2026-2027年七年级上数学期中测试解答压轴题汇编（Word版）-2026-2027年初中数学上册期中测试压轴题汇编（人教版）

【人教版】2026-2027年7年级上数学期中测试解答压轴题汇编（3-3） 一．数轴（共3小题） 1．（1）如图，把一根长度为acm的木棒放置在一条数轴上（数轴的1个单位长度为1cm）．木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为24；当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒a的长为 _____ cm． （2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈!”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 2．如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“2.5cm”，“1cm“两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足|a+1|+（b﹣2）2＝0． （1）a＝ _______ ，b＝ _____ ； （2）若将图1中的数轴沿水平方向移动1个单位，此时刻度“1.7cm”对应数轴上的数为 _____________ ； （3）若刻度尺右端M的刻度为“0.5cm”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧MN的长度，并说明理由． 3．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”． （1）若点A表示数﹣1，点C表示的数2，下列各数，0，1，中，其中是点A，C的“倍分点”的是 ________ ； （2）已知点M表示﹣20，点N表示16，P为数轴上一个动点． ①若点P是点M，N的“倍分点”，求此时点P表示的数． ②若点P，M，N中，有一个点恰好是其他两个点的“倍分点”，直接写出点P表示的数． 二．有理数的混合运算（共3小题） 4．日常生活中，我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”，十进制的基数是十，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制的基数是二二进制只使用数字0，1，如二进制数1101记为（1101）2，（1101）2通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，即（1101）2＝1×23+1×22+0×2+1＝13． （1）将二进制数（10101）2转换为十进制数． （2）二进制的加法运算是一种基本运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同．在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况．二进制数的基本规则：0+0＝0，0+1＝1；1+1＝10（二进制进位）．举个例子，我们来计算二进制数（1011）2和（110）2的加法：（1011）2+（110）2．从最低位开始相加，1+0＝1，没有进位；1+1＝10，这里需要进位；1+0＝1，没有进位；1+1＝10，这里也需要进位，最终的结果是（10001）2． 请计算：（10101）2+（1101）2；（请把计算或探究过程写出来） （3）请类比十进制的运算，进一步研究二进制的运算． ①计算：（1110）2×（11）2．（请把计算或探究过程写出来） ②计算：（110101）2﹣（1010）2+（11010）2×（1001）2，并把结果转化为十进制的数．（请把计算或探究过程写出来） 5．小天在学完《进位制的认识与探究》后发现，二进制和八进制在计算机领域都比较常用，而且二进制与八进制之间可以互相转化．小天想把（1011001）2转化为八进制数，他想到了如下两种方法： （Ⅰ）先把二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化为二进制数． 把（1011001）2转化为十进制数为 _______ ，再转化为八进制数为（ ________ ）8． （Ⅱ）直接转化法：由于8＝23，即一位八进制数相当于三位二进制数．因此，将二进制数从右向左每三位分为一组，最左边一组不足三位的在前面补0，然后将每组二进制数转换为对应的八进制数． 例如，二进制数1011010110转换为八进制数的步骤如下： 分组：001|011|010|110（最左一组在前面添0补足三位）， 转换：1|3|2|6（补足的0不影响转换结果）， 组合：（1326）8． 请仿照上面的过程，把（1011001）2转化为八进制数． 6．如图所示，有5张写着不同的数的卡片，请你按要求选取卡片，完成下列问题． （Ⅰ）从中选取2张卡片． ①若这2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，则最小结果为 _______ ； ②若这2张卡片上的数相除，所得的运算结果最小，则最小结果为 _______ ； ③若这2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，则最大结果为 _____ ； ④若这2张卡片上的数相乘，所得的运算结果最大，则最大结果为 _______ ； ⑤若这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后（乘方运算的指数只考虑正整数情况），能得到一个最大的数，则最大的数为 ________ ； （Ⅱ）若从中选取4张卡片，对卡片上的数进行加、减、乘、除、乘方运算，使运算结果为24．每张卡片都必须使用一次，但不能重复使用．请写出算式（只需写出1种即可）． 三．代数式（共1小题） 7．小明在研究关于字母t（t≠0）的代数式时发现，记代数式的值为m，可通过m与t的关系对代数式进行分类，分类如下： t的一类式：对于t的每一个取值，都有|m|＝|t|； t的二类式：对于t的每一个取值，都有|m|≠|t|； t的三类式：既存在t的值，使得|m|＝|t|，又存在t的值，使得|m|≠|t|． （1）按上述分类判断下列代数式的类别（将对应序号填在横线上）． ①﹣t；②t+1；③3t；④t2． t的一类式：_____ ，t的二类式：_____ ，t的三类式：_______ ； （2）若关于t的代数式pt2﹣3t与2t2+qt的和是t的一类式，则p＝_______ ，q＝________ ； （3）已知a，b为非零常数，对于x＞0，y＜0，代数式ax﹣by既是x的二类式，又是y的三类式，直接写出两组满足条件的a和b的值． 四．列代数式（共1小题） 8．某水果超市新进了一批秋月梨，为了合理定价，先试行了7天机动价格，售价以每千克10元为标准价，超市记录了这7天秋月梨的销售价和销售量情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每千克价格相对于标准价格（元） +1 ﹣2 +3 ﹣1 +2 +5 ﹣4 售出的质量（千克） 20 35 10 30 15 5 50 （1）这7天中，秋月梨单价最低的一天是星期_____ ． （2）求这7天超市销售秋月梨的总收入． （3）从第8天起，超市决定推出两种秋月梨的销售方式： 方式一：每千克售价10元； 方式二：每千克售价12元，若购买超过5千克，则超过部分打9折． 若买a（a＞5）千克秋月梨，则两种不同的购买方式分别需要多少钱？（用含a的代数式表示） 五．代数式求值（共1小题） 9．定义：对于一个有理数x，[x]表示x的“进步数”，当x≥0时，[x]＝x﹣1，当x＜0时，[x]＝x+1．例如：[0.6]＝0.6﹣1＝﹣0.4，[﹣3]＝﹣3+1＝﹣2． （1）[4]＝ _____ ， __________________ ； （2）当a＞0，b＜0，c＞0时，[a]+[b]＝2，[b]+[c]＝4，求代数式a+2b+c的值； （3）已知[a﹣1]+[a+3]＝5，求a的值． 六．规律型：数字的变化类（共4小题） 10．对有理数a，b进行如下操作：第一次，将a，b中的一个数加1或者减1，另一个数加2或者减2，得到数a1和b1；第二次，将a1和b1中的一个数加1或者减1，另一个数加2或者减2，得到数a2和b2；…；第n次，将an﹣1和bn﹣1中的一个数加1或者减1，另一个数加2或者减2，得到数an和bn． （1）a＝1，b＝3． ①若a1＝0，则b1的值可以是 ________ ； ②a2+b2所有可能的取值为 ____________________ ； （2）若an＝a，bn＝b，则n的值是否可以是5？请说明理由． 11．观察下面三行数： 第一行：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…① 第二行：0、6、﹣6、18、﹣30、66、…② 第三行：5、﹣1、11、﹣13、35、﹣61、…③ 探索他们之间的关系，寻求规律解答下列问题： （1）直接写出第①行数的第8个数是________ ；第②行数的第9个数是_________ ； （2）取第②行的连续三个数，请判断这三个数的和能否为﹣378，并说明理由； （3）取每一行的第n个数，从上到下依次记作A，B，C，若对于任意的正整数n均有2A﹣tB+5C为一个定值，求t的值及这个定值． 12．观察下面有规律排列的三行数： （1）①请直接写出每行的第8个数分别是 ________ ，________ ，_________ ； ②第二行数中，任意连续的三个数分别记为a，b，c，则2a﹣b﹣c＝ _____ ． （2）用如图所示的“U”形框在第一行和第二行数中平移，任意圈住5个数，使得5个数的和为2045，求圈住的这5个数． （3）取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为p，最小的数记为q，若2p+3q＝2049，直接写出n的值 _______ ． 13．将200个数1∼200任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为a1＜a2＜⋯＜a100，另一组从大到小排列，设为b1＞b2＞⋯＞b100，求代数式|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+⋯+|a100﹣b100|的值． 七．整式的加减（共1小题） 14．给定有理数a，b，对整式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝aA+bB；对正整数n（n≥2）和整式A，定义新运算“⊗”：n⊗A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．特别地，1⊗A＝A． 例如，当a＝1，b＝2时，若A＝x，B＝﹣y，则A⊕B＝A+2B＝x﹣2y，2⊗A＝A⊕A＝3x． （1）当a＝2，b＝1时，若A＝x+y，B＝x﹣2y，则A⊕B＝ _______ ，3⊗A＝ __________ ； （2）写出一组a，b的值，使得对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A＝A，并说明理由； （3）当a＝2，b＝1时，若A＝3x2+7xy，B＝2x2﹣30xy﹣y2，p，q是正整数，令P＝p⊗A，Q＝q⊗B，且P⊕Q不含xy项，直接写出p和q的值． 八．整式的加减—化简求值（共1小题） 15．阅读下列材料，我们知道，5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，类似的，我们把（m﹣n）看成一个整体，则5（m﹣n）+3（m﹣n）﹣4（m﹣n）＝（5+3﹣4）（m﹣n）＝4（m﹣n），“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（a+b）2看成一个整体，合并2（a+b）2﹣6（a+b）2﹣3（a+b）2的结果为 _____________ ； （2）若m（y2﹣3z）+n（y2﹣3z）＝y2﹣3z，且y2﹣3z≠0，求m+n+2024的值； （3）拓展探索：已知a﹣2b＝5，3b+c＝8，c﹣d＝7，求（3a+c）﹣（3b﹣2d）+（3b﹣c）的值． 九．一元一次方程的应用（共13小题） 16．如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数﹣20，﹣8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ＝2，MN＝4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）． （1）两线段运动前，点M表示的数为________ ，点P表示的数为________ ． （2）在整个运动过程中，当CQ＝PM时，求出点M表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1时所对应的t的值． 17．【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有|c+2﹣d|+（c+4）2＝0，则CD的中点N所对应的数为 _______ ． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，PQ的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的n等分点，则我们有n等分点公式：点M对应的数为 ____________________ （其中n为正整数）； ②在（2）的条件下，若E是PQ中点，F为DQ最靠近Q的三等分点，则是否存在t，使得4OE+OF为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值． 18．【探究与发现】 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点A，B在数轴上分别对应的数为a，b，则A，B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|，学习以上内容解决问题： （1）若数轴上两点A，B表示的数为x，1， ①A，B两点之间的距离可用含x的式子表示为 __________ ； ②若A，B两点之间的距离为2，那么x值为 _________ ． 【理解与应用】 （2）若x，y分别表示点A，B在数轴上对应的数． ①|x﹣1|+|x+3|的最小值为 _____ ，此时x的取值范围是 ___________ ； ②已知（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣6|）＝28，求2y﹣x的最大值． 【拓展与延伸】 （3）若x，y分别表示点A，B在数轴上对应的数，O为原点，当x＝﹣3，y＝5时，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动（点M在点O，A之间，点N在点O，B之间），运动时间为t，点M运动到点A时，点N立即停止运动，点Q为点B，M之间一点，且点Q到点M的距离是点B到点M距离的一半（即|QM||BM|），若在点M，N运动过程中，点Q到点N的距离（即|QN|）总为一个固定的值，求的值． 19．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．如：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为﹣5，点B表示的数为1． （1）线段AB的长度是 _____ ，设点P在数轴上对应的数为x，若|x﹣2|＝3，则x＝ _________ ； （2）①找出所有符合条件的整数x，使得|x+4|+|x﹣3|＝7，这样的整数是 ____________________ ；|x+2|﹣|x﹣1|的最大值为 _____ ； ②由以上探索猜想：当x＝ _______ 时，|x+4|+|x+1|+|x﹣2|的值最小，最小值为 _____ ； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 20．如图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为a，b，c．已知|a+4|+（b﹣2）2＝0，点C在原点的右侧，且到原点的距离为20． （1）填空：a＝_______ ，b＝_____ ，c＝_______ ． （2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，到达点B时休息2秒，然后继续向右运动，当点P到达点C时停止运动．设从点P出发开始，经过的时间为t秒（t＞0）． ①当t＝1时，点P对应的数为_______ ； ②当t＝6时，点P对应的数为_____ ； ③当5＜t≤14时，点P对应的数为_________ ．（用含t的代数式表示） （3）在（2）的条件下，当点P从点A出发时，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q到达点C后，也停止运动，则当点P与点Q的距离为4个单位长度时，求t的值． 21．距离是数学，天文学、物理学中的研究热门，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．如图一动点从原点出发向数轴正方向运动到达A点，同时一动点从原点出发向数轴负方向运动到达B点，两点相距3个单位长度，且速度之比为2：1． （1）求A，B两点在数轴上表示的数值； （2）若P点为数轴上一点，且满足BP＝2AP，求P点表示的数； （3）若点A处有一个钢珠以每秒2个单位长度向右滚动，同时点B处有一个钢珠以每秒1个单位长度的速度向左运动，当它碰到数轴﹣6处的钢板时立即反弹，速度保持不变．忽略钢珠的大小，设钢珠运动时间为t秒，问：是否存在一个常数k，使得（3OA﹣kOB）的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值并求出对应的（3OA﹣kOB）的值；若不存在，请说明理由． 22．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b．满足|a+5|+（b﹣8）2＝0，机器人M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，1秒后，机器人N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．根据机器人程序设定，机器人M遇到机器人N后立即降速，以原速的一半返回，与此同时，机器人N以原速折返．设机器人M运动时间为t秒． （1）点A与点B之间的距离是 _______ ； （2）求两个机器人M、N相遇的时间t及相遇点P所表示的数； （3）两个机器人在相遇点P折返后，是否存在某一时刻，使得机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10？若存在，求出此时t的值及机器人N所在位置表示的数；若不存在，请说明理由． 23．如图，在数轴上有A，B，M三点，分别表示有理数a，b，m．其中a，b，m满足|a+1|+（b﹣2）2+|m﹣3|＝0．已知线段AB的中点表示的数可以记作，A、B之间的距离为|a﹣b|． （1）求a，b，m的值； （2）数轴上的一动点N从A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，当N与B的距离为线段BM长度的两倍时，求运动时间t，以及此时点N表示的数； （3）有一动点P从表示﹣7的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示﹣2的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，若线段PQ上至少存在一点T与点A构成线段，当线段AT的中点在线段OB（包含端点）上，求t最大值和最小值． 24．如图在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且满足（a+6）2+|b﹣12|＝0． （1）点A表示的数为 _______ ，点B表示的数为 _______ ； （2）点C在数轴上，且点C与点B之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点D为折点，将数轴对折后，点C与点A重合，则折点D表示的数为 ________ ； （3）若在原点O处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点M）从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点B，并停止运动．设运动的时间为t秒，在整个运动过程中，当它把线段AB分为3：2的两段时，求t的值；并直接判断此时小蚂蚁与点A，O，B，E（E是AB的中点）的距离和是否最短？ 25．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足|a+2b|+（a+4）2≤0，点C对应的数为20． （1）求a，b的值； （2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； （3）若动点P、Q分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒．点Q运动到C点立刻原速返回，到达B点后停止运动．点P运动至C点处又以原速返回至A点，一直这样在AC之间做往返运动，当点Q停止运动后，点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数． 26．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣12，6，点E以每秒2个单位的速度从点A向原点O运动；同时点F以每秒3个单位的速度从原点O出发，在点O和点B之间做来回往返运动（即沿O→B→O→B→...运动），当点E运动到点O时，点E、F都停止运动，设点E运动的时间为ts． （1）当t＝1时，求点E到点F的距离； （2）用含t的代数式表示点E到点F的距离； （3）当t为何值时，点O到点E、F的距离相等． 27．数形结合思想是常用的数学思想，数轴帮我们把点和数对应起来，是利用数形结合思想解决问题的有效工具．学习完七年级上册前3章后，爱思考的三位同学想“玩转”数轴． （1）小梅的玩法关键字是“折”：把数轴以点C为折点对折，使点A和点B重合．已知点A，B表示的数分别为a，b．若a，b满足（a+10）2+|b﹣20|＝0，求折点C表示的数； （2）小溪的玩法关键字是“添”：在小梅的基础上，在A，B两点各添加一块挡板，在C点添加一块减速板，动点M在A，B之间来回运动，遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒，若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板．点M从A点出发，以5个单位长度每秒的速度向B点运动，设运动的时间为t秒．当点M对应的数是2时，求t的值； （3）小湖的玩法关键字是“去”：去掉所有含有数字k的整数，制作了一个“缺数字k的数轴”（k＝2，3，…，9）：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数字k．例如，当k＝2时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…．已知正整数m，n满足m＜n，且某“缺数字k的数轴”上有分别表示10m﹣2和10n+18的两个点，则这两点之间的距离为_______________ ．（用含m，n的代数式表示） 28．如图1，数轴上点A、B对应的数分别是a、b，且a、b满足（a+12）2+|b﹣20|＝0．现有一长度为2的玩具火车MN从原点出发（点M与点O重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为ts． （1）直接写出a＝ ________ ，b＝ _______ ； （2）在整个运动过程中，求AN﹣BM的值（用含t的式子表示）； （3）如图2，在A、B处各放置一块挡板P、Q，当点N碰到挡板Q时，玩具火车以原来的速度返回，当点M碰到挡板P时，也立即以原来的速度返回．当0＜t≤12时，若|AN﹣BM|＝ON，求t的值． 十．一元一次方程的应用（共1小题） 29．如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且a、b、c满足|a|＝4，a+b＝﹣6，ab＞0，c是最小的正整数． （1）请直接写出a＝ _______ ，b＝ _______ ，c＝ _____ ． （2）若点B沿数轴向右运动，速度是2个单位长度/秒，当t为何值时，O，B，C三点满足其中一点到另外两个点的距离相等？（点O为坐标原点） （3）在（2）的条件下，若点A沿数轴向左运动，速度为1个单位长度/秒，点C向右运动，速度为4个单位长度/秒，问运动t秒后，AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围．（“BC”表示点B和点C之间的距离，“AB”表示点A和点B之间的距离） 十一．一次函数的应用_其他问题（共1小题） 30．小天的爸爸准备购买一套小户型住房，他去某楼盘了解情况得知，该户型的单价是30000元/m2，面积如图所示（单位：m，卫生间的宽未定，设宽为xm），售房部为小天爸爸提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是30000元/m2，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的九五折出售． （Ⅰ）用y1，y2分别表示方案一和方案二中购买一套该户型住房的总金额，求出两种方案中的总金额y1，y2（用含x的式子表示）； （Ⅱ）求当x＝2时，两种方案的总金额分别是多少元？ （Ⅲ）小天爸爸在现金不足的情况下，向银行借了48万元住房贷款，贷款期限为10年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是0.3%，每月还款数额＝平均每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息＝上月所剩贷款本金数额×月利率； ①小天爸爸借款后第一个月应还款数额是多少元？ ②假设货款月利率不变，将小天爸爸在借款后第n（1≤n≤120，n是正整数）个月的还款数额用n表示出来． 十二．计数方法（共1小题） 31．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．十进制的自然数可以写成2的方幂和的形式，如：21（10）＝16+4+1＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝10101（2），即十进制的数21对应二进制的数10101． 根据上述规则，解答下列问题： （1）二进制的数11011对应的十进制的数是 ___________ ； （2）计算：110100（2）+1302（4）＝ ________ （10）；（规定当a≠0时，a0＝1） （3）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满六进一，根据图示求孩子已经出生的天数，并用二进制数表示． 十三．数的十进制（共1小题） 32．阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：（1101）2就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为b，第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678＝5×103+6×102+7×101+8×100（当a≠0时，a0＝1）．同理，二进制数（1101）2用十进制数表示为：1×23+1×22+0×21+1×20＝13． 根据上述材料，解答下列问题． （1）把二进制数（10010）2用十进制数表示为 _______ ． （2）现有三进位制数a＝（211）3，二进位制数b＝（10110）2，试比较a与b的大小关系． （3）若一个正数可以用七进制表示为，也可以用五进制表示为（）5，请求出这个数并用十进制表示． （4）若一个六进制数与一个八进制数表示为十进制数后的和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断（）6与（）8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【人教版】2026-2027年7年级上数学期中测试解答压轴题汇编（3-3） 参考答案与试题解析 一．数轴（共3小题） 1．（1）如图，把一根长度为acm的木棒放置在一条数轴上（数轴的1个单位长度为1cm）．木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为24；当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒a的长为 　6　 cm． （2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈!”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 【解答】解：（1）根据题意有， 6到点A的距离、点A到点B的距离、点B到24的距离相等，都等于木棒的长度a， （24﹣6）÷3＝6（cm）， ∴木棒a的长为6cm； （2）如图：点A表示小明现在的年龄，点B表示爷爷现在的年龄， ∴ 借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看作木棒AB， 类似爷爷像小明那么大时看作当B点移动到A点时， 此时点A所对应的数为﹣35， 小明像爷爷那么大时看作当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为115， ∴可知爷爷比小明大[115﹣（﹣35）]÷3＝50， ﹣35+50＝15，15+50＝65， ∴点A对应的数为15，点B对应的数为65， ∴小明今年15岁，爷爷现在的年龄为65岁． 2．如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“2.5cm”，“1cm“两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足|a+1|+（b﹣2）2＝0． （1）a＝ 　﹣1　 ，b＝ 　2　 ； （2）若将图1中的数轴沿水平方向移动1个单位，此时刻度“1.7cm”对应数轴上的数为 　﹣0.4或1.6　 ； （3）若刻度尺右端M的刻度为“0.5cm”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧MN的长度，并说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：a+1＝0，且b﹣2＝0， 解得：a＝﹣1，b＝2， 故答案为：﹣1，2； （2）依题意，可得a，b两数之间的距离为：2﹣（﹣1）＝3， 对应刻度尺上的距离为：2.5﹣1＝1.5， 因为（2.5﹣1.7）×2+（﹣1）＝1.6﹣1＝0.6， 所以1.7cm对应数轴上的数为0.6， ①若向左移动一个单位，则对应0.6﹣1＝﹣0.4， ②若向右移动一个单位，则对应0.6+1＝1.6， 所以1.7cm对应的数为：﹣0.4或1.6， 故答案为：﹣0.4或1.6； （3）依题意，设N表示的数为n， 因为刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合， 所以n＝1﹣6＝﹣5， 所以N得刻度为：[﹣1﹣（﹣5）]÷2+2.5＝4.5（cm）， 所以MN＝4.5﹣0.5＝4（cm）， 则这把刻度尺有刻度一侧MN的长度为4cm． 3．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”． （1）若点A表示数﹣1，点C表示的数2，下列各数，0，1，中，其中是点A，C的“倍分点”的是 　0，1　 ； （2）已知点M表示﹣20，点N表示16，P为数轴上一个动点． ①若点P是点M，N的“倍分点”，求此时点P表示的数． ②若点P，M，N中，有一个点恰好是其他两个点的“倍分点”，直接写出点P表示的数． 【解答】解：（1）∵0﹣（﹣1）＝1，2﹣0＝2， ∴数0是A，C的“倍分点”； ∵1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1， ∴数1是点A，C的“倍分点”； 故答案为：0，1； （2）设点P对应的数为x， ①当点P在M，M之间时， 因为MN＝16﹣（﹣20）＝36， 所以当PM＝2PN时，PN＝12，即x＝16﹣12＝4； 当PN＝2PM时，PM＝12，即x＝﹣20+12＝﹣8； 当点P在点N右侧，PM＝2PN， 即x+20＝2（x﹣16）， 解得x＝52； 当点P在点M左侧，PN＝2PM， 即16﹣x＝2（﹣20﹣x）， 解得x＝﹣56； 综上，点P表示的数可为4，﹣8，52，﹣56； ②由①得点P是倍分点时，点P表示的数可为4，﹣8，52，﹣56； 当点M为倍分点，点P在M，N之间时，MN＝2PM， 即36＝2（x+20）， 解得x＝﹣2； 点P在点M左侧时，MP＝2MN或MN＝2MP， 即﹣20﹣x＝2×36或36＝2×（﹣20﹣x）， 解得x＝﹣92或x＝﹣38； 点P在点N右侧，MP＝2MN， 即x﹣（﹣20）＝2×36， 解得x＝52， ∴当点M为倍分点时，点P表示的数可为﹣2，﹣92，﹣38，52； 当点N为倍分点时，同理可求x＝﹣56，﹣2，34，88． 综上，点P表示的数可为4，﹣8，52，﹣56，﹣2，﹣92，﹣38，34，88． 二．有理数的混合运算（共3小题） 4．日常生活中，我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”，十进制的基数是十，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制的基数是二二进制只使用数字0，1，如二进制数1101记为（1101）2，（1101）2通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，即（1101）2＝1×23+1×22+0×2+1＝13． （1）将二进制数（10101）2转换为十进制数． （2）二进制的加法运算是一种基本运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同．在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况．二进制数的基本规则：0+0＝0，0+1＝1；1+1＝10（二进制进位）．举个例子，我们来计算二进制数（1011）2和（110）2的加法：（1011）2+（110）2．从最低位开始相加，1+0＝1，没有进位；1+1＝10，这里需要进位；1+0＝1，没有进位；1+1＝10，这里也需要进位，最终的结果是（10001）2． 请计算：（10101）2+（1101）2；（请把计算或探究过程写出来） （3）请类比十进制的运算，进一步研究二进制的运算． ①计算：（1110）2×（11）2．（请把计算或探究过程写出来） ②计算：（110101）2﹣（1010）2+（11010）2×（1001）2，并把结果转化为十进制的数．（请把计算或探究过程写出来） 【解答】解：（1）21； （2）（10101）2+（1101）2＝（100010）2， ； （3）①（1110）2×（11）2＝（101010）2， ； ②（110101）2﹣（1010）2+（11010）2×（1001）2 ＝（101011）2+（11101010）2 ＝（100010101）2 ＝1×28+1×24+1×22+1×20 ＝256+16+4+1 ＝277． 5．小天在学完《进位制的认识与探究》后发现，二进制和八进制在计算机领域都比较常用，而且二进制与八进制之间可以互相转化．小天想把（1011001）2转化为八进制数，他想到了如下两种方法： （Ⅰ）先把二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化为二进制数． 把（1011001）2转化为十进制数为 　89　 ，再转化为八进制数为（ 　131　 ）8． （Ⅱ）直接转化法：由于8＝23，即一位八进制数相当于三位二进制数．因此，将二进制数从右向左每三位分为一组，最左边一组不足三位的在前面补0，然后将每组二进制数转换为对应的八进制数． 例如，二进制数1011010110转换为八进制数的步骤如下： 分组：001|011|010|110（最左一组在前面添0补足三位）， 转换：1|3|2|6（补足的0不影响转换结果）， 组合：（1326）8． 请仿照上面的过程，把（1011001）2转化为八进制数． 【解答】解：（1）（1011001）2 ＝1×26+1×24+1×23+1×20 ＝64+16+8+1 ＝89； 计算过程如下： 89＝（131）8； 故答案为：89，131． （II）分组：001|011|001（最左一组在前面添0补足三位），转换：1|3|1（补足的0不影响转换结果）， 所以把（1011001）2转化为八进制数为（131）8． 6．如图所示，有5张写着不同的数的卡片，请你按要求选取卡片，完成下列问题． （Ⅰ）从中选取2张卡片． ①若这2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，则最小结果为 　﹣9　 ； ②若这2张卡片上的数相除，所得的运算结果最小，则最小结果为 　﹣5　 ； ③若这2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，则最大结果为 　7　 ； ④若这2张卡片上的数相乘，所得的运算结果最大，则最大结果为 　15　 ； ⑤若这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后（乘方运算的指数只考虑正整数情况），能得到一个最大的数，则最大的数为 　625　 ； （Ⅱ）若从中选取4张卡片，对卡片上的数进行加、减、乘、除、乘方运算，使运算结果为24．每张卡片都必须使用一次，但不能重复使用．请写出算式（只需写出1种即可）． 【解答】解：（Ⅰ）①抽取﹣5和4，最小值是﹣5﹣4＝﹣9， 故答案为﹣9； ②抽取﹣5和1，最小值为﹣5÷1＝﹣5， 故答案为：﹣5； ③抽取3和4，最大值为3+4＝7， 故答案为：7； ④抽取﹣3和﹣5，最大值为（﹣3）×（﹣5）＝15， 故答案为：15； ⑤抽取﹣5和4，运用乘方运算，最大值为（﹣5）4＝625， 故答案为：625； （Ⅱ）抽取﹣5，1，3，4，可得到算式：（1﹣4）×（﹣5﹣3）＝24． 三．代数式（共1小题） 7．小明在研究关于字母t（t≠0）的代数式时发现，记代数式的值为m，可通过m与t的关系对代数式进行分类，分类如下： t的一类式：对于t的每一个取值，都有|m|＝|t|； t的二类式：对于t的每一个取值，都有|m|≠|t|； t的三类式：既存在t的值，使得|m|＝|t|，又存在t的值，使得|m|≠|t|． （1）按上述分类判断下列代数式的类别（将对应序号填在横线上）． ①﹣t；②t+1；③3t；④t2． t的一类式：　①　 ，t的二类式：　③　 ，t的三类式：　②④　 ； （2）若关于t的代数式pt2﹣3t与2t2+qt的和是t的一类式，则p＝　﹣2　 ，q＝　2或4　 ； （3）已知a，b为非零常数，对于x＞0，y＜0，代数式ax﹣by既是x的二类式，又是y的三类式，直接写出两组满足条件的a和b的值． 【解答】解：（1）根据定义判断：①﹣t的绝对值恒为|t|，故为一类式； ②t+1存在t＝﹣1/2使|t+1|＝|t|，也存在其他值使不等，故为三类式； ③3t的绝对值为3|t|，恒不等于|t|（t≠），故为二类式； ④t2存在 t＝±1使|t2|＝|t|，也存在其他值使不等，故为三类式． 故答案为：①，③，②④； （2）两代数式之和为（p+2）t2+（q﹣3）t，需为t的一类式（即|m|＝|t|对所有t≠0成立）：二次项系数必为0，故p+2＝0，得p＝﹣2； 一次项系数满足|g﹣3|＝1，得q＝4或q＝2． 故答案为：﹣2，2或4； （3）代数式ax﹣by需满足：作为x的二类式：a与b同号（保证对所有x＞0，|ax﹣by|≠|x|）； 作为y的三类式：|b|＜1（保证存在y＜0使|ax﹣by|＝|y|，且存在不等情况）． 取两组满足a、b同号且|b|＜1的值即可． 故a＝2，． 四．列代数式（共1小题） 8．某水果超市新进了一批秋月梨，为了合理定价，先试行了7天机动价格，售价以每千克10元为标准价，超市记录了这7天秋月梨的销售价和销售量情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每千克价格相对于标准价格（元） +1 ﹣2 +3 ﹣1 +2 +5 ﹣4 售出的质量（千克） 20 35 10 30 15 5 50 （1）这7天中，秋月梨单价最低的一天是星期　日　 ． （2）求这7天超市销售秋月梨的总收入． （3）从第8天起，超市决定推出两种秋月梨的销售方式： 方式一：每千克售价10元； 方式二：每千克售价12元，若购买超过5千克，则超过部分打9折． 若买a（a＞5）千克秋月梨，则两种不同的购买方式分别需要多少钱？（用含a的代数式表示） 【解答】解：（1）由表中数据可知星期日价格低于标准4元，即星期日价格最低， 故答案为：日； （2）销售收入为： 20×（1+10）+35×（10﹣2）+10×（10+3）+30×（10﹣1）+15×（10+2）+5×（10+5）+50×（10﹣4）＝1455（元）， 答：这7天超市出售此种秋月梨总收入1455元； （3）按照方式一应花费：10a元， 按照方式二应花费：12×5+（a﹣5）×12×0.9＝（10.8a+6）元． 五．代数式求值（共1小题） 9．定义：对于一个有理数x，[x]表示x的“进步数”，当x≥0时，[x]＝x﹣1，当x＜0时，[x]＝x+1．例如：[0.6]＝0.6﹣1＝﹣0.4，[﹣3]＝﹣3+1＝﹣2． （1）[4]＝ 　3　 ， 　　 ； （2）当a＞0，b＜0，c＞0时，[a]+[b]＝2，[b]+[c]＝4，求代数式a+2b+c的值； （3）已知[a﹣1]+[a+3]＝5，求a的值． 【解答】解：（1）[4]＝4﹣1＝3，[]1； 故答案为：3；； （2）∵a＞0，b＜0，c＞0， ∴[a]+[b]＝a﹣1+b+1＝2，即：a+b＝2， [a]+[b]＝b+1+c﹣1＝4，即：b+c＝4， a+2b+c＝（a+b）+（b+c）＝ 2+4＝6； （3）①当a＜﹣3时，有[a﹣1]+[a+3]＝a﹣1+1+a+3+1＝5， 得：a（舍）， ②当﹣3≤a＜1时，有[a﹣1]+[a+3]＝a﹣1+1+a+3﹣1＝5， 得：a（舍）， ③当a≥1时，有[a﹣1]+[a+3]＝a﹣1﹣1+a+3﹣1＝5， 得：a（符合题意）， 综上所述，a的值为． 六．规律型：数字的变化类（共4小题） 10．对有理数a，b进行如下操作：第一次，将a，b中的一个数加1或者减1，另一个数加2或者减2，得到数a1和b1；第二次，将a1和b1中的一个数加1或者减1，另一个数加2或者减2，得到数a2和b2；…；第n次，将an﹣1和bn﹣1中的一个数加1或者减1，另一个数加2或者减2，得到数an和bn． （1）a＝1，b＝3． ①若a1＝0，则b1的值可以是 　1或5　 ； ②a2+b2所有可能的取值为 　﹣2，0，2，4，6，8，10　 ； （2）若an＝a，bn＝b，则n的值是否可以是5？请说明理由． 【解答】解：（1）依题意，认真计算，分情况讨论可得： ①因为a1＝0，说明是减去了1， 则另一个数就要加2或减2， 所以可得b1的值可以是1或5； ②依题意，分析可得：每次操作，两个数的和的变化量只能是±1或±3， 首先：a+b＝4，加减1或加减3后， 其次：a1+b1＝1，3，5，7，再加减1或加减3后， 最后：a2+b2＝﹣2，0，2，4，6，8，10， 故答案为：1或5；﹣2，0，2，4，6，8，10； （2）n不可能是5．理由如下：由（1）②的分析知，每次操作，两个数的和的变化量只能是±1或±3，都是奇数， 5次操作后，和的变化量依然是奇数，若a5＝a，b5＝b，两个数的和不变，变化量为0，是偶数，矛盾，所以n不可能是5． 11．观察下面三行数： 第一行：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…① 第二行：0、6、﹣6、18、﹣30、66、…② 第三行：5、﹣1、11、﹣13、35、﹣61、…③ 探索他们之间的关系，寻求规律解答下列问题： （1）直接写出第①行数的第8个数是　256　 ；第②行数的第9个数是　﹣510　 ； （2）取第②行的连续三个数，请判断这三个数的和能否为﹣378，并说明理由； （3）取每一行的第n个数，从上到下依次记作A，B，C，若对于任意的正整数n均有2A﹣tB+5C为一个定值，求t的值及这个定值． 【解答】解：（1）由题中数据知，第一行中的第n个数可表示为：（﹣2）n， 第二行中的第n个数可表示为：（﹣2）n+2， 第三行中的第n个数可表示为：﹣（﹣2）n+3． ∴第①行数的第8个数是（﹣2）8＝256；第②行数的第9个数是（﹣2）9+2＝﹣510． 故答案为：256，﹣510； （2）设第一行连续三个数分别为：x、﹣2x、4x， 则第二行对应的连续三个数分别为：x+2、﹣2x+2、4x+2， 依题意：x+2﹣2x+2+4x+2＝﹣378，整理得3x＝﹣384， 解得：x＝﹣128，为第一行第7个数，故符合题意； ∴第二行对应的连续三个数的和能为﹣378． （3）设B＝x，则A＝x﹣2，C＝5﹣x， 2A﹣tB+5C＝2（x﹣2）﹣tx+5（5﹣x）＝21﹣（t+3）x， ∵对于任意的正整数n均有2A﹣tB+5C为一个定值， ∴t+3＝0，得t＝﹣3， 答：当t＝﹣3时，有定值为21． 12．观察下面有规律排列的三行数： （1）①请直接写出每行的第8个数分别是 　256　 ，　255　 ，　﹣510　 ； ②第二行数中，任意连续的三个数分别记为a，b，c，则2a﹣b﹣c＝ 　0　 ． （2）用如图所示的“U”形框在第一行和第二行数中平移，任意圈住5个数，使得5个数的和为2045，求圈住的这5个数． （3）取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为p，最小的数记为q，若2p+3q＝2049，直接写出n的值 　11　 ． 【解答】解：（1）①观察第一行数可知， 后一个数是前一个数的﹣2倍，且第一个数是﹣2， 所以第一行的第n个数可表示为（﹣2）n； 观察第二行数可知， 第二行的每一个数比第一行相应位置的数小1， 所以第二行的第n个数可表示为（﹣2）n﹣1； 观察第三行数可知， 第三行的每一个数是第二行相应位置数的﹣2倍， 所以第三行的第n个数可表示为（﹣2）n+1+2． 当n＝8时， （﹣2）8＝256，（﹣2）8﹣1＝255，（﹣2）8+1+2＝﹣510， 即每行的第8个数分别是：256，255，﹣510． 故答案为：256，255，﹣510． ②由①知， 令第二行中连续三个数中的中间一个数为（﹣2）n﹣1， 则2a﹣b﹣c＝2×（﹣2）n﹣1﹣2﹣（﹣2）n+1﹣（﹣2）n+1+1＝0． 故答案为：0． （2）令被“U”形框框住的下一行的中间数为（﹣2）m﹣1， 则（﹣2）m﹣1+（﹣2）m﹣1﹣1+（﹣2）m﹣1+（﹣2）m+1+（﹣2）m+1﹣1＝2045， 整理得，2×（﹣2）m+1﹣3＝2045， 解得m＝9， 所以（﹣2）9﹣1＝256，（﹣2）9﹣1﹣1＝255，（﹣2）9﹣1＝﹣513，（﹣2）9+1﹣1＝1023，（﹣2）9+1＝1024， 所以被框住的这5个数为256，255，﹣513，1023，1024． （3）由（1）知， 当n为奇数时， p＝（﹣2）n+1+2，q＝（﹣2）n﹣1， 则2×（﹣2）n+1+4+3×（﹣2）n﹣3＝2049， 解得n＝11． 当n为偶数时， p＝（﹣2）n，q＝（﹣2）n+1+2， 则2×（﹣2）n+3×（﹣2）n+1+6＝2049， 整理得，， 此方程无解， 综上所述，n的值为11． 故答案为：11． 13．将200个数1∼200任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为a1＜a2＜⋯＜a100，另一组从大到小排列，设为b1＞b2＞⋯＞b100，求代数式|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+⋯+|a100﹣b100|的值． 【解答】解：将200个数1∼200任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设ak≤100，ak+1＞100，则a1，a2，⋯，ak≤100，ak+1，ak+2，⋯，a99，a100＞100， ∴b100，b99，⋯，bk+1≤100，bk，bk﹣1，⋯，b2，b1＞100 对于任意i＞k，|ai﹣bi|，对于任意1≤i≤k，|ai﹣bi|， ∴|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+⋯+|a100﹣b100| ＝b1﹣a1+b2﹣a2+…+bk﹣ak+ak+1﹣bk+1﹣a100﹣b100 ＝b1+b2+…bk+ak+1+ak+2+…a100）﹣（a1+a2+…ak+bk+1+bk+2+…b100） ＝（101+102+103+…+200）﹣（1+2…+100） ＝（100+1）+（100+2）+…+（100+99）+（100+100）﹣（1+2+3+…+100） ＝100×100 ＝10000． 七．整式的加减（共1小题） 14．给定有理数a，b，对整式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝aA+bB；对正整数n（n≥2）和整式A，定义新运算“⊗”：n⊗A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．特别地，1⊗A＝A． 例如，当a＝1，b＝2时，若A＝x，B＝﹣y，则A⊕B＝A+2B＝x﹣2y，2⊗A＝A⊕A＝3x． （1）当a＝2，b＝1时，若A＝x+y，B＝x﹣2y，则A⊕B＝ 　3x ，3⊗A＝ 　7x+7y ； （2）写出一组a，b的值，使得对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A＝A，并说明理由； （3）当a＝2，b＝1时，若A＝3x2+7xy，B＝2x2﹣30xy﹣y2，p，q是正整数，令P＝p⊗A，Q＝q⊗B，且P⊕Q不含xy项，直接写出p和q的值． 【解答】（1）解：当a＝2，b＝1时，若A＝x+y，B＝x﹣2y， A⊕B＝aA+bB＝2（x+y）+1（x﹣2y）＝2x+2y+x﹣2y＝3x， 3⊗A＝A⊕A⊕A＝[2（x+y）+1×（x+y）]⊕（x+y）＝3（x+y）⊕（x+y） ＝2（3x+3y）+1（x+y） ＝7x+7y， 故答案为：3x，7x+7y； （2）解：取a＝0，b＝1，理由如下： n⊗A＝anA+an﹣1bA+an﹣2b2A+…+abn﹣1A+AbA， 若n⊗A＝A，则anA+an﹣1bA+an﹣2b2A+…+abn﹣1A+bnA＝A， 令A＝1，an+an﹣1b+an﹣2b2+…+abn﹣1+bn＝1， 这是一个关于a和b的方程，我们需要找到一组解使得这个方程对每一个正整数n都成立， ∴1n+1n﹣1•0+1n﹣2•02+⋯+1•0n﹣1+0n＝1， 通过观察，我们可以发现当a＝1，b＝0时，上式变为： 1n+1n﹣1•0+1n﹣2•02+⋯+1•0n﹣1+0n＝1， 即1＝1， 这个等式对每一个正整数n都成立， 因此，我们找到了一组满足条件的a和b的值，即a＝1，b＝0， 所以对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A＝A； （3）解：根据新运算的定义得， P＝（ap﹣1+ap﹣2b+ap﹣3b+…+b）A， Q＝（a﹣1+aq﹣2b+⋯+b）B， 当a＝2，b＝1时， P⊕Q＝2P+Q，当a＝2，b＝1时，上式变为： P⊕Q＝2P+Q， ＝2（2p﹣1+2p﹣2+2p﹣3+…+1）A+（2q﹣1+2q﹣2+⋯+1）B， ∵P⊕Q不含xy项， ∴7（2p﹣1+2p﹣2+2p﹣3+…+1）xy﹣30（2q﹣1+2q﹣2+⋯+1）xy＝0， ∴14（2p﹣1+2p﹣2+2p﹣3+…+1）＝30（2q﹣1+2q﹣2+⋯+1）， ∴7（2p﹣1+2p﹣2+2p﹣3+…+1）＝15（2q﹣1+2q﹣2+⋯+1）， ∴2p﹣1+2p﹣2+2p﹣3+…+1为15的倍数， 当p＝4，q＝3时，满足题意． 八．整式的加减—化简求值（共1小题） 15．阅读下列材料，我们知道，5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，类似的，我们把（m﹣n）看成一个整体，则5（m﹣n）+3（m﹣n）﹣4（m﹣n）＝（5+3﹣4）（m﹣n）＝4（m﹣n），“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（a+b）2看成一个整体，合并2（a+b）2﹣6（a+b）2﹣3（a+b）2的结果为 　﹣7（a+b）2 ； （2）若m（y2﹣3z）+n（y2﹣3z）＝y2﹣3z，且y2﹣3z≠0，求m+n+2024的值； （3）拓展探索：已知a﹣2b＝5，3b+c＝8，c﹣d＝7，求（3a+c）﹣（3b﹣2d）+（3b﹣c）的值． 【解答】解：（1）2（a+b）2﹣6（a+b）2﹣3（a+b）2＝（2﹣6﹣3）•（a+b）2 ＝﹣7（a+b）2． 故答案为：﹣7（a+b）2． （2）∵m（y2﹣3z）+n（y2﹣3z）＝y2﹣3z， ∴m（y2﹣3z）+n（y2﹣3z）﹣（y2﹣3z）＝0， ∴（m+n﹣1）（y2﹣3z）＝0， ∵y2﹣3z≠0， ∴m+n﹣1＝0， 即m+n＝1， ∴m+n+2024＝1+2024＝2025． （3）∵a﹣2b＝5，3b+c＝8，c﹣d＝7， ∴（3a+c）﹣（3b﹣2d）+（3b﹣c） ＝3a+c﹣3b+2d+3b﹣c ＝3a+2d ＝3a﹣6b+6b+2c﹣2c+2d ＝3（a﹣2b）+2（3b+c）﹣2（c﹣d） ＝3×5+2×8﹣2×7 ＝17． 九．一元一次方程的应用（共13小题） 16．如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数﹣20，﹣8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ＝2，MN＝4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）． （1）两线段运动前，点M表示的数为　﹣12　 ，点P表示的数为　﹣22　 ． （2）在整个运动过程中，当CQ＝PM时，求出点M表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1时所对应的t的值． 【解答】解：（1）由题意可得：M对应的数为﹣8﹣4＝﹣12，P对应的数为﹣20﹣2＝﹣22； 故答案为：﹣12，﹣22； （2）当t≤12时，Q表示的数是﹣20+3t，P表示的数是﹣22+3t，M表示的数是﹣12+t， ∴CQ＝16﹣（﹣20+3t）＝36﹣3t，PM＝|﹣22+3t﹣（﹣12+t）|＝|﹣10+2t|， ∴36﹣3t＝|﹣10+2t|， 解得或t＝26（不符合题意，舍去）， 此时 当12＜t≤24时，Q表示的数是16﹣3（t﹣12）＝52﹣3t，P表示的数是14﹣3（t﹣12）＝50﹣3t，M表示的数是﹣12+t， ∴CQ＝16﹣（52﹣3t）＝3t﹣36，PM＝|50﹣3t﹣（﹣12+t）|＝|62﹣4t|， ∴3t﹣36＝|62﹣4t|， 解得t＝14或t＝26（不符合题意，舍去）， 此时﹣12+t＝﹣12+14＝2， ∴当CQ＝PM时，点M表示的数是或2； （3）当PQ从A向C运动时， t＝4时，PQ与MN开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为，P表数为，M表示的数为，N表示的数是， 若线段PQ和MN重合部分长度为1， 则， 或， 解得t＝5或t＝9， 由， 得t＝10， ∴当t＝10时，PQ与MN的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q表示的数是1， 再过（16﹣1）÷3＝5（秒），Q到达C，此时t＝15， 则M所在点表示的数是，N所在点表示的数是4， 当PQ从C向A运动时， ∴P，N重合时，4+t﹣15＝14﹣3（t﹣15）， 解得：， 此时P，N对应的数为：，Q为，M为， 当时，PQ与MN开始有重合部分，有重合部分后， Q表示的数为，P表示的数为， M表示的数为，N表示的数是， 若线段PQ和MN重合部分长度为1， 或， 解得t＝18或t＝20， ∴t的值是5或9或18或20． 17．【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有|c+2﹣d|+（c+4）2＝0，则CD的中点N所对应的数为 　﹣3　 ． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，PQ的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的n等分点，则我们有n等分点公式：点M对应的数为 　　 （其中n为正整数）； ②在（2）的条件下，若E是PQ中点，F为DQ最靠近Q的三等分点，则是否存在t，使得4OE+OF为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值． 【解答】解：（1）∵|c+2﹣d|+（c+4）2＝0， ∴c+4＝0，c+2﹣d＝0， 解得：c＝﹣4，d＝﹣2， ∴点C对应的数为﹣4，点D对应的数为﹣2， ∴CD的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，c＝﹣4，d＝﹣2， 则点P所对应的数为﹣4﹣2t，点Q所对应的数为﹣2+3t， 则PQ中点所对应的数为， 解得：t＝8． （3）①：数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的n等分点， ∴点M对应的数为， ②由题意得：E是PQ中点， ∴点E所对应的数为， ∵F为DQ最靠近Q的三等分点， ∴点F所对应的数为， ∴，OF＝|﹣2+2t|， 4OE+OF＝4||+|﹣2+2t|＝|﹣12+2t|+|﹣2+2t|， 当t＞6时， 4OE+OF＝|﹣12+2t|+|﹣2+2t|＝2t﹣12+2t﹣2＝4t﹣14， 此时不是定值， 当1≤t≤6时， 40E+OF＝12﹣2t+2t﹣2＝10； ∴当1≤t≤6时，4OE+OF为定值，定值为10， 当t＜1时， 4OE+OF＝|﹣12+2t|+|﹣2+2t|＝12﹣2t+2﹣2t＝14﹣4t， 此时不是定值， 综上：当1≤t≤6时，4OE+OF为定值，定值为10． 18．【探究与发现】 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点A，B在数轴上分别对应的数为a，b，则A，B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|，学习以上内容解决问题： （1）若数轴上两点A，B表示的数为x，1， ①A，B两点之间的距离可用含x的式子表示为 　|x﹣1|　 ； ②若A，B两点之间的距离为2，那么x值为 　3或﹣1　 ． 【理解与应用】 （2）若x，y分别表示点A，B在数轴上对应的数． ①|x﹣1|+|x+3|的最小值为 　4　 ，此时x的取值范围是 　﹣3≤x≤1　 ； ②已知（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣6|）＝28，求2y﹣x的最大值． 【拓展与延伸】 （3）若x，y分别表示点A，B在数轴上对应的数，O为原点，当x＝﹣3，y＝5时，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动（点M在点O，A之间，点N在点O，B之间），运动时间为t，点M运动到点A时，点N立即停止运动，点Q为点B，M之间一点，且点Q到点M的距离是点B到点M距离的一半（即|QM||BM|），若在点M，N运动过程中，点Q到点N的距离（即|QN|）总为一个固定的值，求的值． 【解答】解：（1）①∵点A，B在数轴上分别对应的数为a，b时，A，B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|， ∴若A，B表示的数为x，1时，A，B两点之间的距离为|AB|＝|x﹣1|， 故答案为：|x﹣1|； ②由上可得A，B两点之间的距离为|AB|＝|x﹣1|， 若A，B两点之间的距离为2时，即|x﹣1|＝2， ∴x﹣1＝±2， ∴x1＝3，x2＝﹣1， 故答案为：3或﹣1； （2）①∵|x﹣1|+|x+3|表示数轴上表示数x的点到表示数l和表示数﹣3的点的距离之和， ∴当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|有最小值，最小值为1﹣（﹣3）＝4， 故答案为：4，﹣3≤x≤1； ②由①可得当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|有最小值4， 同理当﹣1≤y≤6时，|y+1|+|y﹣6|有最小值，最小值为6﹣（﹣1）＝7， ∵（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣6|）＝28， ∴当|x﹣1|+|x+3|取最小值4，|y+1|+|y﹣6|取最小值7时，（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣6|）＝28， 此时﹣3≤x≤1，﹣1≤y≤6， ∴当x取最小值﹣3，y取最大值6时，2y﹣x最大，最大值为2×6﹣（﹣3）＝15； （3）根据题意可得：点M路程为：OM＝v1t，点N路程为：BN＝v2t， 即BM＝OM+OB＝v1t+5， ∵点Q在点B，M之间，|QM||BM|， ∴QM（v1t+5）， ∴， ∴， ∵QN总为一个固定的值， ∴， ∵t≠0， ∴，即， ∴． 19．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．如：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为﹣5，点B表示的数为1． （1）线段AB的长度是 　6　 ，设点P在数轴上对应的数为x，若|x﹣2|＝3，则x＝ 　﹣1或5　 ； （2）①找出所有符合条件的整数x，使得|x+4|+|x﹣3|＝7，这样的整数是 　﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3　 ；|x+2|﹣|x﹣1|的最大值为 　3　 ； ②由以上探索猜想：当x＝ 　﹣1　 时，|x+4|+|x+1|+|x﹣2|的值最小，最小值为 　6　 ； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为﹣5，点B表示的数为1， ∴AB＝|﹣5﹣1|＝6， ∴线段AB的长度为6； ∵|x﹣2|＝3， ∴x﹣2＝3 或 x﹣2＝﹣3， ∴x＝5 或 x＝﹣1， 故答案为：6；﹣1或5； （2）①根据题意可得， 使得|x+4|+|x﹣3|＝7的整数有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3， |x+2|﹣|x﹣1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示有理数﹣2的点的距离和表示数x与表示1的点之间的距离的差， 当x在1的右边时，则|x+2|﹣|x﹣1|为表示有理数﹣3的点与表示有理数1的点之间的距离，即为3； 当x在﹣2的左边时，则|x+2|﹣|x﹣1|＝﹣3， 当x在1和﹣2之间时，则|x+2|﹣|x﹣1|＜3， ∴|x+2|﹣|x﹣1|最大值为3； 故答案为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3；3； ②根据|x+4|+|x+1|+|x﹣2|的几何意义得： 当x＝﹣1时，|x+4|+|x+1|+|x﹣2|的值最小，此时|x+4|+|x+1|+|x﹣2|即为﹣4和2之间的距离，即为6， ∴|x+4|+|x+1|+|x﹣2|最小值为6； 故答案为：﹣1，6； （3）设菜鸟驿站P在x处， ∵运输距离为：|x+5|+2|x﹣1|+3|x﹣3|， ∴|x+5|+2|x﹣1|+3|x﹣3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示﹣5的点和与表示1的点和与表示3的点之间的距离的和， 由（2）得，|x+5|+2|x﹣1|+3|x﹣3|在﹣5≤x≤3之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当1≤x≤3时，|x+5|+2|x﹣1|+3|x﹣3|取得最小值， ∴|x+5|+2|x﹣1|+3|x﹣3|＝x+5+2x﹣2+9﹣3x＝12， ∴此时最低成本为12元， ∴菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元． 20．如图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为a，b，c．已知|a+4|+（b﹣2）2＝0，点C在原点的右侧，且到原点的距离为20． （1）填空：a＝　﹣4　 ，b＝　2　 ，c＝　20　 ． （2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，到达点B时休息2秒，然后继续向右运动，当点P到达点C时停止运动．设从点P出发开始，经过的时间为t秒（t＞0）． ①当t＝1时，点P对应的数为　﹣2　 ； ②当t＝6时，点P对应的数为　4　 ； ③当5＜t≤14时，点P对应的数为　2t﹣8　 ．（用含t的代数式表示） （3）在（2）的条件下，当点P从点A出发时，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q到达点C后，也停止运动，则当点P与点Q的距离为4个单位长度时，求t的值． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴a+4＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣4，b＝2， 由题意可得：c＝20， ∴数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣4，2，20， 故答案为：﹣4，2，20； （2）依题意，AB＝2﹣（﹣4）＝6，6÷2＝3， 当1≤t≤2时，点P在A，O之间，则P点表示的数为﹣4+2t， 当2＜t≤4时，点P在O，B之间，则P点表示的数为﹣4+2t， 点P到达点B时休息2秒，当点P到达点C时停止运动． BC＝20﹣2＝18，18÷2＝9，9+5＝14， 当5≤t≤14时，点P在B，C之间，则P点表示的数为2+2（t﹣5）＝2t﹣8， ①当t＝1时，点P对应的数为﹣4+2＝﹣2； ②当t＝6时，点P对应的数为2×6﹣8＝4； ③当5＜t≤14时，点P对应的数为2t﹣8． 故答案为：﹣2，4，2t﹣8； （3）依题意，点Q表示的数为2+t， 2+t﹣（﹣4+2t）＝4或2t﹣8﹣（2+t）＝4或2+t﹣（2t﹣8）＝4， 解得：t＝2或t＝14或t＝6． t＝4时，P在B休息，Q刚好从B向右移动4个单位，此时PQ＝4． 故答案为：t＝2或t＝14或t＝6或t＝4． 21．距离是数学，天文学、物理学中的研究热门，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．如图一动点从原点出发向数轴正方向运动到达A点，同时一动点从原点出发向数轴负方向运动到达B点，两点相距3个单位长度，且速度之比为2：1． （1）求A，B两点在数轴上表示的数值； （2）若P点为数轴上一点，且满足BP＝2AP，求P点表示的数； （3）若点A处有一个钢珠以每秒2个单位长度向右滚动，同时点B处有一个钢珠以每秒1个单位长度的速度向左运动，当它碰到数轴﹣6处的钢板时立即反弹，速度保持不变．忽略钢珠的大小，设钢珠运动时间为t秒，问：是否存在一个常数k，使得（3OA﹣kOB）的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值并求出对应的（3OA﹣kOB）的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵两动点速度之比为2：1，运动的时间相同， ∴两动点运动路程为2：1， ∵两点相距3个单位长度， ∴A点运动路程为单位长度， B点运动路程为3﹣1＝2个单位长度， ∴OA＝2，OB＝1， ∴A表示的数为2，B表示的数为﹣1； （2）设点 P 表示的数为x，则： BP＝|x+1|，AP＝|x﹣2|， 由 BP＝2AP 得： |x+1|＝2|x﹣2|， x+1＝2（x﹣2）或x+1＝﹣2（x﹣2） 解得x＝5或x＝1， 故P点所表示的数为1或5； （3）B 钢珠到达﹣6处的钢板所需时间：秒， 当5＜t≤11时， A处钢球所在的点表示为2+2t，B处钢球所在点表示为OA（t）＝2+2t，OB（t）＝﹣6+1•（t﹣5）＝t﹣11， 3OA﹣kOB＝3（2+2t）﹣k（11﹣t）＝（6﹣11k）+（6+k）t， 令6+k＝0 得k＝﹣6， 此时3OA﹣kOB＝72（与t无关）； 当0≤t≤5时， A处钢球所在的点表示为2+2t，B处钢球所在点表示为﹣1﹣t， 3OA﹣kOB＝3（2+2t）﹣k（1+t）＝（6﹣k）+（6﹣k）t， 令6﹣k＝0， 得k＝6， 此时3OA﹣kOB＝0（与t无关）； 当t＞11时， 3OA﹣kOB＝3（2+2t）﹣k（t﹣11）＝（6+11k）+（6﹣k）t， 令6﹣k＝0， 得 k＝6， 此时3OA﹣kOB＝72（与t 无关）； ∴存在常数k，当0≤t≤5时，k＝6，定值为0，当t＞5时，k＝﹣6，定值为72，当t＞11时，k＝6，定值为72． 22．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b．满足|a+5|+（b﹣8）2＝0，机器人M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，1秒后，机器人N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．根据机器人程序设定，机器人M遇到机器人N后立即降速，以原速的一半返回，与此同时，机器人N以原速折返．设机器人M运动时间为t秒． （1）点A与点B之间的距离是 　13　 ； （2）求两个机器人M、N相遇的时间t及相遇点P所表示的数； （3）两个机器人在相遇点P折返后，是否存在某一时刻，使得机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10？若存在，求出此时t的值及机器人N所在位置表示的数；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可得：a+5＝0，b﹣8＝0， 解得：a＝﹣5，b＝8， ∴点A表示的数为﹣5，点B表示的数为8， ∴点A与点B之间的距离是8﹣（﹣5）＝13； 故答案为：13； （2）根据题意得，点M表示的数为﹣5+4t，点N表示的数为8﹣2（t﹣1）＝10﹣2t， ∴﹣5+4t＝10﹣2t， 解得：t＝2.5， 此时点P表示的数为5； 综上所述，M，N相遇的时间为2.5秒，此时相遇点P表示的数是5； （3）根据题意得：M返回A时，， 当2.5＜t≤7.5时，点M表示的数为5﹣2（t﹣2.5）＝10﹣2t，点N表示的数为5+2（t﹣2.5）＝2t， 由题意可得：[10﹣2t﹣（﹣5）]+（8﹣2t）＝10， 解得：t＝3.25， 此时点N表示的数为6.5； 当t＞7.5时，MA＝0，则NB＝2t﹣8＝10， 解得：t＝9， 此时，N对应的数为18； 综上所述，t＝3.25时，N对应的数为6.5；t＝9时，N对应的数为18． 因为对返回和折返存在理解的争议，我们一下解法也视为正确： （3）折返后，M表示的数为5﹣2（t﹣2.5）＝10﹣2t． N表示的数为5+2（t﹣2t）＝2t， MA+NA＝10． ∴|10﹣2t﹣（﹣5）|+|2t﹣8|＝10． |15﹣2t|+|2t﹣8|＝10， |t﹣7.5|+|t﹣4|＝5， 由数形结合可得：t＝4﹣0.75＝3.25，或t＝7.5+0.75＝8.25， t＝3.25时，N对应的数为6.5， t＝8.25时，N对应的数为16.5． 23．如图，在数轴上有A，B，M三点，分别表示有理数a，b，m．其中a，b，m满足|a+1|+（b﹣2）2+|m﹣3|＝0．已知线段AB的中点表示的数可以记作，A、B之间的距离为|a﹣b|． （1）求a，b，m的值； （2）数轴上的一动点N从A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，当N与B的距离为线段BM长度的两倍时，求运动时间t，以及此时点N表示的数； （3）有一动点P从表示﹣7的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示﹣2的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，若线段PQ上至少存在一点T与点A构成线段，当线段AT的中点在线段OB（包含端点）上，求t最大值和最小值． 【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣2）2+|m﹣3|＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0，m﹣3＝0， ∴a＝﹣1，b＝2，m＝3； （2）当运动时间为t秒时，点N表示的数为﹣1+2t， 根据题意得：|2﹣（﹣1+2t）|＝2|2﹣3|， 即3﹣2t＝2或2t﹣3＝2， 解得：t或t， 当t时，﹣1+2t＝﹣1+20； 当t时，﹣1+2t＝﹣1+24． 答：t的值为或，此时点N表示的数为0或4； （3）当点Q运动的时间为t秒时，点P表示的数为﹣7+3（t+1）＝﹣4+3t，点Q表示的数为﹣2+2t， ∵点A表示的数为﹣1，点O表示的数为0，点B表示的数为2，且线段AT的中点在线段OB（包含端点）上， ∴T表示的数不小于1且不超过5． 若﹣4+3t＝﹣2+2t，则t＝2． 当0≤t＜2时，点P在点Q的左侧，令﹣2+2t＝1， 解得：t， ∴当t＜2时符合题意； 当t＝2时，点P，Q重合，此时， ∵05， ∴t＝2符合题意； 当t＞2时，点Q在点P的左侧，令﹣2+2t＝5， 解得：t， ∴当2＜t时符合题意． 综上所述，t的取值范围为t， ∴t的最大值为，t的最小值为． 24．如图在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且满足（a+6）2+|b﹣12|＝0． （1）点A表示的数为 　﹣6　 ，点B表示的数为 　12　 ； （2）点C在数轴上，且点C与点B之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点D为折点，将数轴对折后，点C与点A重合，则折点D表示的数为 　2或4　 ； （3）若在原点O处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点M）从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点B，并停止运动．设运动的时间为t秒，在整个运动过程中，当它把线段AB分为3：2的两段时，求t的值；并直接判断此时小蚂蚁与点A，O，B，E（E是AB的中点）的距离和是否最短？ 【解答】（1）解：（a+6）2+|b﹣12|＝0， ∴a+6＝0，b﹣12＝0， 解得a＝﹣6，b＝12， 故答案为：﹣6，12； （2）由（1）可知，点B表示的有理数为12，点A表示的有理数为﹣6， 当点C在点B左侧时，点C表示的有理数为10， 将数轴对折后，点C与点A重合，则折点D表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的有理数为14， 将数轴对折后，点C与点A重合，则折点D表示的数为， 综上所述，折点D表示的数为2或4． 故答案为：2或4； （3）当0≤t≤4时，M点表示的数为12﹣3t， ∴AM＝12﹣3t+6＝18﹣3t，BM＝12﹣12+3t＝3t， 当AM：BM＝3：2时，（18﹣3t）：3t＝3：2，解得t＝2.4； 当AM：BM＝2：3时，（18﹣3t）：3t＝2：3，解得t＝3.6； 当4＜t≤10时，M点表示的数为2（t﹣4）， ∴AM＝2t﹣8+6＝2t﹣2，BM＝12﹣2t+8＝20﹣2t， 当AM：BM＝3：2时，（2t﹣2）：（20﹣2t）＝3：2，解得t＝6.4； 当AM：BM＝2：3时，（20﹣2t）：（2t﹣2）＝2：3，解得t＝4.6； ∵E是AB的中点， ∴E点表示的数为3， 设M点表示的数为x，则AM+BM+OM+EM＝|x+6|+|x﹣12|+|x|+|x﹣3|， 当0≤x≤3时，AM+BM+OM+EM的和最小， ∴t＝3.6或t＝4.6时，AM+BM+OM+EM的和最小． 25．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足|a+2b|+（a+4）2≤0，点C对应的数为20． （1）求a，b的值； （2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； （3）若动点P、Q分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒．点Q运动到C点立刻原速返回，到达B点后停止运动．点P运动至C点处又以原速返回至A点，一直这样在AC之间做往返运动，当点Q停止运动后，点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数． 【解答】解：（1）由题意可得：a+2b＝0，a+4＝0， ∴a＝﹣4，b＝2； （2）设点P的运动时间为t秒，则点P表示的数为﹣4+3t， ∴PA＝3t，PB＝|﹣4+3t﹣2|＝|3t﹣6|， ∵点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍， ∴3t＝2|3t﹣6|， ∴3t＝2（3t﹣6）或3t＝﹣2（3t﹣6）， ∴t＝4或， ∴运动时间为秒或4秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； （3）设运动时间为x秒， （秒），（秒）， ∴点P第一次到达点C需要8秒，点Q到达点C需要9秒，点P第一次返回A的时间为16秒，点Q返回B的时间为18秒， 当点P没有到达点C时，则点P表示的数为﹣4+3x，点Q表示的数为2+2x， ∴﹣4+3x＝2+2x， 解得x＝6， ∴此时相遇点表示的数为﹣4+3×6＝14； 当点P第一次到达点C后，点Q未到点C时，则点P表示的数为20﹣3（x﹣8）＝44﹣3x，点Q表示的数为2+2x， ∴44﹣3x＝2+2x， 解得， ∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次返回点A时，点Q未到点B时，则点P表示的数为﹣4+3（x﹣16）＝3x﹣52，点Q表示的数为20﹣2（x﹣9）＝38﹣2x， ∴3x﹣52＝38﹣2x， 解得x＝18， ∴此时相遇点表示的数为38﹣18×2＝2； ∴相遇点表示的数为2或14或． 26．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣12，6，点E以每秒2个单位的速度从点A向原点O运动；同时点F以每秒3个单位的速度从原点O出发，在点O和点B之间做来回往返运动（即沿O→B→O→B→...运动），当点E运动到点O时，点E、F都停止运动，设点E运动的时间为ts． （1）当t＝1时，求点E到点F的距离； （2）用含t的代数式表示点E到点F的距离； （3）当t为何值时，点O到点E、F的距离相等． 【解答】解：（1）当t＝1时，点E的对应数为﹣10，点F的对应数为3， ∴点E到点F的距离为3﹣（﹣10）＝13； （2）∵点E运动到点O时，点E、F都停止运动， ∴0≤t≤6，点E运动后对应的数为﹣12+2t， ①当0≤t＜2时，此时点F从点O向点B运动，点F对应的数为3t， ∴此时点E到点F的距离为3t﹣（﹣12+2t）＝t+12． ②当2≤t＜4时，此时点F从点B向点O运动，点F对应的数为12﹣3t， ∴此时点E到点F的距离为（12﹣3t）﹣（﹣12+2t）＝24﹣5t． ③当4≤t≤6时，此时点F从点O向点B运动，点F对应的数为3t﹣12， ∴此时点E到点F的距离为：（3t﹣12）﹣（﹣12+2t）＝t． 综上所述，当0≤t≤2时，点E到点F的距离为t+12；当2≤t＜4时，点E到点F的距离为24﹣5t；当4≤t≤6时，点E到点F的距离为t； （3）由（2）可知点E对应的数为：﹣12+2t （0≤t≤6）， ①当0≤t＜2时，此时点F从点O向点B运动，点F对应的数为3t， ∵点O到点E，F的距离相等， ∴﹣12+2t+3t＝0， 解得：t（舍去）； ②当2≤t＜4时，此时点F从点B向点O运动，点F对应的数为：12﹣3t， ∵点O到点E，F的距离相等， ∴﹣12+2t+12﹣3t＝0， 解得：t＝0（舍去）， ③当4≤t≤6时，此时点F从点O向点B运动，点F对应的数为3t﹣12， ∵点O到点E，F的距离相等， ∴﹣12+2t+3t﹣12＝0， 解得：t， 综上所述，当t时，点O到点E，F的距离相等． 27．数形结合思想是常用的数学思想，数轴帮我们把点和数对应起来，是利用数形结合思想解决问题的有效工具．学习完七年级上册前3章后，爱思考的三位同学想“玩转”数轴． （1）小梅的玩法关键字是“折”：把数轴以点C为折点对折，使点A和点B重合．已知点A，B表示的数分别为a，b．若a，b满足（a+10）2+|b﹣20|＝0，求折点C表示的数； （2）小溪的玩法关键字是“添”：在小梅的基础上，在A，B两点各添加一块挡板，在C点添加一块减速板，动点M在A，B之间来回运动，遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒，若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板．点M从A点出发，以5个单位长度每秒的速度向B点运动，设运动的时间为t秒．当点M对应的数是2时，求t的值； （3）小湖的玩法关键字是“去”：去掉所有含有数字k的整数，制作了一个“缺数字k的数轴”（k＝2，3，…，9）：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数字k．例如，当k＝2时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…．已知正整数m，n满足m＜n，且某“缺数字k的数轴”上有分别表示10m﹣2和10n+18的两个点，则这两点之间的距离为　10n﹣10m+20　 ．（用含m，n的代数式表示） 【解答】解：（1）因为一个数的平方是非负数，一个数的绝对值也是非负数， 要使（a+10）2+|b﹣20|＝0，则（a+10）2＝0且|b﹣20|＝0， 由（a+10）2＝0，可得a+10＝0，解得a＝﹣10， 由|b﹣20|＝0，可得b﹣20＝0，解得b＝20， ∵以点C为折点对折，使点A和点B重合， ∴点C是线段AB的中点， 根据中点公式，若有两点表示的数为x1，x2为则其中点表示的数为， ∴折点C表示的数为； （2）第一次到C点时，用时：[5﹣（﹣10）]÷5＝3（秒）， 当从A向C运动时，0≤t≤3，速度为5个单位长度每秒， 则点M对应的数是2时，5t＝2﹣（﹣10），解得t＝2.4； 返回C点时用时：3+（20﹣5）×2÷（5﹣2）＝3+15×2÷3＝3+10＝13（秒）， 到点A时用时：13+[5﹣（﹣10）]÷（5﹣2﹣2）＝13+15÷1＝13（秒）， 当从C向A运动时，13＜t≤28，经过两次C点，速度为5﹣2﹣2＝1（个）单位长度每秒， 则点M对应的数是2时，t﹣13＝（5﹣2）÷1，解得t＝16； 当时再次从A向C运动，速度为1个单位长度每秒， 到C点时用时，28+[5﹣（﹣10）]÷1＝28+15÷1＝28+15＝43（秒）， 再次从A向C运动，用时28＜t≤43， 则点M对应的数是2时，t﹣28＝[2﹣（﹣10）]÷1，解得t＝40， 综上所述，t的值为2.4或16或40； （3）正常数轴原来距离为10的，在缺数字2的数轴上，因此跳过了所有带2的数，所以它的实际位置是 第9个点，表示100的点，实际位置是第81个点，表示1000的点，实际位置是第729个点， 10到100距离为：92﹣91； 100到1000距离为：93﹣92； 1000到10距离为：93﹣91； 10m﹣2和10m相比，差的数不含2，故不缺数； 10n和10n+18相比，差的数含两个数：2和12，故实际距离为18﹣2＝16， ∴当m，n为正整数，m＜n时，10m﹣2和10n+18的两个点之间的距离： （9n+16）﹣（9m﹣2）＝9n﹣9m+18． 故答案为：9n﹣9m+18． 28．如图1，数轴上点A、B对应的数分别是a、b，且a、b满足（a+12）2+|b﹣20|＝0．现有一长度为2的玩具火车MN从原点出发（点M与点O重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为ts． （1）直接写出a＝ 　﹣12　 ，b＝ 　20　 ； （2）在整个运动过程中，求AN﹣BM的值（用含t的式子表示）； （3）如图2，在A、B处各放置一块挡板P、Q，当点N碰到挡板Q时，玩具火车以原来的速度返回，当点M碰到挡板P时，也立即以原来的速度返回．当0＜t≤12时，若|AN﹣BM|＝ON，求t的值． 【解答】解：（1）∵（a+12）2+|b﹣20|＝0， ∴a+12＝0，b﹣20＝0， 解得a＝﹣12，b＝20； 故答案为：﹣12，20； （2）由题意得：运动后点M表示的数为4t，点N表示的数为2+4t， 当0≤t＜5时，点M在B的左边，AN﹣BM＝2+4t﹣（﹣12）﹣（20﹣4t）＝2+4t+12﹣20+4t＝8t﹣6， 当t＝5时，M与B重合，AN﹣BM＝2+20+12＝34， 当t＞5时，点M在B的右边，AN﹣BM＝2+4t﹣（﹣12）﹣（4t﹣20）＝2+4t+12﹣4t+20＝34， 综上，AN﹣BM的值为8t﹣6或34； （3）分两种情况： ①t4.5，即当t＝4.5时，点N与挡板Q重合， 当0≤t≤4.5时，M表示4t，N表示2+4t， ∵|AN﹣BM|＝ON， ∴|2+4t﹣（20﹣4t）|＝2+4t， ∴|8t﹣6|＝2+4t， ∴8t﹣6＝2+4t或8t﹣6＝﹣2﹣4t， ∴t＝2或； ②t4.5＝12，即当t＝12时，点M与挡板P重合， 当4.5＜t≤12时，M表示20﹣2﹣4（t﹣4.5）＝36﹣4t，N表示20﹣4（t﹣4.5）＝38﹣4t，∵|AN﹣BM|＝ON，∴|38﹣4t+12﹣（20﹣36+4t）|＝|38﹣4t|， ∴66﹣8t＝±（38﹣4t）， ∴t＝7或； 综上，t的值是2或或7或． 十．一元一次方程的应用（共1小题） 29．如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且a、b、c满足|a|＝4，a+b＝﹣6，ab＞0，c是最小的正整数． （1）请直接写出a＝ 　﹣4　 ，b＝ 　﹣2　 ，c＝ 　1　 ． （2）若点B沿数轴向右运动，速度是2个单位长度/秒，当t为何值时，O，B，C三点满足其中一点到另外两个点的距离相等？（点O为坐标原点） （3）在（2）的条件下，若点A沿数轴向左运动，速度为1个单位长度/秒，点C向右运动，速度为4个单位长度/秒，问运动t秒后，AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围．（“BC”表示点B和点C之间的距离，“AB”表示点A和点B之间的距离） 【解答】（1）解：∵|a|＝4， ∴a＝±4， ∴当a＝4时， ∵a+b＝﹣6， ∴4+b＝﹣6， ∴b＝﹣10， ∴ab＝4×（﹣10）＝﹣40＜0，不符合题意，应舍去； ∴当a＝﹣4时， ∵a+b＝﹣6， ∴﹣4+b＝﹣6， ∴b＝﹣2， ∴ab＝﹣4×（﹣2）＝8＞0，符合题意， ∵c是最小的正整数， ∴c＝1， 故答案为：﹣4，﹣2，1； （2）解：根据题意得，点B运动后表示的数为﹣2+2t， ∴当点O到点B的距离等于点O到点C的距离时，|0﹣（﹣2+2t）|＝|1﹣0|， 解得或； ∴当点B到点O的距离等于点B到点C的距离时，|0﹣（﹣2+2t）|＝|1﹣（﹣2+2t）|， 解得； ∴当点C到点O的距离等于点C到点B的距离时，|1﹣0|＝|1﹣（﹣2+2t）|， 解得t＝1或t＝2； 综上所述，或或或t＝1或t＝2； （3）解：根据题意得，点A运动后表示的数为﹣4﹣t，点C运动后表示的数为1+4t， ∴AB＝﹣2+2t﹣（﹣4﹣t）＝﹣2+2t+4+t＝3t+2，BC＝1+4t﹣（﹣2+2t）＝1+4t+2﹣2t＝2t+3， ∴ ． ∴运动t秒后，的值不变，值为， 十一．一次函数的应用_其他问题（共1小题） 30．小天的爸爸准备购买一套小户型住房，他去某楼盘了解情况得知，该户型的单价是30000元/m2，面积如图所示（单位：m，卫生间的宽未定，设宽为xm），售房部为小天爸爸提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是30000元/m2，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的九五折出售． （Ⅰ）用y1，y2分别表示方案一和方案二中购买一套该户型住房的总金额，求出两种方案中的总金额y1，y2（用含x的式子表示）； （Ⅱ）求当x＝2时，两种方案的总金额分别是多少元？ （Ⅲ）小天爸爸在现金不足的情况下，向银行借了48万元住房贷款，贷款期限为10年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是0.3%，每月还款数额＝平均每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息＝上月所剩贷款本金数额×月利率； ①小天爸爸借款后第一个月应还款数额是多少元？ ②假设货款月利率不变，将小天爸爸在借款后第n（1≤n≤120，n是正整数）个月的还款数额用n表示出来． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：y1＝30000×[6×3+（7﹣3）×3+（6﹣3）×2×（1）+（7﹣3﹣2）x] ＝30000×（6×3+4×3+3×22x） ＝30000×（18+12+4+2x） ＝30000×（34+2x） ＝60000x+1020000； y2＝95%×30000×[6×3+（7﹣3）×3+（6﹣3）×2+（7﹣3﹣2）x] ＝95%×30000×（6×3+4×3+3×2+2x） ＝95%×30000×（18+12+6+2x） ＝95%×30000×（36+2x） ＝57000x+1026000； （Ⅱ）当x＝2时，y1＝60000×2+1020000＝1140000； 当x＝2时，y2＝57000×2+1026000＝1140000； （Ⅲ）①平均每月应还的贷款本金数额为480000÷（10×12）＝480000÷120＝4000（元）， 借款后第一个月应还月利息为480000×0.3%＝1440（元）， ∴4000+1440＝5440（元）． 答：小天爸爸借款后第一个月应还款数额是5440元； ②根据题意得：4000+4000×[120﹣（n﹣1）]×0.3% ＝4000+4000×（121﹣n）×0.3% ＝4000+12（121﹣n） ＝4000+1452﹣12n ＝（5452﹣12n）（元）． 答：小天爸爸在借款后第n（1≤n≤120，n是正整数）个月的还款数额为（5452﹣12n）元． 十二．计数方法（共1小题） 31．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．十进制的自然数可以写成2的方幂和的形式，如：21（10）＝16+4+1＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝10101（2），即十进制的数21对应二进制的数10101． 根据上述规则，解答下列问题： （1）二进制的数11011对应的十进制的数是 　27（10） ； （2）计算：110100（2）+1302（4）＝ 　166　 （10）；（规定当a≠0时，a0＝1） （3）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满六进一，根据图示求孩子已经出生的天数，并用二进制数表示． 【解答】解：（1）根据题意得：11011（2）＝1×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝16+8+2+1＝27（10）． 故答案为：27（10）； （2）根据题意得：110100（2）+1302（4）＝（1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+0×20）+（1×43+3×42+0×41+2×40）＝（32+16+4）+（64+48+2）＝52+114＝166（10）． 故答案为：166； （3）根据题意得：3×62+4×61+5×60＝108+24+5＝137（10）； 137（10）＝128+8+1＝1×27+0×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝10001001（2）． 答：孩子已经出生137天，用二进制数表示为10001001（2）． 十三．数的十进制（共1小题） 32．阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：（1101）2就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为b，第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678＝5×103+6×102+7×101+8×100（当a≠0时，a0＝1）．同理，二进制数（1101）2用十进制数表示为：1×23+1×22+0×21+1×20＝13． 根据上述材料，解答下列问题． （1）把二进制数（10010）2用十进制数表示为 　18　 ． （2）现有三进位制数a＝（211）3，二进位制数b＝（10110）2，试比较a与b的大小关系． （3）若一个正数可以用七进制表示为，也可以用五进制表示为（）5，请求出这个数并用十进制表示． （4）若一个六进制数与一个八进制数表示为十进制数后的和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断（）6与（）8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由． 【解答】解：（1）由题意可知，， 故答案为：18； （2）由题意可知，， ， ∴a＝b； （3）由题意可知：0＜a≤4，0≤b≤4，0＜c≤4，且a，b，c均为整数， ， ， 则49a+7b+c＝25c+5b+a， 整理可得：48a+2b﹣24c＝0， 即：12（2a﹣c）+b＝0， 若2a﹣c≠0，则12（2a﹣c）为12的整数倍，此时12（2a﹣c）+b≠0，与题意相矛盾； ∴2a﹣c＝0，b＝0， 当a＝1，c＝2，此时（abc）7＝（102）7＝51； 当a＝2，c＝4，此时（abc）7＝（204）7＝102； 综上，这个数为51或102； （4）（mm2）6与（nn4）8不是为“如意数”，理由如下： 由题意可知：0＜m≤5，0＜n≤7，且m，n均为整数， ， ， 若（mm2）6与（nn4）8互为“如意数”， 则42m+2+72n+4＝666，即：42m+72n＝660， ∴7m+12n＝110， 当m＝1时，，不符合题意； 当m＝2时，n＝8，不符合题意； 当m＝3时，，不符合题意； 当m＝4时，，不符合题意； 当m＝5时，，不符合题意； ∴不存在满足题意的m，n使得7m+12n＝110， ∴（mm2）6与（nn4）8不是为“如意数”． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $