专题12 期中复习 易错题型专项练习 -2026-2027学年北师大版九年级数学上册
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内容正文：
专题12 期中复习易错20大题型
范围：第一章-第三章
题型 1 菱形、矩形、正方形性质与判定辨析
题型 2 特殊四边形面积计算
题型 3 矩形折叠问题，勾股定理列方程求线段
题型 4 中点四边形形状判定，由原四边形对角线判断
题型 5 直角三角形斜边中线定理应用
题型 6 一元二次方程概念辨析
题型 7 配方法解方程
题型 8 根的判别式 Δ 求参数范围
题型 9 韦达定理代数式求值（忽略 Δ≥0）
题型 10 一元二次方程实际应用题
题型 11 含参一元二次方程整数根问题
题型 12 比例线段、等比性质
题型 13 平行线分线段成比例、A 字、8 字模型比例列式
题型 14 相似三角形判定辨析
题型 15 相似多边形周长比、面积比
题型 16 位似图形坐标变化
题型 17 一线三等角相似证明与线段计算
题型 18 动点三角形相似存在性
题型 19 射影定理模型线段等积式推导计算
题型 20 相似 + 特殊平行四边形综合求线段、面积比值
题型 1 菱形、矩形、正方形性质与判定辨析
1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【答案】C
【详解】解：菱形和矩形的对角都相等，对角线都互相平分，即A、B选项不符合题意，
菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，C选项符合题意，
矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，D选项不符合题意，
故答案为C．
2．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形
C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形的判定方法进行判断即可.
【详解】解：∵当时，是菱形；
当时，是菱形；
当时，是矩形；
∴正确，错误，
故选：.
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是菱形
【答案】C
【详解】解：A．仅对角线相等无法判定四边形是矩形，错误；
B、D．仅满足对角线互相垂直或互相平分单一条件，无法判定四边形是菱形，错误；
C．对角线相等的菱形是正方形，正确．
题型 2 特殊四边形面积计算
4．已知菱形的两条对角线长分别为和，则与此菱形面积相等的正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用菱形对角线求面积的公式计算菱形面积，从而确定正方形面积，结合正方形面积公式求解边长．
【详解】解：菱形面积为，
∴正方形面积也为．
设正方形边长为，由面积相等得，
∵，
∴．
5．如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是的中点，连接，若，，，则矩形的面积是（ ）
A．190 B．192 C．194 D．196
【答案】B
【分析】根据四边形是矩形得到，根据F，G分别是，的中点，且，，得到，，，设根据勾股定理列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵F，G分别是，的中点，且，，，
∴，，，
设，则，，
由勾股定理得，
解得：，
∴，
∴．
6．如图，在菱形中，，，为等边三角形，点E，F分别在、上滑动，且E，F不与B、C，D重合，则四边形的面积是（ ）
A． B．4 C．3 D．
【答案】D
【分析】连接，过点A作于点G，通过菱形的性质得出为等边三角形，进而可证，从而有，则可以得出四边形的面积，然后利用含30度角的直角三角形性质及勾股定理求出的长度，利用求面积即可．
【详解】解：连接，过点A作于点G，
∵四边形是菱形， ，
，，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
，，
，
，
在和中,
，
，
∴四边形的面积，
，，
，
，
，
，
∴四边形的面积是．
题型 3 矩形折叠问题，勾股定理列方程求线段
7．如图，在矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出，由折叠得出，即可求出结论．
【详解】解：在矩形中，，，，
，
∵沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，
∴，
∴．
8．如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由对折得，结合折叠知，，连接，通过证明是等边三角形，推出，进而推出，再在中利用角对边是斜边一半结合勾股定理求出长度．
【详解】解：如图，连接，
根据题意可知，为中点，为中点，，
四边形为矩形，
，
，
由沿折叠得到，
，
，，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，即，
解得，
故．
9．如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据矩形的性质可得，由勾股定理解得；由折叠的性质可得，进而可得，；设，则，利用勾股定理解得的值，即可获得答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，，，
∴，
∴，
∵将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，
即，解得，
∴．
题型 4 中点四边形形状判定，由原四边形对角线判断
10．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形，若对角线，则中点四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】由三角形中位线定理和已知条件可推出，则中点四边形是菱形．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点E、F、G、H分别是的中点，
∴由三角形中位线定理可得，
∵，
∴，
∴中点四边形是菱形．
11．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】B
【分析】连接矩形对角线，利用三角形中位线定理与矩形对角线相等的性质判定所得四边形形状．
【详解】解：设矩形的边的中点分别为，
连接，
∵ 四边形是矩形，
∴ ，
∵ 是的中位线，
∴ ，，
同理，，，，，
∴ ，，
∴ 四边形是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ 平行四边形是菱形．
12．顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是______．
【答案】菱形
【分析】利用三角形中位线性质先证明所得四边形是平行四边形，再结合矩形对角线相等的性质得到平行四边形邻边相等，即可判定四边形形状．
【详解】解：连接矩形的对角线和，设分别为的中点，
∵是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得：，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
题型 5 直角三角形斜边中线定理应用
13．如图，公路与互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为____________．
【答案】
1.2
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
【详解】解：公路与互相垂直，
，
是直角三角形，
点是的中点，的长为，
，
即，两点间的距离为．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含角的放在第一象限，其中角的对边长为2，斜边的端点A、B分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长度的最大值是__________．
【答案】
【分析】取的中点，连接、，根据含角的直角三角形的性质，求出，根据三角形的三边关系可知，推出当、、共线时，的值最大，即可得出答案．
【详解】解：取的中点，连接、．
∵,,，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当、、共线时，的值最大，此时，
∴的长度的最大值是4．
15．如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出．
【详解】解：连接．
∵，E是的中点，
∴，
又∵F是的中点，
∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵，
∴．
题型 6 一元二次方程概念辨析
16．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断方程是否为整式方程，再验证剩余选项的二次项系数与未知数最高次数
【详解】解：A、展开得，整理得，是一元二次方程；
B、D均为分式方程，不是一元二次方程；
C、未说明，不一定是一元二次方程.
17．已知方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可求解．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴且.
解得．
18．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．3或
【答案】C
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程，
∴ ，且．
解，得或．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型 7 配方法解方程
19．解方程：（用配方法）．
【答案】，
【分析】首先进行移项，将常数项移到等号右侧，然后配方，构造完全平方式，直接开平方求解．
【详解】
，
20．阅读下列用配方法解方程：的解题过程，解决下列问题．
解：①
②
③
或④
，⑤
(1)该解题过程从第__________步开始出错（填序号）；
(2)请你写出正确的解答过程（用配方法）．
【答案】(1)②
(2)解：，
整理得，
配方得，即，
，
∴，．
【详解】（1）解：该解题过程从第②步开始出错；
（2）略
题型 8 根的判别式 Δ 求参数范围
21．已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：将原方程整理为一般形式得．
∵该一元二次方程有实数根，
∴，即，
整理得，
解得．
22．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解.
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，即，
∵方程有实数根，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，的取值范围是且.
23．若关于的方程有两个相等的实根，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用，根据“一元二次方程有两个相等实根时，根的判别式等于”，列出等式计算即可．
【详解】因为方程有两个相等的实根，可得
解得：
题型 9 韦达定理代数式求值（忽略 Δ≥0）
24．已知一元二次方程有两个根，则的值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的根与系数关系定理，求代数式的值，解答即可．
【详解】解：∵ 一元二次方程为，
∴ 由根与系数的关系得，，
∴ ．
25．已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．5 B．9 C．13 D．11
【答案】C
【详解】解：由根与系数的关系得，，，
．
26．已知是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将所求分式通分变形为含两根和与两根积的形式，利用根与系数的关系代入计算．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴由根与系数的关系得，，，
∴．
题型 10 一元二次方程实际应用题
27．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】表示出第二天和第三天票房，然后根据“三天后累计票房收入达2亿元”列方程．
【详解】解：∵第一天票房约0.5亿元，增长率为，
∴第二天票房为亿元，第三天票房为亿元，
根据题意得，．
28．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为元时，平均每月售出个；若售价每下降元，其月销售量就增加个．
(1)若售价下降元，每月能售出________个头盔，若售价下降元（），每月能售出____________个头盔；
(2)为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为个头盔的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个头盔的售价．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先算出每降价元多卖的头盔数量，再用原有销量加上增加的销量，得到对应销量和表达式；
（2）设降价元，表示出单件利润和销量，列利润方程求解，再根据库存上限舍去不合题意的解，算出最终售价．
【详解】（1）解：已知售价每下降元，其月销售量就增加个，
则售价每下降元，其月销售量就增加个，
可知售价每下降元，每月能售出个头盔，
故售价下降元，每月能售出个头盔．
（2）解：设每个头盔降价元，
降价以后每个头盔的利润为元，
降价后头盔的销售量为个，
根据题意可得，即，
解得，，
已知库存为个头盔，
可得，
解得，
则，
故每个头盔的售价为元．
29．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
(1)填空：，___________（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)0秒或2秒
(3)1
【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，，可以求得；
（2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为 据此求出值；
（3）根据题干信息使得五边形的面积等于的值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，则的面积为，由此求得值．
【详解】（1）解：点从点开始沿边向终点以的速度移动， ，故为；
（2）解：由题意得： ，
解得： ， ；
当秒或秒时，的长度等于；
（3）解：存在 秒，能够使得五边形的面积等于．
理由如下：
长方形的面积是： ，
使得五边形的面积等于，则的面积为 ，
，
解得： 不合题意舍去， ．
即当 秒时，使得五边形的面积等于．
30．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米．
(1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？
【答案】(1)
(2)米
【分析】（1）属于典型的增长率问题，需利用公式“增长后的量=增长前的量×（增长率）”建立方程．设出增长率，根据两年后的面积列方程，并根据实际意义（增长率为正数）对解进行取舍．
（2）属于几何图形面积问题，需根据图形特征（一边靠墙、中间有隔断）和板材长度（含门的宽度）表示出长方形的长和宽，然后根据长方形面积列方程，最后根据墙长限制条件对解进行检验．
【详解】（1）解：设这个增长率为x，由题意得：
解得：，（舍去）
答：这个增长率为．
（2）解：设场地的宽为y米，则的长为米，
由题意得：
整理得：
因式分解，得
解得：，．
当时，长为米，
因为，超过了墙长，不符合题意，舍去．
当时，长为米，
因为，符合墙长限制，符合题意．
答：场地的宽为15米．
题型 11 含参一元二次方程整数根问题
31．已知关于x的二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值；
(2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值．
【答案】(1)1
(2)，3，6，
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，一元二次不等式的解法等知识，解题的关键是根据根的判别式列出相关不等式．
（1）根据二次项系数，结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其最小整数值即可；
（2）先根据得到，，再根据a是正整数得到，从而得到x的所有可能整数解，继而求出对应a值，即可得解．根据题意得到x的所有整数解是解题的关键．
【详解】（1）解：关于x的二次方程有两个实数根，
，且．
解得：，
的最小整数值是1；
（2）解：将原方程变形为．
则，，
由于a是正整数，
，即，．
，．
．
当，，，0，1，2时，得a的值为1，6，，3，，1．
，3，6，．
依题意得，当时，有两个整数根，2；
当，6，时，方程只有一个整数根，
综上所述，当，3，6，时，关于x的一元二次方程至少有一个整数根．
32．已知关于x的方程
(1)求证此方程总有实数根
(2)若方程的两个实数根都为整数，求k的值．
【答案】(1)
证明：当时，方程为一元一次方程，此方程有一个实数根；
当时，方程为一元二次方程，
，即，
当k取除以外的任意实数时，此方程总有两个实数根．
综上可得，不论k取何值，此方程总有实数根．
(2)或或或．
【分析】（1）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当利用根的判别式，则一元二次方程必有两个实数根；综合以上即可得证．
（2）题目要求两实数根均为整数，则两实数根的和也应为整数，结合根与系数关系定理即可求解．
【详解】（1）略
（2）方程的两个实数根都为整数，
且方程的两个解之和也为整数，
即是整数，
即是整数，
或或或．
【点睛】本题考查的是一元二次方程中根的判别式和根与系数关系定理的知识点，解题关键是掌握根的判别式及根与系数的关系，易错点是在中未考虑到的情况导致解答不全面．
33．已知实数k使一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)若方程的两根是符号相同的整数，试求实数k的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据一元二次方程有实数根求解即可；
（2）先由根与系数的关系得到，，求出的取值范围，再确定的可能取值情况，即可求解．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根．
∴
解得；
（2）解：设该方程的两根为，
∵方程的两根是符号相同的整数，
∴，
∴，
∴，
则或或，
∴或，
∴或．
题型 12 比例线段、等比性质
34．已知成比例线段．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，，成比例线段，
∴，
∵，，，
∴．
35．下列各组线段是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【分析】根据成比例线段的定义，逐项进行判断即可．
【详解】解：对于选项A：，，
∵，
∴A不符合题意；
同理，选项B中，不符合题意；
选项C中，，，不符合题意；
选项D中，，
∵，
∴D符合题意．
36．四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段，
∴需分情况讨论两线段乘积相等的情况：
若，代入，，，得，解得，
若，代入得，解得，
若，代入得，解得，
∴结合选项仅符合要求．
题型 13 平行线分线段成比例、A 字、8 字模型比例列式
37．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】B
【分析】利用平行线分线段成比例定理，找准、之间、、之间的间隔份数，列出比例式计算的长．
【详解】解：∵五线谱横线互相平行，相邻横线间距相等，
∴．
∵，
∴．
∴．
38．如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（ ）．
A．9 B．7 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：∵，
∴．
∵，，，
∴，
∴．
39．如图，直线，直线m， n相交于点O，且分别与直线a，b，c相交于点A， B， C和点 D，E， F，已知， ， ， ，则的长度是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【详解】解：，
，
，，，
，
，
，
，
即，
．
40．如图，已知，分别为，上的点，且，，若，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例列方程即可得答案．
【详解】解：∵，
，
∵，，
，
．
题型 14 相似三角形判定辨析
41．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；逐一分析各选项即可得出答案．
【详解】解：A．是阴影三角形与的公共角，且有一个角与相等，故阴影三角形与相似，该选项不符合题意，
B．是阴影三角形与的公共角，且有一个角与相等，故阴影三角形与相似，该选项不符合题意，
C．长度不确定，不满足相似三角形的条件，故本选项符合题意，
D．，，，且夹角都为，故阴影三角形与相似，该选项不符合题意．
42．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成图示样子，A为公共顶点，，下列结论正确的是（ ）
① ②
③ ④
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形性质得出，结合图形隐含条件，利用两角对应相等判定三角形相似．
【详解】解：和是全等的等腰直角三角形，，
，
在和中，，，
，故②正确；
，
，
，
又∵，
，
又∵，
，故③正确；
是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故①错误；
与不一定相等，故④错误，
综上所述，正确的是②③．
43．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形相似的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意．
选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意．
选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意．
选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意．
题型 15 相似多边形周长比、面积比
44．已知，若，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，由面积比求对应边的比．
【详解】解：∵．
∴．
∵．
∴．
∴，
即．
故选：．
45．若两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴它们的面积比为．
46．若，它们的周长比为，则对应边与之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，周长比为，
∴与的相似比为，
∴对应边与的比为．
题型 16 位似图形坐标变化
47．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可．
【详解】解：∵ 以原点为位似中心，相似比为，把缩小．
∴ 点的对应点的坐标为或．
即或．
48．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点与的坐标确定位似比，利用位似变换性质求解点的坐标.
【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且的对应点为，
∴位似比为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，即.
49．如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数，位似比为，把缩小，即缩小倍或倍．
【详解】解：∵点，位似中心为原点，位似比为，把缩小，
∴点A的对应点的坐标为或，
即或．
题型 17 一线三等角相似证明与线段计算
50．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）成立；理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）略
（2）略
（3）,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
51．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：．
（2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长．
（3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】
（1）证明：
∴，
∴
∴
∴；
（2）3；（3）4或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等得到，再由，即可证明相似；
（2）证明，得到，代入数据即可求解；
（3）同理可证明，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可求解．
【详解】（1）略；
（2）解：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得：
；
（3）解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∵，
∴不成立；
当时，，
则，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
综上所述：是等腰三角形时，的长为4或．
题型 18 动点三角形相似存在性
52．如图，在矩形 中，，，动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动，同时动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动．设 、 两点移动时间为 （）．
（1）________，____________（用含 的式子表示）；
（2）当运动时间为________秒时， 与 相似．
【答案】
或
【分析】（1）在矩形 中求出对角线的长度，进而解题；
（2）分与两种情况进行讨论即可．
【详解】解：（1）由题意知，，
，，
∴；
（2）如图，当时，
有，
即，
解得；
如图，当时，
有，
即，
解得；
综上所述，当运动时间为或秒时， 与 相似．
53．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为．若两点同时出发，则经过（ ）后，以，，为顶点的三角形与相似．
A．2.5或4 B．5 C．2.5或5 D．2.5
【答案】A
【分析】设运动秒时，以，，为顶点的三角形与相似，则，，，再分两种情况，结合相似三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】解：设运动秒时，以，，为顶点的三角形与相似，则，，
∴，
当时，，
∴，
解得，
当时，，
∴，
解得，
∴经过2.5或后，以，，为顶点的三角形与相似．
54．如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）．
(1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由；
(2)当t为何值时，的面积为面积的；
【答案】(1)存在， 或
(2) 或
【分析】（1）题目存在公共角，分、两种相似对应情况，把，代入比例式，分别解方程得到与，验证两个数值都满足，判定存在对应的时间．
（2）利用共角三角形面积比等于夹公共角两边乘积之比，代入、、、，令面积比值等于，整理得到一元二次方程，因式分解求解，得到、，检验两个解都在的取值范围内，即为所求的值．
【详解】（1）解：由勾股定理：
点速度2，点速度1，故：
，
考虑到达需 即 ，
到达需 ，共同停止条件取较小者，故：，
在 和 中，（公共角），所以要判定相似，只需看夹这个角的两边怎么对应，
情形一：
交叉相乘：，
因为 ，所以符合．
情形二：
交叉相乘：
又因为 ，也符合．
所以存在两个符合条件的 值： 和 ．
（2）解：过点作 于，过点作 于．
因为 （都是直角），且 （都与角A相同），所以
，
则有，
从而，
三角形的面积：；
三角形的面积：；
两面积相除：；
代入具体长度：；
根据题意，面积比等于 ：
，
两边同乘156：，
展开：，
整理：，
用十字相乘法：，
所以或 ，
两个值都在 范围内，都成立．
题型 19 射影定理模型线段等积式推导计算
55．在中，D是边上一点，．
(1)求证：
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明：∵（公共角）
∴（两角分别相等的两个三角形相似）
(2)
【分析】（1）首先找到两个三角形的公共角，结合已知条件，因为两角分别相等的两个三角形相似，所以可证明．
（2）如果已经证明两个三角形相似，那么根据相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例式，代入已知的边长即可求解的长度．
【详解】（1）略
（2）解：由，
得对应边成比例：，
将代入，
得，
∴，
∴的长为．
56．如图，在中，，，垂足为．
(1)求证：
(2)若，，求长
【答案】(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)
【分析】（1）先得出，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）设，则，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）略．
（2）解：设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
即．
57．如图，在中，，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)求的长．
【答案】(1)证明：，
，
∴．
，
∴，
，
．
(2)6
(3)
【分析】（1）根据两角相等即可证明两三角形相似；
（2）由（1）中两三角形相似得对应边成比例即可求解；
（3）根据题意说明，再由对应边成比例求解．
【详解】（1）略；
（2）解：由，
得，
即 ，
．
（3）解：，，
，
，
即 ，
．
题型 20 相似 + 特殊平行四边形综合求线段、面积比值
58．探究解题
(1)问题发现：如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．请问和相等吗，若相等请证明，若不相等；请说明理由．
(2)类比探究：如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：；
(3)拓展延伸：如图3，在平行四边形中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值．
【答案】(1)相等，理由如下：
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，，
，
；
(2)证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，
；
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论；
（2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论；
（3）如图：过点作，结合平行四边形的性质及已知条件可得是等边三角形，进而得到，；然后证明可得，设，则，解得最后代入计算即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图：过点作，
在平行四边形中，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
解得：，
．
59．如图，在平行四边形中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，．
(1)求证：；
(2)求的值．
【答案】(1)
证明：在平行四边形中，，，，
，，
，
，
；
(2)16
【分析】本题考查了平行四边形的性质得到相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理．
（1）利用平行四边形的性质得到，，，进而得到，再结合相似三角形的性质证明；
（2）由，得到，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方以及面积的比例关系求解．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
，
又，
．
60．如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若的面积为4，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
(2)30
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识．
（1）根据平行四边形的性质得到，则，即可证明；
（2）证明，则，得到，证明，则，得到，即可得到平行四边形的面积．
【详解】（1） 略
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为．
1
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专题12 期中复习易错20大题型
范围：第一章-第三章
题型 1 菱形、矩形、正方形性质与判定辨析
题型 2 特殊四边形面积计算
题型 3 矩形折叠问题，勾股定理列方程求线段
题型 4 中点四边形形状判定，由原四边形对角线判断
题型 5 直角三角形斜边中线定理应用
题型 6 一元二次方程概念辨析
题型 7 配方法解方程
题型 8 根的判别式 Δ 求参数范围
题型 9 韦达定理代数式求值（忽略 Δ≥0）
题型 10 一元二次方程实际应用题
题型 11 含参一元二次方程整数根问题
题型 12 比例线段、等比性质
题型 13 平行线分线段成比例、A 字、8 字模型比例列式
题型 14 相似三角形判定辨析
题型 15 相似多边形周长比、面积比
题型 16 位似图形坐标变化
题型 17 一线三等角相似证明与线段计算
题型 18 动点三角形相似存在性
题型 19 射影定理模型线段等积式推导计算
题型 20 相似 + 特殊平行四边形综合求线段、面积比值
题型 1 菱形、矩形、正方形性质与判定辨析
1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
2．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形
C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是菱形
题型 2 特殊四边形面积计算
4．已知菱形的两条对角线长分别为和，则与此菱形面积相等的正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是的中点，连接，若，，，则矩形的面积是（ ）
A．190 B．192 C．194 D．196
6．如图，在菱形中，，，为等边三角形，点E，F分别在、上滑动，且E，F不与B、C，D重合，则四边形的面积是（ ）
A． B．4 C．3 D．
题型 3 矩形折叠问题，勾股定理列方程求线段
7．如图，在矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
题型 4 中点四边形形状判定，由原四边形对角线判断
10．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形，若对角线，则中点四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
11．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形
12．顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是______．
题型 5 直角三角形斜边中线定理应用
13．如图，公路与互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为____________．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含角的放在第一象限，其中角的对边长为2，斜边的端点A、B分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长度的最大值是__________．
15．如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型 6 一元二次方程概念辨析
16．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C． D．
18．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．3或
题型 7 配方法解方程
19．解方程：（用配方法）．
20．阅读下列用配方法解方程：的解题过程，解决下列问题．
解：①
②
③
或④
，⑤
(1)该解题过程从第__________步开始出错（填序号）；
(2)请你写出正确的解答过程（用配方法）．
题型 8 根的判别式 Δ 求参数范围
21．已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
22．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
23．若关于的方程有两个相等的实根，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．
题型 9 韦达定理代数式求值（忽略 Δ≥0）
24．已知一元二次方程有两个根，则的值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
25．已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．5 B．9 C．13 D．11
26．已知是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
题型 10 一元二次方程实际应用题
27．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
28．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为元时，平均每月售出个；若售价每下降元，其月销售量就增加个．
(1)若售价下降元，每月能售出________个头盔，若售价下降元（），每月能售出____________个头盔；
(2)为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为个头盔的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个头盔的售价．
29．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
(1)填空：，___________（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由.
30．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米．
(1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？
题型 11 含参一元二次方程整数根问题
31．已知关于x的二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值；
(2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值．
32．已知关于x的方程
(1)求证此方程总有实数根
(2)若方程的两个实数根都为整数，求k的值．
33．已知实数k使一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)若方程的两根是符号相同的整数，试求实数k的值．
题型 12 比例线段、等比性质
34．已知成比例线段．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
35．下列各组线段是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
36．四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型 13 平行线分线段成比例、A 字、8 字模型比例列式
37．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．3 B． C． D．6
38．如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（ ）．
A．9 B．7 C．5 D．6
39．如图，直线，直线m， n相交于点O，且分别与直线a，b，c相交于点A， B， C和点 D，E， F，已知， ， ， ，则的长度是（ ）
A．3 B．2 C． D．
40．如图，已知，分别为，上的点，且，，若，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
题型 14 相似三角形判定辨析
41．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
42．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成图示样子，A为公共顶点，，下列结论正确的是（ ）
① ②
③ ④
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
43．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
题型 15 相似多边形周长比、面积比
44．已知，若，则值为（ ）
A． B． C． D．
45．若两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
46．若，它们的周长比为，则对应边与之比为（ ）
A． B． C． D．
题型 16 位似图形坐标变化
47．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
48．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
49．如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
题型 17 一线三等角相似证明与线段计算
50．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
51．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：．
（2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长．
（3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长．
题型 18 动点三角形相似存在性
52．如图，在矩形 中，，，动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动，同时动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动．设 、 两点移动时间为 （）．
（1）________，____________（用含 的式子表示）；
（2）当运动时间为________秒时， 与 相似．
53．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为．若两点同时出发，则经过（ ）后，以，，为顶点的三角形与相似．
A．2.5或4 B．5 C．2.5或5 D．2.5
54．如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）．
(1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由；
(2)当t为何值时，的面积为面积的；
题型 19 射影定理模型线段等积式推导计算
55．在中，D是边上一点，．
(1)求证：
(2)若，求的长．
56．如图，在中，，，垂足为．
(1)求证：
(2)若，，求长
57．如图，在中，，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)求的长．
题型 20 相似 + 特殊平行四边形综合求线段、面积比值
58．探究解题
(1)问题发现：如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．请问和相等吗，若相等请证明，若不相等；请说明理由．
(2)类比探究：如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：；
(3)拓展延伸：如图3，在平行四边形中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值．
59．如图，在平行四边形中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，．
(1)求证：；
(2)求的值．
60．如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若的面积为4，，求平行四边形的面积．
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