△ABG≌△FBG， ∴S△BGF＝S△ACF， ∴S△ABF＝S△ABG+S△BFG+S△AGF＝2S△AFC+S△AGE．故④正确； 综上所述：正确的是①③④． 故答案为：①③④． 十四．作图—基本作图（共1小题） 23．如图，△ABC中∠B＝31°，∠BCA＝79°，请依据尺规作图的作图痕迹计算∠α＝　83°　 ． 【解答】解：∵∠B＝31°，∠BCA＝79°， ∴∠BAC＝70°． 由作法可知，AD是∠BAC的平分线， ∴， 由作法可知，EF 是线段BC的垂直平分线， ∴BF＝CF， ∴∠FBC＝∠FCB＝31°， ∵∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝79°﹣31°＝48°， ∠α＝∠CAE+∠ACF＝35°+48°＝83°． 故答案为：83°． 十五．利用轴对称设计图案（共1小题） 24．在平面直角坐标系xOy中，横，纵坐标都是整数的点叫做整点，如图，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（1，1），点C为第一象限内的整点（在所给网格中），若不在同一条直线上的A，B，C三点构成轴对称图形，则点C的坐标可以是　（3，1）或（4，2）（答案不唯一）　 ．（写出两个符合要求的点的坐标） 【解答】解：如图，点C（3，1），C′（4，2）即为所求（答案不唯一）． 故答案为：（3，1）或（4，2）（答案不唯一）． 十六．轴对称-最短路线问题（共3小题） 25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是∠BAC的平分线且AD＝8，若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　9.6　 ． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD垂直平分BC， ∴BP＝CP． 过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示． ∵S△ABCBC•ADAC•BQ， ∴BQ9.6． 故答案为：9.6． 26．如图．△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C的度数之比为2：3：4，点D为BC上一个定点，点E，F分别是AB，AC上的两个动点（不与点A，B，C重合）．则∠A＝ 　100　 °；当△DEF的周长最小时，∠EDF＝ 　40　 °． 【解答】解：∵三个内角∠A、∠B、∠C的度数之比为2：3：4， ∴设∠BAC＝2α，∠B＝3α，∠C＝4α， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴2α+3α+4α＝180°， ∴α＝20°， ∴∠A＝2α＝40°； 作点D关于AB的对称点H，点D关于AC的对称点G，连接HG交AB于E，交AC于F， 则此时，△DEF的周长最小， 连接AH，AD，AG， ∴AH＝AD＝AG， ∴∠HAB＝∠DAB，∠GAC＝∠DAC， ∴∠HAG＝2∠BAC＝80°， ∴AHG+∠AGH＝180°﹣80°＝100°， 由轴对称的性质得∠AHE＝∠ADE，∠ADF＝∠AGF， ∴∠ADE+∠ADF＝∠AHG+∠AGH＝100°， ∴∠EDF＝∠EDA+∠FDA＝100°， 故答案为：40，100． 27．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DMNE的周长最小时，∠DMN+∠ENM的大小是 　60°　 ． 【解答】解：如图，作D关于AC的对称点D′，作E关于BC的对称点E′，连接D′E′，则MD＝D′M，NE＝NE′， ∴四边形DMNE的周长＝MD+DE+NE+MN＝DE+MD′+MN+DE′≥DE+D′E′， ∴当M，N在线段D′E′上时，四边形DMNE的周长最小， ∵D关于AC的对称点D′，E关于BC的对称点E′， ∴∠DMA＝∠D′MA，∠BNE′＝∠BNE， ∵∠CNM＝∠BNE′，∠D′MA＝∠CMN，∠CNM+∠CMN＝180°﹣∠C＝150°， ∴∠BNE′+∠D′MA＝150°， ∴∠E′NE+∠DMD′＝2（∠BNE′+∠D′MA）＝300°， ∴∠ENM+∠DMN＝180°﹣∠E′NE+180°﹣∠DMD′＝60°； 故答案为：60°． 十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 28．如图，在△ABC中，BC＝6cm，沿着过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，已知△AED周长等于7cm，则△ABC周长为　19　 cm． 【解答】解：由折叠的性质可得CD＝DE，BE＝BC＝6cm， ∵△AED周长等于7cm， ∴AD+AE+DE＝7cm， ∴AD+CD+AE＝7cm， ∴AC+AE＝7cm， ∴△ABC周长＝AC+BC+AB＝AC+AE+BE+BC＝7+6+6＝19（cm）， 故答案为：19． 十八．胡不归问题（共1小题） 29．如图，在等边△ABC中，点D为BC中点，AD＝2，点E为线段AD上一动点，连接CE，则的最小值是　2　 ． 【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB于点T，过点C作CH⊥AB于点H． ∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠ABD∠ABC＝30°， ∴ETAE， ∵CH⊥AB， ∴CH＝AD＝2， ∴CEAE＝CE+ET≥CH＝2， ∴CEAE的最小值为2． 故答案为：2． 十九．旋转的性质（共1小题） 30．如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，∠EAB＝45°，把AC绕A点逆时针旋转90°得到AD，连接DB交AE于点F，若S△BAD＝4，BE＝3CE，则EF的长为 　　 ． 【解答】解：过点B作BP⊥AC于点P，交AE于点T，过点F作FH⊥AB于点H，如图所示： ∴∠BPC＝∠BPA＝90°，∠FHA＝90°， 设CE＝a，其中a＞0， ∴BE＝3CE＝3a， 在△ABC中，AE为BC边上的高， ∴∠AEB＝∠BET＝∠AEC＝90°， 在Rt△ABE中，∠EAB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴BE＝AE＝3a， 由勾股定理得：AB， 在Rt△BPC中，∠C+∠CBP＝90°， 在Rt△AEC中，∠C+∠EAC＝90°， ∴∠CBP＝∠EAC， 即∠EBT＝∠EAC， 在△EBT和△EAC中， ， ∴△EBT≌△EAC（ASA）， ∴TE＝CE＝a，BT＝AC， ∴AT＝AE﹣TE＝3a﹣a＝2a， 由旋转性质得：AD＝AC，∠DAC＝90°， ∴BT＝AD，∠BPA＝∠DAC＝90°， ∴BP∥AD， ∴∠TBF＝∠F， 在△TBF和ADF中， ， ∴△TBF≌ADF（AAS）， ∴TF＝AFAT＝a，BF＝DF， ∴EF＝TE+TF＝2a， 在△AFH中，∠FHA＝90°，∠EAB＝45°， ∴△AFH是等腰直角三角形， ∴FH＝AH， 由勾股定理得：AFFH， ∴FHAF， ∵△ABF的边BF上的高相同与△ADF的边DF上的高，且BF＝DF， ∴S△ABF＝S△ADFS△BAD＝2， ∴S△ABFAB•FH， 解得：，0，不合题意，舍去， ∴EF＝2a， 即EF的长为． 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $