第2章 圆锥曲线（单元测试·提升卷）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章 圆锥曲线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．抛物线方程为 ，则此抛物线的焦点坐标为 ． 2．若直线与圆相切，则实数 . 3．经过点且与圆相切的直线方程为 ． 4．已知点在椭圆上运动，则的最大值为 ． 5．曲线 是双曲线，过点与C恰有一个公共点且斜率存在的直线的所有可能斜率之和为 . 6．已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是 7．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为 ． 8．如图，地面上有一个篮球． 假设1：地面是水平面； 假设2：太阳光线是平行光线，光线与地面所成的角的大小为． 已知篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为 ． 9．体现中华传统文化的油纸伞至今已有多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则 .    10．已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是 . 11．设动点到两定点和的距离分别为和，且存在常数，使得.过点的直线与动点的轨迹交于两点，且两点的横坐标都大于是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则 . 12．设为坐标原点，已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 14．探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（    ）    A．19 B．20 C．21 D．22 15．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 16．已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A．①②均为真命题 B．①为真命题②为假命题 C．①为假命题②为真命题 D．①②均为假命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知过点的动直线与圆相交于，两点，与直线相交于.    (1)求证：当与垂直时，必过圆心； (2)当时，求直线的方程. 18．（14分）有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．    (1)直接写出菜地内的分界线的方程 (2)设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）. 19．（14分）已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2，过点作直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的取值范围. 20.（18分）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 21．（18分）如图，在平面直角坐标系中，点分别为椭圆的上顶点与下顶点．为直线上的一点．直线分别交椭圆于两点．    (1)若是椭圆上异于的一点，分别为直线的斜率，求的值； (2)若直线平行于轴，求点的坐标； (3)求四边形面积的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章 圆锥曲线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．抛物线方程为 ，则此抛物线的焦点坐标为 ． 2．若直线与圆相切，则实数 . 3．经过点且与圆相切的直线方程为 ． 4．已知点在椭圆上运动，则的最大值为 ． 5．曲线 是双曲线，过点与C恰有一个公共点且斜率存在的直线的所有可能斜率之和为 . 6．已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是 7．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为 ． 8．如图，地面上有一个篮球． 假设1：地面是水平面； 假设2：太阳光线是平行光线，光线与地面所成的角的大小为． 已知篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为 ． 9．体现中华传统文化的油纸伞至今已有多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则 .    10．已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是 . 11．设动点到两定点和的距离分别为和，且存在常数，使得.过点的直线与动点的轨迹交于两点，且两点的横坐标都大于是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则 . 12．设为坐标原点，已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 14．探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（    ）    A．19 B．20 C．21 D．22 15．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 16．已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A．①②均为真命题 B．①为真命题②为假命题 C．①为假命题②为真命题 D．①②均为假命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知过点的动直线与圆相交于，两点，与直线相交于.    (1)求证：当与垂直时，必过圆心； (2)当时，求直线的方程. 18．（14分）有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．    (1)直接写出菜地内的分界线的方程 (2)设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）. 19．（14分）已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2，过点作直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的取值范围. 20.（18分）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 21．（18分）如图，在平面直角坐标系中，点分别为椭圆的上顶点与下顶点．为直线上的一点．直线分别交椭圆于两点．    (1)若是椭圆上异于的一点，分别为直线的斜率，求的值； (2)若直线平行于轴，求点的坐标； (3)求四边形面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章圆锥曲线·能力提升·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1.(0,12.t23.x=2或3x+4y+10=04.255.26.e2+e-2ee 11 12-2V2 7.128.29.35-510.(2'2 11.17 12.√2 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仪有一个正 确选项。) 13 14 16 B B A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17.(14分) 【详解】(1)C:+y-3=4的圆心为C0,3引 半径为2， m:x+3y+6=0的斜率为3，当，与m:x+3y+6=0垂直时，直线，的斜率为3， 故直线方程为”=3引x+,点C(0,3引满足上式， 故当与m垂直时，1必过圆心C;…(7分) (2)当直线1斜率不存在时，直线1方程为x=-1, C:+-3=4中，令=-1得y=3注5 故P2=3+3-3-5=25 满足要求， 当直线斜率存在时，设直线方程为’=(x+) 4=k-3到 C(0,3)到直线1的距离”V1+k2, 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以P0=24-d2=2,4 k-3 )2 V1+k2 =25,解得专 直线，的方程为yx+,即4-3p+4=0: 综上，直线的方程 4-3y+4=0或=-1 …（14分) 18.(14分) 【详解】(1)易知EH:x=-1,利用抛物线的定义可知曲线C为抛物线， FL,0为其焦点，所以C:y=4:…(4分) (2) H G F PA⊥GF,NB⊥GF,MD⊥GF 如图所示作 易知品》公小P品引 -16-1子A-166 64-2-348=2-1号50=1-Dr-, 所以5大OwaF=S,.Ga+S影ug+S8av+Soro 信+小州 一X- 21 16 2 而正方形EFGH的面积为4，所以面积比为64≈36…(14分) 19.(14分) 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)圆+y-4-2y+3=0的圆心为2,1 41 因为2(2，在椭圆上，所以京+示1， 因为点 P0,1)到椭圆C的右焦点的距离为2，所以V1+c=2,即c=V5 所以4-6=3，从而可解得=6，公=3 所以程圆C的方程为名+号-1《(6分》 (2)由SAos=1:tan∠A0B,得5e4 sin∠A0B=fan∠AOB, 即l428lcos∠40B=2r,可得1-Q5=24, @当1垂直x轴时，1-0丽=-25--25-=2=2”，可得1=1 +上- 63 ②当，不垂直，轴时，设直线方程为y=+1?联立方程=+1，得(1+22)x2+46-4=0, 4k -4 设Ay,B(,,所以+五=1+2,51+2R, 由01-0B=21可得5-2x-2+35=21 所以45-2+4=2小++4-2. 所 2k2+4k=t, 1+2k2 整理得： 2K2+4=1+221→(21-2)k-4+1=0,关于k的方程有解， 当1=1时，=4符合题意： 当≠1时， =16-421-2120→1-1,2且1≠1， 1∈[-1,2] 综上： …（14分) 20.(18分) 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【的解1e-日=2，a=六8=2 a B=c-a2=3,b=3 ;…(4分) (2)设4xy.由题意，Bc,0),c=+B,片=(c2-=b, 因为F4B是等边三角形，所以2c=5少，即41+b)=36 解得分=2.故双曲线的渐近线方程为”=士V2x: F F花…（10分) (3)由已知， E(-2,0)F(2,0) 设口口AX,y,口口1BX,y,直线：)=x-2.显然女≠0 x=1 3 由 y=kx-2’得k2-3到x2-4k2x+4k2+3=0 因为1与双曲线交于两点，所以2-3≠0，且△=361+)>0 设AB的中点为 M(xx2yu) 由(A+FBB=0 即Fw丽=0，知FM1AB,故k=-1 而，=古+5、22 6k 3k 22-3w=kw-2到=3w2-3 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3k 3 k2= √15 -…k=-1 所以2k2-3 ，得5，故1的斜率为5. B M …(18分) 21.(18分) 【详解】(1)由题意可知 0,2),B(0,-2 m2.n2 1, 设Q(m,n),则8+4 1m2 ×4-4 m2 故kosko8= n-2n+2n2-4 8 21 …(4分) mm m2 m m=2’ (2)设P,4到 PA:y=2x+2 PB:y=6x 0x-2 则直线 x2,y2 （+8x+x=0 联立PA:y=二x+2与椭圆84引可得8F Xo 16 x=-16to 故x0+8,或x=0, -16xo 因此 =16×2+2=2-16 =+8,进而w+8×元+2=后+8， 48x 同理可得+2， =2+14 x6+72, 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2x6+1442x6-16 由于直线MN平行于x轴，因此=w 6+72 x+8, 解得=26，故P到26,4到，…（10分) (3)P8=V6+36,P=V号+4，根据对称性，不妨设>0 2×48x2+2-2+14 的距离4=西8+72 +72 到直线 4 PA + 2×48+2-2号+144 +72 2x7+48x 21 4 x6+72, 6×-16x-2-2x-16 xo x0+8 x+8 (2x+48)x 2 1,36 x+8，其中为到直线 d2M PB 的距离， 2x+48x(2x6+48x128x+24x 因此S AIDN=S,PMB-S,PN= x+8 x+72 (x6+8x+72)' 设 128x+24x 128+24） 128+24 x号+8x+72 87 72 x+ 24） +32 Xo +24=,则1z4W6 令x,+ 128t128 S AMWN7+32 故 32 t+ t 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由子少1*32 2 16√6 在≥4W6单调递增，故当1=4W6时y=1+ t取到最小值3， 3w-128128=46 因此 3216W6 t+ ,当且仅当 时取到等号， 3 x=2V6 故四边形AMB 面积的最大值为4W6 .(18分) 7/7 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章 圆锥曲线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．抛物线方程为 ，则此抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【详解】， ，解得， 抛物线的焦点坐标为， 抛物线焦点坐标为． 故答案为：． 2．若直线与圆相切，则实数 . 【答案】 【详解】由题意可得：， 解得：. 故答案为：. 3．经过点且与圆相切的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即，依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 4．已知点在椭圆上运动，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】设，因为点在椭圆上运动， 所以直线与椭圆有公共点， 由得，则， 解得， 所以的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 5．曲线 是双曲线，过点与C恰有一个公共点且斜率存在的直线的所有可能斜率之和为 . 【答案】 【详解】由题意可得，代入双曲线方程得. 当，即时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 当时，，解得. 综上，当或时，直线与双曲线只有一个公共点. 所以. 故答案为：. 6．已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是 【答案】 【详解】因为，， 所以，所以，所以，    记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，， 则由椭圆和双曲线定义可得：①，②， 则①2+②2可得， 由勾股定理知，代入上式可得， 整理得，即， 故，的关系是. 故答案为： 7．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为 ． 【答案】12 【详解】由双曲线的方程可知， 则，， 则 ，   即， 则的周长为， 故答案为：12 8．如图，地面上有一个篮球． 假设1：地面是水平面； 假设2：太阳光线是平行光线，光线与地面所成的角的大小为． 已知篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】 设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点； 已知太阳光线与地面的夹角为； 如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上， 篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴， 设篮球半径为，显然平面平面，连接平面， 过作交于，则， 于是椭圆长轴长， 在四边形中，， 令椭圆半焦距为，而，则， 解得， 所以该椭圆的离心率为. 故答案为：. 9．体现中华传统文化的油纸伞至今已有多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则 .    【答案】 【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、， 则，如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆的左右顶点，    由题意可得，则，阳光照射方向与地面的夹角为，即， 则， ， 在中，，即，即， 解得，而， 故. 故答案为： 10．已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设， 因为 和 在椭圆上，所以：，两式相减得： ， 设 的中点为 ， 则：， 的斜率 ，因此：， 设线段的垂直平分线的斜率 满足 ，因此： 线段的垂直平分线过中点 ，其方程为：， 令 ：， 因为 的中点在椭圆内部，所以 所以. 故答案为： 11．设动点到两定点和的距离分别为和，且存在常数，使得.过点的直线与动点的轨迹交于两点，且两点的横坐标都大于是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则 . 【答案】 【详解】在中， ， 则， 故点的轨迹是以和为焦点， 实轴长为的双曲线， 方程为， 在中， 设 因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 则， 由②和③得 则， 由⑤得， 即， 解得，符合题意， 故答案为：    12．设为坐标原点，已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】设双曲线的焦距为， 因为抛物线的准线过双曲线的焦点， 所以，故， 又到渐近线的距离，即， 因为，所以， 所以，所以，则， 所以，， 过点作⊥轴，则， 故，即， 解得，则， 由于在抛物线上，故， 即 ， 解得或（舍去），故. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 14．探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（    ）    A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点， 分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示：    由抛物线方程可知准线方程为， 再由抛物线定义可得， 因此光线从点到点经过的总路程为. 故选：B. 15．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为等轴双曲线的实轴长为， 则双曲线的半焦距， 所以双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以， 由，即为的中点，又为的中点， 所以，则，， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 16．已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A．①②均为真命题 B．①为真命题②为假命题 C．①为假命题②为真命题 D．①②均为假命题 【答案】A 【详解】设点，则关于原点的对称点为，根据两点间距离公式. 所以. 又因为， 所以. 又，所以. 所以曲线关于原点对称，所以①正确； 当点与点不共线时，根据三角形性质可得 ，由得， 解得. 所以. 根据椭圆的性质可知点在椭圆的内部. ②正确， 故选：A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知过点的动直线与圆相交于，两点，与直线相交于.    (1)求证：当与垂直时，必过圆心； (2)当时，求直线的方程. 【详解】（1）的圆心为，半径为2， 的斜率为，当与垂直时，直线的斜率为3， 故直线方程为，点满足上式， 故当与垂直时，必过圆心；……（7分） （2）当直线斜率不存在时，直线方程为， 中，令得， 故，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 到直线的距离， 所以，解得， 直线的方程为，即； 综上，直线的方程为或.……（14分） 18．（14分）有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．    (1)直接写出菜地内的分界线的方程 (2)设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）. 【详解】（1）易知：，利用抛物线的定义可知曲线为抛物线， 为其焦点，所以；……（4分） （2）    如图所示作， 易知， ， ， 所以 ， 而正方形的面积为4，所以面积比为……（14分） 19．（14分）已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2，过点作直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）圆的圆心为， 因为在椭圆上，所以， 因为点到椭圆的右焦点的距离为2，所以，即， 所以，从而可解得， 所以椭圆C的方程为.……（6分） （2）由，得， 即，可得， ①当垂直轴时，，可得； ②当不垂直轴时，设直线方程为，联立方程，得， 设，，所以，， 由可得， 所以，即， 所以， 整理得：，关于的方程有解， 当时，符合题意； 当时，且； 综上：.……（14分） 20.（18分）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 【详解】（1），，∴． ∴，∴；……（4分） （2）设．由题意，，，， 因为是等边三角形，所以，即， 解得．故双曲线的渐近线方程为； ……（10分） （3）由已知，，． 设，，直线l：．显然． 由，得． 因为l与双曲线交于两点，所以，且． 设AB的中点为． 由 即，知，故． 而，，， 所以，得，故l的斜率为． ……（18分） 21．（18分）如图，在平面直角坐标系中，点分别为椭圆的上顶点与下顶点．为直线上的一点．直线分别交椭圆于两点．    (1)若是椭圆上异于的一点，分别为直线的斜率，求的值； (2)若直线平行于轴，求点的坐标； (3)求四边形面积的最大值． 【详解】（1）由题意可知, 设，则， 故，……（4分） （2）设， 则直线，， 联立与椭圆可得， 故，或， 因此,进而， 同理可得,， 由于直线平行于轴，因此, 解得,故，……（10分） （3），根据对称性，不妨设 到直线的距离， 故， 同理可得，其中为到直线的距离， 因此, 设 ， 令则， 故， 由于在单调递增，故当时取到最小值， 因此，当且仅当时取到等号， 故四边形面积的最大值为.……（18分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $