第2章 圆锥曲线（单元分层自测·基础通关卷）高二数学沪教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学单元自测 第2章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，1—6题每题4分，7—12题每题5分，共54分） 1．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）椭圆的离心率为________． 2．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）过原点作圆的切线，切点为，则切线长度为_____． 3．（24-25高二上·河北衡水·阶段检测）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为______． 4．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知圆过点，，，则圆的方程为_______； 5．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 6．（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则___________． 7．（26-27高二上·江苏·阶段检测）圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 8．（25-26高二下·云南昆明·开学考试）在椭圆中，为焦点，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，若，则的离心率为_____. 9．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 10．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）若点在第一象限，且为抛物线上的点，抛物线的焦点为，若，则___________． 11．（24-25高二上·重庆·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为_______． 12．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）若关于x的方程有唯一解，则b的取值范围是_______. 二、选择题（本大题共4题，13—14题每题4分，15—16题每题5分，共18分） 13．（24-25高二上·天津·阶段检测）椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 15．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l：与圆C交于A，B两点，若，则实数m等于（    ） A．2 B．3 C．2 D．9 16．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共78分；17—19题每题14分，20—21题每题18分） 17．（14分）（26-27高二上·福建宁德·阶段检测）（1）直线过点，且横截距为纵截距的两倍,求直线方程； （2）已知直线恒过定点A，求A点的坐标； （3）任选四点，，，中的三点，求圆的方程（多做只按第一个给分）. 18．（14分）（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 19．（14分）（25-26高二上·上海虹口·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该隧道抛物线部分的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 20．（18分）（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知双曲线：，过点，焦距为，点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l，与双曲线C交于P，Q两点，使得是以为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 21．（18分）（25-26高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当点在椭圆上运动时 ①线段的中点的轨迹方程； ②不过原点且斜率为2的直线与点的轨迹交于A，B两点，求的面积最大值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第2章 圆锥曲线·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共12题，1—6题每题4分，7—12题每题5分，共54分） 1． 2． 3． 4．（或） 5． 6． 或 7． 8． 9． 10． 11． 12．{或} 二、选择题（本大题共4题，13—14题每题4分，15—16题每题5分，共18分） 13 14 15 16 D B D B 三、解答题（本大题共5题，共78分；17—19题每题14分，20—21题每题18分） 17．（14分） 【解析】（1）当直线的横纵截距均为0时，直线符合题意； 当直线的横纵截距均不为0时，依题意设其方程为， 代入点，可得，直线方程为，即. 故所求的直线方程为或；（4分） （2）将化为， 由可得，即定点的坐标为；（9分） （3）当选择时，可知线段的中垂线方程为， 则可设圆的圆心坐标为，由可得， 解得，则圆心为，半径为， 故所求圆的方程为，即； 当选择时，与上同法，可设圆的圆心坐标为， 由可得，解得， 则圆心为，半径为， 故所求圆的方程为，即； 当选择时， 不妨设圆的方程为 ， 则得，解得， 故所求圆的方程为； 当选择时， 不妨设圆的方程为 ， 则得，解得， 故所求圆的方程为.（14分） 18．（14分） 【解析】（1）由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为．（7分） （2）由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积．（14分） 19．（14分） 【解析】（1）由题意知，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且开口向下，故设抛物线的方程为， 由图可知，隧道截面总宽度为米，总高度为米，长方形部分高度为米，则抛物线部分的高度为米. 因为抛物线关于轴对称，所以点的横坐标为， 又因为点在轴下方米处，所以点的纵坐标为，即. 将点代入方程，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 又因为隧道宽度为米，所以的取值范围是， 故该隧道抛物线部分的方程为.（7分） （2）因为行车道总宽度为米，且关于轴对称， 所以车辆最外侧边缘的横坐标为或. 不妨取，代入抛物线方程，得，解得. 此时，隧道顶部在处距离地面的高度为米. 设通过隧道的车辆限制高度为米， 根据题意， 要求行驶车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米， 即，即，解得. 故通过隧道的车辆限制高度为米.（14分） 20．（18分） 【解析】（1）∵焦距为，，①， 在双曲线上，②． 联立①②，解得，． 所以双曲线的标准方程为．（9分） （2）由（1）可知，假设存在直线，使是以为顶角的等腰三角形． 设线段的中点为，则． 当直线斜率不存在时，：与双曲线相离，不合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设斜率为，则：． 联立消去，整理得． 由且得，且． 设，则， 所以，则， 即. ①当，即时，，代入双曲线的方程得，此时，符合题意． ②当，即时，直线的斜率． 由得，解之得或（舍去）， 此时直线的方程为，即． 综上所述：存在直线，其方程为或． （18分） 21．（18分） 【解析】（1）由题可设椭圆的标准方程为. 由椭圆的定义知：，所以， 所以，. 所以 所以椭圆的标准方程为.（9分） （2）①设，则. 因为点在椭圆上，所以，所以，即. 所以线段的中点的轨迹方程为. ②设不过原点且斜率为2的直线的方程为，即.设. 由，得. 由，得. . 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积为. 因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以. 即的面积最大值为.   （18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第2章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，1—6题每题4分，7—12题每题5分，共54分） 1．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）椭圆的离心率为________． 2．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）过原点作圆的切线，切点为，则切线长度为_____． 3．（24-25高二上·河北衡水·阶段检测）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为______． 4．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知圆过点，，，则圆的方程为_______； 5．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 6．（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则___________． 7．（26-27高二上·江苏·阶段检测）圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 8．（25-26高二下·云南昆明·开学考试）在椭圆中，为焦点，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，若，则的离心率为_____. 9．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 10．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）若点在第一象限，且为抛物线上的点，抛物线的焦点为，若，则___________． 11．（24-25高二上·重庆·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为_______． 12．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）若关于x的方程有唯一解，则b的取值范围是_______. 二、选择题（本大题共4题，13—14题每题4分，15—16题每题5分，共18分） 13．（24-25高二上·天津·阶段检测）椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 15．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l：与圆C交于A，B两点，若，则实数m等于（    ） A．2 B．3 C．2 D．9 16．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共78分；17—19题每题14分，20—21题每题18分） 17．（14分）（26-27高二上·福建宁德·阶段检测）（1）直线过点，且横截距为纵截距的两倍,求直线方程； （2）已知直线恒过定点A，求A点的坐标； （3）任选四点，，，中的三点，求圆的方程（多做只按第一个给分）. 18．（14分）（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 19．（14分）（25-26高二上·上海虹口·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该隧道抛物线部分的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 20．（18分）（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知双曲线：，过点，焦距为，点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l，与双曲线C交于P，Q两点，使得是以为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 21．（18分）（25-26高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当点在椭圆上运动时 ①线段的中点的轨迹方程； ②不过原点且斜率为2的直线与点的轨迹交于A，B两点，求的面积最大值. 试题 第3页（共3页） 试题 第2页（共3页） 试题 第1页（共3页） 试题 第2页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第2章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，1—6题每题4分，7—12题每题5分，共54分） 1．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）椭圆的离心率为________． 【答案】 【解析】将椭圆方程化为标准形式 ， 则 ，，， 故离心率为 . 2．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）过原点作圆的切线，切点为，则切线长度为_____． 【答案】 【解析】由圆的方程，可得该圆的圆心为，半径， 原点到圆心的距离为. 因为是切线的切点，根据圆的切线性质可知，即为直角三角形，且. 由勾股定理可得切线长. 3．（24-25高二上·河北衡水·阶段检测）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为______． 【答案】 【解析】令弦所在直线与双曲线交点分别为，显然， 则，两式作差，有，故， 所以弦所在的直线的斜率为，故所求直线为，整理得. 故答案为： 4．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知圆过点，，，则圆的方程为_______； 【答案】（或） 【解析】设圆的方程为，其中． 将，，的坐标代入，得，前两式相减得，解得． 将代入第一式和第三式，得，解得，进而． 所以圆的方程为，即． 5．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 【答案】 【解析】由椭圆的定义及基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 由于，所以，长轴长. 故答案为： 6．（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则___________． 【答案】 或 【解析】设，， 由，得， 则， 由弦长公式得， 即，解得或（舍）， 故答案为：. 7．（26-27高二上·江苏·阶段检测）圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 【答案】 【解析】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 由圆：，可得，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 8．（25-26高二下·云南昆明·开学考试）在椭圆中，为焦点，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，若，则的离心率为_____. 【答案】 【解析】如图，因为，所以，所以， 所以，即，因,代入整理得， 即，解得(负解舍去). 故答案为： 9．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【解析】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 10．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）若点在第一象限，且为抛物线上的点，抛物线的焦点为，若，则___________． 【答案】 【解析】因为抛物线的焦点坐标为， 则准线方程为， 所以，解得： ，所以，即：， 因此抛物线的方程为， 因为点在抛物线上， 将其代入抛物线方程：， 又因为点在第一象限，所以， 则：. 故答案为：. 11．（24-25高二上·重庆·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立得， 设、，则，， ，同理可得， 所以， 因为为定值，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 12．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）若关于x的方程有唯一解，则b的取值范围是_______. 【答案】{或} 【解析】由题意，，即， 问题等价于在上有唯一解， 令表示圆心为，半径为1的圆的上半部分， 而表示斜率为的直线，如下图示： 只需与在上有唯一公共点， ①当直线与半圆右上部相切时，，由解得，此时有唯一公共点； 当直线过时，直线方程为，由图知当时恒有两个交点； 当直线过时，直线方程为，由图知时恒有一个公共点. 综上，的范围为或}，原方程有唯一解. 二、选择题（本大题共4题，13—14题每题4分，15—16题每题5分，共18分） 13．（24-25高二上·天津·阶段检测）椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知以点为中点的弦所在直线斜率存在且不为0， 设该直线与椭圆的两个交点坐标为， 则①，②，由②①得， 所以以点为中点的弦所在直线斜率为. 故选：D. 14．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设，则双曲线的渐近线方程为， 因此， 故， 由于在双曲线上，故，即， 因此， 由于， 由可得，故，故离心率的最小值为， 故选：B 15．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l：与圆C交于A，B两点，若，则实数m等于（    ） A．2 B．3 C．2 D．9 【答案】D 【解析】圆C：可化为， 所以，解得． 由题意知圆C的圆心为，故圆心C到直线l的距离为， 又，所以，解得． 16．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线，所以且准线为， 由抛物线的定义可知，则， 因为且，所以， 则，当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，共78分；17—19题每题14分，20—21题每题18分） 17．（14分）（26-27高二上·福建宁德·阶段检测）（1）直线过点，且横截距为纵截距的两倍,求直线方程； （2）已知直线恒过定点A，求A点的坐标； （3）任选四点，，，中的三点，求圆的方程（多做只按第一个给分）. 【答案】（1）或 （2） （3）当选三点时，圆的方程为； 当选三点时，圆的方程为； 当选三点时，圆的方程为； 当选三点时，圆的方程为. 【解析】（1）当直线的横纵截距均为0时，直线符合题意； 当直线的横纵截距均不为0时，依题意设其方程为， 代入点，可得，直线方程为，即. 故所求的直线方程为或； （2）将化为， 由可得，即定点的坐标为； （3）当选择时，可知线段的中垂线方程为， 则可设圆的圆心坐标为，由可得， 解得，则圆心为，半径为， 故所求圆的方程为，即； 当选择时，与上同法，可设圆的圆心坐标为， 由可得，解得， 则圆心为，半径为， 故所求圆的方程为，即； 当选择时， 不妨设圆的方程为 ， 则得，解得， 故所求圆的方程为； 当选择时， 不妨设圆的方程为 ， 则得，解得， 故所求圆的方程为. 18．（14分）（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 19．（14分）（25-26高二上·上海虹口·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该隧道抛物线部分的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【解析】（1）由题意知，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且开口向下，故设抛物线的方程为， 由图可知，隧道截面总宽度为米，总高度为米，长方形部分高度为米，则抛物线部分的高度为米. 因为抛物线关于轴对称，所以点的横坐标为， 又因为点在轴下方米处，所以点的纵坐标为，即. 将点代入方程，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 又因为隧道宽度为米，所以的取值范围是， 故该隧道抛物线部分的方程为. （2）因为行车道总宽度为米，且关于轴对称， 所以车辆最外侧边缘的横坐标为或. 不妨取，代入抛物线方程，得，解得. 此时，隧道顶部在处距离地面的高度为米. 设通过隧道的车辆限制高度为米， 根据题意， 要求行驶车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米， 即，即，解得. 故通过隧道的车辆限制高度为米. 20．（18分）（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知双曲线：，过点，焦距为，点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l，与双曲线C交于P，Q两点，使得是以为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在直线，或． 【解析】（1）∵焦距为，，①， 在双曲线上，②． 联立①②，解得，． 所以双曲线的标准方程为． （2）由（1）可知，假设存在直线，使是以为顶角的等腰三角形． 设线段的中点为，则． 当直线斜率不存在时，：与双曲线相离，不合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设斜率为，则：． 联立消去，整理得． 由且得，且． 设，则， 所以，则， 即. ①当，即时，，代入双曲线的方程得，此时，符合题意． ②当，即时，直线的斜率． 由得，解之得或（舍去）， 此时直线的方程为，即． 综上所述：存在直线，其方程为或． 21．（18分）（25-26高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当点在椭圆上运动时 ①线段的中点的轨迹方程； ②不过原点且斜率为2的直线与点的轨迹交于A，B两点，求的面积最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）由题可设椭圆的标准方程为. 由椭圆的定义知：，所以， 所以，. 所以 所以椭圆的标准方程为. （2）①设，则. 因为点在椭圆上，所以，所以，即. 所以线段的中点的轨迹方程为. ②设不过原点且斜率为2的直线的方程为，即.设. 由，得. 由，得. . 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积为. 因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以. 即的面积最大值为.    1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $