【期中专项】专项01 一元二次方程的解法（高效培优期中专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

专项01 一元二次方程的解法 目 录 考点01 一元二次方程的概念与解法选择 考点02 配方法应用 考点03 根的判别式 考点04 换元法解方程 考点01　一元二次方程的概念与解法选择 难度层级：基础　|　知识点：一元二次方程的概念/一般式 + 直接开平方/配方/公式/因式分解 1．C 2．D 3．（答案不唯一） 4．（1），； （2）①，；②，． 5．（1） （2） 6．（1）， （2）， 7．（1） （2） 8．（1）， （2）， （3）， 考点02　配方法应用 难度层级：提升　|　知识点：配方法的应用 9．2 10．（1）；2；（2）的面积为或；（3）． 11．（1）8 （2）证明：= ∵无论取何实数，都有，∴ ∴无论取何实数，二次根式 都有意义． 12．（1）；（2），；（3） 考点03　根的判别式 难度层级：基础　|　知识点：根据判别式判断根的情况 13．D 14．A 15．① ② 有两个不相等的实数根 16．（1） （2）解：由（1）得， 当时，则，， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． 考点04　换元法解方程 难度层级：提升　|　知识点：换元法解一元二次方程 / 解分式方程（化为一元二次） 17．（1）降次 （2）， 18．（1）， （2）， 19．， 20．（1） （2），，， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01 一元二次方程的解法 目 录 考点01 一元二次方程的概念与解法选择 考点02 配方法应用 考点03 根的判别式 考点04 换元法解方程 考点01　一元二次方程的概念与解法选择 难度层级：基础　|　知识点：一元二次方程的概念/一般式 + 直接开平方/配方/公式/因式分解 1．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（ ） A. C. B. D. 2．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（ ） A. ①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C. ①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 3．根据因式分解法解一元二次方程的方法，写出一个以x为未知数，和4为根的一元二次方程：________（化为一般形式）． 4．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 解方程，我们可以按下面的方法解答． （1）因式分解：． ①竖分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． （2）根据乘法原理，若，则或，则方程的解为 ① ． 任务： （1）填空①：_____． （2）用因式分解法解下列方程． ①． ②． 5．用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 6．解下列方程： （1）（用公式法） （2）（用配方法） 7．用因式分解法解下列方程： （1）． （2）． 8．按要求解下列方程： （1）（公式法） （2）（配方法） （3）（因式分解法） 考点02　配方法应用 难度层级：提升　|　知识点：配方法的应用 9．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为________． 10．综合与实践 【方法研究】 配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ，， ， 的最大值为-3． 【探索探究】 （1）若，满足，则__________，__________． （2）若等腰的三边长，，均为整数，且满足，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求四边形的面积． 11．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： ； ∵无论取何实数，都有，∴，即的最小值为2． 请利用上述知识解决以下问题： （1）求代数式的最小值． （2）证明：无论取何实数，二次根式 都有意义． 12．综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 考点03　根的判别式 难度层级：基础　|　知识点：根据判别式判断根的情况 13．为分析一元二次方程根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（ ） A. C. B. D. 14．利用判别式判断方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 C. 方程有一个实数根 B. 方程有两个相等的实数根 D. 方程无实数根 15．方程的根的判别式 ________，这个方程根的情况为________． 16．已知整式． （1）化简； （2）若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 考点04　换元法解方程 难度层级：提升　|　知识点：换元法解一元二次方程 / 解分式方程（化为一元二次） 17．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解：由方程①，得，． 当时，即，此方程无解； 当时，即，， 原方程的解为， 【解决问题】 （1）在由原方程到方程①的过程中，是利用换元法达到_________．（选填“降次”或“消元”）的目的，体现了数学的转化思想； （2）请仿照材料的方法，解下列方程：． 18．阅读理解 在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化、明朗化．在解高次或多元方程时，换元法可以帮助我们降低方程的次数或减少未知数的个数，使方程变得更易于解决． 比如：方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，通常用换元法求方程的解，过程如下： 设，那么，于是原方程可化为， 解得，， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴原方程有四个根：，，，． 学以致用 用换元法解下列方程： （1）． （2）． 19．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程：． 20．阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设…①，那么原方程可化为．解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为，，，． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程转化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题： （1）用换元法把方程化为一元二次方程的一般形式； （2）用换元法解方程． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01 一元二次方程的解法 目 录 考点01 一元二次方程的概念与解法选择 考点02 配方法应用 考点03 根的判别式 考点04 换元法解方程 考点01　一元二次方程的概念与解法选择 难度层级：基础　|　知识点：一元二次方程的概念/一般式 + 直接开平方/配方/公式/因式分解 1．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式．根据一元二次方程的求根公式即可求解． 【详解】解：形如的一元二次方程， 当时， 其两根为， ∵一元二次方程的根为， ∴， 故选：C． 2．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（ ） A. ①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C. ①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据各方程的特点逐一判别即可． 【详解】①，适合③直接开平方法； ②，适合公式法； ③，适合因式分解法； ④，适合因式分解法． 故选：D． 3．根据因式分解法解一元二次方程的方法，写出一个以x为未知数，和4为根的一元二次方程：________（化为一般形式）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 4．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 解方程，我们可以按下面的方法解答． （1）因式分解：． ①竖分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． （2）根据乘法原理，若，则或，则方程的解为 ① ． 任务： （1）填空①：_____． （2）用因式分解法解下列方程． ①． ②． 【答案】（1），； （2）①，；②，． 【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式的应用，解题的关键是正确利用十字相乘法分解因式． （1）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可； （2）①②利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可． 【小问详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得，； 故答案为：，； 【小问详解】解：①， 因式分解得， ∴，， 解得，； ②， 因式分解得， ∴，， 解得，． 5．用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查的是用直接开方法解一元二次方程，解题的关键是将方程化成的形式； 利用直接开平方法解方程，通过移项，系数化为1，将方程进行变形成上述形式，再进行开方，即可得出答案. 移常数项，二次项系数化为，直接开平方，即可求解； 移常数项后直接开平方，求出的值后再求. 【小问详解】移项，得， 【小问详解】移项，得， 6．解下列方程： （1）（用公式法） （2）（用配方法） 【答案】（1）， （2）， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； 解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【小问详解】 ，， ∴ ∴ 解得，； 【小问详解】 ∴ 解得，． 7．用因式分解法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查用因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1）整理，得， ， 即， 解得． （2）根据平方差公式，得， 整理，得， 或， 解得． 8．按要求解下列方程： （1）（公式法） （2）（配方法） （3）（因式分解法） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可解答； （2）利用配方法解一元二次方程即可解答； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【小问详解】解：，，， ， ∴， ∴，； 【小问详解】解：配方，得， 即 开方，得 ∴，； 【小问详解】解：移项，得 则 ∴或 ∴，． 考点02　配方法应用 难度层级：提升　|　知识点：配方法的应用 9．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了配方法的应用，不等式的性质，由已知式子表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质以及不等式的性质求出最大值即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， ∴当时，有最大值，最大值为：2． 故答案为：2． 10．综合与实践 【方法研究】 配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ，， ， 的最大值为-3． 【探索探究】 （1）若，满足，则__________，__________． （2）若等腰的三边长，，均为整数，且满足，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求四边形的面积． 【答案】（1）；2；（2）的面积为或；（3）． 【分析】（1）利用配方法得到，据此可得答案； （2）利用完全平方公式把已知条件式变形为，再根据非负数的性质得到，据此分腰长为4和腰长为5，根据构成三角形的条件和勾股定理求出底边上的高，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）利用配方法得到求出的最小值，从而得出是的一个根，得到，由四边形的周长为求出，再由勾股定理可得，最后由，求出的值即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；2； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当腰长为4时，则底边长为5， ∵， ∴此时能构成三角形， 如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴； 当腰长为5时，则底边长为4， ∵， ∴此时能构成三角形， 如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或； （3） ， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∵代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， 是的一个根， ， ， 四边形的周长为， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、运用完全平方公式进行计算、等腰三角形的定义，构成三角形的条件，一元二次方程解的定义，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键． 11．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： ； ∵无论取何实数，都有，∴，即的最小值为2． 请利用上述知识解决以下问题： （1）求代数式的最小值． （2）证明：无论取何实数，二次根式 都有意义． 【答案】（1）8 （2）证明：= ∵无论取何实数，都有，∴ ∴无论取何实数，二次根式 都有意义． 【分析】（1）先把配方得到，再结合偶次方的非负性可得代数式的最小值； （2）先把被开方数通过配方化为，再结合偶次方的非负性与二次根式有意义的条件可得结论． 【小问详解】解：== ∵无论取何实数，都有，∴， ∴代数式的最小值为8． 【小问详解】略 【点睛】本题考查的是配方法的应用，代数式的最值，偶次方的非负性的应用，二次根式有意义的条件，掌握以上基础知识是解本题的关键． 12．综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握配方法，根据题目给出的方法进行求解； （1）按照例题给出的方法计算即可； （2）按照题目给出的方法配方，再根据非负数的性质求出字母的值即可； （3）根据“勾系一元二次方程”的定义得出一元二次方程各系数的关系，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 的最小值为； （2）， ， ， ， ，， ，， ，； （3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴（负值舍去），， 四边形的周长为． 考点03　根的判别式 难度层级：基础　|　知识点：根据判别式判断根的情况 13．为分析一元二次方程根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先将方程化为一般形式，再计算判别式 ，判断即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 其中，，， ∴， 故只有选项D正确； 故选D． 14．利用判别式判断方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 C. 方程有一个实数根 B. 方程有两个相等的实数根 D. 方程无实数根 【答案】A 【分析】计算判别式的值判断二次方程根的情况即可，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ， ， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 15．方程的根的判别式 ________，这个方程根的情况为________． 【答案】① ② 有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式的计算及方程根的判断，注意当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程没有实数根． 直接把方程中的、、代入判别式进行计算，再根据判别式的正负情况判断根的情况即可． 【详解】解：方程中，，， 所以， 所以该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：；有两个不相等的实数根． 16．已知整式． （1）化简； （2）若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【答案】（1） （2）解：由（1）得， 当时，则，， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，得，即可作答． （2）由得，则即可作答． 【小问详解】解： ； 【小问详解】略 考点04　换元法解方程 难度层级：提升　|　知识点：换元法解一元二次方程 / 解分式方程（化为一元二次） 17．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解：由方程①，得，． 当时，即，此方程无解； 当时，即，， 原方程的解为， 【解决问题】 （1）在由原方程到方程①的过程中，是利用换元法达到_________．（选填“降次”或“消元”）的目的，体现了数学的转化思想； （2）请仿照材料的方法，解下列方程：． 【答案】（1）降次 （2）， 【小问详解】略 【小问详解】解：对于方程， 设， 原方程化为， 因式分解得， 解得，， 当时，， 整理得， 因式分解得， 解得，； 当时，， 整理得， ，方程没有实数根， 综上，原方程的解为，． 18．阅读理解 在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化、明朗化．在解高次或多元方程时，换元法可以帮助我们降低方程的次数或减少未知数的个数，使方程变得更易于解决． 比如：方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，通常用换元法求方程的解，过程如下： 设，那么，于是原方程可化为， 解得，， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴原方程有四个根：，，，． 学以致用 用换元法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【分析】本题考查换元法解方程． （1）通过换元将高次方程转化为二次方程求解； （2）通过换元处理绝对值，转化为二次方程求解． 【小问详解】解：设， 则原方程化为． ∵， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∵， ∴无实数根； 故原方程的解为，； 【小问详解】解：设，则，且， 原方程化为， 即． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴，． 19．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程：． 【答案】， 【分析】设，则原方程可变为，利用因式分解法解得，，当时，，即，利用判别式可判断此方程没有实数解；当时，，利用求根公式法解得，从而得到原方程的2个根． 【详解】解：， 设，原方程可变为，解得，， 当时，，即，因为，方程没有实数根； 当时，，解得． ∴原方程有2个根：，． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了解一元二次方程和换元法的思想． 20．阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设…①，那么原方程可化为．解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为，，，． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程转化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题： （1）用换元法把方程化为一元二次方程的一般形式； （2）用换元法解方程． 【答案】（1） （2），，， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般性质，换元法，因式分解法，公式法解一元二次方程． （1）设，则原方程变成，展开即可得出一般形式． （2）将方程变成，利用换元法设，则，再利用因式分解法解出y的值，再分时和时，分别利用因式分解法以及公式法求出x的值即可． 【小问详解】解：设， 则原方程变成： 展开得： 即 【小问详解】解：可变形为： 展开即， 设， 则方程变为， 展开得：， ， ∴，． 当时，则，即， ∴，， 当时，则，即， ， ∴， ∴，， 故原方程的解为：，，，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $