精品解析：河北衡水市枣强中学2026-2027学年高二上学期第二次调研考试数学试题

2026-2027上学期高二年级第二次调研考试数学试题 一、单选题(每题5分，只有一个正确选项，选对得5分，选错0分，共40分) 1. 在空间直角坐标系中，点关于原点中心对称的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点关于原点中心对称的对称点为. 2. 已知直线，，且，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 3. 已知方程表示圆，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】方程整理可得， 由题意可得：，解得， 且，则，可得圆的半径， 所以的面积为. 4. 正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以为原点，所在射线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 不妨设，则，，，. 所以，. 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 5. 如图，已知斜三棱柱，设分别为与BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】因为， ， . 故选：D. 6. 已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】由题意，， 在圆中，点Q在圆上，线段的中点为M， 设，则， ∴，即：， 故选：C. 7. 已知圆，直线，若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆上恰有两个点到直线的距离等于1，再确定圆心到直线的距离的取值范围，最后利用点到直线的距离公式求解b的取值范围即可. 【详解】因为圆的方程为 ，因此圆心为 ，半径 ， 因为直线 可化为 ， 所以圆心 到直线的距离为， 又因为圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以，代入 ， 得， 即，整理得， 解得. 故选：D. 8. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由圆关于直线对称，则圆心在直线上，从而得到，即确定在直线上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用几何意义，即可求出的最小值. 【详解】 由圆：，即可得圆心，半径， 由圆：关于直线对称， 可得圆心在直线上， 所以，即，所以在直线， 又过点作圆的两条切线，切点分别为， 则， 又在直线， 则可表示到直线上点的距离的平方， 所以的最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是将求的最小值转化为求直线上的动点到圆：的最小值问题. 二、多选题(每题6分，选全得6分，部分选对得部分，选错得0分，共18分) 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 原点到直线距离为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线与直线垂直 D. 直线与直线平行，且距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，由点到直线距离公式求结论即可判断，对于选项B，根据截距的定义求截距即可判断，对于选项C，根据斜率关系判断两直线是否垂直即可，对于选项D，由斜率关系和截距关系判断两直线是否平行，结合平行直线距离公式求距离判断结论. 【详解】对于选项A：根据点到直线的距离公式，原点到直线的距离​，A正确； 对于选项B：由，令，可得，即，直线在轴上的截距为而非，B错误； 对于选项C：直线的斜率，直线的斜率，满足，因此两直线互相垂直，C正确； 对于选项D：直线的斜率为，在轴上的截距为， 直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线的斜率相等、在轴上的截距不同，所以两直线平行； 根据平行线距离公式可得两直线间的距离，D错误. 10. 已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 过点作圆的两条切线，为切点，则直线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合直线过定点、圆的弦长、点到直线的距离最值、切点弦方程等知识点，逐一判断各选项正误. 【详解】已知圆，直线，如图所示， 对于A，将直线的方程变形为，令，解得，因此直线恒过定点，故A正确； 对于B，令，代入圆的方程得，解得，因此圆被轴截得的弦长为，故B正确； 对于C，直线恒过定点，圆心到直线的距离的最大值为、两点的距离，即，故C错误； 对于D，过圆外一点作圆的两条切线，切点弦方程为， 将点、代入得：，化简得，即直线的方程为，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 周长最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，对于A，当时，与重合，只需验证平面是否正确即可；由于不与平面平行，即点到平面的距离不是定值，可知B错误；利用平面展开图以及点共线时求出周长最小值，可判断C错误；求出正方体的外接球的半径以及球心到平面距离即可求出所得截面的面积. 【详解】对于A，连接，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图： 可得， 所以， 因此可得， 所以， 又平面，所以平面， 当时，点与重合，平面即为平面， 由平面，可得平面，可知A正确； 对于B，设点到平面的距离为， 则，其中为定值， 而不与平面平行，所以点到平面的距离不是定值， 所以三棱锥的体积不是定值，可知B错误； 对于C，由正方体的棱长为2可知， 将平面与平面展开铺平到同一平面内， 连接交于点，如下图： 当共线时，的周长最小， 在平面图中易知， 显然， 所以的周长最小值为，可知C错误； 对于D，当时，可得，因此， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 易知正方体的外接球球心为，则， 因此到平面的距离为， 可知外接球半径为， 所以截面圆半径， 所以所求截面的面积，可知D正确. 故选：AD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且，那么_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行关系得到直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，利用数量积为0得到方程，求出答案. 【详解】，则直线l的方向向量与平面α的法向量垂直， 故，解得. 故答案为： 13. 已知直线过点且在y轴上的截距是，在x轴上的截距是，若，则的斜截式方程为________. 【答案】或. 【解析】 【详解】当直线过原点时，符合题意，此时的直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由题意知，将代入得，解得，， 所以直线方程为.综上，直线方程为或. 14. 已知直线 与曲线 恰有一个公共点，则实数 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与半圆有且只有一个交点，数形结合，即可求出实数的取值范围. 【详解】曲线即为半圆：， 而直线过定点，如图： 当直线过时，；过时，， 当直线与半圆相切时，，故或（舍）， 所以，当直线与半圆有且只有一个交点时，或， 故实数 的取值范围为， 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，从而求出边上的高所在直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程即可； （2）先求出的中点坐标，然后求出边上的中线所在直线的斜率，利用点斜式先表示出直线方程，然后化为一般方程即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的点斜式方程为， 则其斜截式方程为． 【小问2详解】 设是边的中点， 则，即， 则， 所以边上的中线的方程为，即：， 所以边上的中线的一般式方程为：． 16. 在棱长为1的正方体中，为的中点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得相关向量的坐标，利用向量在向量上的投影向量公式计算； （2）利用空间向量点到平面的距离公式计算. 【小问1详解】 在棱长为1的正方体中， 可知，，， 所以，， 所以，向量在向量上的投影向量为 ， 所以，向量在向量上的投影向量的坐标为: . 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则，则， 即， 取，，， 则平面的一个法向量为， 又， 所以，， 所以，点到平面的距离为: . 17. 已知圆的圆心在上，点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标，求的中点坐标，由垂径定理得到，即可求得圆心坐标，然后求得半径，即可写出圆的方程； （2）当斜率不存在时，写出直线方程，联立方程组求得，验证此时直线是否满足题意；当斜率存在时，设直线方程，得到圆心到直线的距离，由垂径定理求得斜率，即可得直线方程. 【小问1详解】 圆心在直线上，设圆的圆心为，的中点为. 因为，，所以的中点的坐标为. 因为，所以，即，解得， 所以圆心的坐标为，所以半径， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，因为直线过，所以直线的方程为. 将代入，得， 解得或，所以，成立. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 因为，所以，解得， 所以方程为，即. 综上，直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）设棱的中点为，求直线与平面所成角的正弦值. （2）棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，利用向量的夹角公式即可求解； （2）设，即，求平面的法向量，显然为平面的一个法向量，利用向量的夹角公式得，解出即可求解. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 由为等边三角形，所以，又平面平面， 平面平面，所以平面，又平面， 所以，由底面为直角梯形，，， 所以四边形为平行四边形，所以，又，所以， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图： 又，是边长为2的等边三角形， 所以， 所以， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 设，所以， 又， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 显然为平面的一个法向量， 所以，解得， 又，所以， 所以在棱上存在一点，当时，平面与平面夹角的余弦值为. 19. 设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． （1）求点所在圆的方程． （2）设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）①或； ②设，，， 联立直线l与圆的方程得， ，， ， ， 直线方程为，令，解得， 直线过定点，命题得证． 【解析】 【分析】（1）结合题干定义及已知条件，得出，再利用两点间距离公式列出方程，整理并化简为标准形式即可； （2）①利用直线与圆的位置关系，结合已知条件求出直线方程；②联立直线与圆的方程，利用韦达定理结合求出之间的关系，进而表示直线方程证明结论． 【小问1详解】 ，，即， ，设点， ，即， 整理得，即圆的方程为． 【小问2详解】 ①设为的中点，，． 又，，即圆心到直线的距离为1． 圆心到直线l的距离，又点在直线上，即， 联立，解得或． 直线的方程为或，即或． 直线的方程为或． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027上学期高二年级第二次调研考试数学试题 一、单选题(每题5分，只有一个正确选项，选对得5分，选错0分，共40分) 1. 在空间直角坐标系中，点关于原点中心对称的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，且，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示圆，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知斜三棱柱，设分别为与BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是（ ）. A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(每题6分，选全得6分，部分选对得部分，选错得0分，共18分) 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 原点到直线距离为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线与直线垂直 D. 直线与直线平行，且距离为 10. 已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 过点作圆的两条切线，为切点，则直线的方程为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 周长最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且，那么_____. 13. 已知直线过点且在y轴上的截距是，在x轴上的截距是，若，则的斜截式方程为________. 14. 已知直线 与曲线 恰有一个公共点，则实数 的取值范围为_____. 四、解答题（共77分） 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 16. 在棱长为1的正方体中，为的中点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）求点到平面的距离. 17. 已知圆的圆心在上，点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）设棱的中点为，求直线与平面所成角的正弦值. （2）棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． （1）求点所在圆的方程． （2）设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $