2026-2027年七年级上数学期中测试解答压轴题汇编（Word版）-2026-2027年初中数学上册期中测试压轴题汇编（北师大版）

【北师大版】2026-2027年7年级上数学期中测试解答压轴题汇编（3-3） 一．数轴（共5小题） 1．一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市． （1）小明家在超市的什么方向，距超市多远？以超市为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1km，你能在数轴上表示出小明家、小彬家、小颖家的位置吗？ （2）小明家距小彬家多远？ （3）货车一共行驶了多少千米？ 2．已知点P、点A、点B是数轴上的三个点．若点P到原点的距离等于点A、点B到原点距离的和的一半，则称点P为点A和点B的“关联点”． （1）已知点A表示1，点B表示﹣3，下列各数﹣2，﹣1，0，2在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，其中是点A和点B的“关联点”的是 __________ ； （2）已知点A表示3，点B表示m，点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，求m的值； （3）已知点A表示a，将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B．当点P为点A和点B的“关联点”时，直接写出点P所表示的数． 3．如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，﹣10，200，现将一把最小刻度为1cm的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为5cm． （1）若数轴的1个单位长度为1cm． ①x的值为________ ；点A与点C的距离为________ 个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； （2）若数轴的1个单位长度不是1cm，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的﹣14，﹣10． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数． 4． 联系拓广 数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． （1）当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． a＝3，b＝6；a＝﹣3，b＝6；a＝﹣3，b＝﹣6． ※（2）用a，b表示A，B两点间的距离． 以上是我们七年级上册数学教材第48页的习题．我们记A，B两点间的距离为AB（或BA），通过解题我们发现，当a＜b时，AB＝b﹣a，当a＞b时，AB＝a﹣b． 如图，点O为原点，数轴上两点A，B分别表示﹣18，6， （1）A，B两点间的距离为AB＝_______ ；数轴上与A，B两点距离相等的点对应的数是_______ ； （2）若该数轴上点P满足AP＝2PB，求点P对应的数； （3）如图，点A，B同时分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点P从原点O以每秒8个单位长度的速度向左运动，试求出常数m的值，使得2BP+OA﹣mOP的值不变． 5．如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，|c|＝4，请回答问题： （1）请直接写出a、b、c的值．a＝_______ ，b＝_____ ，c＝_____ ； （2）点P为数轴上一动点，现以点P为折点，将数轴向右对折．若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数． 二．有理数的减法（共1小题） 6．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|．所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？ 探究问题：如图，点A，B，P分别表示的是﹣1，2，x，AB＝3． ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和． ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3， ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3． （1）解决问题，|5﹣（﹣3）|的值是 _____ ． （2）|x﹣4|+|x+2|的最小值是 _____ ． （3）当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2． 三．有理数的乘方（共2小题） 7．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小明把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果， _____ ，f（4，3）＝ __________________ ； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 _____ ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1； ②f（6，3）＝f（3，6）； ③f（2，a）＝1（a≠0）． （3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），将结果写成幂的形式f（n，a）＝ ____________________ ；（结果用含a，n的式子表示） （4）计算：． 8．综合与探究： 【概念学习】 类比有理数的乘方运算，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2③＝__________________ ；_______ ； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式：（﹣3）⑤＝____________________ ，_______ ；． （3）算一算：； （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式aⓝ（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程，将结果写成乘方幂的形式．（结果用含a，n的式子表示） 四．有理数的混合运算（共2小题） 9．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的滴滴公司开展“打滴计费”的实践活动． 【实践发现】司机介绍说：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间来计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．收费标准如： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 【实践探究】根据以上信息解答下列问题： 老师说：若乘客的行车里程为2公里，行车时间为4分钟，则付费计算为1.8×2+0.45×4＝5.4元 【问题解决】 （1）小东问：“照老师这么算，如果我行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元？” （2）小明问：“如果行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则我应付车费多少元？”（用含a、b的代数式表示，并化简）． （3）司机又说：“如果小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，这两人下车时所付车费一样．”你赞同司机的说法吗？请同学们说明理由． 10．根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动？ 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为180cm的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为50cm，B到右挡板的距离为30cm，A、B两球相距40cm． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若A球在数轴上表示坐标原点，B球表示的数为40，则C球表示的数为 ________ ，右挡板E表示的数为 _______ ． 任务2 碰撞实验中，若A球以每秒10cm的速度向右匀速运动，从原点开始计时，请分别求出B球第一次和第二次撞向右挡板E的时间． 任务3 在任务1、2的条件下，当3个钢球运动的路程和为650cm时，C球在数轴上表示的数是 ________ ．（直接写出答案） 五．有理数的混合运算（共1小题） 11．定义以下两种新运算： ①a⊕b＝4a+b，例如：1⊕3＝4×1+3＝7；3⊕（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11； ②[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.2]＝2；[﹣1.34]＝﹣2． 根据以上规则，计算下列各式的值， （1）3⊕（﹣2）＝_______ ； （2）①[3.2]＝_____ ，②[﹣3.56]＝_______ ； （3）若m＝1⊕，n＝2⊕，求[m]+[n]的值．（写出过程） 六．列代数式（共2小题） 12．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元，国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的90%付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）． （1）若该客户按方案一购买，需付款_________________ 元（用含x的式子表示）； 若该客户按方案二购买，需付款_________________ 元（用含x的式子表示）； （2）当x＝30时，通过计算说明此时方案一还是方案二购买较为合算； （3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案并计算所花的钱数． 13．【解决问题】 （1）数轴上有理数﹣6与1对应的两点之间的距离是_____ ； （2）数轴上有理数m与﹣4对应的两点之间的距离是__________ （用含m的式子表示）； （3）若数轴上有理数n与﹣1对应的两点之间的距离是5，求n的值，并写出你的计算过程． 【拓展应用】 点M，N，P是数轴上的三个点，其中，点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3，点P表示的数为x． 若点P在M，N之间，则|x+3|+|x﹣2|＝_____ ； 若|x+3|+|x﹣2|＝10，则x＝_____________ ． 七．代数式求值（共1小题） 14．某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（x＞2）． （1）若该客户按方案一购买，需付款 ________________ 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款 ________________ 元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝5时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 八．规律型：数字的变化类（共1小题） 15．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5＝____________________ ＝____________________ ； （2）用含n的式子表示第n个等式：an＝____________________ ＝____________________ （n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+…+a2025的值． 九．规律型：图形的变化类（共1小题） 16．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 如图，数学活动课上，小颖将一张面积为2的长方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推． 认真观察图形，解答下列问题： （1）图中阴影部分的面积为____________________ （直接写出答案）； （2）____________________ （直接写出答案）； （3）请类比（2），求的值． 十．多项式（共2小题） 17．已知多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． （1）a＝________ ，b＝_______ ，线段AB＝_______ ； （2）若数轴上有一点C，使得ACBC，点M为AB的中点，求MC的长； （3）有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GEGB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值． 18．如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且a是多项式﹣3x2﹣4x+1的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． （1）由题意可得：a＝_______ ，b＝_____ ，c＝_____ ． （2）点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当t＝2时，分别求AC、AB的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，3AC﹣5AB的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出3AC﹣5AB的值． 十一．整式的加减（共1小题） 19．阅读材料： 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题： （1）最小的“欢喜数”是 ________ ，最大的“欢喜数”是 ________ ； （2）若某“欢喜数”的百位数字为a，十位数字为b，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； （3）若“欢喜数”m为奇数，且十位数字比个位数字大n（n为大于4而小于7的整数），且m能被3整除，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”m． 十二．整式的加减—化简求值（共1小题） 20．阅读材料：我们知道5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，类似的，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）+3（a+b）﹣4（a+b）＝（5+3﹣4）（a+b）＝4（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2+5（a﹣b）2﹣2（a﹣b）2的结果为____________ ； （2）已知m+n＝12，2a﹣3b＝8，求3m+6a﹣（9b﹣3n）的值； 拓展探索： （3）已知a﹣2b＝5，2b﹣c＝﹣4，c﹣d＝9，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值． 十三．一元一次方程的应用（共7小题） 21．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是_______ ，点P表示的数是_________ （用含t的式子表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 22．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N之间的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN＝n﹣m． 如图，a，b，c满足3xby3是5次单项式，且（c﹣8）2+|a+2|＝0． 请回答下列问题： （1）填空：a＝_______ ；b＝_____ ；c＝_____ ； （2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，点P在A，B之间运动时，请化简：2|x+2|﹣3|x﹣2|+|x+8|； （3）在（1）（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：t秒时，是否存在m．使得BC﹣AB的值不随着时间t的变化而变化？若存在，求出m；若不存在，请说明理由． 23．【问题情境】如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，a是多项式3x2﹣4x+1的一次项系数，b是绝对值最小的有理数，点C表示的数为8，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． 【观察思考】 （1）a＝_______ ；b＝_____ ； （2）若点P到点A、点C的距离相等，则x＝_____ ； （3）若点P到点B、点C的距离之和为10，则x＝_________ ； 【深入探究】 （4）若点P从点A以每秒0.4个单位长度，同时点Q从点B出发以每秒0.2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．ts后，点P与点B之间的距离能和点Q与点B之间的距离相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 24．阅读理解：若A、B、C为数轴上任意三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的好点．例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2．那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点． 知识运用： （1）在图1中，点A是__________ 的好点，点B是__________ 的好点；（选用A，B，C，D表示，不能添加其它字母） （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则数_________ 所表示的点是（M，N）的好点； （3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40；现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位/秒速度向左运动，到达A点时停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，点P，A，B中恰有一点是其他两个点的好点？ 25．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离AB可表示为： ①AB＝b﹣a（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）； ②AB＝|b﹣a|＝|a﹣b|（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为． 【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为﹣3，点B表示的数为2，P是数轴上一动点． （1）则A、B两点间的距离AB＝_____ ，A、B两点的中点M表示的数为_________ ． （2）若A、P两点间的距离AP＝3，则点P表示的数为_________ ；此时A、P两点的中点表示的数为______________ ． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （3）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为____________ ；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为_________ ； （4）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度． 26．如图，已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．在数轴上，若点M，N表示的数分别为m，n，我们把m，n之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|m﹣n|． （1）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是___________ ； （2）当x＝_________ 时，点P到点A、点B的距离之和是6； （3）若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动，同时点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动，点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动．设运动时间为t秒，那么当点P到点E，点F的距离相等时，求t的值． 27．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣4，10，点P为数轴上一动点，对应的数为x． （1）若点P到点A，点B的距离相等，请求出x的值； （2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为20？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； （3）一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点A的运动的时间为t秒．请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时t的值． 十四．一元一次方程的应用（共1小题） 28．如图，按如下规律排列的一组数字，并用“十”字型方框选取5个数． （1）数字2013在第________ 行，第_____ 列； （2）由五个数组成的“”中： ①这五个数的和可能是2014吗？为什么？ ②如果这五个数的和是100，直接写出这五个数； （3）这五个数的和能否是2025？若能请求出这5个数；若不能请说明理由． 十五．展开图折叠成几何体（共1小题） 29．在手工制作课上，老师要求学生准备了刻度尺，剪刀，粘接剂等用具，以及如图1所示的长方形卡纸ABCD．该长方形卡纸的长为xcm，宽为ycm．制作中，先按要求设计制作方案，在图中画出制作示意图：用实线表示裁剪线、虚线表示折叠线，剪除部分用斜线标注阴影． （1）要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个无盖的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿参与做成长方体开口的边沿）． ①在图1中画出制作示意图； ②裁剪线长用a，b，c…等字母，在你的制作示意图中标注裁剪线长，并列代数式表示其体积（不必化简）； （2）要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个封闭的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿都参与做成长方体纸盒的棱）． ③在图2中小明同学已画好了一条折叠线所在的虚线EF，请你在此基础上帮小明画完制作示意图； ④若③中裁剪出的正好是底面是正方形、高AE为1cm的长方体纸盒的展开图，那么该卡纸的长与宽的数量x、y应满足怎样的等量关系？ 十六．由三视图判断几何体（共1小题） 30．用几个大小相同的小立方块搭成一个几何体． （1）如果这个几何体从上面看的形状图如图①所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； （2）若这个几何体从正面、左面看到的形状图都是图②，请画出从上面看到的几何体的形状图； （3）在（2）中从正面、左面看到的形状图都是图②的几何体是不是唯一的？如果不唯一，请画出小立方块最少和最多两种情况从上面看到的几何体的形状图，并标出在该位置的小立方块的个数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【北师大版】2026-2027年7年级上数学期中测试解答压轴题汇编（3-3） 参考答案与试题解析 一．数轴（共5小题） 1．一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市． （1）小明家在超市的什么方向，距超市多远？以超市为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1km，你能在数轴上表示出小明家、小彬家、小颖家的位置吗？ （2）小明家距小彬家多远？ （3）货车一共行驶了多少千米？ 【解答】解：（1）如图所示： 3+1.5﹣9.5＝﹣5． 故小明家在超市的向西方向，距超市5km远． （2）3﹣（﹣5）＝8（千米）． 故小明家距小彬家8千米． （3）3+1.5+9.5+5＝19（千米）． 答：货车一共行驶了19千米． 2．已知点P、点A、点B是数轴上的三个点．若点P到原点的距离等于点A、点B到原点距离的和的一半，则称点P为点A和点B的“关联点”． （1）已知点A表示1，点B表示﹣3，下列各数﹣2，﹣1，0，2在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，其中是点A和点B的“关联点”的是 P1或P4 ； （2）已知点A表示3，点B表示m，点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，求m的值； （3）已知点A表示a，将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B．当点P为点A和点B的“关联点”时，直接写出点P所表示的数． 【解答】解：（1）∵点A表示1，点B表示﹣3， ∴点A、点B到原点距离的和为：1+3＝4， ∵点P为点A和点B的“关联点”， ∴点P到原点的距离为2， ∴点P表示的数为2或﹣2． 故答案是：P1或P4； （2）∵点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5， ∴点A、点B到原点距离的和为：5×2＝10， ∵点A表示3， ∴点A到原点距离为3， ∴点B到原点距离为10﹣3＝7， ∴m表示7或﹣7， ∴m的值为7或﹣7； （3）∵点A表示a，将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B， ∴点B表示的数为a+4， ∴点A、点B到原点距离的和为：a+a+4＝2a+4， ∵点P为点A和点B的“关联点”， ∴点P到原点的距离为（2a+4）÷2＝a+2， ∴点P表示的数为a+2或﹣（a+2）． 3．如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，﹣10，200，现将一把最小刻度为1cm的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为5cm． （1）若数轴的1个单位长度为1cm． ①x的值为　﹣15　 ；点A与点C的距离为　215　 个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； （2）若数轴的1个单位长度不是1cm，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的﹣14，﹣10． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数． 【解答】解：（1）①∵点A与点B的距离为5cm， ∴x＝﹣10﹣5＝﹣15； ∴点A与点C的距离为200﹣（﹣15）＝215单位长度； 故答案为：﹣15；215； ②﹣15+（﹣10）+200＝175， 即点A，B，C所表示的数的和为175； （2）①∵“8”和“10”分别对应数轴上的﹣14，﹣10， ∴数轴的1个单位长度为， ∴刻度尺上1cm，代表数轴上2个单位长度， ∴A在B的左边且AB相距10个单位长度， ∴x＝﹣10﹣10＝﹣20； ②∵A表示的数为﹣20，C表示的数为200， ∴A、C相距220个单位长度， ∴A、D的距离为110个单位长度， 当点D在点A右边时，点D表示的数为﹣20+110＝90， 当点D在点A左边时，点D表示的数为﹣20﹣110＝﹣130， ∴D所表示的数为﹣130或90． 4． 联系拓广 22．数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． （1）当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． a＝3，b＝6；a＝﹣3，b＝6；a＝﹣3，b＝﹣6． ※（2）用a，b表示A，B两点间的距离． 以上是我们七年级上册数学教材第48页的习题．我们记A，B两点间的距离为AB（或BA），通过解题我们发现，当a＜b时，AB＝b﹣a，当a＞b时，AB＝a﹣b． 如图，点O为原点，数轴上两点A，B分别表示﹣18，6， （1）A，B两点间的距离为AB＝　24　 ；数轴上与A，B两点距离相等的点对应的数是　﹣6　 ； （2）若该数轴上点P满足AP＝2PB，求点P对应的数； （3）如图，点A，B同时分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点P从原点O以每秒8个单位长度的速度向左运动，试求出常数m的值，使得2BP+OA﹣mOP的值不变． 【解答】解：（1）∵点O为原点，数轴上两点A，B分别表示﹣18，6， ∴AB＝6﹣（﹣18）＝24， 设数轴上与A，B两点距离相等的点对应的数是x，那么 x﹣（﹣18）＝6﹣x， 解得x＝﹣6， ∴数轴上与A，B两点距离相等的点对应的数是﹣6， 故答案为：24，﹣6； （2）设点P表示的数为p， ∵该数轴上点P满足AP＝2PB， ∴点P在AB之间，或者P在B的右侧， 当点P在B的右侧，数轴上两点A，B分别表示﹣18，6， ∴AP＝p﹣（﹣18）＝p+18，BP＝p﹣6， ∵AP＝2PB， ∴p+18＝2（p﹣6）， ∴p＝30； 当点P在AB之间，数轴上两点A，B分别表示﹣18，6， ∴AP＝p﹣（﹣18）＝p+18，BP＝6﹣p， ∵AP＝2PB， ∴p+18＝2（6﹣p）， ∴p＝﹣2； 综上，点P对应的数是﹣2或30； （3）设运动时间为t， ∵点A，B同时分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点P从原点O以每秒8个单位长度的速度向左运动， ∴t秒后，A点表示的数为：﹣18﹣6t；P点表示的数为：﹣8t；B点表示的数为：6﹣3t； ∵6﹣3t＞﹣8t， ∴OA＝18+6t，OP＝8t，BP＝（6﹣3t）﹣（﹣8t）＝5t+6， ∴2BP+OA﹣mOP ＝2（5t+6）+18+6t﹣8mt ＝16t+30﹣8mt ＝8t（2﹣m）+30， ∴当2﹣m＝0，即m＝2时，2BP+OA﹣mOP的值不变，永远等于30． 5．如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，|c|＝4，请回答问题： （1）请直接写出a、b、c的值．a＝　﹣1　 ，b＝　1　 ，c＝　4　 ； （2）点P为数轴上一动点，现以点P为折点，将数轴向右对折．若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数． 【解答】解：（1）∵a是最大的负整数， ∴a＝﹣1； ∵b是a的相反数， ∴b＝﹣a＝1； ∵|c|＝4，且c在b右边， ∴c＝4； 故答案为：﹣1，1，4； （2）解：∵对折后点A与点C重合， ∴点P为AC的中点， ∴点P代表的数为． 二．有理数的减法（共1小题） 6．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|．所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？ 探究问题：如图，点A，B，P分别表示的是﹣1，2，x，AB＝3． ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和． ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3， ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3． （1）解决问题，|5﹣（﹣3）|的值是 　8　 ． （2）|x﹣4|+|x+2|的最小值是 　6　 ． （3）当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2． 【解答】解：（1）|5﹣（﹣3）|＝|5+3|＝|8|＝8； 故答案为：8； （2）|x﹣4|+|x+2|的几何意义为：数轴上表示x的点与﹣2和4的距离和， 当﹣2≤x≤4时，|x﹣4|+|x+2|有最小值，最小值为4﹣（﹣2）＝6； 故答案为：6； （3）|x+a|+|x﹣3|表示数轴上x与﹣a和3的距离和， 最小值为|3﹣（﹣a）|＝|3+a|＝2， ∴3+a＝2或3+a＝﹣2， 故a＝﹣1或﹣5． 三．有理数的乘方（共2小题） 7．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小明把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果， 　2　 ，f（4，3）＝ 　　 ； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 　③　 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1； ②f（6，3）＝f（3，6）； ③f（2，a）＝1（a≠0）． （3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），将结果写成幂的形式f（n，a）＝ 　（）n﹣2 ；（结果用含a，n的式子表示） （4）计算：． 【解答】解：（1）f（3，）2， f（4，3）＝3÷3÷3÷3， 故答案为：2，； （2）①对于任何正整数n，当n为奇数时：f（n，﹣1）＝﹣1；故①错误； ②，， ∴f（6，3）≠f（3，6）；故②错误； ③f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故③正确； 故答案为：③； （3）， 故答案为：（）n﹣2； （4） ＝﹣6． 8．综合与探究： 【概念学习】 类比有理数的乘方运算，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ；　﹣2　 ； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式：（﹣3）⑤＝　　 ，　54 ；． （3）算一算：； （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式aⓝ（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程，将结果写成乘方幂的形式．（结果用含a，n的式子表示） 【解答】解：（1）根据题中“圈n次方”定义：， ①2③， 2③3＝2÷2÷2＝1÷2， ②， （）÷（）÷（）1×（﹣2）＝﹣2， （2）， ； （3）； （4） 四．有理数的混合运算（共2小题） 9．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的滴滴公司开展“打滴计费”的实践活动． 【实践发现】司机介绍说：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间来计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．收费标准如： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 【实践探究】根据以上信息解答下列问题： 老师说：若乘客的行车里程为2公里，行车时间为4分钟，则付费计算为1.8×2+0.45×4＝5.4元 【问题解决】 （1）小东问：“照老师这么算，如果我行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元？” （2）小明问：“如果行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则我应付车费多少元？”（用含a、b的代数式表示，并化简）． （3）司机又说：“如果小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，这两人下车时所付车费一样．”你赞同司机的说法吗？请同学们说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，1.8×5+0.45×10＝13.5（元）， 答：需付车费13.5元． （2）当a≤10时，小明应付费（1.8a+0.45b）元； 当a＞10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4（a﹣10）＝（2.2a+0.45b﹣4）元． （3）赞同．理由如下： 由题意，可设小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、（a﹣24）分钟， 则小王应付车费1.8×9.5+0.45a＝17.1+0.45a． 小张应付车费1.8×14.5+0.45（a﹣24）+0.4×（14.5﹣10）＝17.1+0.45a． 因此，赞同，两人车费一样多． 10．根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动？ 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为180cm的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为50cm，B到右挡板的距离为30cm，A、B两球相距40cm． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若A球在数轴上表示坐标原点，B球表示的数为40，则C球表示的数为 　﹣60　 ，右挡板E表示的数为 　70　 ． 任务2 碰撞实验中，若A球以每秒10cm的速度向右匀速运动，从原点开始计时，请分别求出B球第一次和第二次撞向右挡板E的时间． 任务3 在任务1、2的条件下，当3个钢球运动的路程和为650cm时，C球在数轴上表示的数是 　﹣70　 ．（直接写出答案） 【解答】解：任务1：根据题意得：AC＝180﹣50﹣40﹣30＝60（cm），AE＝40+30＝70（cm）， ∵若A球在数轴上表示坐标原点，则C球在数轴的负半轴，右挡板E在数轴的正半轴， ∴C球表示的数为﹣60，右挡板E表示的数为70． 故答案为：﹣60，70； 任务2：根据题意得：70÷10＝7（秒）； （180×2+70）÷10＝43（秒）． 答：B球第一次撞向右挡板E的时间为7秒，B球第二次撞向右挡板E的时间为43秒； 任务3：AD＝180﹣70＝110（cm）， ∵左挡板D在数轴的负半轴， ∴左挡板D表示的数为﹣110． 根据题意得：C球的运动范围为﹣110～﹣60；A球的运动范围为﹣60～40；B球的运动范围为40～70． ∵650﹣（70+180+180+180）＝40， ∴当3个钢球运动的路程和为650cm时，C球在运动，此时离左挡板D的距离为40cm， ∴此时C球在数轴上表示的数是﹣110+40＝﹣70． 故答案为：﹣70． 五．有理数的混合运算（共1小题） 11．定义以下两种新运算： ①a⊕b＝4a+b，例如：1⊕3＝4×1+3＝7；3⊕（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11； ②[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.2]＝2；[﹣1.34]＝﹣2． 根据以上规则，计算下列各式的值， （1）3⊕（﹣2）＝　10　 ； （2）①[3.2]＝　3　 ，②[﹣3.56]＝　﹣4　 ； （3）若m＝1⊕，n＝2⊕，求[m]+[n]的值．（写出过程） 【解答】解：（1）∵a⊕b＝4a+b， ∴3⊕（﹣2）＝4×3+（﹣2）＝12﹣2＝10， 故答案为：10； （2）[x]是不超过x的最大整数， ①[3.2]＝3， 故答案为：3； ②[﹣3.56]＝﹣4， 故答案为：﹣4； （3）∵m＝1⊕， ∴m＝4×1+（）， ∴[m]＝[3.5]＝3， ∵n＝2⊕， ∴n＝4×2+（）， ∴[n]＝[﹣1.5]＝﹣2， ∴[m]+[n]＝3+（﹣2）＝1． 六．列代数式（共2小题） 12．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元，国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的90%付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）． （1）若该客户按方案一购买，需付款　（200x+16000）　 元（用含x的式子表示）； 若该客户按方案二购买，需付款　（180x+18000）　 元（用含x的式子表示）； （2）当x＝30时，通过计算说明此时方案一还是方案二购买较为合算； （3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案并计算所花的钱数． 【解答】解：（1）若该客户按方案一购买， 需付款1000×20+200（x﹣20） ＝20000+200x﹣4000 ＝（200x+16000）元； 若该客户按方案二购买， 需付款20×0.9×1000+200×0.9x ＝（180x+18000）元． 故答案为：（200x+16000）；（180x+18000）． （2）当x＝30时，方案一费用200×30+16000＝22000（元）， 方案二费用180×30+18000＝23400（元）， 由22000＜23400，则按方案一购买较合算． （3）先按方案一购买20套西装赠送20条领带，再按方案二购买10条领带， 则此时应付的费用为1000×20+200×10×90% ＝20000+1800 ＝21800（元）， 答：先按方案一购买20套西装赠送20条领带，再按方案二购买10条领带，共花费21800元． 13．【解决问题】 （1）数轴上有理数﹣6与1对应的两点之间的距离是　7　 ； （2）数轴上有理数m与﹣4对应的两点之间的距离是　|m+4|　 （用含m的式子表示）； （3）若数轴上有理数n与﹣1对应的两点之间的距离是5，求n的值，并写出你的计算过程． 【拓展应用】 点M，N，P是数轴上的三个点，其中，点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3，点P表示的数为x． 若点P在M，N之间，则|x+3|+|x﹣2|＝　5　 ； 若|x+3|+|x﹣2|＝10，则x＝　4.5或﹣5.5　 ． 【解答】解决问题：（1）由数轴上两点间的距离公式得：|1﹣（﹣6）|＝7， 故答案为：7； （2）由数轴上两点间的距离公式得：|m﹣（﹣4）|＝|m+4|， 故答案为：|m+4|； （3）若数轴上有理数n与﹣1对应的两点之间的距离是5， 由两点间的距离公式得：|n﹣（﹣1）|＝5， ∴|n+1|＝5， ∴n+1＝±5， ∴n＝4或﹣6， 拓展应用： 由题意可得：点P在M，N之间时，﹣3≤x≤2， ∴|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5； 故答案为：5； 若|x+3|+|x﹣2|＝10，则点P不在M，N之间， ①当P在N左侧，即x＜﹣3时， 则|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3+2﹣x＝10， 解得：x＝﹣5.5； ②当点P在M的右侧，即x＞2时， 则|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝10， 解得：x＝4.5． 故答案为：4.5或﹣5.5． 七．代数式求值（共1小题） 14．某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（x＞2）． （1）若该客户按方案一购买，需付款 　（200x+1200）　 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款 　（180x+1440）　 元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝5时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【解答】解：（1）若该客户按方案一购买，需付款800×2+（x﹣2）×200＝200x+1200元， 若该客户按方案二购买，需付款（800×2+200x）×90%＝180x+1440元； 故答案为：（200x+1200）；（180x+1440）； （2）当x＝5时，方案一；200×5+1200＝2200（元）； 方案二：180×5+1440＝2340（元）， 因为2200＜2340， 所以按方案一购买较合算． 八．规律型：数字的变化类（共1小题） 15．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　　 ＝　　 ； （2）用含n的式子表示第n个等式：an＝　　 ＝　　 （n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+…+a2025的值． 【解答】解：（1）由题意得：， 故答案为：，； （2）观察式子可得，分母为两个连续奇数相乘， ∴． 故答案为：，． （3）原式 ． 九．规律型：图形的变化类（共1小题） 16．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 如图，数学活动课上，小颖将一张面积为2的长方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推． 认真观察图形，解答下列问题： （1）图中阴影部分的面积为　　 （直接写出答案）； （2）　2　 （直接写出答案）； （3）请类比（2），求的值． 【解答】解：（1）①的面积为， ②的面积为， ③的面积为：，…， ∴⑥和⑦的面积为； 故答案为：； （2）的和可以看作（1）中大长方形的面积减去阴影部分的面积， ∴； 故答案为：2； （3）． 十．多项式（共2小题） 17．已知多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． （1）a＝　﹣10　 ，b＝　20　 ，线段AB＝　30　 ； （2）若数轴上有一点C，使得ACBC，点M为AB的中点，求MC的长； （3）有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GEGB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值． 【解答】解：（1）由题意知：a+10＝0，b＝20， ∴a＝﹣10， ∴AB的距离为20﹣（﹣10）＝30； 故答案为﹣10，20，30； （2）分两种情况： ①当点C在AB之间时，如图1， ∵ACBC，AB＝30， ∴AC＝18， ∵M是AB的中点， ∴AM＝15， ∴CM＝18﹣15＝3； ②当点C在点B的右侧时，如图2， ∵ACBC，AB＝30， ∴AC＝90， ∵AM＝15， ∴CM＝90﹣15＝75； 综上，CM的长是3或75； （3）由题意得：点G表示的数为：﹣10+t，点H表示的数为：20t， ∵t＜30，AB＝30， ∴点G在线段AB之间， ∵D为BG的中点， ∴点D表示的数为：5t， ∵F是DH的中点， ∴点F表示的数为：， ∵BG＝20﹣（﹣10+t）＝30﹣t， ∵EGBG， ∴EG10t， ∴点E表示的数为：﹣10+t+10tt， ∴DE+DF ＝（5t）t（5t） ． 18．如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且a是多项式﹣3x2﹣4x+1的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． （1）由题意可得：a＝　﹣3　 ，b＝　1　 ，c＝　8　 ． （2）点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当t＝2时，分别求AC、AB的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，3AC﹣5AB的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出3AC﹣5AB的值． 【解答】解：（1）∵a是多项式﹣3x2﹣4x+1的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c， ∴a＝﹣3，b＝1，c＝8． 故答案为：﹣3；1；8； （2）①∵AC＝t+4t+8﹣（﹣3）＝5t+11，AB＝t+2t+1﹣（﹣3）＝3t+4， ∴当t＝2时， AC＝5t+11＝21， AB＝3t+4＝10； ②不改变，理由如下： ∵AB＝t+2t+4＝3t+4，AC＝t+4t+11＝5t+11， ∴3AC﹣5AB＝3（5t+11）﹣5（3t+4） ＝15t+33﹣15t﹣20 ＝13， ∴3AC﹣5AB的值不随着时间t的变化而变化，值为13． 十一．整式的加减（共1小题） 19．阅读材料： 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题： （1）最小的“欢喜数”是 　110　 ，最大的“欢喜数”是 　990　 ； （2）若某“欢喜数”的百位数字为a，十位数字为b，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； （3）若“欢喜数”m为奇数，且十位数字比个位数字大n（n为大于4而小于7的整数），且m能被3整除，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”m． 【解答】解：（1）由“欢喜数”的定义可知最小的“欢喜数”是110，最大的“欢喜数”是990， 故答案为：110，990； （2）由题意可知，该“欢喜数”个位数字为b﹣a， ∴100a+10b+b﹣a＝99a+11b＝11（9a+b）， ∴这个“欢喜数”是11的倍数； （3）∵m为奇数， ∴m的个位数字为奇数， ∵m的十位数字比个位数字大n， ∴该“欢喜数”的百位数字为n． ∵n为大于4而小于7的整数， ∴n＝5或6， ∴该“欢喜数”的个位数字小于等于4， ∴该“欢喜数”的个位数字为1或3． 分类讨论：当①该“欢喜数”的个位数字为1时，当n＝5时，此时十位数字为6，该“欢喜数”为561，能被3整除，符合题意； 当n＝6时，此时十位数字为7，该“欢喜数”为671，不能被3整除，不符合题意； ②该“欢喜数”的个位数字为3时，当n＝5时，此时十位数字为8，该“欢喜数”为583，不能被3整除，不符合题意； 当n＝6时，此时十位数字为9，该“欢喜数”为693，能被3整除，符合题意． 综上可知，符合条件的“欢喜数”m为561或693． 十二．整式的加减—化简求值（共1小题） 20．阅读材料：我们知道5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，类似的，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）+3（a+b）﹣4（a+b）＝（5+3﹣4）（a+b）＝4（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2+5（a﹣b）2﹣2（a﹣b）2的结果为　6（a﹣b）2 ； （2）已知m+n＝12，2a﹣3b＝8，求3m+6a﹣（9b﹣3n）的值； 拓展探索： （3）已知a﹣2b＝5，2b﹣c＝﹣4，c﹣d＝9，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值． 【解答】解：（1）原式＝（3+5﹣2）（a﹣b）2 ＝6（a﹣b）2； 故答案为：6（a﹣b）2； （2）∵m+n＝12，2a﹣3b＝8， ∴原式＝3m+6a﹣9b+3n ＝3m+3n+6a﹣9b ＝3（m+n）+3（2a﹣3b） ＝3×12+3×8 ＝60； （3）∵a﹣2b＝5，2b﹣c＝﹣4，c﹣d＝9， ∴原式＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c ＝a﹣2b+2b﹣c+c﹣d ＝（a﹣2b）+（2b﹣c）+（c﹣d） ＝5+（﹣4）+9 ＝10． 十三．一元一次方程的应用（共7小题） 21．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是　﹣4　 ，点P表示的数是　6﹣6t （用含t的式子表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P运动t秒的长度为6t， ∴P所表示的数为：6﹣6t； 故答案为：﹣4，6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②当P不超过Q时，则10+4t﹣6t＝8， 解得t＝1； 当P超过Q时，则10+4t+8＝6t， 解得t＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 22．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N之间的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN＝n﹣m． 如图，a，b，c满足3xby3是5次单项式，且（c﹣8）2+|a+2|＝0． 请回答下列问题： （1）填空：a＝　﹣2　 ；b＝　2　 ；c＝　8　 ； （2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，点P在A，B之间运动时，请化简：2|x+2|﹣3|x﹣2|+|x+8|； （3）在（1）（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：t秒时，是否存在m．使得BC﹣AB的值不随着时间t的变化而变化？若存在，求出m；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵3xby3是5次单项式， ∴b+3＝5， ∴b＝2， ∵（c﹣8）2+|a+2|＝0． ∴c﹣8＝0，a+2＝0， ∴c＝8，a＝﹣2． 故答案为：﹣2；2；8； （2）由题意，∵﹣2＜x＜2， ∴x+2＞0，x﹣2＜0，x+8＞0， ∴|x+2|＝x+2，|x﹣2|＝﹣（x﹣2），|x+8|＝x+8， ∴2|x+2|﹣3|x﹣2|+|x+8| ＝2（x+2）+3（x﹣2）+（x+8） ＝2x+4+3x﹣6+x+8 ＝6x+6； （3）由题意，分两种情形分析： ⅰ）当点A以每秒m个单位长度的速度向左运动时， 由题意得，运动t秒后，点A、B、C表示的数分别为﹣2﹣mt，2+t，8+3t， ∴AB＝2+t﹣（﹣2﹣mt）＝4+t+mt，BC＝8+3t﹣（2+t）＝2t+6， ∴BC﹣AB＝2t+6﹣4﹣t﹣mt＝（1﹣m）t+2， ∵BC﹣AB不随时间的变化而变化， ∴1﹣m＝0， ∴m＝1， ∴存在m＝1，使得BC﹣AB的值不随着时间t的变化而变化； ⅱ）当点A以每秒m个单位长度的速度向右运动时， 由题意得，①A在B的左边时，运动t秒后，点A、B、C表示的数分别为﹣2+mt，2+t，8+3t， ∴AB＝2+t﹣（﹣2+mt）＝4+（1﹣m）t，BC＝8+3t﹣（2+t）＝2t+6， ∴BC﹣AB＝2t+6﹣4﹣t+mt＝（1+m）t+2， ∵BC﹣AB不随时间的变化而变化， ∴1+m＝0， ∴m＝﹣1（不符合题意，舍去）， ②A在B的右边时，运动t秒后，点A、B、C表示的数分别为﹣2+mt，2+t，8+3t， ∴AB＝（﹣2+mt）﹣t﹣2＝（m﹣1）t﹣4，BC＝8+3t﹣（2+t）＝2t+6， ∴BC﹣AB＝2t+6+4+t﹣mt＝（3﹣m）t+10， ∵BC﹣AB不随时间的变化而变化， ∴3﹣m＝0， ∴m＝3． ∵m＝3时，0≤t＜2段BC﹣AB＝2+4t，随t变化， ∴m＝3，不合题意． 综上，存在，m＝1． 23．【问题情境】如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，a是多项式3x2﹣4x+1的一次项系数，b是绝对值最小的有理数，点C表示的数为8，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． 【观察思考】 （1）a＝　﹣4　 ；b＝　0　 ； （2）若点P到点A、点C的距离相等，则x＝　2　 ； （3）若点P到点B、点C的距离之和为10，则x＝　9或﹣1　 ； 【深入探究】 （4）若点P从点A以每秒0.4个单位长度，同时点Q从点B出发以每秒0.2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．ts后，点P与点B之间的距离能和点Q与点B之间的距离相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可知 多项式3x2﹣4x+1的一次项系数﹣4， ∴a＝﹣4． ∴b是绝对值最小的有理数， ∴b＝0， 故答案为：﹣4，0． （2）∵点A表示﹣4，点C表示8，P是AC的中点， ∴． 故答案为：2； （3）依题意得 当点P在点C右边时，（x﹣0）+（x﹣8）＝10， 解得x＝9． 当点P在点B左边时，（0﹣x）+（8﹣x）＝10， 解得x＝﹣1； 故答案为：9或﹣1； （4）能，理由如下： 当点P在点B右侧时，0.4t﹣[0﹣（﹣4）]＝0.2t， 解得t＝20， 当点P在点B左侧时，0﹣（﹣4）﹣0.4t＝0.2t， 解得， 或t＝20． 24．阅读理解：若A、B、C为数轴上任意三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的好点．例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2．那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点． 知识运用： （1）在图1中，点A是　（C，D）　 的好点，点B是　（D，C）　 的好点；（选用A，B，C，D表示，不能添加其它字母） （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则数　2或10　 所表示的点是（M，N）的好点； （3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40；现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位/秒速度向左运动，到达A点时停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，点P，A，B中恰有一点是其他两个点的好点？ 【解答】解：（1）∵A＝﹣1，D＝0，C＝1，B＝2， ∴AC＝2，AD＝1， ∴点A是（C，D）的好点； ∵A＝﹣1，D＝0，C＝1，B＝2， ∴BD＝2，BC＝1， ∴点B是（D，C）的好点； 故答案为：（C，D）；（D，C）； （2）设（M，N）的好点表示的数为x， 根据题意得：|x﹣（﹣2）|＝2|x﹣4|， 即x+2＝2（4﹣x）或x+2＝2（x﹣4）， 解得：x＝2或x＝10， ∴数2或10所表示的点是（M，N）的好点． 故答案为：2或10； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为40﹣4t，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40； ①P是（A，B）的好点， 若PA＝2PB， 根据题意可得，40﹣4t﹣（﹣20）＝2[40﹣（40﹣4t）]， 解得：t＝5； ②P是（B，A）的好点， 若PB＝2PA， 根据题意可得，40﹣（40﹣4t）＝2[40﹣4t﹣（﹣20）]， 解得：t＝10． ③A是（B，P）的好点，则AB＝2AP， 根据题意可得，40﹣（﹣20）＝2[40﹣4t﹣（﹣20）] 解得t＝7.5； ④若B是（A，P）的好点，则BA＝2BP， 根据题意可得，40﹣（﹣20）＝2[40﹣（40﹣4t）] 解得t＝7.5， t＝7.5时A、B均为好点，不满足恰有一点， 综上，当t为5或10秒时，点P，A，B中恰有一点是其他两个点的好点． 25．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离AB可表示为： ①AB＝b﹣a（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）； ②AB＝|b﹣a|＝|a﹣b|（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为． 【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为﹣3，点B表示的数为2，P是数轴上一动点． （1）则A、B两点间的距离AB＝　5　 ，A、B两点的中点M表示的数为　﹣0.5　 ． （2）若A、P两点间的距离AP＝3，则点P表示的数为　﹣6或0　 ；此时A、P两点的中点表示的数为　﹣4.5或﹣1.5　 ． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （3）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为　﹣10+2t，　 ；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为　8﹣3t ； （4）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度． 【解答】解：（1）由题意可得：AB＝2﹣（﹣3）＝5， 点M在数轴上所对应的数为． 故答案为：5，﹣0.5； （2）设点P表示的数为p， ∵若A、P两点间的距离AP＝3，点A在数轴上所对应的数为﹣3， 当P点在A点右边时，则P点的数为：p＝﹣3+3＝0， 此时A、P两点的中点表示的数为， 当P点在A点左边时，则P点的数为：p＝﹣3﹣3＝﹣6， 此时A、P两点的中点表示的数为， ∴P点表示的数为﹣6或0，A、P两点的中点表示的数为﹣4.5或﹣1.5； 故答案为：﹣6或0；﹣4.5或﹣1.5； （3）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：﹣10+2t， 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为：8﹣3t， 故答案为：﹣10+2t，8﹣3t； （4）设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距4个单位长度， 当点A在点B右侧时：﹣10+2t﹣（8﹣3t）＝4， 解得； 当点A在点B左侧时：8﹣3t﹣（﹣10+2t）＝4， 解得； 答：A、B两点经过秒或秒会相距4个单位长度． 26．如图，已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．在数轴上，若点M，N表示的数分别为m，n，我们把m，n之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|m﹣n|． （1）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是　﹣3≤x≤1　 ； （2）当x＝　2或﹣4　 时，点P到点A、点B的距离之和是6； （3）若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动，同时点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动，点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动．设运动时间为t秒，那么当点P到点E，点F的距离相等时，求t的值． 【解答】解：（1）由题意得，点P与点A、B之间的距离分别为|x+3|，|x﹣1|， ∴点P到点A，点B的距离之和为PA+PB＝|x+3|+|x﹣1|， ∴当P在A、B之间时，PA+PB最小，最小值为4，此时﹣3≤x≤1． 故答案为：﹣3≤x≤1； （2）由（1）可知，当P在B的右侧或A的左侧时，点P到点A、点B的距离之和是6， ∴2x+2＝6或﹣2x﹣2＝6， ∴x＝2或﹣4， 故答案为：2或﹣4； （3）由题意，设运动的时间为t秒，则点P表示数﹣3t，点E表示数﹣3﹣t，点F表示的数是1﹣4t， ∴PE＝|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|3﹣2t|，PF＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|＝|t﹣1|， ∴|3﹣2t|＝|t﹣1|， ∴3﹣2t＝t﹣1或3﹣2t＝1﹣t， ∴或t＝2． 27．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣4，10，点P为数轴上一动点，对应的数为x． （1）若点P到点A，点B的距离相等，请求出x的值； （2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为20？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； （3）一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点A的运动的时间为t秒．请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时t的值． 【解答】解：（1）由题意得： x﹣（﹣4）＝10﹣x， 解得：x＝3． （2）存在，理由如下： 由题意得：|x+4|+|x﹣10|＝20， 当x＜﹣4时，|x+4|+|x﹣10|＝﹣x﹣4﹣x+10＝20， 解得：x＝﹣7， 当﹣4≤x＜10时，|x+4|+|x﹣10|＝x+4﹣x+10＝20， 即：14＝20，不符合题意，舍去， 当x≥10时，|x+4|+|x﹣10|＝x+4+x﹣10＝20， 解得：x＝13， 综上所述：x＝﹣7或13． （3）当甲，乙两小球到原点的距离第一次相等时， 依题意得：t+4＝10﹣2（t﹣2）， 解得：t（秒）； 当甲，乙两小球到原点的距离第二次相等时， 甲、乙两小球相遇时，时间为： 2（t﹣2）﹣（t+4）＝10， 解得：t＝18（秒）， 此时甲、乙两小球与原点的距离为：18+4＝22， 当乙小球追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动时， 则：t+4＝2（t﹣2）﹣（10+2×22）， 解得：t＝62秒， 综上所述：甲，乙两小球到原点的距离相等时t的值为：秒或18秒或62秒． 十四．一元一次方程的应用（共1小题） 28．如图，按如下规律排列的一组数字，并用“十”字型方框选取5个数． （1）数字2013在第　224　 行，第　6　 列； （2）由五个数组成的“”中： ①这五个数的和可能是2014吗？为什么？ ②如果这五个数的和是100，直接写出这五个数； （3）这五个数的和能否是2025？若能请求出这5个数；若不能请说明理由． 【解答】解：（1）观察规律，每行9个数，计算2013÷9＝223余6， 即前面排满223行（共223×9＝2007个数）， 2013是第224行的第6个数， 答：数字2013在第224行，第6列， 故答案为：224，6； （2）①“十”字框中5个数的位置关系： 设中心数为c，则上方c﹣9，下方c+9，左方c﹣1，右方c+1， 所以五个数之和为（c﹣9）+（c+9）+（c﹣1）+（c+1）+c＝5c， 即五个数之和恒为中心数的5倍， 而2014÷5＝402.8，不是整数，即2014不是5的倍数， 答：不可能．理由：五个数之和是中心数的5倍，必为5的倍数，而2014不是5的倍数； ②若五个数之和为100，则中心数为100÷5＝20， 于是五个数分别为20﹣9＝11，20﹣1＝19，20，20+1＝21，20+9＝29， 答：这五个数是11、19、20、21、29； （3）若五个数之和为2025， 则中心数为2025÷5＝405， 但405＝9×45，说明405排在第45行的第9个数，即位于最右边一列， “十”字框要求中心数的左侧、右侧都有同一行相邻的数，而第9列右边没有同一行的数，因此405不能作为“十”字框的中心， 答：不能．理由：和为2025时中心数为405，而405位于第45行第9列（最右列），无法构成“十”字框． 十五．展开图折叠成几何体（共1小题） 29．在手工制作课上，老师要求学生准备了刻度尺，剪刀，粘接剂等用具，以及如图1所示的长方形卡纸ABCD．该长方形卡纸的长为xcm，宽为ycm．制作中，先按要求设计制作方案，在图中画出制作示意图：用实线表示裁剪线、虚线表示折叠线，剪除部分用斜线标注阴影． （1）要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个无盖的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿参与做成长方体开口的边沿）． ①在图1中画出制作示意图； ②裁剪线长用a，b，c…等字母，在你的制作示意图中标注裁剪线长，并列代数式表示其体积（不必化简）； （2）要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个封闭的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿都参与做成长方体纸盒的棱）． ③在图2中小明同学已画好了一条折叠线所在的虚线EF，请你在此基础上帮小明画完制作示意图； ④若③中裁剪出的正好是底面是正方形、高AE为1cm的长方体纸盒的展开图，那么该卡纸的长与宽的数量x、y应满足怎样的等量关系？ 【解答】解：（1）①如图1，制作示意图如下： ②由①图可知，折叠成长方体的长为x﹣2a，宽为y﹣2a，高为a， 所以这个长方体的体积为（x﹣2a）（y﹣2a）a； （2）③如图2，制作示意图如下： ④如图2，由题意可知，AB＝ycm，AD＝xcm，AG＝BH＝AE＝HN＝KP＝1cm， ∴GH＝MN＝（y﹣2）cm， 又∵底面是正方形， ∴MK＝MN＝EO＝PQ＝（y﹣2）cm， ∴AD＝2×1+2（y﹣2）＝（2y﹣2）cm，即x＝2y﹣2， ∴长方形卡纸的长与宽的数量x、y应满足yx+1． 十六．由三视图判断几何体（共1小题） 30．用几个大小相同的小立方块搭成一个几何体． （1）如果这个几何体从上面看的形状图如图①所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； （2）若这个几何体从正面、左面看到的形状图都是图②，请画出从上面看到的几何体的形状图； （3）在（2）中从正面、左面看到的形状图都是图②的几何体是不是唯一的？如果不唯一，请画出小立方块最少和最多两种情况从上面看到的几何体的形状图，并标出在该位置的小立方块的个数． 【解答】解：（1）由题意，作图如下： （2）由题意，作图如下： （答案不唯一） （3）在（2）中从正面、左面看到的形状图都是图②的几何体不是唯一的， ∴可以作图如下： 小立方块最少的从上面看的形状： 小立方块最多的从上面看的形状： 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $