2026-2027年八年级上数学期中测试解答压轴题汇编（Word版）-2026-2027年初中数学上册期中测试压轴题汇编（北师大版）

【北师大版】2026-2027年8年级上数学期中测试解答压轴题汇编（3-3） 一．估算无理数的大小（共1小题） 1．阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y，使x+y＝a且xy＝b，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： （1）化简“和谐二次根式”：①__________ ；②_________________ ； （2）求的值； （3）设的小数部分为b，求证：． 二．二次根式的加减法（共1小题） 2．阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3| 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）． 综上所述，a的取值范围是1≤a≤3． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 （1）当2≤a≤5时，化简：_____ ； （2）若等式成立，则a的取值范围是__________ ； （3）若，求a的值． 三．二次根式的化简求值（共1小题） 3．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： ． （1）模仿材料中的计算方法，化简_____________ ；___________ ． （2）计算：． （3）已知，求a2+ab+b2的值． 四．二次根式的应用（共1小题） 4．【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果a＞0，b＞0，那么存在（当且仅当a＝b时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上的说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即a＝b时， ，所以； ②当，即a≠b时，____________________ ． 综合上述可得：若a＞0，b＞0，则成立（当且仅当a＝b时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为24m2的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为x米，求x为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 五．动点问题的函数图象（共1小题） 5．如图①，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点P的速度为每秒1cm，a秒时点P改变速度，变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S（cm2）与x（秒）的关系图象． （1）当点P在AB上运动时，△APD的面积会 _______ ，点P在BC上运动时，△APD的面积会 _______ ，点P在CD上运动时，△APD的面积会 _______ ；（填“增大”或“减小”或“不变”） （2）根据图②提供的信息，求出a、b及图②中c的值； （3）设点P离开点A的路程为y（cm），请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式． （4）当点P出发后几秒时，△APD的面积S是长方形ABCD面积的？ 六．一次函数的性质（共1小题） 6．某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整： （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 其中，b＝ _____ ； （2）描点并连线； 在下面平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣1|的图象； （3）根据图象直接写出函数y＝|x﹣1|图象的两条性质． 七．一次函数的应用（共3小题） 7．从有关方面获悉，某市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度，享受医保的农民可在规定的医院就医，并按规定标准报销部分医疗费用．如表是医疗费用报销的标准． 住院医疗费用x元 0＜x≤5000 5000＜x≤20000 x＞20000 每年报销比例标准 30% 40% 50% （说明：住院医疗费用的报销分段计算，如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按30%报销，15000元按40%报销，余下的10000元按50%报销．自付住院医疗费用＝住院医疗费用﹣按标准报销的金额） （1）某农民一年中住院医疗费用15000元，则他在这一年中自付住院医疗费用为_________ 元． （2）当x＞20000时，设自付住院医疗费用为y元，试求出y与x的函数关系式． （3）若某农民一年内本人自付住院医疗费17000元，则该农民当年住院医疗费用为多少元？ 8．依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民每月工资、薪金收入不超过5000元，不需交税；超过5000元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过3000元的部分 3 2 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过12000元至25000元的部分 20 … … … 设每月收入x（单位：元），y表示应交税款（单位：元）， （1）分别写出级别为1级和2级时，y与x之间的关系式； （2）某人2025年7月的总收入为7000元，求他应交税款多少元？ （3）某公司部门经理2025年9月应交税款490元，请求出该月经理的收入是多少元？ 9．综合与探究 问题情境：某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米．立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.2 3.4 9.8 初步探究： （1）根据如图所示，将表格补充完整； 深入探究： （2）设有x根立柱，护栏总长度为y米，求y与x之间的关系式； （3）求护栏总长度为157米时立柱的根数． 八．一次函数综合题（共3小题） 10．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0），直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E． （1）求直线AB的表达式和D点的坐标． （2）设点Q是x轴上一动点，求AQ+DQ的最小值． （3）以AB为腰在第一象限作等腰直角三角形ABC，求点C的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0）． （1）求直线AB的表达式和点A的坐标． （2）若点P是y轴上一动点，当△ABP的面积等于△ABO面积的2倍时，求点P的坐标． （3）若点P是直线AB上方第一象限内的动点，当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+k经过点（﹣3，2）且交y轴于点A，交x轴于点B．平行于y轴的直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x＝1上一动点，设点P的坐标为（1，n）． （1）求直线AB的解析式． （2）请直接写出点A，B，D的坐标． （3）若△ADP的面积是△ADE面积的2倍时，请直接写出n的值． （4）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，请直接写出n的值． 九．一次函数几何综合_基本型（共1小题） 13．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求△AOB的面积； （2）已知点C在x轴上，连接BC，若△ACB的面积是16，求点C的坐标； （3）若P是坐标轴上的一点，且PA＝PB，求点P的坐标． 十．一次函数几何综合_存在型_三角形（共4小题） 14．如图，一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，6），B（0，3），与x轴相交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）求点O到直线AC的距离； （3）若直线l与直线AC平行，与y轴交于点P，且△APC的面积等于△AOC的面积（点P与点O不重合），求直线l所对应的函数表达式． （4）在x轴取点Q，使得△BCQ为等腰三角形，请你直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数yx+b与x轴，y轴分别交于点B（﹣8，0）、点A．点C的坐标为C（3，0），点P是x轴上一动点． （1）b＝_____ ； （2）连接AP，若△ABP的面积为10，求点P的坐标； （3）当点P在x轴上运动时，是否存在点P使△APC是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）． （1）填空：m＝_____ ，b＝_____ ； （2）求△ACD的面积； （3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标． 17．【探索发现】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA． 【迁移应用】（2）如图2，直线y＝kx+6（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点．若k＞0，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，且BN＝AB，连结ON，当k变化时，△OBN的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，四边形ABCO为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是线段BC上的动点，点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限．若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 十一．三角形的面积（共1小题） 18．如图①，在平面直角坐标系中，A（a，b），B（﹣b，0），且满足，将线段AB平移得线段DC，点A对应点D，点B对应点C．点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． （1）直接写出A、B、C三点的坐标； （2）如图②，点P是y轴上的一个动点，当三角形CPD面积是三角形APD的面积的一半时，求点P的坐标； （3）如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是1：2，运动过程中直线DF和CE交于点N，若三角形DCN的面积等于9，求出点N的坐标． 十二．全等三角形的判定与性质（共1小题） 19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝105°时，∠BAD＝_______ °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 _____ （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形． 十三．三角形综合题（共3小题） 20．（1）问题探究：如图1，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（﹣1，0），则点B的坐标为___________ ． （2）问题解决：如图2，在平面直角坐标系中，已知A（4，2），B（﹣1，1），若∠A＝90°，点C在第一象限，且AB＝AC，试求出点C的坐标． （3）拓展提升：如图3，△ABO为等腰直角三角形，A（﹣4，0），直角顶点B在第二象限．点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，直角顶点D随着C点的移动而移动，请你猜想：D点的运动轨迹是_______ ，并求出相应的表达式． 21．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：A（﹣k，0）、B（0，6） （1）如图2，当k＝3时，在第二象限构造等腰直角△ABC，∠CAB＝90°； ①直接写出OA＝_____ ，OB＝_____ ； ②点C的坐标是 ___________ ； （2）如图3，当k（k大于0）的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； 【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）在第一象限（且在AB的上方）．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出Q点坐标；若不能，请说明理由． 22．如图，△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（点P不与点A重合），求t的值． （3）在P的运动过程中，直接写出当t为何值时，△PCB为等腰三角形？ 十四．三角形综合题（共2小题） 23．通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造△ABC（点A，B，C都为小正方形的顶点）． ∵△ABC（构造图形）， ∴AB+AC＞BC（三角形任意两边之和大于第三边）． ∴，，（勾股定理）． ∴． （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是_____ （填写正确选项的字母代号）． A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． 【拓展探究】 （3）问题：求的最小值．（在图3中，画出所构造的图形） 24．某校八年级数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 课题：测量旗杆的高度 工具：升旗的绳子（比旗杆的高度长）如图1、皮尺（皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离）如图2． 测量及求解： 测量过程：测量出绳子垂直落地后还剩余a米，把绳子拉直，绳子末端点A与地面上旗杆底部点C距离为b米，即AC＝b米，如图3． 求解过程：设旗杆BC的高度为h米，由测量得，AC＝b，BC＝h，AB＝h+a， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴BC2+AC2＝AB2，即h2+b2＝（h+a）2． ∴h＝_____米． 阅读数学兴趣小组活动记录，回答下面问题． （1）数学兴趣小组求得h所用到的几何知识是_______ 定理； （2）直接写出数学兴趣小组测量的旗杆高度h＝____________________ 米（用含a，b的代数式表示）； （3）小侨同学利用皮尺设计另外一个测量方案，测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图4）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为12米（如图5）．根据以上信息，求旗杆AB的高度． 十五．三角形综合_基本型（共1小题） 25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF． （1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系； （2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由； （3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长． 十六．梯形（共1小题） 26．如图，在梯形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，E是CD中点，AE平分∠BAD，求证：AB＝AD+BC． 十七．四边形综合题（共2小题） 27．在长方形ABCD中，AB＝CD＝5，BC＝AD＝4． （1）如图1，P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中Q是点B的对称点，当点Q落在边CD上时，求DQ的长； （2）如图2，E是边AB上一动点，过点E作EF⊥DE交边BC于点F，将△BEF沿直线EF翻折得到△B′EF，连接DB′，当△DEB′是以EB′为底的等腰三角形时，求AE的长； （3）如图3，M是射线AB上一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A′，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长． 28．综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法（S正方形ABED＝4S△ABC+S正方形CFGH）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2＝c2． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形ABCD，△EBC的面积：S梯形ABCD＝__________ ，S△EBC＝__________ ，已知，再探究梯形ABCD，四边形AECD，△EBC面积之间的关系，则它们满足的关系式为______________ ，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝70米，BC＝50米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜40时，代数式的最小值为_______ ． 十八．四边形综合_最值型（共1小题） 29．（1）问题①：如图1，长方形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，则AC与BD的数量关系是 __________ ． ②如图2，P是长方形ABCD内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现AP2+CP2与BP2+DP2的数量关系为 ____________________ ． （2）探究：如图3，P是长方形ABCD外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在△ADC中，DA＝5，CD＝12，B是△ADC内一点，且DB＝3，∠ABC＝90°，则AC的最小值＝ ___________________ ． 十九．几何变换的类型（共1小题） 30．【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】（1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积， 方法1：S阴影＝_______ ； 方法2：S阴影＝__________ ； 根据以上信息，可以得到等式：_____________ ； 【方法迁移】 （2）如图3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，且AD是BC边上的高．求AD的长． （3）如图4，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【北师大版】2026-2027年8年级上数学期中测试解答压轴题汇编（3-3） 参考答案与试题解析 一．估算无理数的大小（共1小题） 1．阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y，使x+y＝a且xy＝b，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： （1）化简“和谐二次根式”：①　　 ；②　　 ； （2）求的值； （3）设的小数部分为b，求证：． 【解答】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：，， ； （3）证明： ， 由于， 则， 由于的小数部分为b， 则， 、， 所以， 因此． 二．二次根式的加减法（共1小题） 2．阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3| 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）． 综上所述，a的取值范围是1≤a≤3． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 （1）当2≤a≤5时，化简：　3　 ； （2）若等式成立，则a的取值范围是　3≤a≤7　 ； （3）若，求a的值． 【解答】解：（1）∵2≤a≤5， ∴a﹣2≥0，a﹣5≤0， ∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5| ＝a﹣2﹣（a﹣5）， ＝a﹣2﹣a+5 ＝3， 故答案为：3； （2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4， 当a≤3时，3﹣a≥0，a﹣7＜0， ∴3﹣a﹣（a﹣7）＝4， ∴a＝3． 当3＜a＜7时，3﹣a＜0，a﹣7＜0， ∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4， ∴4＝4，故3＜a＜7． 当a≥7时，3﹣a＜0，a﹣7≥0， ∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4， ∴a＝7． 综上，a的取值范围是3≤a≤7， 故答案为：3≤a≤7； （3）由题意得，， ∴当a≤﹣1时，a+1≤0，a﹣5＜0， ∴， ∴． 当﹣1＜a＜5时， ∴a+1＞0，a﹣5＜0， ∴， ∴此方程无解，故﹣1＜a＜5，不符合题意； 当a≥5时，a+1＞0，a﹣5≥0， ∴， ∴． 综上，或． 三．二次根式的化简求值（共1小题） 3．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： ． （1）模仿材料中的计算方法，化简　　 ；　　 ． （2）计算：． （3）已知，求a2+ab+b2的值． 【解答】解：（1）； ； 故答案为：；； （2） ＝2025﹣1 ＝2024； （3）由条件可知a2+ab+b2 ＝（a+b）2﹣ab ＝12﹣2 ＝10． 四．二次根式的应用（共1小题） 4．【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果a＞0，b＞0，那么存在（当且仅当a＝b时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上的说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即a＝b时， ，所以； ②当，即a≠b时，a+b＞2　 ． 综合上述可得：若a＞0，b＞0，则成立（当且仅当a＝b时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为24m2的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为x米，求x为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 【解答】解：证明结论：，所以． 故答案为：． 应用结论： （1）根据结论可知， 所以函数的最小值为2， 此时， 解得：x＝1或﹣1（舍去）， 所以，当x＝1时，函数y的值最小，最小值是2． （2）根据结论可知， 所以函数的最小值为7， 此时，，解得，x＝6或4（舍去）， 所以当x＝6时，函数y的值最小，最小值是7． （3）平行于墙的篱笆长度为24×3÷x， 垂直于墙的篱笆长度为4x， ∴篱笆总长度为4x≥224， 当4x时，等号成立， ∴x＝3， ∴x为3篱笆总长度最短，最短长度为24． 五．动点问题的函数图象（共1小题） 5．如图①，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点P的速度为每秒1cm，a秒时点P改变速度，变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S（cm2）与x（秒）的关系图象． （1）当点P在AB上运动时，△APD的面积会 　增大　 ，点P在BC上运动时，△APD的面积会 　不变　 ，点P在CD上运动时，△APD的面积会 　减小　 ；（填“增大”或“减小”或“不变”） （2）根据图②提供的信息，求出a、b及图②中c的值； （3）设点P离开点A的路程为y（cm），请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式． （4）当点P出发后几秒时，△APD的面积S是长方形ABCD面积的？ 【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，△APD的面积会增大，因为三角形高不变，底边增大， 点P在BC上运动时△APD面积不变，因为此时三角形等底同高， 点P在CD上运动，△APD面积会减小．因为高不变，底边缩小． 故答案为：增大；不变；减小； （2）由图象可知：S＝248AP， ∴AP＝6，即a＝6，也就是P在AB上移动到了6cm，所剩部分为4cm， 当a＝8时，S为40，且面积不发生变化，即P点到B点用了2秒，距离是4cm， ∴b＝2cm/s，c＝18÷2+8＝17（s）； （3）y＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6； （4）分两种情况：①当点P在AB边上时，根据题意判断此时P的速度为1cm/s ∴8×x10×8， ∴x＝5； ②当点P在CD边上时，8×[10+10+8﹣（2x﹣6）]10×8， ∴x， 答：当点P出发后5秒或秒时，△APD的面积S是长方形ABCD面积的． 六．一次函数的性质（共1小题） 6．某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整： （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 其中，b＝ 　2　 ； （2）描点并连线； 在下面平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣1|的图象； （3）根据图象直接写出函数y＝|x﹣1|图象的两条性质． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝|x﹣1|＝2． ∴b＝2， 故答案为：2． （2）描点、连线，画出函数图象，如图所示． （3）观察函数图象，可知： ①当x≥1时，y随x值的增大而增大，当x＜1时，y随x值的增大而减小； ②函数y＝|x﹣1|图象关于直线x＝1对称； ③当x＝1时，函数有最小值1． 七．一次函数的应用（共3小题） 7．从有关方面获悉，某市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度，享受医保的农民可在规定的医院就医，并按规定标准报销部分医疗费用．如表是医疗费用报销的标准． 住院医疗费用x元 0＜x≤5000 5000＜x≤20000 x＞20000 每年报销比例标准 30% 40% 50% （说明：住院医疗费用的报销分段计算，如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按30%报销，15000元按40%报销，余下的10000元按50%报销．自付住院医疗费用＝住院医疗费用﹣按标准报销的金额） （1）某农民一年中住院医疗费用15000元，则他在这一年中自付住院医疗费用为　9500　 元． （2）当x＞20000时，设自付住院医疗费用为y元，试求出y与x的函数关系式． （3）若某农民一年内本人自付住院医疗费17000元，则该农民当年住院医疗费用为多少元？ 【解答】解：（1）15000﹣5000×30%﹣（15000﹣5000）×40% ＝15000﹣1500﹣4000 ＝9500元， ∴他在这一年中自付住院医疗费用为9500元； 故答案为：9500； （2）由题意得，y＝x﹣5000×30%﹣（20000﹣5000）×40%﹣（x﹣20000）×50% ＝x﹣1500﹣6000﹣0.5x+10000 ＝0.5x+2500（x＞20000）， 即y与x的函数关系式为y＝0.5x+2500（x＞20000）； （3）20000﹣5000×30%﹣（20000﹣5000）×40%＝12500＜17000， ∴该农民一年中住院医疗费用一定超过20000元， 在y＝0.5x+2500（x＞20000）中，当y＝17000时，0.5x+2500＝17000，解得x＝29000， 答：该农民当年住院医疗费用为29000元． 8．依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民每月工资、薪金收入不超过5000元，不需交税；超过5000元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过3000元的部分 3 2 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过12000元至25000元的部分 20 … … … 设每月收入x（单位：元），y表示应交税款（单位：元）， （1）分别写出级别为1级和2级时，y与x之间的关系式； （2）某人2025年7月的总收入为7000元，求他应交税款多少元？ （3）某公司部门经理2025年9月应交税款490元，请求出该月经理的收入是多少元？ 【解答】解：（1）根据题意，得级别1：y＝0.03x﹣150（5000＜x≤8000）； 级别2：y＝0.1x﹣710（8000＜x≤17000）； （2）∵该人2025年7月的总收入为7000元， 故他应交税款为y＝0.03×7000﹣150＝60元； （3）设该公司部门经理2025年9月收入x元， 该公司部门经理2025年9月应交税款490元， 当x＝8000时，y＝0.03×8000﹣150＝90＜490， 故该公司部门经理2025年9月收入x＞8000， 根据（1）可知， 0.1x﹣710＝490， 解得x＝12000， 答：该月经理的收入是12000元． 9．综合与探究 问题情境：某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米．立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.2 3.4 9.8 初步探究： （1）根据如图所示，将表格补充完整； 深入探究： （2）设有x根立柱，护栏总长度为y米，求y与x之间的关系式； （3）求护栏总长度为157米时立柱的根数． 【解答】解：（1）当有3根立柱时，3×2+0.2×3＝6.6（米）， 当有5根立柱时，3×4+0.2×5＝13（米）， 将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.2 3.4 6.6 9.8 13 故答案为：6.6，13； （2）根据题意得：y＝3（x﹣1）+0.2x＝3.2x﹣3； （3）当y＝157时，157＝3.2x﹣3， 解得：x＝50， 即根数为50根． 八．一次函数综合题（共3小题） 10．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0），直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E． （1）求直线AB的表达式和D点的坐标． （2）设点Q是x轴上一动点，求AQ+DQ的最小值． （3）以AB为腰在第一象限作等腰直角三角形ABC，求点C的坐标． 【解答】解：（1）直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0），将点A和点B的坐标分别代入，得： ， 解得：， ∴直线AB的表达式为， 当x＝2时，得：， ∴D点的坐标为（2，2）； （2）如图1，点A′是点A关于x轴的对称点，连接A′D，交x轴于点Q，连接AQ， ∴A′（0，﹣3）， 此时AQ＝A′Q，AQ+DQ的值最小，最小值为线段A′D的长， 由勾股定理得：， ∴AQ+DQ的最小值为； （3）如图2， ∵以AB为腰在第一象限作等腰直角三角形ABC， ∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°． 当∠ABC＝90°时，记等腰直角三角形为△ABC1，作C1M⊥x轴于点M，则∠C1MB＝90°． ∵∠ABC1＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠ABO+∠C1BM＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠ABO+∠C1BM＝∠ABO+∠BAO，即∠C1BM＝∠BAO． 在△BC1M和△ABO中， ， ∴△BC1M≌△ABO（AAS）， ∴C1M＝BO＝6，BM＝AO＝3， ∴OM＝OB+BM＝6+3＝9， ∴点C1（9，6）； 当∠BAC＝90°时，记等腰直角三角形为△ABC2， 同理可得C2（3，9）． 综上所述，满足条件的点C的坐标为（9，6）或（3，9）． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0）． （1）求直线AB的表达式和点A的坐标． （2）若点P是y轴上一动点，当△ABP的面积等于△ABO面积的2倍时，求点P的坐标． （3）若点P是直线AB上方第一象限内的动点，当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）把B（3，0）代入y＝kx+1得3k+1＝0， 解得k， ∴直线AB的表达式为yx+1， 把x＝0代入得y＝1， ∴A（0，1）． （2）∵A（0，1），B（3，0）， ∴OA＝1，OB＝3， ∴S△OAB1×3， ∵S△ABP＝2S△OAB＝3， 设点P（0，a）， ∴|a﹣1|×3＝3， ∴|a﹣1|＝2， ∴a﹣1＝±2， ∴a1＝3，a2＝﹣1， ∴点P（0，3）或P（0，﹣1）． （3）当P为直角顶点时，过P作PN⊥y轴于N，过B作BM⊥PN于M，如图2： ∵△ABP为等腰直角三角形， ∴AP＝BP，∠NAP＝90°﹣∠APN＝∠MPB， 在△ANP和△PMB中， ， ∴△ANP≌△PMB（AAS）， ∴BM＝PN，PM＝AN， ∵∠NOB＝∠ONM＝∠OBM＝90°， ∴四边形OBMN是矩形， ∴MN＝OB＝3，BM＝ON＝AN+1＝PN①， ∴PN+PM＝PN+AN＝3②， 由①②解得PN＝2，AN＝1， ∴ON＝OA+AN＝2， ∴P（2，2）； 当A为直角顶点时，过P作PK⊥y轴于K，如图3： ∵△ABP为等腰直角三角形， ∴AP＝AB，∠KAP＝90°﹣∠OAB＝∠ABO， 而∠PKA＝∠AOB＝90°， ∴△APK≌△BAO（AAS）， ∴AK＝OB＝3，PK＝OA＝1， ∴OK＝OA+AK＝4， ∴P（1，4）， 当B为直角顶点时，过P作PR⊥x轴于R，如图4： 同理可证△AOB≌△BRP（AAS）， ∴BR＝OA＝1，PR＝OB＝3， ∴P（4，3）， 综上所述，P坐标为：（2，2）或（1，4）或（4，3）． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+k经过点（﹣3，2）且交y轴于点A，交x轴于点B．平行于y轴的直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x＝1上一动点，设点P的坐标为（1，n）． （1）求直线AB的解析式． （2）请直接写出点A，B，D的坐标． （3）若△ADP的面积是△ADE面积的2倍时，请直接写出n的值． （4）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，请直接写出n的值． 【解答】解：（1）∵直线AB：y＝kx+k经过点（﹣3，2）， ∴2＝﹣3k+k， ∴k， ∴直线AB的解析式为yxx+1； （2）直线AB：yx+1交y轴于点A， ∴A（0，1）， ∵直线AB：yx+1交x轴于点B， ∴B（3，0）， ∵平行于y轴的直线x＝1交AB于点D， ∴D（1，）， 即点A（0，1），B（3，0），D（1，）； （3）如图， 由（2）知，D（1，）， ∵平行于y轴的直线x＝1交x轴于点E， ∴E（1，0）， ∴S△ADEDE•|xE|1， ∵△ADP的面积是△ADE面积的2倍， ∴S△ADP＝2， ∵点P的坐标为（1，n）， ∴S△ADPDP•|xP||n|×1， ∴n＝2或n； （4）由（1）知，A（0，1），B（3，0）， ∵P（1，n）， ∴AB，AP，BP， ∵△ABP是以AB为腰的等腰三角形， ∴AP＝AB或BP＝AB， ∴或， ∴n＝4或n＝﹣2或n＝±． 九．一次函数几何综合_基本型（共1小题） 13．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求△AOB的面积； （2）已知点C在x轴上，连接BC，若△ACB的面积是16，求点C的坐标； （3）若P是坐标轴上的一点，且PA＝PB，求点P的坐标． 【解答】解：（1）直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． 当x＝0时，得：y＝4， 当y＝0时，得：， 解得：x＝﹣6， ∴点A（﹣6，0），点B（0，4）， ∴AO＝6，BO＝4， ∴△AOB的面积； （2）设点C（x，0）， ∵△ABC的面积是16， ∴， ∴， ∴x1＝2，x2＝﹣14， ∴点C坐标为（2，0）或（﹣14，0）； （3）当点P在x轴上时，设点P的坐标为（m，0）， ∵A（﹣6，0），B（0，4）， ∴（﹣6﹣m）2＝m2+42， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，n）， ∵A（﹣6，0），B（0，4）， ∴（﹣6﹣0）2+n2＝（n﹣4）2， 解得：n， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为：或． 十．一次函数几何综合_存在型_三角形（共4小题） 14．如图，一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，6），B（0，3），与x轴相交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）求点O到直线AC的距离； （3）若直线l与直线AC平行，与y轴交于点P，且△APC的面积等于△AOC的面积（点P与点O不重合），求直线l所对应的函数表达式． （4）在x轴取点Q，使得△BCQ为等腰三角形，请你直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【解答】解：（1）由题意得：y＝kx+3， 将点A的坐标代入上式得：6＝3k+3，则k＝1， 则一次函数的表达式为：y＝x+3； （2）由一次函数的表达式知，点C（﹣3，0），由点A、C的坐标得，AC＝6， 设点O到直线AC的距离为h， 则S△AOCCO×yAAC×h，即3×6＝6h， 解得：h， 即点O到直线AC的距离为：； （3）在点B上方取点P使BP＝OB＝3，过点P作直线l∥AC， 则此时△APC的面积等于△AOC的面积， 即直线l的k值为1，过点P（0，6）， 则直线l的表达式为：y＝x+6； （4）设点Q（x，0）， 由定点B、C、Q的坐标得，BQ2＝x2+9，BC2＝18，CQ2＝（x+3）2， 当BQ＝BC时，则x2+9＝18，则x＝﹣3（舍去）或3， 即点Q（3，0）； 当BQ＝CQ或BC＝CQ时， 同理可得：18＝（x+3）2或x2+9＝（x+3）2， 解得：x＝0或﹣3±3， 故点Q（0，0）或（﹣3±3，0）， 综上，点Q（0，0）或（﹣3±3，0）或（3，0）． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数yx+b与x轴，y轴分别交于点B（﹣8，0）、点A．点C的坐标为C（3，0），点P是x轴上一动点． （1）b＝　4　 ； （2）连接AP，若△ABP的面积为10，求点P的坐标； （3）当点P在x轴上运动时，是否存在点P使△APC是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把B（﹣8，0）代入yx+b，得（﹣8）+b＝0， 解得：b＝4， 故答案为：4； （2）由（1）知一次函数的表达式为yx+4， 令x＝0，得y＝4， ∴A（0，4）， ∴OA＝4， 设P（x，0），则BP＝|x+8|， ∵△ABP的面积为10， ∴BP•OA＝10，即|x+8|×4＝10， 解得：x＝﹣3或﹣13， ∴点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣13，0）； （3）存在，点P的坐标为（8，0）或（﹣2，0）或（﹣3，0）或（，0）． 设P（x，0），则CP＝|x﹣3|， 在Rt△ACO中，AC5， 当CP＝AC时，|x﹣3|＝5， 解得：x＝8或﹣2， ∴点P的坐标为（8，0）或（﹣2，0）； 当AP＝AC时，如图， ∵AO⊥PC， ∴OP＝OC＝3， ∴P（﹣3，0）； 当AP＝CP时，x2+42＝（x﹣3）2， 解得：x， ∴P（，0）； 综上所述，点P的坐标为（8，0）或（﹣2，0）或（﹣3，0）或（，0）． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）． （1）填空：m＝　3　 ，b＝　6　 ； （2）求△ACD的面积； （3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标． 【解答】解：（1）∵C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2x+b的图象的交点， ∴m+2＝5，解得m＝3， ∴3+b＝5，解得b＝6， 故答案为：3，6； （2）一次函数y1＝x+2中，当y1＝0时，x＝﹣2；当x＝0时，y1＝2， ∴A（﹣2，0），B（0，2）， 一次函数y2x+6中，当y2＝0时，x＝18， ∴D（18，0）， ∴AD＝18﹣（﹣2）＝20， ∴S△ACD20×5＝50， ∴△ACD的面积为50； （3）如图： 在线段AD上存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21， ∵△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21， ∴S△ABMS△ACD50＝8， ∴AM•OB＝8，即AM×2＝8， ∴AM＝8， ∵点M在线段AD上， ∴点M的坐标为（6，0）； （4）点P在线段AD上，∠CAP是锐角，若△ACP是直角三角形，则∠APC＝90°或∠ACP＝90°， 设点P（p，0）， ∵A（﹣2，0），C（3，5）， ∴AC2＝（3+2）2+52， AP2＝（p+2）2， PC2＝（p﹣3）2+52， 当∠APC＝90°时，AP2+PC2＝AC2， ∴（p+2）2+（p﹣3）2+52＝（3+2）2+52， 整理得，p2﹣p﹣6＝0， 解得p＝3或﹣2（舍去）， ∴点P坐标为（3，0）； 当∠ACP＝90°时，AC2+PC2＝AP2， ∴（p+2）2＝（3+2）2+52+（p﹣3）2+52， 解得p＝8， ∴点P坐标为（8，0）； 解法二：当∠APC＝90°时，CP⊥x轴． ∴P（3，0）． 当∠ACP＝90°时，△ACP是等腰直角三角形，可得P（8，0）． 综上所述，所有符合条件的点P坐标为（3，0）或（8，0）． 17．【探索发现】 （1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA． 【迁移应用】 （2）如图2，直线y＝kx+6（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点．若k＞0，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，且BN＝AB，连结ON，当k变化时，△OBN的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形ABCO为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是线段BC上的动点，点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限．若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC为等腰直角三角形， ∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝90°， 又∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ACD与△CBE中， ， ∴△BEC≌△CDA（AAS）； （2）解：当k变化时，△OBN的面积是定值；理由如下： 过点N作NM⊥y轴于点M，如图2， 同理：△BMN≌△AOB（AAS）， ∴MN＝OB， ∵直线y＝kx+6（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴B（0，6）， ∴MN＝OB＝6， ∴S△OBNOB•MN18； ∴k变化时，△OBN的面积是定值，且定值为18； （3）解：当点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况： 当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F， ∵点B的坐标为（8，﹣6）， ∴A（0，﹣6）， 设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x， 由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE， 即：12﹣2x＝8﹣x， 解得x＝4， ∴﹣2x+6＝﹣2， ∴D（4，﹣2）， 此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意； 当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F， 设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x， 同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF， 即：2x﹣12＝8﹣x， 解得x， ∴﹣2x+6， ∴D（，）， 此时，ED＝PF，AE＝BF，BP＝PF﹣BF6，符合题意， 综上，点D的坐标为（4，﹣2）或（，）． 十一．三角形的面积（共1小题） 18．如图①，在平面直角坐标系中，A（a，b），B（﹣b，0），且满足，将线段AB平移得线段DC，点A对应点D，点B对应点C．点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． （1）直接写出A、B、C三点的坐标； （2）如图②，点P是y轴上的一个动点，当三角形CPD面积是三角形APD的面积的一半时，求点P的坐标； （3）如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是1：2，运动过程中直线DF和CE交于点N，若三角形DCN的面积等于9，求出点N的坐标． 【解答】解：（1）∵|a+2|0， ∴a+2＝0，b﹣5＝0， ∴a＝﹣2，b＝5， ∴A（﹣2，5），B（﹣5，0）， ∵A平移到D向下平移了5， ∴B到C向下平移了5， ∴C（0，﹣5）； （2）∵A（﹣2，5），B（﹣5，0），C（0，﹣5）， ∴D（3，0）， 设AD交y轴于E，作AF⊥x轴于点F，如图： 设OE＝x， ∵S△ADF＝S△DOE+S梯形AFOE， ∴5×53×x2×（x+5）， 解得：x＝3， ∴E（0，3）， 设P（0，a）， ∴S△PCD|a+5|×3|a+5|，S△APD＝S△APE+S△DPE2×|a﹣3|3×|a﹣3||a﹣3|， ∴|a+5||a﹣3|， 当a＜﹣5或a＞3时，（a+5）（a﹣3）， 解得：a＝﹣45， 当﹣5≤a≤3时，（a+5）（a﹣3）， 解得：a， ∴P（0，﹣45）或（0，）； （3）∵S△COD5×3＝7.5＜10， ∴N不在△COD内， 设N（m，n）， ∵E，F运动速度之比是1：2， ∴CF＝2DE， 设DE＝k，CF＝2k， 当N在x轴上方时，如图： ∵S△CDN＝S△DEN+S△CDE＝S△CFN+S△CDF， ∴k×nk×52k×（﹣m）2k×3， ∴2m+n＝1， 又∵S△CDN＝S△DON+S△COD+S△CON3×n3×55×（﹣m）＝9， ∴3n﹣5m＝3， 解得：m＝0，n＝1， ∴N（0，1）； 当N在x轴下方时，作NG⊥x轴于G，NH⊥y轴于H，如图： ∵S△CDN＝S△DFN﹣S△CDF＝S△DEN﹣S△CDE， ∴2k×m2k×3k×（﹣n）k×5， ∴2m+n＝1， ∵S△CDN＝S长方形OGNH﹣S△COD﹣S△DNG﹣S△CHN＝﹣mn5×3（m﹣3）×（﹣n）（﹣5﹣n）×m， ∴5m﹣3n＝33， 解得：m，n， ∴N（，）， 综上所述，N点坐标为（0，1）或（，）． 十二．全等三角形的判定与性质（共1小题） 19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝105°时，∠BAD＝　35　 °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 　小　 （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝105°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣105°﹣40°＝35°， 由图形可知，∠BDA逐渐变小， 故答案为：35；小； （2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，理由如下： ∵AB＝3， ∴AB＝DC， ∵∠C＝40°， ∴∠DEC+∠EDC＝140°， ∵∠ADE＝40°， ∴∠ADB+∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形， 当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°， ∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°； 当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°， ∴∠DAE＝100°， 此时，点D与点B重合，不合题意； 当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°， ∴∠AED＝100°， ∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝60°， ∴∠BDA＝180°﹣40°﹣60°＝80°， 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 十三．三角形综合题（共3小题） 20．（1）问题探究：如图1，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（﹣1，0），则点B的坐标为　（﹣3，1）　 ． （2）问题解决：如图2，在平面直角坐标系中，已知A（4，2），B（﹣1，1），若∠A＝90°，点C在第一象限，且AB＝AC，试求出点C的坐标． （3）拓展提升：如图3，△ABO为等腰直角三角形，A（﹣4，0），直角顶点B在第二象限．点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，直角顶点D随着C点的移动而移动，请你猜想：D点的运动轨迹是　直线　 ，并求出相应的表达式． 【解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥x轴于E， ∵点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标为（﹣1，0）， ∴OC＝1，OA＝2； ∵BE⊥x轴， ∴∠BEC＝90°＝∠ACB＝∠AOC， ∴∠EBC+∠ECB＝90°＝∠ECB+∠OCA， ∴∠EBC＝∠OCA， 在△BEC和△COA中， ， ∴△BEC≌△COA（AAS）， ∴CE＝OA＝2，BE＝OC＝1， ∴OE＝OC+CE＝3， ∴点B的坐标为（﹣3，1）， 故答案为：（﹣3，1）； （2）如图2，过点A作DE∥y轴，过点B作BE⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D， 同理可证明△AEB≌△CDA（AAS）， ∴AD＝BE，CD＝AE． ∵A（4，2），B（﹣1，1）， ∴AD＝BE＝4﹣（﹣1）＝5，CD＝AE＝2﹣1＝1， ∴点C的横坐标为4﹣1＝3，纵坐标为2+5＝7， ∴点C的坐标为（3，7）； （3）如图3，过点B作BF⊥x轴于F， ∵A（﹣4，0）， ∴OA＝4， ∵△ABO为等腰直角三角形，且点B为直角顶点， ∴， ∴B（﹣2，2）， 如图所示，当点D在BC上方时，过点D作DE⊥BF交FB延长线于E，延长ED交y轴于G，设D（m，n）， 同理可证明△BED≌△DGC（AAS）， ∴DG＝BE＝n﹣2，CG＝DE＝m﹣（﹣2）＝m+2， 由BE＝DG得n﹣2＝﹣m（m＜0）， ∴n＝﹣m+2， ∴点D在直线y＝﹣x+2上； 当点D在BC下方时，同理可得点D在直线y＝x+2上； 综上所述，点D的运动轨迹为直线，点D在直线y＝﹣x+2或直线y＝x+2上， 故答案为：直线． 21．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：A（﹣k，0）、B（0，6） （1）如图2，当k＝3时，在第二象限构造等腰直角△ABC，∠CAB＝90°； ①直接写出OA＝　3　 ，OB＝　6　 ； ②点C的坐标是 　（﹣9，3）　 ； （2）如图3，当k（k大于0）的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； 【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）在第一象限（且在AB的上方）．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出Q点坐标；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）①已知：A（﹣k，0）、B（0，6），若k＝3， ∴A（﹣3，0）， ∴OA＝3，OB＝6， 故答案为：3；6； ②作CD⊥OA于点D，如图2， ∴∠ADC＝∠AOB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∵△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AB＝BC，∠CAB＝90°， ∴∠CAD+∠BAO＝90°， ∴∠ACD＝∠BAO， ∴△ACD≌△BAO（AAS）， ∴CD＝OA＝3，AD＝OB＝6， ∴OD＝OA+AD＝3+6＝9， ∴点C的坐标为（﹣9，3）； （2）当k变化时，△OBN的面积是定值，SΔ OBN＝18；理由如下： ∵当k变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时， ∴k＞0， 过点N作NM⊥OB于M，如图3， ∴∠NMB＝∠AOB＝90°， ∵∠1+∠3＝90°， ∵BN⊥AB， ∴∠ABN＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3， ∵BN＝BA，∠NMB＝∠AOB＝90°， ∴△BMN≌△AOB（AAS）， ∴MN＝OB＝6， ∴， ∴k变化时，△OBN的面积是定值，定值为18； 【拓展应用】点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形；理由如下： ∵以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∠AQP＝90°，AQ＝PQ， 当点Q在AP上方时，如图4，过点Q作QE⊥OA于E，交BC于点F， ∵BC⊥x，QE⊥OA， ∴EF⊥BC， 由“k型全等”可得：△AEQ≌△QFP， ∴AE＝QF， ∵B（6，4），Q（a，2a﹣4）， ∴AE＝（2a﹣4）﹣4＝2a﹣8，QF＝6﹣a， ∴2a﹣8＝6﹣a， 解得：， ∴； 综上所述，当Q在AB上方时，时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形． 22．如图，△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（点P不与点A重合），求t的值． （3）在P的运动过程中，直接写出当t为何值时，△PCB为等腰三角形？ 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理得：． 如图1，连接BP， ∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）， ∴PA＝PB时，PA＝PB＝t，PC＝4﹣t， 在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC2+CB2＝PB2，即（4﹣t）2+32＝t2， 解得：， 因此，当时，PA＝PB； （2）如图2，过点P作PE⊥AB， ∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴CP＝EP． 在Rt△ACP和Rt△AEP中， ， ∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL）， ∴AC＝AE＝4， ∴BE＝1． 设CP＝EP＝x，则BP＝3﹣x， 在Rt△BEP中，由勾股定理得：BE2+PE2＝BP2，即12+x2＝（3﹣x）2， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）当t＝1或或t＝10或时，△BCP为等腰三角形．理由如下： 当△PCB为等腰三角形时，分类讨论如下： ①若点P在CA上，当CP＝CB＝3时，△BCP为等腰三角形，如图3， ∴t＝4﹣3＝1； ②若点P在AB上，当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，如图4， ∴AC+CB+BP＝4+3+3＝10， ∴t＝10； ③若点P在AB上，当CP＝CB＝3时，△BCP为等腰三角形，如图5，作CD⊥AB于点D， ∵S△ABCBC•ACAB•CD，即3×45CD， 解得：CD． 在Rt△BCD中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； ④当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，如图6，作PD⊥BC于点D，则D为BC的中点， ∴PD为△ABC的中位线， ∴， ∴， 综上所述，当t＝1或或t＝10或时，△BCP为等腰三角形． 十四．三角形综合题（共2小题） 23．通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造△ABC（点A，B，C都为小正方形的顶点）． ∵△ABC（构造图形）， ∴AB+AC＞BC（三角形任意两边之和大于第三边）． ∴，，（勾股定理）． ∴． （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是D （填写正确选项的字母代号）． A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． 【拓展探究】 （3）问题：求的最小值．（在图3中，画出所构造的图形） 【解答】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想． 故答案为：D； （2）．理由如下： 如图2，在正方形网格中，构造线段AB、BC、CD、AD， ∵两点之间，线段最短， ∴AB+BC+CD＞AD． 由勾股定理得：，，， ∴． ∴； （3）如图3，构造AB＝3，BD＝3，CD＝2，点P是BD上一点，A′是A关于BD的对称点，A′C与BD交于点F， 设BP＝x，则PD＝3﹣x， 由勾股定理得：，，． ∵A′是A关于BD的对称点， ∴． ∵两点之间，线段最短， ∴A′P+PC＞A′C． ∴当P与F重合时，取最小值为， ∴的最小值． 24．某校八年级数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 课题：测量旗杆的高度 工具：升旗的绳子（比旗杆的高度长）如图1、皮尺（皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离）如图2． 测量及求解： 测量过程：测量出绳子垂直落地后还剩余a米，把绳子拉直，绳子末端点A与地面上旗杆底部点C距离为b米，即AC＝b米，如图3． 求解过程：设旗杆BC的高度为h米，由测量得，AC＝b，BC＝h，AB＝h+a， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴BC2+AC2＝AB2，即h2+b2＝（h+a）2． ∴h＝_____米． 阅读数学兴趣小组活动记录，回答下面问题． （1）数学兴趣小组求得h所用到的几何知识是　勾股　 定理； （2）直接写出数学兴趣小组测量的旗杆高度h＝　　 米（用含a，b的代数式表示）； （3）小侨同学利用皮尺设计另外一个测量方案，测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图4）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为12米（如图5）．根据以上信息，求旗杆AB的高度． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC2+AC2＝AB2， ∴数学兴趣小组求得h所用到的几何知识是勾股定理， 故答案为：勾股； （2）数学兴趣小组测量的旗杆高度为米．理由如下： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴BC2+AC2＝AB2，即h2+b2＝（h+a）2， ∴h2+b2＝h2+2ah+a2， ∴， ∴数学兴趣小组测量的旗杆高度为米， 故答案为：； （3）设旗杆高度为x米， 在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，CE＝12米， 由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2， ∴（x﹣1）2+122＝（x+3）2， 解得：x＝17， 答：旗杆AB的高度为17米． 十五．三角形综合_基本型（共1小题） 25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF． （1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系； （2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由； （3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长． 【解答】解：（1）结论：EF＝BE． 理由：如图1中， ∵AD＝DB，DE⊥AB， ∴EF＝EB． （2）结论：AF2+BE2＝EF2． 理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ． ∵AJ⊥AC，EC⊥AC， ∴AJ∥BE， ∴∠AJD＝∠DEB， 在△AJD和△BED中， ， ∴△AJD≌△BED（AAS）， ∴AJ＝BE，DJ＝DE， ∵DF⊥EJ， ∴FJ＝EF， ∵∠FAJ＝90°， ∴AF2+AJ2＝FJ2， ∴AF2+BE2＝EF2． （3）如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x． ∵BC＝3，CE＝1， ∴BE＝2， ∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2， ∴x2+22＝（5﹣x）2+12， ∴x， ∴AF． 如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x． ∵BC＝3，CE＝1， ∴BE＝4， ∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2， ∴x2+42＝（5﹣x）2+12， ∴x＝1， ∴AF＝1， 综上所述，满足条件的AF的长为或1． 十六．梯形（共1小题） 26．如图，在梯形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，E是CD中点，AE平分∠BAD，求证：AB＝AD+BC． 【解答】证明：过点E作EH⊥AB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠HAE， 在△ADE与△AHE中， ， ∴△ADE≌△AHE（AAS）， ∴AD＝AH，DE＝HE， ∵E是CD中点， ∴DE＝CE， ∴HE＝CE， 在Rt△BHE与Rt△BCE中， ， ∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL）， ∴BH＝BC， ∴AB＝AH+BH＝AD+BC． 十七．四边形综合题（共2小题） 27．在长方形ABCD中，AB＝CD＝5，BC＝AD＝4． （1）如图1，P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中Q是点B的对称点，当点Q落在边CD上时，求DQ的长； （2）如图2，E是边AB上一动点，过点E作EF⊥DE交边BC于点F，将△BEF沿直线EF翻折得到△B′EF，连接DB′，当△DEB′是以EB′为底的等腰三角形时，求AE的长； （3）如图3，M是射线AB上一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A′，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， 由翻折变换的性质可知AB＝AQ＝5， ∵AD＝4， ∴DQ3， 即DQ的长为3； （2）如图2中，当DE＝DB'，过点D作DJ⊥EB′于点J， ∵DE＝DB′，DJ⊥EB′， ∴EJ＝JB′， ∵DE⊥EF， ∴∠BEF+∠DEA＝90°，∠FEB'+∠DEB'＝90°， ∵∠BEF＝∠B'EF， ∴∠DEJ＝∠DEA， ∵∠A＝∠DJE＝90°，DE＝DE， ∴△DEA≌△DEJ（AAS）， ∴AE＝EJ＝JB′， ∵EB＝EB′， ∴BE＝2AE， ∵AB＝5， ∴AEAB， 故AE的长为； （3）如图3中，当点M在线段AB上时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠CDM＝∠AMD， ∵∠AMD＝∠A′MD， ∴∠CDM＝∠CMD， ∴CD＝CM＝5， ∵∠CBM＝90°， ∴BM3， ∴AM＝AB﹣BM＝5﹣3＝2； 如图4中，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD＝CM＝5， ∵∠CBM＝90°，CB＝4， ∴BM3， ∴AM＝AB+BM＝5+3＝8， 综上所述，满足条件的AM的长为2或8． 28．综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法（S正方形ABED＝4S△ABC+S正方形CFGH）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2＝c2． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形ABCD，△EBC的面积：S梯形ABCD＝　　 ，S△EBC＝　　 ，已知，再探究梯形ABCD，四边形AECD，△EBC面积之间的关系，则它们满足的关系式为　　 ，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝70米，BC＝50米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜40时，代数式的最小值为　41　 ． 【解答】解：（1）， ， ∵S梯形ABCD＝S△EBC+S四边形AECD，， ∴； 故答案为：；；； （2）作点D关于AB的对称点E，连接CE与AB交于点P，作CF⊥AD于点F， 由轴对称得PD＝PE，AD＝AE＝70， ∴PC+PD＝PE+PC≥CE， 如图，当点P在CE上时，PC+PD取最小值， ∵CF⊥AD，AD⊥AB，BC⊥AB， ∴CF＝AB＝160m，AF＝BC＝50m， ∴EF＝AF+AE＝50+70＝120（m）， ∴在Rt△CFE中，（m）， 即抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短为200m； （3）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AF⊥CF，AB＝5m，CD＝4m，BC＝40m， 设BE＝x，则CE＝40﹣x， ∴（m），（m）， ∵AE+DE≥AD， ∴当A，E，D三点共线时，AE+DE取最小值，最小值为AD的长， 在Rt△AFD中，， ∴的最小值为41， 故答案为：41． 十八．四边形综合_最值型（共1小题） 29．（1）问题①：如图1，长方形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，则AC与BD的数量关系是 AC＝BD ． ②如图2，P是长方形ABCD内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现AP2+CP2与BP2+DP2的数量关系为 AP2+CP2＝BP2+DP2 ． （2）探究：如图3，P是长方形ABCD外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在△ADC中，DA＝5，CD＝12，B是△ADC内一点，且DB＝3，∠ABC＝90°，则AC的最小值＝ 　　 ． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°， 由勾股定理可得，AC2＝AD2+DC2， 由勾股定理可得，BD2＝AD2+AB2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∴AC2＝BD2， ∴AC＝BD， 故答案为：AC＝BD； ②如图2，过P作PM⊥AD于M，交BC于N， ∴四边形ABNM是矩形， ∴AM＝BN， ∴四边形DCNM是矩形， ∴AB＝MN＝DC，DM＝CN， ∴AP2＝AM2+PM2，CP2＝CN2+PN2，BP2＝BN2+PN2，DP2＝DM2+PM2， ∴AP2+CP2＝AM2+PM2+CN2+PN2，BP2+DP2＝BN2+PN2+DM2+PM2， ∴AP2+CP2＝BP2+DP2， 故答案为：AP2+CP2＝BP2+DP2； （2）成立，理由如下： 如图3，过P作PM⊥AD于M，交BC于N， ∴四边形ABNM是矩形， ∴AM＝BN， ∴四边形DCNM是矩形， ∴AB＝MN＝DC，DM＝CN， ∴AP2＝AM2+PM2，CP2＝CN2+PN2，BP2＝BN2+PN2，DP2＝DM2+PM2， ∴AP2+CP2＝AM2+PM2+CN2+PN2，BP2+DP2＝BN2+PN2+DM2+PM2， ∴AP2+CP2＝BP2+DP2； （3）如图4，以AB、BC为边作长方形ABCE，连接BE、DE， 由（1）中规律可得AC＝BE， 由（2）得：BD2+DE2＝DA2+DC2， ∵DA＝5，CD＝12，DB＝3， ∴32+DE2＝52+122， 解得：， 当B、D、E三点共线时，BE最小， ∴AC的最小值＝BE的最小值， 故答案为：． 十九．几何变换的类型（共1小题） 30．【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】（1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积， 方法1：S阴影＝c2 ； 方法2：S阴影＝a2+b2 ； 根据以上信息，可以得到等式：a2+b2＝c2 ； 【方法迁移】 （2）如图3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，且AD是BC边上的高．求AD的长． （3）如图4，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 【解答】解：（1）， ， ∴a2+b2＝c2， 故答案为：c2，a2+b2，a2+b2＝c2； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴， ∵AD是BC边上的高， ∴， ∴3×4＝5AD， ∴AD； （3）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵BC＝6， 设BD＝x， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣x， ∵AB＝4，AC＝5， ∴在Rt△ADB中，由勾股定理，得：AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2， 在Rt△ADC中，由勾股定理，得：AD2＝AC2﹣CD2＝52﹣（6﹣x）2， ∴42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2， 解得：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $