1.2定义与命题（分层作业，6大题型）数学新教材浙教版八年级上册

分层作业 1.2 定义与命题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 定义的辨析 题型02 命题的判断 题型03 命题的题设与结论 题型04 命题真假的判断 题型05 举反例 B组 思维拔高 题型 与命题有关的开放题 定义的辨析题型01 1．下列属于定义的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．同角或等角的余角相等 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两直线平行，内错角相等 2．下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 3．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 4．请给如图所示的图形命名，并给出名称的定义． 5．说出它们的定义： (1)角； (2)角的平分线； (3)数轴； (4)一元一次方程． 6．画示意图表示下列概念之间的关系：方程、等式、一元一次方程、二元一次方程． 命题的判断 题型02 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列语句是命题的是（　　） A．画线段 B．内错角相等吗 C．用量角器画 D．对顶角相等 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 3．下列语句在表述形式上，有什么共同特点？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 你的发现：这些语句都是对一件事情作出了________． 像这样判断一件事情的语句，叫作________． 注意：①只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是________． ②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就________命题． 4．下列句子中哪些是命题? （1）动物都需要水；（2）猴子是动物的一种； （3）玫瑰花是动物；（4）美丽的天空； （5）相等的角是对顶角；（6）负数都小于零； （7）你的作业做完了吗?（8）所有的质数都是奇数； （9）过直线l外一点作l的平行线；（10）如果，，那么． 命题的题设与结论题型03 1．把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 2．下列关于命题“互为补角的两个角相等”判断正确的有（    ） ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是______，结论是______． 4．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，这时，“如果”后接的部分是________，“那么”后接的部分是________．所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就________的命题，相反，所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论________的命题． 5．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4的倍数． (2)末位数字是5的整数能被5整除． (3)两负数之积为正数． 6．判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)延长到点； (3)同角的补角相等； (4)平方后等于的数是． 7．（24-25七年级下·甘肃·月考）分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假： (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)个位数是3的整数一定能被3整除； (3)对顶角的平分线在同一条直线上． 命题真假的判断 题型04 1．（24-25七年级下·山东滨州·期末）下列说法：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③对顶角相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）下列六个命题中，真命题有（   ） ①同旁内角互补；②如果和是对顶角，那么；③同角的补角相等；④若，则；⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）下列命题中①若，则；②4的平方根为；③立方根是；④的算术平方根为．是真命题的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25七年级下·河南周口·月考）“4的平方根是2”这个命题是____命题．（填“真”或者“假”） 5．命题“两个锐角的和是直角”是______命题（填“真”或“假”）. 6．下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号） 7．“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个______命题．（填“真”、“假”） 8．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并判断命题的真假． (1)等边三角形的三条边相等； (2)分数一定是实数； (3)相交成直角的两条直线互相垂直； (4)和为的两个角叫做邻补角． 举反例 题型05 1．和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知命题：“对于任何实数，”是假命题，请举一个反例，的值可以是_________． 3．（25-26七年级·江苏南京·期末）举一个反例：______，说明“若能被5整除，则的末位数字是5”是假命题． 4．请举反例说明命题“对于任意有理数，的值总是整数”是假命题，你举的反例是________．（写出一个的值即可） 5．用一组a，b的值说明命题“若，则”是假命题，a，b的值可以分别为________． 6．举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 7．指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 与命题有关的开放题题型 1．请你用“如果那么”的形式写出一个真命题______． 2．（25-26七年级·河北石家庄·月考）完成下面探究命题“内错角相等”是真命题还是假命题的过程 如图，已知与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)找出的一个内错角_________，与这个内错角__________（填“相等”或“不相等”），所以该命题是：________（填“真命题”或“假命题”）； (2)在（1）的基础上，若该命题是真命题，给出证明；若是假命题，改变一个已知条件，使得该命题为真命题． 3．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内． 请你根据下列要求从①，②，③，④中选择三项，其中两项作为条件，另一项作为结论写出命题（用“如果……，那么……”的形式） (1)写出一个真命题． (2)写出一个假命题，并举出反例． 4．已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 定义与命题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 定义的辨析 题型02 命题的判断 题型03 命题的题设与结论 题型04 命题真假的判断 题型05 举反例 B组 能力进阶 题型 与命题有关的开放题 定义的辨析题型01 1．下列属于定义的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．同角或等角的余角相等 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义的概念，掌握定义是对名称或术语的含义进行描述，据此判断选项是解题的关键． 根据定义的概念，判断每个选项是否是对某个名称或术语的含义进行描述． 【详解】解：A、“直角三角形的两个锐角互余”，是直角三角形的性质，不是定义，不符合题意； B、“同角或等角的余角相等”，是余角的性质，不是定义，不符合题意； C、“点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度”，是对点到直线的距离这个术语的含义进行描述，属于定义，符合题意； D、“两直线平行，内错角相等”，是平行线的性质，不是定义，不符合题意． 故选：C． 2．下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：在正数前面加上符号“”的数是负数，描述了负数的本质，是定义，符合题意； 对于选项B：“，两条直线平行吗”是疑问句，不是定义，不符合题意； 对于选项C：“画一个角等于已知角”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意； 对于选项D：“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意． 3．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥##⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 4．请给如图所示的图形命名，并给出名称的定义． 【答案】见解析 【详解】解：直角三角形，定义：有一个角为直角的三角形是直角三角形． 5．说出它们的定义： (1)角； (2)角的平分线； (3)数轴； (4)一元一次方程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：角的定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角； （2）解：角的平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线； （3）解：数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴； （4）解：一元一次方程的定义：含有一个未知数，且含有未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程． 6．画示意图表示下列概念之间的关系：方程、等式、一元一次方程、二元一次方程． 【答案】 画出示意图如下： 【分析】本题考查了等式，方程，一元一次方程和二元一次方程得定义，熟练掌握它们的定义是解题的关键； 等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫做等式，它是一个宽泛的概念， 方程：含有未知数的等式叫做方程．这就意味着方程首先得是等式，并且要包含未知数，所以方程是等式这个大范畴里的一部分，即方程属于等式． 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，它是方程中的一种特殊类型，满足方程的定义，同时还有自己的限定条件，所以一元一次方程属于方程． 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，它同样是方程的一种特殊形式，属于方程．所以在示意图中，最大的圈是“等式”，“方程”的圈在“等式”圈内部，表示方程是等式的一部分；“一元一次方程”和“二元一次方程”的圈又在“方程”圈内部，分别表示它们是方程的不同类型． 根据其包含关系绘制示意图即可． 【详解】略 命题的判断 题型02 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列语句是命题的是（　　） A．画线段 B．内错角相等吗 C．用量角器画 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题． 根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、画线段，没有做出判断，不是命题，不符合题意； B、内错角相等吗，没有做出判断，不是命题，不符合题意； C、用量角器画∠，没有做出判断，不是命题，不符合题意； D、对顶角相等，做出了判断，是命题，符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】B 【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题． B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题． C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题． D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题． ∴不是命题的是B选项． 【点睛】命题为判断真假的陈述句． 3．下列语句在表述形式上，有什么共同特点？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 你的发现：这些语句都是对一件事情作出了________． 像这样判断一件事情的语句，叫作________． 注意：①只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是________． ②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就________命题． 【答案】 判断 命题 命题 不是 【解析】略 4．下列句子中哪些是命题? （1）动物都需要水；（2）猴子是动物的一种； （3）玫瑰花是动物；（4）美丽的天空； （5）相等的角是对顶角；（6）负数都小于零； （7）你的作业做完了吗?（8）所有的质数都是奇数； （9）过直线l外一点作l的平行线；（10）如果，，那么． 【答案】（1）（2）（3）（5）（6）（8）（10）是命题，（4）（7）（9）不是命题． 【分析】命题：对一件事情作出判断的语句，根据定义逐一分析，从而可得答案. 【详解】解：命题：对一件事情作出判断的语句， （1）动物都需要水；对动物的需要作出了判断，是命题， （2）猴子是动物的一种；对猴子的种类作出了判断，是命题， （3）玫瑰花是动物；对玫瑰花的种类作出了判断，是命题， （5）相等的角是对顶角；给对顶角作出了判断，是命题， （6）负数都小于零；对负数的大小作出了判断，是命题， （8）所有的质数都是奇数；对质数作出了判断，是命题， （10）如果，，那么．对的数量关系作出了判断，是命题， （4）美丽的天空；没有对事情作出判断，不是命题， （7）你的作业做完了吗? 没有对事情作出判断，不是命题， （9）过直线l外一点作l的平行线；没有对事情作出判断，不是命题. 【点睛】本题考查的是命题的含义，判断语句是否是命题，掌握“命题的定义”是解题的关键. 命题的题设与结论题型03 1．把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题即可． 【详解】解：命题“同角的补角相等”的题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， ∴把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故选：D 2．下列关于命题“互为补角的两个角相等”判断正确的有（    ） ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用命题的定义，将原有命题进行拆解即可判定①、②是否正确，根据命题的真假的判定方法可以判定③是否正确，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，命题“互为补角的两个角相等”可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式，故①正确； 该命题的条件为“两个角互为补角”，故②正确； 互补的角不一定相等，故该命题为假命题，故③错误， 综上所述判断正确的为：①②，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是命题与定理的知识，准确掌握命题定理与补角的概念是解题的关键． 3．命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是______，结论是______． 【答案】 同位角相等 两直线平行 【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答，命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 【详解】解：因为命题“同位角相等，两直线平行”可写成：如果同位角相等，那么两直线平行，所以条件是同位角相等，结论是两直线平行． 故答案为：同位角相等；两直线平行． 【点睛】本题主要考查命题的基本概念与组成，注意命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论． 4．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，这时，“如果”后接的部分是________，“那么”后接的部分是________．所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就________的命题，相反，所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论________的命题． 【答案】 题设 结论 成立 一定成立 【分析】根据命题的概念解答即可． 【详解】命题通常写成“如果……，那么……”的形式， “如果”后接的部分是题设； “那么”后接的部分是结论； 所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就成立的命题； 所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题， 故答案为：题设，结论，成立，一定成立． 【点睛】本题主要考查命题的概念，属于基础题，只要掌握命题的概念即可． 5．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4的倍数． (2)末位数字是5的整数能被5整除． (3)两负数之积为正数． 【答案】(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．条件是一个数是偶数，结论是这个数是4的倍数．是假命题． (2)如果一个整数的末位数字是，那么这个数能被整除，条件是一个整数的末位数字是，结论是这个数能被5整除，结论是这个数能被5整除．是真命题． (3)如果两个数是负数，那么它们的积是正数．条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【分析】（1）（2）（3）分清每个命题的题设与结论，然后把题设写在如果后面，把结论写在那么后面，然后判断真假即可． 【详解】（1）解：如果一个数是偶数，那么这个数是的倍数． 条件是一个数是偶数，结论是这个数是的倍数．是假命题． （2）解：如果一个整数的末位数字是，那么这个数能被整除，条件是一个整数的末位数字是5，结论是这个数能被整除． 条件是一个数是末位数字为的整数，结论是这个数能被整除．是真命题． （3）解：如果两个数是负数，那么它们的积是正数． 条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，真命题与假命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 6．判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)延长到点； (3)同角的补角相等； (4)平方后等于的数是． 【答案】(1) 解：同位角相等，两直线平行是真命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果两直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两直线平行； (2)延长到点不是命题； (3) 同角的补角相等是真命题；写成“如果…那么…”的形式为∶如果两个角都是同一个角的补角，那么这两个角相等； (4) ∵，， ∴平方后等于的数是是假命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数的平方等于，那么这个数为． 【分析】（1）根据命题的定义和平行线的判定方法进行判断； （2）根据命题的定义进行判断； （3）根据命题的定义和补角的定义进行判断； （4）根据命题的定义得到平方后等于的数是是命题，然后利用的平方等于判断它为假命题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【点睛】本题考查命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．掌握命题的相关概念是解题的关键． 7．（24-25七年级下·甘肃·月考）分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假： (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)个位数是3的整数一定能被3整除； (3)对顶角的平分线在同一条直线上． 【答案】(1)题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等，是假命题 (2)题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除，是假命题 (3)题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，是真命题 【分析】本题主要考查了写出原命题的题设和结论，判断命题的真假，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可； （2）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可； （3）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可． 【详解】（1）解：题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等， 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题； （2）解：题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除， 所有数位上的数字之和为3的倍数的整数一定能被3整除，个位数是3的整数不一定能被3整除，原命题是假命题； （3）解：题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，原命题是真命题． 命题真假的判断 题型04 1．（24-25七年级下·山东滨州·期末）下列说法：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③对顶角相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是真假命题的判断，涉及平行线的性质，垂线性质、对顶角性质及点到直线的距离定义；根据平行线性质、垂线性质、对顶角性质及点到直线的距离定义逐一判断各命题的正确性. 【详解】解： 命题①：两条直线被第三条直线所截，同位角相等； 此命题错误，只有当两条直线平行时，同位角才相等；若两直线不平行，同位角不相等，故缺少前提条件； 命题②：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 此命题正确，根据垂线性质，平面内一点（无论是否在直线上）有且仅有一条直线与已知直线垂直； 命题③：对顶角相等； 此命题正确，对顶角是成对出现的，且度数始终相等； 命题④：从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离； 此命题错误，点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身； 综上，正确的命题为②和③，共2个， 故选：B 2．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）下列六个命题中，真命题有（   ） ①同旁内角互补；②如果和是对顶角，那么；③同角的补角相等；④若，则；⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，平行的判定与性质，乘方运算，补角，对顶角等知识，能够熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，此命题缺少条件，故为假命题， ②根据对顶角相等，可知命题为真命题，故符合题意； ③同角的补角相等，命题为真命题，故符合题意； ④相反数的平方也相等，但正负数不相等，故命题错误，不符合题意； ⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故命题为真命题，符合题意； ⑥过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故命题错误，不符合题意； 故本题中真命题有个， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）下列命题中①若，则；②4的平方根为；③立方根是；④的算术平方根为．是真命题的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据平方根和立方根的定义逐一判断各命题的真假即可得到答案． 【详解】解：对于①：∵当，则，但，有， ∴①为假命题； 对于②：∵平方根的定义，4的平方根为， ∴②为真命题； 对于③：∵的立方根为， ∴③为真命题； 对于④：∵的算术平方根为， ∴④为真命题； ∴真命题为②③④， 故选：D． 4．（24-25七年级下·河南周口·月考）“4的平方根是2”这个命题是____命题．（填“真”或者“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了平方根，判断命题的真假； 根据4的平方根是可知这个命题是假命题． 【详解】解：∵4的平方根是， ∴“4的平方根是2”这个命题是假命题， 故答案为：假． 5．命题“两个锐角的和是直角”是______命题（填“真”或“假”）. 【答案】假 【详解】两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，即两个锐角的和是直角是假命题. 6．下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号） 【答案】 ①②⑤ ②⑤ 【分析】判断一件事情的语句叫命题，正确的命题叫真命题，根据定义依次分析解答． 【详解】解：①同旁内角相等是命题，是假命题； ②如果，那么是命题，是真命题； ③对顶角相等吗？不是命题； ④画线段不是命题； ⑤两点确定一条直线是命题，是真命题． 故答案为：①②⑤，②⑤． 【点睛】此题考查命题的定义，真命题的定义，熟记相关性质是解题的关键． 7．“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个______命题．（填“真”、“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了真、假命题，平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意画出图形推导即可判断求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，直线被直线所截，交点分别为，平分，平分， ∴，， 当时，， 则， 此时； 当与不平行时，， 则， 此时和不平行； ∴“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是假命题， 故答案为：假． 8．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并判断命题的真假． (1)等边三角形的三条边相等； (2)分数一定是实数； (3)相交成直角的两条直线互相垂直； (4)和为的两个角叫做邻补角． 【答案】(1)如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等．真命题． (2)如果一个数是分数，那么这个数一定是实数．真命题． (3)如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直．真命题． (4)如果两个角的和为，那么这两个角叫做邻补角．假命题． 【分析】（1）先找到题设和结论，根据等边三角形的性质可判断； （2）先找到题设和结论，根据分数和实数的概念可判断； （3）先找到题设和结论，根据垂直的概念可判断； （4）先找到题设和结论，根据邻补角的概念可判断． 【详解】（1）解：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等．真命题． （2）解：如果一个数是分数，那么这个数一定是实数．真命题． （3）解：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直．真命题． （4）解：如果两个角的和为，那么这两个角叫做邻补角． ∵邻补角是指两个角有一条‌公共边‌，且它们的‌另一边互为反向延长线‌，具有这种关系的两个角互为邻补角 ， ∴该命题是假命题． 举反例 题型05 1．和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，掌握举反例时，需要满足命题的条件，但不满足命题的结论是解题的关键． 举出反例说明，满足命题的条件，不满足命题的结论即可得出答案． 【详解】A.两直线不平行，同位角不相等，可以作为反例说明“同位角相等”是假命题，符合题意； B.和不是同位角，不符合题意； C.和不是同位角，不符合题意； D.两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选A． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知命题：“对于任何实数，”是假命题，请举一个反例，的值可以是_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据绝对值的性质，取一个负数，验证即可，例如取，此时，可证明命题为假． 【详解】解：根据绝对值的性质，当时，， 取（答案不唯一，任意负数均可）， 此时，而，与矛盾． 3．（25-26七年级·江苏南京·期末）举一个反例：______，说明“若能被5整除，则的末位数字是5”是假命题． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足条件“能被整除”，但不满足结论“的末位数字是”的即可，根据能被整除的数的特征，选取末位为的符合要求的数即可 【详解】解：根据能被整除的整数的特征可知：能被整除的整数，末位数字为或， 取， 因为，所以能被整除， 的末位数字为，不是，满足题设条件不满足结论，可说明原命题是假命题， 故答案为（答案不唯一） 4．请举反例说明命题“对于任意有理数，的值总是整数”是假命题，你举的反例是________．（写出一个的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反例，解题的关键是掌握反例的定义． 根据反例的定义进行求解即可． 【详解】解：当时，， 不是整数，故命题为假， 故答案为：． 5．用一组a，b的值说明命题“若，则”是假命题，a，b的值可以分别为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明命题是假命题，只需举出满足，但不满足的反例即可． 【详解】解：取，， ∵ ，即满足条件， 计算得，， ∵ ， ∴ ，不满足命题的结论， 因此这组可以说明原命题是假命题． 6．举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 【答案】(1)2是偶数，但2不是4的整数倍（答案不唯一） (2)是有理数，但不是正数（答案不唯一） (3)角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可． 【详解】（1）解：偶数，，不是整数，所以不是的整数倍，说明“任何偶数都是的整数倍”是假命题． 所以反例为：2是偶数，但2不是4的整数倍； （2）解：当时，，是负数，不是正数，说明“对于任意有理数，代数式的值总是正数”是假命题． 所以反例为：是有理数，但不是正数； （3）解：在角平分线分成的两个角，它们有公共顶点且相等，但不是对顶角，说明“有公共顶点且相等的角是对顶角”是假命题． 所以反例为：角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角． 7．指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)该命题为真命题． (2)该命题为假命题， 反例：如图所示，，之和大于线段的长，点在直线外．    (3)该命题为真命题． (4)该命题为假命题， 反例：当时，． 【分析】本题主要考查命题和反例的定义： （1）真命题； （2）假命题，当点，，为三角形的三个顶点时，可作为反例； （3）真命题； （4）假命题，当时，可作为反例． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 与命题有关的开放题题型 1．请你用“如果那么”的形式写出一个真命题______． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题，选择一个真命题，再按要求写成“如果那么”的形式即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”是一个真命题， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．（答案不唯一） 2．（25-26七年级·河北石家庄·月考）完成下面探究命题“内错角相等”是真命题还是假命题的过程 如图，已知与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)找出的一个内错角_________，与这个内错角__________（填“相等”或“不相等”），所以该命题是：________（填“真命题”或“假命题”）； (2)在（1）的基础上，若该命题是真命题，给出证明；若是假命题，改变一个已知条件，使得该命题为真命题． 【答案】(1)或，不相等，假命题 (2) 解：改变的条件为：若 ∴； 或改变的条件为：若 ∴． 【分析】（1）根据内错角的定义求解，然后判断即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：找出的一个内错角：或，与这个内错角不相等，所以该命题是：假命题； （2）略 3．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内． 请你根据下列要求从①，②，③，④中选择三项，其中两项作为条件，另一项作为结论写出命题（用“如果……，那么……”的形式） (1)写出一个真命题． (2)写出一个假命题，并举出反例． 【答案】(1)选择②③作为条件，①作为结论，如果，那么 (2)选择②③作为条件，④作为结论．如果，那么． 反例：如图．如果，那么． 【分析】（1）根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，即可确定选择的条件和结论． （2）根据图形及平行线的判定，平面内，两条直线都跟同一条直线垂直，这两条直线不可能垂直，即可解决写出假命题的问题． 【详解】（1）解：选择作为条件，作为结论， 如果，，那么． （2）解：选择作为条件，作为结论， 如果，，那么． 反例：如图，如果，，那么． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及命题的真假判断等知识点，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键，这些定理是判断由条件能否推出结论，从而确定命题真假的核心依据． 4．已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【答案】(1) 解：，理由如下： 如下图，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； (2) 解：，理由如下： 如下图，      ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【分析】（1）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $