2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟卷2

2026-2027学年九年级数学上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-3章（北师大版2024版）。 一﹑单项选择题（题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．关于菱形的性质，下列说法不正确的是（    ） A．四条边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 3．如图，在中，点在边上，且，过点作 交于点．若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，下列结论正确的是（  ） A．当平行四边形是矩形时， B．当平行四边形是正方形时， C．当平行四边形是菱形时， D．当平行四边形是矩形时， 7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是（    ） A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米 8．顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 9．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 （     ） A． B．且 C． D． 10．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A．20 B．30 C． D． 11．下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 12．如图（1），正方形的对角线相交于点O，点P为的中点，点M为边上的一个动点，连接，过点O作的垂线交于点N，点M从点B出发匀速运动到点C，设，，y随x变化的图象如图（2）所示，图中m的值为（    ）    A． B．1 C． D．2 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．数，如果数b是a和c的比例中项，那么_____． 14．已知，则________． 15．如图，若，，则长为______． 16．如图，正方形的边长为6，点E是的中点，与交于点P，F是上一点，连接分别交，于点M、N，且，连接，则的长为______． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： (1)． (2)． 18．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (3)若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为 ． 19．如图，中，∠=90°，是斜边上的中线，分别过点作∥，∥，两线交于点. （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积. 20．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． 应用： (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ② (2)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 21．惠农商场于今年五月份以每件30元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，五月份销售256件.六、七月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，7月份的销售量达到400件.设六、七这两个月月平均增长率不变. (1)求六、七这两个月的月平均增长率； (2)从八月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利2640元？ 22．(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D． 求证：AB2＝AD·AC； (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC 于点F．，求的值； (3) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥ＡD 于点E，交直线AC于点F．若，请探究并直接写出的所有可能的值(用含n的式子表 示)，不必证明． 23．如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B分别是x轴、y轴正半轴上的点，以OA、OB为边构造矩形OACB．点E为OA上一点，满足BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F．已知． (1)求证：CA＝CF． (2)如图2，连结CE，当∠BCF＝2∠ECF时，求AE的长． (3)在（2）的条件下，连结AF，在坐标平面内是否存在一点M，使得以点M、A、F为顶点的三角形与△CBE相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-3章（北师大版2024版）。 一﹑单项选择题（题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，此选项不符合题意； B、方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，此选项不符合题意； C、方程是一元二次方程，此选项符合题意； D、方程中，未知数的最高次数不是2，故不是一元二次方程，此选项不符合题意； 故选：C． 2．关于菱形的性质，下列说法不正确的是（    ） A．四条边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】根据菱形的性质判断即可．此题主要考查对菱形的性质及判定的理解，关键是根据菱形的性质解答． 【详解】解：A、菱形的四条边都相等，正确不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，正确不符合题意； C、菱形的对角线互相平分，正确不符合题意； D、菱形的对角线不一定相等，错误符合题意； 故选：D． 3．如图，在中，点在边上，且，过点作 交于点．若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，即可得出结果．本题主要考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， ， ； 故选：B． 4．如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程与几何图形，设，则，根据得，代入后转化为一元二次方程，再解方程并检验即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】设，则， ∵， ∴， ， ∴， 解得，（舍去）， 故选：． 5．用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤进行配方即可． 【详解】解：配方得：， 即； 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方的步骤：二次项系数化为1；加上一次项系数一半的平方，并减去这个数，掌握这一步骤是关键． 6．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，下列结论正确的是（  ） A．当平行四边形是矩形时， B．当平行四边形是正方形时， C．当平行四边形是菱形时， D．当平行四边形是矩形时， 【答案】A 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的性质，根据矩形，菱形，正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、当平行四边形是矩形时，，结论正确，符合题意； B、当平行四边形是正方形时，，而，原结论错误，不符合题意； C、当平行四边形是正方形时，，原结论错误，不符合题意； D、当平行四边形是矩形时，对角线不垂直，原结论错误，不符合题意； 故选：A ． 7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是（    ） A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米 【答案】D 【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB. 【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D ∴△ADEF∽△DCB ∴ ∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m ∴解得：BC=4 ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米 故答案为5.5. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 8．顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可知每个角都是直角，说明每组邻边互相垂直，进而可判断出四边形ABCD的对角线互相垂直，由此结合选项即可得出正确答案． 【详解】如图， ∵四边形EFGH是矩形， ， ． ∵点E,F,H分别为AB,BC,AD中点， ∴ ， ， 而四个选项中只有菱形的对角线互相垂直， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形，菱形的性质，三角形中位线的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 9．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 （     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】方程未明确为一元二次方程，需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论. 【详解】解：当，即时， 方程为一元一次方程， 解得，有实数根，符合条件； 当，即时， 方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时的取值范围为且， 综上所述，的取值范围是. 10．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A．20 B．30 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， 故选：C． 11．下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】设，则，求出，，分别求出比值，作出判断． 【详解】解：设， ∴， 在中，， 由折叠可知，， ∴ ， 又∵， ∴， ， ，， ， ∴比值为的是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查四边形综合题，黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．如图（1），正方形的对角线相交于点O，点P为的中点，点M为边上的一个动点，连接，过点O作的垂线交于点N，点M从点B出发匀速运动到点C，设，，y随x变化的图象如图（2）所示，图中m的值为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】当点与点重合时，可得；当点与点重合时，可得 ．在中，求解即可． 【详解】解：当点与点重合时，如图：    ∵四边形是正方形 ∴ 此时，点与点重合 当点与点重合时，如图：    ∵四边形是正方形 ∴ 此时，点与点重合 结合图2可知： 设 ∵点为的中点 在中， 解得：（舍去） ∴，即 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质、函数图象．由动点的特殊位置入手是解题关键． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．数，如果数b是a和c的比例中项，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项，解题的关键是理解比例中项的含义． 根据比例中项的定义可得，从而即可得到的值． 【详解】解：数是和的比例中项， ， ， ， 故答案为：． 14．已知，则________． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查了分式的拆分与代数式的求值，熟练掌握分式的拆分变形并结合已知比例代入计算是解题的关键．将所求分式拆分为含的形式，再代入已知的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 15．如图，若，，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据题意，可得，然后代入可得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，正方形的边长为6，点E是的中点，与交于点P，F是上一点，连接分别交，于点M、N，且，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】先证明，推出，接着证明，得到，接着利用勾股定理求得其长度，利用面积法求得，继而求出，作交于点Q，则，，然后利用对应边成比例，即可求得，接着算得，最后利用勾股定理求得答案． 【详解】解：∵四边形是边长为6的正方形，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 作交于点Q，则，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）， 或， 所以． 18．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (3)若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为 ． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求； (3) 【分析】此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点位置是解题的关键． （1）依据轴对称的性质，即可得到关于x轴对称的图形； （2）依据原点O为位似中心，位似比为，即可得出缩小后的图形； （3）依据原点O为位似中心，位似比为，即可得出对应点的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵原点O为位似中心，位似比为， ∴点的对应点的坐标为， 故答案为：． 19．如图，中，∠=90°，是斜边上的中线，分别过点作∥，∥，两线交于点. （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积. 【答案】（1）证明见解析； （2）菱形AECD 【详解】试题分析：（1）直接利用平行四边形的判定方法得出四边形AECD是平行四边形，再利用直角三角形的性质得出CD=AD，即可得出四边形AECD是菱形；（2）利用菱形的性质和平行四边形的性质得出AC，ED的长，进而得出菱形面积． 试题解析：(1)证明：∵AE∥DC,CE∥AB， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD=AD， ∴四边形AECD是菱形; (2)连接DE. ∵∠ACB=90°,∠B=60°， ∴∠BAC=30° ∴AB=4,AC=， ∵四边形AECD是菱形， ∴EC=AD=DB， 又∵EC∥DB ∴四边形ECBD是平行四边形， ∴ED=CB=2， ∴S菱形AECD= =. 20．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． 应用： (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ② (2)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)①不是②是 (2)或 【分析】（1）①解一元二次方程，由两根之差不为1做出判断；②解一元二次方程，由两根之差为1，即可得得出结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两根，由该方程是“邻根方程”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【详解】（1）解：①， 解得：，， ， 一元二次方程不是邻根方程； ②， ，，， ， ，， 一元二次方程是邻根方程； （2）， ， ，， 关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”， 或， 或． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程以及新定义，解题的关键是：（1）求出两方程的根，作差来判断两方程是否是“邻根方程”；（2）利用“邻根方程”的定义，找出关于的方程． 21．惠农商场于今年五月份以每件30元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，五月份销售256件.六、七月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，7月份的销售量达到400件.设六、七这两个月月平均增长率不变. (1)求六、七这两个月的月平均增长率； (2)从八月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利2640元？ 【答案】(1)六、七这两个月的月平均增长率为25%；(2)当商品降价4元时，商品获利2640元. 【分析】(1)由题意可得，五月份的销售量为：256件；设六、七这两个月的月平均增长率为x，则六月份的销售量为：256(1+x)；七月份的销售量为：256(1+x)2，又知七月份的销售量为：400件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； (2)设当商品降价m元时，商品获利2640元，利用销量×每件商品的利润＝2640列出方程求出即可. 【详解】解：(1)设六、七这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256(1+x)2＝400， 解得：x1＝0.25，x2＝﹣2.25(不合题意舍去). 答：六、七这两个月的月平均增长率为25%； (2)设当商品降价m元时，商品获利2640元，根据题意可得： (40﹣30﹣m)(400+10m)＝2640， 解得：m1＝4，m2＝﹣34(不合题意舍去). 答：当商品降价4元时，商品获利2640元. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 22．(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D． 求证：AB2＝AD·AC； (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC 于点F．，求的值； (3) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥ＡD 于点E，交直线AC于点F．若，请探究并直接写出的所有可能的值(用含n的式子表 示)，不必证明． 【答案】 (1)证明：如图①，∵　BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC， 又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC ． ∴，∴ AB2＝AD·AC． (2)2 (3) ①当点D在BC边上时，的值为n2＋n；②当点D在BC延长线上时，的值为n2－n；③当点D在CB延长线上时，的值为n－n2． 【分析】（1）由证△ADB∽△ABC即可得到结论． （2）过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，由已知用AAS证△BDE≌△CDG，得到EF是△ACG的中位线，应用（1）的结论即可． （3）分点D在BC边上、点D在BC延长线上和点D在CB延长线上三种情况讨论 【详解】解：(1)略 (2)如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G．    ∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF． 又∵， ∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC． 又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG（AAS）． ∴ED＝GD＝． 由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD， ∴．∴ AE＝4DE．∴． 又∵CG∥BF，∴． (3) ①当点D在BC边上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G．    ∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF． ∴△BDE∽△CDG．∴． 又∵，∴ ∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nGD． ∴BC=（n＋1）DC，EG=ED． 由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD， ∴．∴ AE＝ DE． ∴． 又∵CG∥BF，∴． ②当点D在BC延长线上时，如图4，过点C作CH⊥AD交AD于点H．    ∵ BE⊥AD，∴∠CHD＝∠BED＝90°，CH∥BF． ∴△BDE∽△CDH．∴ 又∵，∴ ∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nHD． ∴BC=（n－1）DC，EH=ED． 由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD， ∴．∴ AE＝ DE． ∴． 又∵CH∥BF，∴． ③当点D在CB延长线上时，如图5，过点C作CI⊥AD交DA的延长线于点I．    ∵ BE⊥AD，∴∠CID＝∠BED＝90°，CI∥BF． ∴△BDE∽△CDI．∴ 又∵，∴ ∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nID． ∴BC=（1－n）DC，EI=ED． 由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD， ∴．∴ AE＝ DE． ∴． 又∵CI∥BF，∴． ∴①当点D在BC边上时，的值为n2＋n； ②当点D在BC延长线上时，的值为n2－n； ③当点D在CB延长线上时，的值为n－n2． 23．如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B分别是x轴、y轴正半轴上的点，以OA、OB为边构造矩形OACB．点E为OA上一点，满足BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F．已知． (1)求证：CA＝CF． (2)如图2，连结CE，当∠BCF＝2∠ECF时，求AE的长． (3)在（2）的条件下，连结AF，在坐标平面内是否存在一点M，使得以点M、A、F为顶点的三角形与△CBE相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ∵四边形OACB是矩形， ∴∠BOE＝∠BFC＝90°， ∵BC∥OA， ∴∠CBE＝∠BEO， 在△BCF与△EBO中， ∴△BCF≌△EBO，即CF＝BO， 又∵OB＝CA， ∴CA＝CF． (2) (3)存在，，，，，， 【分析】（1）证△BCF≌△EBD即可求证； （2）证△AEC≌△FEC，根据矩形的性质，通过角的转换得∠BCF＝∠ACF＝45°，即可求解； （3）根据题意，分析出符合题意的点M的所有情况并求点即可； 【详解】（1）略 （2）由（1）可得BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE． 又∵BC∥AO， ∴∠BCE＝∠CEA，即∠CEF＝∠CEA， 又∵∠CAE＝∠CFE＝90°，EC＝EC， ∴在△AEC与△FEC中， ∴△AEC≌△FEC，即∠FCE＝∠ACE． 又∵∠BCF＝2∠ECF，∠BCF＋∠FCE＋∠ECA＝90°， ∴∠BCF＝∠ACF＝45°，，BC＝2＝AO， ∴． （3）如图， 由（2）易得△CBE是一个顶角为45°的等腰三角形，若△MAF与△CBE相似，可以分为两种情况讨论． ①当AF为底边时，易得C点满足条件，∠ACF＝45°，CF＝AC，即．将C点关于AF进行对称得，计算易得． ②当AF为腰时， i）∠MFA＝45°，计算易得．同理，将关于AF对称得，计算易得． ii）∠MAF＝45°，计算易得．同理，将关于AF对称得，计算易得． 综上所述，满足条件的M的坐标为：，，，，， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用，根据题意分析出满足题意的不同情况是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $