第2章 圆锥曲线（高效培优单元测试·强化卷）高二数学沪教版选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本题共12小题，前6题每题4分，后6题每题5分，共54分．） 1．若直线是双曲线的一条渐近线，则______． 【答案】3 【分析】根据双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又，所以. 2．已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 【答案】4 【详解】由题意可知椭圆的长轴长， 由于点到该椭圆的一个焦点的距离为2， 根据椭圆的定义得点到该椭圆的另一个焦点的距离为4. 3．若顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线的焦点与双曲线：的右焦点相同，则抛物线的标准方程为________． 【答案】 【分析】先根据双曲线的标准方程求出，利用算出半焦距，从而确定右焦点坐标；再根据抛物线顶点在原点且焦点在轴正半轴上，设出标准方程，利用焦点坐标求出参数，即可得到抛物线方程. 【详解】已知双曲线，则， 由，解得半焦距.故双曲线的右焦点坐标为. 因为抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在轴正半轴上， 所以设抛物线的标准方程为，其焦点坐标为. 由题意知，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，即，解得. 所以抛物线的标准方程为. 4．双曲线的两条渐近线的夹角大小是______（用反余弦表示） 【答案】 【详解】双曲线的渐近线方程为. 设的倾斜角为，则， 所以. 设两条渐近线的夹角为，则，且. 所以， 解得，所以. 5．方程组只有两组实数解，则__________． 【答案】3 【分析】变形给定方程组，再利用直线与圆相切求出的值. 【详解】由方程组只有两组实数解， 得方程组和方程组各有一组实数解， 显然，因此直线与圆都相切， 则，所以. 6．曲线的离心率为，则______. 【答案】或 【分析】根据离心率确定方程为双曲线的方程，然后按照焦点位置分类讨论，进而利用离心率公式得到关于的方程，即可得答案； 【详解】因为可化为， 因为曲线的离心率为，所以曲线必然为双曲线， 所以当时，双曲线的焦点在轴上，， 所以，则； 当时，双曲线的焦点在轴上，， 所以，则，所以； 综上，或. 7．设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 【答案】3 【分析】令，可得，结合双曲线的定义可得，结合题意可得，即可得离心率. 【详解】令，，解得，故， 因为，所以， 又因为，解得， 所以双曲线的离心率为. 8．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 / 【分析】设的内切圆半径为，结合双曲线定义与三角形面积公式推导、的关系，进而求出离心率。 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 9．椭圆的一条切线分别交轴正半轴、轴正半轴于点，则的最小值为_________． 【答案】7 【分析】利用椭圆的参数方程，切线方程以及两点间的距离公式，再结合基本不等式分析求解即可. 【详解】设切点为，切线方程为， 令得，令得， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为.    10．平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】因为曲线过原点，且已知的坐标，所以先利用卡西尼卵形线的定义，代入原点坐标求出距离之积的常数，得到. 已知与的乘积为定值，所以利用基本不等式求该函数的最小值，验证等号成立的条件是否满足曲线的约束。 【详解】由题意，曲线过原点，，，则 ，， 根据定义，对曲线上任意点，有 ， 由基本不等式得：， 等号成立当且仅当，结合，得，，满足三角不等式，存在这样的点，等号可取。 11．已知单位圆与x轴相交于A、B两点，点M是直线上的任意一点，若，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】先确定单位圆与轴交点、的坐标，设点的坐标为，将用的坐标展开化简，得到关于的表达式，因为在直线上，所以可将表达式转化为仅含的不等式，最后利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】令，代入，得，所以， 设直线上任意点， ， 所以 . 由题对任意恒成立，即对满足的所有恒成立， 将代入不等式得 ， 整理为关于的二次不等式 ，对任意恒成立， 因为，二次函数开口向上，只需判别式： 得到 ， 解得. 所以的取值范围是.    12．已知曲线的方程为，经过且倾斜角为的直线与曲线恰有2个公共点，则倾斜角的取值范围是________. 【答案】 【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象进行解答. 【详解】曲线的方程为， 当时，，图象为双曲线的上半支，渐近线为， 当时，，图象为圆的下半支， 直线经过且倾斜角为，设直线的斜率为，， 则直线的方程为， 所以直线与曲线的图象为 当直线与相切时，此时， 可得，解得， 当直线与平行时，， 因此直线与曲线要恰有两个公共点，的取值范围为， 即，. 二、单选题（本题共4小题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分。每题有且只有一个正确选项．） 13．设椭圆和双曲线的离心率分别为，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 由椭圆和双曲线的方程，得，， 所以，解得．因为，所以. 14．已知，分别为椭圆的左、右焦点，，为上两点，且，，三点共线，若线段的中点在轴上，，，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析得知为等边三角形，再根据椭圆的定义即可得到椭圆方程． 【详解】设椭圆的标准方程为， 因为，分别为，的中点，则， 又，则，即，可得， 又，且为的中点，则，所以为等边三角形， 又，则，， 所以，， 即，，则， 所以椭圆的标准方程为． 15．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点G，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式可得，，，结合数量积可得，即可得离心率. 【详解】由题得设O为坐标原点，，连接， 因为双曲线的渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离为，则，，， 又因为O为的中点，则， 可得，即，则， 可得，所以双曲线的离心率． 16．已知曲线 ，则下列关于曲线的说法中错误的是（   ） A．曲线关于坐标轴和原点对称 B．曲线关于等轴双曲线的渐近线对称 C．曲线上不存在两点横坐标之和大于 D．曲线上不存在点在以原点为圆心，为半径的圆外 【答案】C 【分析】利用曲线方程的代换法判断对称性，借助一元二次方程判别式求解变量取值范围，结合基本不等式研究曲线上点到原点距离；通过举反例判断命题真假，综合运用代数推理，逐项甄别四个选项，找出错误命题即可. 【详解】选项A：将 ， 方程：，不变，曲线关于轴对称， 将 ，同理，曲线关于轴对称， 将 ，同理，曲线关于原点对称，A 正确； 选项B：等轴双曲线渐近线：、， 将、互换，方程变为，与原方程相同，曲线关于对称； 同理可验证曲线关于对称，B正确； 选项C：设，，方程化为：，则， 所以关于的方程有实根，则， 所以，可得，此时， 取两点横坐标都取最大值为，所以， 存在两点横坐标之和大于，故C错误； 选项D：设曲线上点，到原点距离平方， 由基本不等式：， 所以，即，可得， 曲线上所有点到原点距离不超过，没有点在圆外，故D正确. 三、解答题（本题共5小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（14分）已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求的值； (2)若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先由圆的方程求出的范围，再由直线与圆相交的弦长公式求解即可； （2）设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，根据，求解即可. 【详解】（1）因为圆， 所以，解得， 且圆心，半径， 又因为圆心到直线的距离， 由弦长公式可得， 所以，解得，满足， 所以. （2）当时，则圆心，半径， 设直线的方程为， 由圆心到直线的距离， 又因为直线与圆C相切， 所以， 即， 解得或， 所以直线的方程为或. 18．（14分）已知椭圆：的一个焦点，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于，两点． （ⅰ）证明：点在以为直径的圆外； （ⅱ）在上是否存在点使得是等边三角形．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）当直线斜率存在时，设，， 得，则， ，， 即点在以为直径的圆外， 当直线斜率不存在时，直线为，将代入椭圆，解得， ，，，， 即点在以为直径的圆外， 综上，点在以为直径的圆外. （ⅱ）不存在这样的点使得是等边三角形． 【分析】（1）使用椭圆的标准方程计算； （2）（ⅰ）分直线的斜率存在和不存在两种情况，通过的正负求解； （ⅱ）若是等边三角形，则，，通过弦长公式求解. 【详解】（1）由题意得，，， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知：，故， （ⅰ）略 （ⅱ）不存在，理由如下： 当直线斜率存在时，设，设中点为， 若是等边三角形，则，， ，， 则，， 因为，所以，直线：， 又在直线：上，代入得， ， 若是等边三角形，则，， 即，化简得，令， ，，方程无实根， 当直线斜率不存在时，，，，，，若是等边三角形，则，此时，， 综上，不存在这样的点使得是等边三角形． 19．（16分）设与双曲线相交于不同两点. (1)若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； (2)若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； (3)在（2）的条件下，若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）由双曲线离心率与双曲线开口程度关系可得答案； （2）由题设结合到角公式可得答案； （3）设 ，将直线与双曲线方程联立，然后由题设及韦达定理可得，最后由题设及不等式性质可得答案. 【详解】（1）对于双曲线，  ， 双曲线开口越开阔即双曲线离心率更大 ， 又等轴双曲线离心率为 ，   ∴ ； （2）， 从而双曲线渐近线为，斜率分别为，  ， 因双曲线的两条渐近线的夹角为 ， ， 解得：或 ， ∴双曲线的标准方程为：或 . （3）设 ， 联立消去得： ， 由题设可得 ，由韦达定理可得： ， 从而：，得.由题可得，代入坐标， 可得： ，因， 则，令，则， 注意到，则. 20．（16分）已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于、两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值； (2)直线过点且与圆相切，且不过第二象限． （i）求弦长的值； （ii）点是椭圆上的动点，求三角形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) ，，离心率； (2) （i）；（ii）面积最大值为，此时点坐标为. 【分析】(1)由椭圆标准方程求得焦点坐标和离心率； (2)先根据直线与圆相切、不过第二象限确定直线方程，联立椭圆利用韦达定理求弦长，再通过辅助角公式求椭圆上点到直线的最大距离，进而得到面积最大值和对应点坐标. 【详解】（1）由椭圆得，故，，因此左焦点，右焦点，离心率. （2）（i）设直线的方程为，斜率不存在时直线与圆不相切，舍去. 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径1，即，解得，即. 因直线不过第二象限，时纵截距为，经过第二象限，舍去，故，直线方程为. 联立，消去得。设，由韦达定理得. 弦长. （ii）设为椭圆上任意点，满足，到直线的距离. 令，则（为辅助角），取值范围为. 故最大值为，. 三角形面积，因此. 此时，联立椭圆方程解得，即. 【点睛】 21．（18分）已知椭圆，为坐标平面上一点． (1)求椭圆四个顶点构成的四边形的面积； (2)已知为实数，设，点为椭圆上的动点，求的最大值； (3)若为椭圆的下顶点，过点的直线斜率为，交椭圆于不同的两点，，直线，交于点、，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，的最大值为. (3) 【分析】（1）由椭圆方程得四顶点坐标，用菱形面积公式求解；（2）取最大值时，也取最大值，将表示为关于点的纵坐标的二次函数，对其对称轴分类讨论求得最值；（3）先由直线与椭圆有两个交点，可得判别式大于零，再利用韦达定理证明点和点在轴的同一侧，可得，综合求得的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，椭圆的四个顶点坐标分别为，， 因此由椭圆四个顶点构成的四边形为菱形，面积． （2）设，则，即， 所以， 设，且二次函数的图象关于对称， 当，即时，，所以的最大值为； 当，即时，，所以的最大值为； 当，即时，，所以的最大值为； 综上所述，当时，的最大值为； 当时，的最大值为； 当时，的最大值为. （3）设，，因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理． 直线，由可得， 因为直线与椭圆有两个交点，故，解得或． 由韦达定理得，，，故，所以， ， 化简得，， 所以，解得， 综上所述，的范围为. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆锥曲线（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本题共12小题，前6题每题4分，后6题每题5分，共54分．） 1．若直线是双曲线的一条渐近线，则______． 2．已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 3．若顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线的焦点与双曲线：的右焦点相同，则抛物线的标准方程为________． 4．双曲线的两条渐近线的夹角大小是______（用反余弦表示） 5．方程组只有两组实数解，则__________． 6．曲线的离心率为，则______. 7．设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 8．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 9．椭圆的一条切线分别交轴正半轴、轴正半轴于点，则的最小值为_________． 10．平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 11．已知单位圆与x轴相交于A、B两点，点M是直线上的任意一点，若，则实数的取值范围是______ 12．已知曲线的方程为，经过且倾斜角为的直线与曲线恰有2个公共点，则倾斜角的取值范围是________. 二、单选题（本题共4小题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分。每题有且只有一个正确选项．） 13．设椭圆和双曲线的离心率分别为，．若，则（    ） A． B． C． D． 14．已知，分别为椭圆的左、右焦点，，为上两点，且，，三点共线，若线段的中点在轴上，，，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 15．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点G，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．已知曲线 ，则下列关于曲线的说法中错误的是（   ） A．曲线关于坐标轴和原点对称 B．曲线关于等轴双曲线的渐近线对称 C．曲线上不存在两点横坐标之和大于 D．曲线上不存在点在以原点为圆心，为半径的圆外 三、解答题（本题共5小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（14分）已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求的值； (2)若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 18．（14分）已知椭圆：的一个焦点，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于，两点． （ⅰ）证明：点在以为直径的圆外； （ⅱ）在上是否存在点使得是等边三角形．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 19．（16分）设与双曲线相交于不同两点. (1)若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； (2)若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； (3)在（2）的条件下，若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 20．（16分）已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于、两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值； (2)直线过点且与圆相切，且不过第二象限． （i）求弦长的值； （ii）点是椭圆上的动点，求三角形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 21．（18分）已知椭圆，为坐标平面上一点． (1)求椭圆四个顶点构成的四边形的面积； (2)已知为实数，设，点为椭圆上的动点，求的最大值； (3)若为椭圆的下顶点，过点的直线斜率为，交椭圆于不同的两点，，直线，交于点、，若，求实数的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆锥曲线（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本题共12小题，前6题每题4分，后6题每题5分，共54分．） 1．3 2．4 3． 4． 5．3 6．或 7．3 8． / 9．7 10． 11． 12． 二、单选题（本题共4小题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分。每题有且只有一个正确选项．） 13．D 14．D 15．B 16．C 三、解答题（本题共5小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先由圆的方程求出的范围，再由直线与圆相交的弦长公式求解即可； （2）设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，根据，求解即可. 【详解】（1）因为圆， 所以，解得， 且圆心，半径， 又因为圆心到直线的距离， 由弦长公式可得， 所以，解得，满足， 所以. （2）当时，则圆心，半径， 设直线的方程为， 由圆心到直线的距离， 又因为直线与圆C相切， 所以， 即， 解得或， 所以直线的方程为或. 18．【答案】(1) (2)（ⅰ）当直线斜率存在时，设，， 得，则， ，， 即点在以为直径的圆外， 当直线斜率不存在时，直线为，将代入椭圆，解得， ，，，， 即点在以为直径的圆外， 综上，点在以为直径的圆外. （ⅱ）不存在这样的点使得是等边三角形． 【分析】（1）使用椭圆的标准方程计算； （2）（ⅰ）分直线的斜率存在和不存在两种情况，通过的正负求解； （ⅱ）若是等边三角形，则，，通过弦长公式求解. 【详解】（1）由题意得，，， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知：，故， （ⅰ）略 （ⅱ）不存在，理由如下： 当直线斜率存在时，设，设中点为， 若是等边三角形，则，， ，， 则，， 因为，所以，直线：， 又在直线：上，代入得， ， 若是等边三角形，则，， 即，化简得，令， ，，方程无实根， 当直线斜率不存在时，，，，，，若是等边三角形，则，此时，， 综上，不存在这样的点使得是等边三角形． 19．【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）由双曲线离心率与双曲线开口程度关系可得答案； （2）由题设结合到角公式可得答案； （3）设 ，将直线与双曲线方程联立，然后由题设及韦达定理可得，最后由题设及不等式性质可得答案. 【详解】（1）对于双曲线，  ， 双曲线开口越开阔即双曲线离心率更大 ， 又等轴双曲线离心率为 ，   ∴ ； （2）， 从而双曲线渐近线为，斜率分别为，  ， 因双曲线的两条渐近线的夹角为 ， ， 解得：或 ， ∴双曲线的标准方程为：或 . （3）设 ， 联立消去得： ， 由题设可得 ，由韦达定理可得： ， 从而：，得.由题可得，代入坐标， 可得： ，因， 则，令，则， 注意到，则. 20．【答案】(1) ，，离心率； (2) （i）；（ii）面积最大值为，此时点坐标为. 【分析】(1)由椭圆标准方程求得焦点坐标和离心率； (2)先根据直线与圆相切、不过第二象限确定直线方程，联立椭圆利用韦达定理求弦长，再通过辅助角公式求椭圆上点到直线的最大距离，进而得到面积最大值和对应点坐标. 【详解】（1）由椭圆得，故，，因此左焦点，右焦点，离心率. （2）（i）设直线的方程为，斜率不存在时直线与圆不相切，舍去. 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径1，即，解得，即. 因直线不过第二象限，时纵截距为，经过第二象限，舍去，故，直线方程为. 联立，消去得。设，由韦达定理得. 弦长. （ii）设为椭圆上任意点，满足，到直线的距离. 令，则（为辅助角），取值范围为. 故最大值为，. 三角形面积，因此. 此时，联立椭圆方程解得，即. 【点睛】 21．【答案】(1) (2)当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，的最大值为. (3) 【分析】（1）由椭圆方程得四顶点坐标，用菱形面积公式求解；（2）取最大值时，也取最大值，将表示为关于点的纵坐标的二次函数，对其对称轴分类讨论求得最值；（3）先由直线与椭圆有两个交点，可得判别式大于零，再利用韦达定理证明点和点在轴的同一侧，可得，综合求得的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，椭圆的四个顶点坐标分别为，， 因此由椭圆四个顶点构成的四边形为菱形，面积． （2）设，则，即， 所以， 设，且二次函数的图象关于对称， 当，即时，，所以的最大值为； 当，即时，，所以的最大值为； 当，即时，，所以的最大值为； 综上所述，当时，的最大值为； 当时，的最大值为； 当时，的最大值为. （3）设，，因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理． 直线，由可得， 因为直线与椭圆有两个交点，故，解得或． 由韦达定理得，，，故，所以， ， 化简得，， 所以，解得， 综上所述，的范围为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $