23.1 图形的旋转（分层作业）数学人教版九年级上册

23.1 图形的旋转 题型一 图形的旋转 1．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西防城港·期中）如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   4．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）下列现象属于旋转的是（   ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 题型二 找旋转中心、旋转角、对应点 1．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点 ．（填“”或“”） 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期末）图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度，旋转后的风车能与自身重合． 4．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到 ． 题型三 求绕原点旋转90◦的点的坐标 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南漯河·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．（23-24九年级上·山东临沂·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点的坐标旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为（　　）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·天津东丽·期中）如图，中，，，，把绕点旋转后得到，则点的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 题型五 画旋转图形 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)的面积为______．（直接写出） 3．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的，并写出点．、的坐标． 4．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、．    (1)作出将绕点逆时针旋转后的图形； (2)点的坐标为______；点的坐标为______． 题型六 利用旋转的性质求解 1．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合 (1)旋转中心是点______； (2)若，求旋转角的度数． 2．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，是等边内一点，连接、、，得，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 3．（24-25九年级上·天津西青·期中）如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长． 4．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，D是等边内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，且． (1)求的度数； (2)若，求证：． 题型一 坐标与旋转规律问题 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（   ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 4．（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型二 线段问题 1．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图1，将等腰绕正方形的顶点A逆时针方向旋转，其中，，连接，点H为的中点，连接，，，得到． (1)如图2，当点E恰好落在正方形的对角线上时，判断的形状，并说明理由． (2)如图3，当点E恰好落在正方形的边上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)发现若连接，在旋转的过程中，为定值，请你直接写出的值_______． 3．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论． 请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．    (1)线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型三 角度问题 1．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 2．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 3．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）问题提出  如图（1），已知，，将边绕点顺时针旋转至处，连接，为的中点，为边中垂线上一点，．探究的值． 问题探究  （1）先将问题特殊化． ①如图（2），当时，不存在确定的点，请说明理由； ②如图（3），当在的延长线上时，连接，发现，请证明这个结论； （2）再探究一般情形．如图（1），当时，证明（1）②中的结论仍然成立． 问题拓展  （3）当时，若，请直接写出的值． 4．（2023·广东深圳·模拟预测）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______． 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______． 题型四 面积问题 1．（22-23九年级上·河南安阳·期中）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，C上，若，则，，之间的数量关系为________________；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转90°） 解决问题： （2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系； 拓展应用： （3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积． 2．（23-24九年级上·广东清远·期末）在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转. (1)初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由； (2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 3．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．    (1)当点E落在上时，则线段的长度等于 ； (2)如图2，当点E落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 4．（22-23九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，与均为等腰直角三角形，，F，G，H分别是，，的中点，连接，，． (1)当E在延长线上时，如图①，的形状是_____； (2)将绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由； (3)若，，绕点C逆时针旋转一周，直接写出面积的最大值和最小值． 1．（24-25九年级上·重庆·开学考试）在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． (1)如图1，若，连接交于点E，若，求的长； (2)如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 2．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)点C的坐标为 ，点D的坐标为 ； (2)如图2，将沿x轴正方向平移得，当经过点D时，求平移的距离； (3)若点P在y轴上，点Q在直线上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·湖北随州·阶段练习）将正方形和正方形如图1摆放，使D点在边上，M为中点， (1)连接，，则容易发现，间的关系是___________； (2)操作：如图2，把正方形绕C点顺时针旋转，使对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点M，探究线段，的关系，并加以说明 (3)将正方形绕点C顺时针旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，并加以证明． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）综合与实践 【问题情境】 我们定义：如图（a），在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）在图（b）和图（c）中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图（b），当为等边三角形时，与的数量关系为__________； ②如图（c），当，时，则长为__________． 【猜想论证】 （2）如图（a），当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）如图（d），在四边形中，，，，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求出的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.1 图形的旋转 题型一 图形的旋转 1．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·广西防城港·期中）如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了判断由一个图形旋转而成的图形，发挥自身的空间想象能力是解题的关键．根据旋转的定义即可直接得出答案．注意，要看清是顺时针旋转还是逆时针旋转． 【详解】 解：根据旋转的定义，将  按顺时针方向旋转后的图形是  ， 故选：． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是：    故选：D． 4．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）下列现象属于旋转的是（   ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【分析】本题考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、火箭冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 题型二 找旋转中心、旋转角、对应点 1．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了找旋转中心，根据网格的特点找到的垂直平分线的交点，即为所求 【详解】解：如图所示，的垂直平分线的交点为，点即为旋转中心 故答案为：． 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ． 【答案】/150度 【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案． 【详解】解：∵将一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到， ∴与是对应边， ∴旋转角． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期末）图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度，旋转后的风车能与自身重合． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了4份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴绕着它的中心旋转，旋转角至少，旋转后的风车能与自身重合， 故答案为： ． 4．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心到对应点的距离相等以及垂直平分线的性质是解决本题的关键． 根据旋转的性质可得：旋转中心到对应点的距离相等，则旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，据此作图确定旋转中心，然后直接读出坐标即可． 【详解】解：如图，连接，分别作线段、线段的垂直平分线，相交于点， 则点即为旋转中心． 故答案为：． 题型三 求绕原点旋转90◦的点的坐标 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， 由旋转可得：，， ， 轴，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系，全等三角形的性质与判定；如图，过、两点分别作轴，轴的垂线，垂足为、，由旋转可知，，则，，由此确定点的坐标． 【详解】解：如图，过、两点分别作轴，轴的垂线，垂足为、， 线段绕点顺时针旋转， ， ，且，， ， ，， ， 故选D． 3．（24-25九年级上·河南漯河·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，根据题意作轴，轴，证明出，得到，，，进而求解即可． 即可求解． 【详解】解：如图所示：作轴，轴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，垂足分别为D、E，    ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：D． 题型四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．（23-24九年级上·山东临沂·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解． 【详解】如图， 三角板绕原点顺时针旋转， 旋转后与轴夹角为， ， ， 点的横坐标为， 纵坐标为， 所以，点的坐标为． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是过点作轴于，轴于，求得，，，根据旋转的性质得出，，解直角三角形求得，，从而求得，． 【详解】解：过点作轴于，轴于， 在等腰中，，， ，， ， ， 将绕原点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ，， 故选：B．    3．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点的坐标旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中心对称的性质可知，点是的中点，再根据中点坐标公式可得点的坐标． 【详解】解：由题可知， 点是的中点， 又，， 所以：，． 得，． 即． 故选：． 【点睛】本题考查利用中心对称求点的坐标，发现点是的中点，并正确使用中点坐标公式是解题的关键． 4．（23-24九年级上·天津东丽·期中）如图，中，，，，把绕点旋转后得到，则点的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分当把绕点逆时针旋转后得到，当把绕点顺时针旋转后得到，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当把绕点逆时针旋转后得到时， ∵，，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴三点共线， ∴； 如图所示，当把绕点顺时针旋转后得到时，过点作轴于C， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型五 画旋转图形 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，， 【分析】本题主要考查了旋转的作图，先画出点A、B、C绕点顺时针旋转后的对应点，再依次连接即可，根据图形即可写出点的坐标． 【详解】解：如图，即为所求，. 2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)的面积为______．（直接写出） 【答案】(1)作图见解析 (2)9 【分析】本题考查了旋转作图，三角形的面积，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别找到点的对应点即可； （2）利用网格求三角形面积即可； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：． 故答案为：9． 3．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的，并写出点．、的坐标． 【答案】画图见解析，，， 【分析】本题考查了作图−-旋转变换，坐标与图形等知识，根据旋转的性质和网格的特征作出A、B、C绕点O旋转后对应的点，连接即可． 【详解】解：如图，即为所求， ， 由图知：，，． 4．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、．    (1)作出将绕点逆时针旋转后的图形； (2)点的坐标为______；点的坐标为______． 【答案】(1)   (2)点的坐标为；点的坐标为 【分析】本题考查了旋转作图，解题的关键是作出对应点的坐标．（1）先作出点、旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（2）由作图结果可知点的坐标为；点的坐标为． 【详解】（1）解：如图所示，作出点、绕点逆时针旋转后的对应点、，然后顺次连接，则即为所求．    （2）由图可知，点的坐标为；点的坐标为． 题型六 利用旋转的性质求解 1．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合 (1)旋转中心是点______； (2)若，求旋转角的度数． 【答案】(1) (2)旋转角的度数为 【分析】本题主要考查的旋转的性质，等腰三角形的定义，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，结合题意即可求解； （2）根据等边对等角，三角形内角和定理得到的角度，由旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵将旋转后能与重合， ∴旋转中心是点， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵将旋转后能与重合， ∴旋转角为，旋转角的度数为． 2．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，是等边内一点，连接、、，得，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为13 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）连接，先证明为等边三角形，再证明即可得出结论； （2）先求出，根据勾股定理求出，进而求出结论； 【详解】（1）证明：连接，如图， 为等边三角形， ，， 线段绕点顺时针旋转得线段， ，， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， 为等边三角形， ， 在中，，， ， 的长为13． 3．（24-25九年级上·天津西青·期中）如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质得到，，求得，判定全等即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：由旋转可得：，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴由（1）可知， 在中， 由勾股定理，得， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理，得． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，D是等边内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，且． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据旋转得到，推出是等边三角形，进而得到，垂直得到，再根据角的和差关系求出的度数即可； （2）旋转得到，结合，得到，结合，得到垂直平分即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （2）根据题意得：， ， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ． 题型一 坐标与旋转规律问题 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，与旋转有关的点的坐标规律探索，根据题意可得每旋转八次点的对应点就与旋转前点A的位置重合，那么与的位置重合，进而可得的位置与点A绕点O顺时针旋转后点C对应点的位置相同，即的位置，过点作x轴的垂线，垂足为D，证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次点的对应点就与旋转前点A的位置重合， ∵， ∴与的位置重合， ∵是点A绕点O顺时针旋转得到的， ∴的位置与点A绕点O顺时针旋转后点C对应点的位置相同，即的位置， 如图所示，过点作x轴的垂线，垂足为D， 由旋转的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移．由于，因此点向右平移即即可到达点，根据点的坐标就可求出点的坐标． 【详解】解：连接，如图所示． 四边形是菱形， ． ， 是等边三角形． ， 画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示． 由图可知：每翻转次，图形向右平移． ， 点向右平移即到点． 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（   ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题， 先求出各点的坐标，再根据规律解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是旋转的旋转，坐标规律的探究，勾股定理的应用，如图，过作轴于，求解，旋转1次后，再结合每旋转4次为一个循环可得答案． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得：， 由，可知每旋转4次为一个循环， ， 故第2025次旋转结束时点B的位置与第1次旋转结束时点B（即）的位置相同， 故选A． 题型二 线段问题 1．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图1，将等腰绕正方形的顶点A逆时针方向旋转，其中，，连接，点H为的中点，连接，，，得到． (1)如图2，当点E恰好落在正方形的对角线上时，判断的形状，并说明理由． (2)如图3，当点E恰好落在正方形的边上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)发现若连接，在旋转的过程中，为定值，请你直接写出的值_______． 【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及正方形的性质即可求证结论． （2）连接，过点作于，利用正方形的性质及可得，进而可得，，再根据平行线分线段成比例可得，可得，再利用等腰三角形的判定及角的等量代换即可求证结论． （3）利用正方形的性质及相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， 是等腰直角三角形． （2）成立，理由： 连接，过点作于，如图： 四边形是正方形， ， ，，， , .， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． （3）连接、，如图： 四边形是正方形， ， 将等腰绕正方形的顶点A逆时针方向旋转， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握基础知识，适当添加辅助线，寻找全等三角形及相似三角形解决问题． 3．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论． 请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．    (1)线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转与三角形综合， （1）先证明三点共线，再证明，得到，即可证明； （2）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，先求出，由旋转的性质可知，则，证明，得到，利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：结论： 理由：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴三点共线， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）结论：,证明如下：      如图所示，将绕点A顺时针旋转得到． ∵， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题涉及了旋转变换，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 题型三 角度问题 1．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)小颖的结论正确，理由见详解． 【分析】（1）根据SAS证明，即可得到． （2）由可得又因为因此得根据AAS可得，则，再根据HL可得，则因此． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， 又 即 ∴ （2）解：小颖的结论正确，理由如下： 如图，过A点作于M，于N， ∵ 又 ∵ 又 ∴ 在和 中 ∴ ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，恰当的添加辅助线是解题的关键． 3．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）问题提出  如图（1），已知，，将边绕点顺时针旋转至处，连接，为的中点，为边中垂线上一点，．探究的值． 问题探究  （1）先将问题特殊化． ①如图（2），当时，不存在确定的点，请说明理由； ②如图（3），当在的延长线上时，连接，发现，请证明这个结论； （2）再探究一般情形．如图（1），当时，证明（1）②中的结论仍然成立． 问题拓展  （3）当时，若，请直接写出的值． 【答案】（1）①见解析． ②见解析； （2）． （3）或． 【分析】（1）①当时，在图中找到的中垂线，看能否满足即可； ②先证明≌，根据，得到，最后利用，即可证明结论； （2）先证明出，得到，再证明出，通过性质可证明出，得到，根据，得到，最后根据，即可得证； （3）仿照（2）的过程依次证明，，再通过角的转换即可得到答案． 【详解】解：（1）①当时， 为的中位线， 经过点的的垂线与的中垂线重合， ∴此时点在的中垂线上任何位置都能满足， 故不存在确定的点． ②证明：连接． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵在的中垂线上， ∴， ∴． ∵， ∴≌． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）延长至，使得，连接，．连接并延长交于点． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴． （3）延长至F，使得，连接、并延长交于点G，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 由（2）可得， ∴， ， ∴， ∴， 当时，延长至F，使得，连接、， 同理可得， ∵ ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查三角形旋转的综合问题、全等三角形的性质和判定及辅助线作图，解题关键是作出正确的辅助线并找出三角形全等． 4．（2023·广东深圳·模拟预测）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______． 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）45°或225° 【分析】（1）根据前面的结论，得到且，，得到，，计算即可． （2）延长到点F,使，连接，证明，过点B作，交于点M，N,再证明 ． （3）当共线时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；计算即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）根据前面的结论，得到且，，得到， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案：，． （2）延长到点F，使，连接， ∵， ∵ ∴， ∴，， 过点B作，交于点M，N, ∴，， ∴， 设的交点为Q， 则， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵,， ∴, ∴, ∴且． 故结论仍然成立． （3）如图，当共线时， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，此时旋转角等于的度数即； 当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，此时旋转角等于的度数即； 故答案为：或． 题型四 面积问题 1．（22-23九年级上·河南安阳·期中）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，C上，若，则，，之间的数量关系为________________；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转90°） 解决问题： （2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系； 拓展应用： （3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】（1）以点为旋转中心，将顺时针旋转得，可得，，，然后证明，可得，进而可得结论； （2）以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，可得，，，然后证明，可得 进而证得，再根据勾股定理可得结论； （3）连接，过点作于，根据菱形性质可得，是等边三角形，然后证明，可得，然后根据等边三角形的面积即可解决问题． 【详解】（1），理由如下： 如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得， 将顺时针旋转得， ，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， （2）如图，以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，连接． 绕点逆时针旋转得到， ，，． 由题知，，， ． ． ． ， ． ． 是等腰直角三角形， ． ． ， ． （3）． 如图，连接，过点作于， 四边形是菱形，， ，是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形，， ， 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，利用旋转通过添加适当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 2．（23-24九年级上·广东清远·期末）在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转. (1)初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由； (2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②四边形的最大面积为20，最小面积为16 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理． （1）由矩形的性质可得，，从而通过“”证明，即可得到； （2）①过点Q作于点K，作于点L．由矩形和矩形得到，，因此四边形是平行四边形．通过“”证明，得到，从而得证是菱形； ②由菱形的面积公式可得，而在中，，因此当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值．而随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大．当点F与点C重合时或点E与点B重合时， 有最大值；当点N与点K重合时，，为最小值．分别求解即可解答． 【详解】（1），理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ （2）①过点Q作于点K，作于点L． ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ， ∴，， ∴， ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∵矩形和的宽相等，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∵在中，， ∴当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值． ∵随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大． 如图①，当点F与点C重合时，有最大值，此时点A与点Q，点D与点K重合， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴ ∴， ∴ ， 或如图②，当点E与点B重合时，有最大值，此时点D与点G，点N重合 同理设，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴ ∴ ， 即菱形面积的最大值为20； 如图③，当点N与点K重合时，，为最小值，此时， ∴ 即菱形面积的最小值为16； 综上所述，四边形的最大面积为20，最小面积为16． 3．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．    (1)当点E落在上时，则线段的长度等于 ； (2)如图2，当点E落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见解析 (4)的最大为12 【分析】（1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可； （2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积； （3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出； （4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，， ，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值． 【详解】（1）解：当落在上时，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴每个内角都等于， ∵，由勾股定理得： ， 由旋转的性质可知：， ∴， 故答案为：2； （2）解：当点E落在上时，过点B作于点M，    在中，由勾股定理得： , ∵是直角三角形，， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P，    由旋转的性质知：，， ∴在等腰和等腰中得到：，， ∴， ∵， ∴， 即； （4）解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，    ∴， ， ∵ ∴， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， ∴当点三点共线时，，此时最大， ∴的最大值为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算，属于中考压轴题，难度较大，在旋转的过程中，找到变化的量和不变的量，通过分析得出三点共线时．最大是解题的突破口． 4．（22-23九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，与均为等腰直角三角形，，F，G，H分别是，，的中点，连接，，． (1)当E在延长线上时，如图①，的形状是_____； (2)将绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由； (3)若，，绕点C逆时针旋转一周，直接写出面积的最大值和最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)成立，理由见解析 (3)最大值：，最小值： 【分析】（1）根据F、G分别是、的中点和、是等腰直角三角形即可得出结论． （2）分别取和的中点M、N，连接、、、，根据中位线的性质可求得，再结合是等腰直角三角形，可证，从而得出结论． （3）绕点C逆时针旋转一周，则相当于H在点C为圆心，为半径的圆上移动，当点H运动到N点时，有最小值，运动到M点时，有最大值． 【详解】（1）是等腰直角三角形， 解：∵F、G分别为、的中点，且， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴是等腰直角三角形． （2） 成立，理由如下， 解：取的中点M，的中点N，连接、、、，交于点P， ∵F、G分别 、的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， 同理， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：若绕点C逆时针旋转一周，则相当于H在以C为圆心，为半径的圆上移动， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， 由（2）知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，l为H到的距离， ∴当H在与交点N处时，有最小值，在交点M处时有最大值， ∵与相交与点P， ∴， ∴，， ∴面积最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查了三角形旋转的综合问题，涉及到了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定以及垂线段最短，正确做出辅助线是解题的关键． 1．（24-25九年级上·重庆·开学考试）在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． (1)如图1，若，连接交于点E，若，求的长； (2)如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)8． 【分析】（1）根据旋转可得，即可得到，据此求解即可； （2）连接，与交于点O，根据角平分线可得，进而得到，，得到，，可得，即可推出和是等腰直角三角形，据此求解即可； （3）如图，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F，根据一线三垂直模型可证明，得，，设,则， ，得到四边形是矩形，四边形是正方形，再说明M与O重合，，最后根据，得到当A、N、E三点共线时取得最小值，得到，解得，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，与交于点O，如图2， 由旋转可得，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴G、B、D三点共线，且是等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得； （3）如图3，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F， ∵将绕点P逆时针旋转90°得到， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴点B在上，，, ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴O为的中点， ∵M为的中点， ∴M与O重合，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、N、E三点共线时取得最小值，此时， ∴, ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称与最小值，勾股定理，30°直角三角形的性质，涉及知识点比较多，难度比较大． 2．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)点C的坐标为 ，点D的坐标为 ； (2)如图2，将沿x轴正方向平移得，当经过点D时，求平移的距离； (3)若点P在y轴上，点Q在直线上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平移的距离是个单位． (3)满足条件的点Q的坐标为或或． 【分析】（1）先根据一次函数的性质求得B的坐标，进而确定的长，设，即；再证明可得，进而用c表示出点D的坐标，最后代入直线即可解答； （2）先运用待定系数法求得求的解析式，求出点的坐标即可解答； （3）如图3：作交y轴于P，作交于Q，则四边形是平行四边形，求出直线的解析式，可得点P坐标，点C向左平移1个单位，向上平移个单位得到P，推出点D向左平移1个单位，向上平移个单位得到Q，再根据对称性可得的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴相交于A、B两点， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把点代入可得，解得：， ∴． （2）解：∵，， ∴设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入，得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴平移的距离是个单位． （3）解：如图3：作交y轴于P，作交于Q，则四边形是平行四边形， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为 把点代入可得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵点C向左平移1个单位，向上平移个单位得到P， ∴点D向左平移1个单位，向上平移个单位得到Q， ∴， 当为对角线时，四边形是平行四边形可得， 当四边形为平行四边形时，可得， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】本题属于考查一次函数综合题，主要平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法、平移、轴对称等知识点，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖北随州·阶段练习）将正方形和正方形如图1摆放，使D点在边上，M为中点， (1)连接，，则容易发现，间的关系是___________； (2)操作：如图2，把正方形绕C点顺时针旋转，使对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点M，探究线段，的关系，并加以说明 (3)将正方形绕点C顺时针旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，并加以证明． 【答案】(1)且 (2)且 (3)成立，见解析 【分析】（1）延长，，二线交于点Q，先证明，得到，代换得到，变形得，得，根据等腰三角形的性质证明即可． （2）延长交于点H，先证明，得到，代换得到，再证明，根据等腰三角形的性质证明即可． （3）过点E作，交的延长线于点N，交于点P，延长交于点K，连接，仿照（2）证明解答即可． 【详解】（1）解：，间的关系是且．理由如下： 延长，，二线交于点Q， ∵正方形和正方形 ∴，， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴且． （2）解：延长交于点H，连接， ∵正方形和正方形 ∴，， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴且． （3）解：结论还成立．理由如下： 过点E作，交的延长线于点N，交于点P，延长交于点K，连接， ∵正方形和正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴且． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，互余的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）综合与实践 【问题情境】 我们定义：如图（a），在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）在图（b）和图（c）中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图（b），当为等边三角形时，与的数量关系为__________； ②如图（c），当，时，则长为__________． 【猜想论证】 （2）如图（a），当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）如图（d），在四边形中，，，，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求出的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），证明见解析；（3）存在，证明见解析， 【分析】（1）①证明是含有角的直角三角形，可得，即可得解； ②证明，根据直角三角形斜边中线定理即可得解； （2）结论：．如图，延长到，使得，连接，，证明四边形是平行四边形，证明，即可得证； （3）存在．如图，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、、，作的中线，连接交于，证明，，再证明，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”， ∴，，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴，，， ∴， ∵，，是的“旋补中线”， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论：． 证明：如图，延长到，使得，连接，， ∴， ∵是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）在四边形内部存在点，使是的“旋补三角形”． 证明： 如图，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、、，作的中线，连接交于， ∴， ∵在四边形中，，，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴，，， 在中， ，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∵垂直平分，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，，是边上的中线， ∴是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”， ∴， ∴的“旋补中线”长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形角性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确新定义，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$