2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟题

2026-2027学年九年级数学上册期中模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-3章（北师大版2024版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中是一元二次方程的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义：一个未知数，最高次数为2，整式方程，这三点进行判断即可. 【详解】A选项是分式方程； B选项化简后为，是一元一次方程； C选项有两个未知数，不是一元二次方程； D选项是一元二次方程； 故选D. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记定义是关键，三个要点缺一不可. 2．已知，分别是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系：，直接计算两根之积即可解答． 【详解】解：∵，分别是方程的两个实数根，其中，，， ∴两根之积． 故选：B． 3．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项能否判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴不能判定为矩形． 选项B： ∵是边长与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项C： 是边与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项D： ∵， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故选：D． 4．如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：由题意，，， ， 选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：A． 5．若线段a，b，c，d成比例线段，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段的定义．根据成比例线段的定义，可得，即可求解． 【详解】解：：∵线段a，b，c，d是成比例线段，且， ∴，即， 解得：． 故选：A． 6．一长方体容器如图①摆放，长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5．若将其倾斜（水未倒出容器），倾斜后的长方体容器的主视图如图②所示，则图中CD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示 设，则， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∵， 由勾股定理得：， 即：的长， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键． 7．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．首先根据菱形的一组邻角互补可以求出，再根据菱形的对角线互相平分且每组对角线平分一组对角可得、，所以可得，根据直角三角形的斜边等于斜边的一半可得，根据等边对等角可得． 【详解】解：如下图所示， 四边形是菱形， ， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， 在中，， ， 点是的中点， ， ． 故选：C． 8．已知a，b均为一元二次方程的根，则的值为（    ） A．0 B．20 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则．根据根与系数的关系得到，，再将变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a，b均为一元二次方程的根， ∴，， ∴ ． 故选：A． 9．如图，在的边上取点，过点作，交于点．若，则的值是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得出，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：A． 10．关于的一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况无法判断 【答案】A 【分析】若△＞0，则方程有两个不等式实数根，若△=0，则方程有两个相等的实数根，若△＜0，则方程没有实数根.求出△与零的大小，结果就出来了. 【详解】解：∵△= ，∴方程有两个不相等的实数根 【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是关键. 11．在四边形中、相交于点，下列说法错误的是（    ） A．，，则四边形是平行四边形 B．，且，则四边形是菱形 C．，则四边形是矩形 D．且，则四边形是正方形 【答案】A 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，依次判断，即可求解， 本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，解题的关键是：熟练掌握相关判定定理． 【详解】解：、，，则四边形有可能是等腰梯形，此选项错误，符合题意； B、∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，此选项正确，不符合题意； C、∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即：， ∴平行四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形，此选项正确，不符合题意； 故选：． 12．如图，在等腰直角，是斜边的中点，点分别在直角边上，且，交于点．则下列结论： （1）图形中全等的三角形只有两对；（2）的面积等于四边形的面积的倍；（3）；（4）．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质． 根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定方法和性质可判定结论（1）；根据全等三角形的性质，勾股定理的运用即可判定结论（2），（3）；运用相似三角形的判定和性质可判定结论（4）． 【详解】解：结论（1）错误，理由如下： 图中全等的三角形有3对，分别为，，， 由等腰直角三角形的性质，可知，易得； ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴； 同理可证：． 结论（2）正确．理由如下： ∵， ∴， ∴， 即的面积等于四边形的面积的倍． 结论（3）正确．理由如下： ∵， ∴， ∴． 结论（4）正确．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 综上所述，正确的结论有个． 故选：． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若（其中），则________ 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用比例的基本性质． 根据合比的性质即可求解． 【详解】∵（其中）， ∴． 故答案为：． 14．如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为______． 【答案】1.2 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，于点F，于点G，连接FG，若，则FG的最小值为________． 【答案】 【分析】连接BE，证明四边形EFBG是矩形，即得BE=FG，从而FG最小即是BE最小，此时BE⊥AC，即可求得答案． 【详解】解：连接BE，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=AC=6，∠BAC=∠BCA=45°， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴四边形EFBG是矩形， ∴BE=FG， ∴FG最小即是BE最小，此时BE⊥AC， ∵AB=BC=6，∠ABC=90°， ∴AC==6， ∵AB=BC，BE⊥AC，∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠CBE=45°， ∴BE=AE=EC=AC=3， ∴FG最小为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是证明四边形EFBG是矩形，从而得到FG=BE． 16．如图，，，点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动，那么在_____秒后，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的分类讨论，根据题意列出线段的长是解题的关键． 首先设运动时间为t秒，得到，，再分为和两种情况进行讨论，分别求解不同的t值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动， ∴，， ∴， ①当时， ∴，即，解得：； ②当时， ∴，即，解得：； ∴在或时，以A，D，E为顶点的三角形与相似 故答案为：或． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： 【答案】，；，． 【分析】利用提公因式法解方程； 利用配方法解方程． 【详解】， ， ， 或， ，； ， ， ，即， ， ，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 18．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，请用无刻度的直尺作图．    (1)在图1中作一个格点，使得． (2)在图2中的线段上找一点D，使得． 【答案】(1) 如图，即为所作；    (2) 如图，点D即为所作．    【分析】本题考查限定工具作图，平行线分线段成比例的推论，掌握平行线分线段成比例定理的推论是解题的关键． （1）取格点，连接，则即为所作； （2）取格点E，连接交于点D，点D即为所作． 【详解】（1）略 （2）略 19．已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，AB在阳光下的投影． (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影； (2)在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长 【答案】(1) 如图所示，线段就是的投影． (2) 【分析】（1）根据已知连接，过点作，即可得出就是的投影； （2）利用三角形得出比例式，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：太阳光线是平行的， ∴． ． 又， ． ， ，，， ， ． 【点睛】此题主要考查了平行投影的画法以及相似三角形的应用，根据已知得出是解题关键．要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 20．某网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求七月到九月月销售量的月平均增长率． (2)该网点十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（农产品进价每袋25元，原售价为每袋40元） 【答案】(1) (2)降价5元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系列出方程是解题关键． （1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用七月销量九月的销量进而求出答案； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设八、九这两个月的月平均增长率为x． 由题意得： ， 解得：(不合题意，舍去) 答：八、九这两个月的平均增长率为25%． （2）解：设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店10月份获利4250元． 根据题意可得：， 解得：(不合题意，舍去) 答：当农产品每袋降价5元，该淘宝网店10月份获利4250元． 21．如图，在正方形中，点P在上，且不与重合，点H在上，且不与重合，连接与交于点E． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，若正方形的边长为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可以得到Rt△PAB≌Rt△HBC，然后根据全等三角形的性质、正方形的性质、外角的性质和直角三角形的定义可以得解； （2）由（1）和已知可以求出HB、BC、CH的值，然后根据三角形面积的求法可以得到BE的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴， 在Rt△PAB和Rt△HBC中， ， ∴Rt△PAB≌Rt△HBC（HL）， ∴∠APB＝∠BHC， ∵∠APB+∠PBA＝90°， ∴∠CHB+∠PBA＝90°＝∠CEB， ∴BP⊥CH； （2）解：∵正方形ABCD的边长为12， ∴AB＝BC＝12， ∵AP＝5， 由（1 ）Rt△PAB≌Rt△HBC得BH＝AP＝5， 在Rt△HBC中，由勾股定理得：CH＝， ∵△HBC的面积＝， ∴， 解得：BE＝， 即线段BE的长为． 【点睛】本题考查正方形的综合应用，熟练掌握直角三角形全等的判定和性质、直角三角形的定义、三角形外角定理、勾股定理的应用是解题关键． 22．甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算甲、乙两位同学方案中拼成的正方形的边长，并比较大小． (2)请设计一个方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（方案要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，标出所有裁剪线的长，求出这个正方形的边长．） 【答案】(1)甲同学方案中拼成的正方形边长为，乙同学方案中拼成的正方形边长为，甲同学方案中拼成的正方形边长较大． (2) 方案： 其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下 边长计算如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， 根据拼接要求，为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴即， 解得． ∴根据勾股定理，得 ，即满足要求的正方形边长为． 【分析】（1）由直角三角形的最短边可得甲同学方案拼成的正方形边长，根据勾股定理，得．证，，得， 设，则，求解得乙同学方案中拼成的正方形边长为，进而比较即可得解． （2）根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解． 【详解】（1）解：甲同学方案中拼成的正方形边长为． 对于同学，如图，由拼成条件可得， 记直角三角形为，根据勾股定理，得． ∵，，， ∴，， ∵，， ，， ， 设，则 ∴， 解得， 乙同学方案中拼成的正方形边长为． ， 甲同学方案中拼成的正方形边长较大． （2）略 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 23.【问题背景】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，连接，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且．求证：且； 【类比探究】 （2）如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，过点E作交于点H，延长交边于点G，若是等腰三角形，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：如下图，过点E作于点N，于点M， ∴ ∵四边形正方形．BN ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴≌， ∴． ∵， ∴ ∵，， ∴ 即． （2），． 理由：如下图，过点E作交于点M， ∴， ∵四边形矩形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． （3）或或． 【分析】（1）过点E作于点N，于点M，证得≌，进而得到答案． （2）过点E作交于点M，证得，进而得到答案． （3）分别讨论，，三种情况即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）或或． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形、相似三角形、解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上册期中模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-3章（北师大版2024版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中是一元二次方程的是(    ) A． B． C． D． 2．已知，分别是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 3．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　） A．B．C．D． 5．若线段a，b，c，d成比例线段，且，则（    ） A． B． C． D． 6．一长方体容器如图①摆放，长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5．若将其倾斜（水未倒出容器），倾斜后的长方体容器的主视图如图②所示，则图中CD的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．已知a，b均为一元二次方程的根，则的值为（    ） A．0 B．20 C． D．2 9．如图，在的边上取点，过点作，交于点．若，则的值是（   ） A．3 B．4 C． D． 10．关于的一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况无法判断 11．在四边形中、相交于点，下列说法错误的是（    ） A．，，则四边形是平行四边形 B．，且，则四边形是菱形 C．，则四边形是矩形 D．且，则四边形是正方形 12．如图，在等腰直角，是斜边的中点，点分别在直角边上，且，交于点．则下列结论： （1）图形中全等的三角形只有两对；（2）的面积等于四边形的面积的倍；（3）；（4）．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若（其中），则________ 14．如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为______． 15．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，于点F，于点G，连接FG，若，则FG的最小值为________． 16．如图，，，点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动，那么在_____秒后，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： 18．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，请用无刻度的直尺作图．    (1)在图1中作一个格点，使得． (2)在图2中的线段上找一点D，使得． 19．已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，AB在阳光下的投影． (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影； (2)在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长 20．某网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求七月到九月月销售量的月平均增长率． (2)该网点十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（农产品进价每袋25元，原售价为每袋40元） 21．如图，在正方形中，点P在上，且不与重合，点H在上，且不与重合，连接与交于点E． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，若正方形的边长为，求线段的长． 22．甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算甲、乙两位同学方案中拼成的正方形的边长，并比较大小． (2)请设计一个方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（方案要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，标出所有裁剪线的长，求出这个正方形的边长．） 23.【问题背景】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，连接，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且．求证：且； 【类比探究】 （2）如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，过点E作交于点H，延长交边于点G，若是等腰三角形，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $