四川省双流中学2026-2027学年高二上学期第一次教学质量检测数学试题

四川省双流中学2026一2027学年度上期第一次教学质量检测 高2025级数学试题 命题人：郭建良审题人：张小东 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1,某校为了解全校高中生课后课外阅读时长情况，已知高一、高二、高三学生人数差异较大，各年级阅 读习惯差别明显.现计划抽取容量为50的样本开展调查，为保证样本对三个年级都具备代表性，应采用 的抽样方法是() A.分层抽样B.随机数表法 C.抽签法 D.以上都不是 2.已知点B是点A(2,3,4)在坐标平面x0z内的射影，则I0B1=( A.2W5 B.V13 C.5 D.V29 3.某学校组建了演讲、舞蹈、合唱、绘画、英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机 选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画 社团的学生数为() 人数 80 70 60 演讲 15% 40 30 舞蹈 英语协会20% 20 20% 演讲舞蹈合唱绘画英语协会社团 A.16 B.18 C.20 D.25 4.若甲、乙、丙三人站成一排，则甲站在中间的概率为() A. B. C. D.3 5.已知空间向量a=(3,5,2),万=(1,1，-1)，则向量d在向量6上的投影向量是() A.-2b B.-B C.B D.2b 6.空间直线1经过点A(3,0,0),且直线1的方向向量为3=(2,2,1)，则点P(1,2,1)到直线1的距离为 () A.55 3 B.4v5 C.@ 3 D. 7.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为P1,P2,P3,p4,且∑1P:=1,则下面四种情 形中，对应样本的标准差最大的一组是() A.p1=p4=0.1,p2=P3=0.4 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1 C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2 数学试卷第1页（共5页） 8.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4,点E、M分别为棱CC1y BB1的中点.若平面ACM∩平面A1B1C1D1=l,则直线l与平面B1D1E所成角的余弦值为() A A.9 B.号 C.2V2 D.9 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知，万，是空间的一个基底，则下列命题正确的是() A.若k1a+k2万+k3c=0,则k1=k2=k3=0 B.向量d+、乃+、c+a一定共面 C.向量币=2a-3b+c在基底{a,b,下的坐标是(2，-3,1) D,对空间中任意向量元，都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得元=x(a+)+y(石+)+ z(c+) 10.甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件M:甲、乙两人出的都是剪刀；事件N: 甲、乙两人出的相同：事件T:甲、乙两人至少有1人出的是布.则下列说法正确的是() A.M与T互斥 B.N与T互为对立事件 C.P(MN)=P(M) D.P(M)+P(N)<P(T) 11.将一副直角三角板按图1所示的方式拼接，从中抽象出图2所示的平面四边形ABCD,其中∠BAD= 60°，∠ABD=90°，AB=2,BC=CD.现将△BCD沿着BD折起，连接AC,得到图3所示的三棱锥 C-ABD,AD、BD的中点分别为E、F.记二面角C-BD-A的平面角为0，则下列结论正确的是 () D30 图1 图2 图3 A.CE 1 BD B.存在日使得直线AB与CE所成的角为90° C.当日=90°时，三棱锥C-ABD的外接球表面积为4π D.当0=30时，三棱锥C-ABD的体积为1 数学试卷第2页（共5页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知A,B为两个随机事件，P(A)=0.2,P(B)=0.5,若A∈B,则P(AUB)=- 13.己知数据x1,x2,,x10的平均数为2，则数据4x1+3,4x2+3,,4x10+3的平均数是 14.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这枚骰子1次， 观察它朝上面的数字，得到样本空间2=1,2,3,4,5,6，设事件A=1,2,3,事件B={1,3,5),若事件 C∈2且满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),事件A,C相互独立，事件B,C不相互独立，则满足条件的事 件C的个数为一 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（本小题13分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3,AA1=4,∠BAD= ∠BAA1=∠DAA1,且|AC=2V14 (1)用向量AB,AD,AA1表示向量AC1,A1C,并求c0 S4BAD: (2)求异面直线A1C与BC1所成的角. 16.(本小题15分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2,E是AB的中 点 (1)求证：BC1I‖平面ECA1: (2)求点C1到平面ECA1的距离. 数学试卷第3页（共5页） 17.(本小题15分)2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与 深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜.根据网络平台数据，截至2025 年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动 画电影票房榜的亚洲电影.某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样 本，得到如图所示的频率分布直方图 频率/组距 0.025 0.020 0.010 0.005 0102030405060 年龄/岁 (1)求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数： (2)为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组[40,50)， [50,60)的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在[40,50)的概率： (3)若样本中年龄在[0,10)的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在[50,60)的观众年龄的平均 数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数z和方差s2. 18.(本小题17分)甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A 为“甲至少投进两球” (1)用x:(1=1,2,3)表示甲第i次的投篮结果，则(x1,x2,x3)表示试验的样本点.用1表示“投进”， 0表示未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由： （2)用计算机产生0一9之间的整数随机数，当出现随机数0~6时，表示“投进，出现7,8,9时 表示“未投进”，以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 062049228933102734550783076276 910349114494995396521016065140 ()利用该模拟试验，估计事件A的概率； (ⅱ)计算事件A的概率的精确值，并判断该精确值与估计值是否存在差异，并说明理由. 数学试卷第4页（共5页） 19.(本小题17分)如图1，在平面四边形ACDB中，AC=2,BC=√2，∠C=90°，△ABD是等腰直 角三角形，∠ABD=90°.将△ABD沿AB折叠到△QAB的位置，形成如图2所示的三棱锥Q-ABC, 且QC=2W2. A B c B 图1 图2 图3 (1)证明：AC1BQ: (2)已知三棱锥Q一ABC的外接球球心为O. ①若E为线段BQ上动点（不包含B,Q),S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹 角为6，求sin0的最小值： ②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线PA',PB',PC构成的三 面角P-A'B'C,记∠A'PC=a,LB'PC'=B,LA'PB'=Y,二面角A'-PC-B'的大小为0，则 cosy=cosacosB+sinasinBcos6.当a、B、Ye(0,匀时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理， 并用该结论求图2中二面角A一OC-B的余弦值. 数学试卷第5页（共5页）