第6讲 一元二次不等式与基本不等式中的恒成立和有解问题 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第6讲一元二次不等式与基本不等式中的恒成立和有解问题 目录 题型01一元二次不等式恒成立 题型02主元法解决恒成立 题型03区间上的有解问题 题型04基本不等式中的恒成立问题 题型05基本不等式中的有解问题 强化训练（共10题) 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1一元二次不等式恒成立 题型点拨 a=b=0 a>0 1、不等式ar2+br+c>0对任意实数x恒成立台c>0 或(4<0 a=b=0 a<0 2、 不等式ar2+br十c<0对任意实数x恒成立台 c<0 或(4<0 【典例1】(25-26山西长治) x∈R mx2-(2+mn)x+2n≥0 不等式 恒成立，则 m+n 的最小值为() A.6 B.6V2 C.46 D.4V2 【典例2】(25-26-上海)若不等式mr-(r-mx-小20 对任意∈(0，+o)恒成立，则实数m的值为 2x2-ay+y2≥0 【典例3】(25-26上海)不等式 对于任意1sx≤21sys3 及 恒成立，则实数“的取值 范围是 题型2主元法解决恒成立 题型点拨 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数： 般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 主元法即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。 【典例1】(25-26黑龙江大庆)已知m∈[H,可 x2+(m-4)x+4-2m>0 不等式 恒成立，则x的取值范围 为() A.（∞，] B.(1,3) c.（-o,u(3,w）D.[L,3] 【变式1】(2025：江苏)对于0≤m≤4中的任意m,不等式x+x>4x+m-3恒成立，则x的取值范围是 () A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥3 D.x<-1或x>3 题型3区间上的有解问题 题型点拨 1、若存在x∈[m,m,a>y有解a>ymim: 若对任意x∈[m,川，a>y无解a≤ym。 2、若存在x∈[m,n,a<y有解a<ymax； 若对任意x∈[m,川，a<y无解a≥ymax. 4x-m 【典例1】(25-26河北石家庄)若存在xR,使得不等式-2x+3≥2成立，则实数m的取值范用为 () A. {mm≥2} B {mm<0} C.(mlms2 {mm<2} 【变武1】若命题。次0网），均有 +a,+a+3之0，为假命题，则实数a的取值范围是（） A.(-∞，-2)U(6,+∞】 B.（-0,-2) c.【-2,6] D.[2-7,2+] 题型4基本不等式中的恒成立问题 【典例1】(25-26天津)若不等式 2+2y≤(+y）对于一切正数y恒成立，则实数0的最小值为- 1 【变式1】(25-26：贵州)已知a>0,b>0且a+b=1,若2a+b2b+a ,≥m恒成立，则m的最大值为- 题型5基本不等式中的有解问题 【奥例1】（25-26吉林长春)当1≤x≤4时，不等式-(m+x4+90有 有解，则实数的最小值为一 【变式】(2526河北条家口)已>0>0上y=l,且不等式+号<。-加有解，则实数，的取省 范围是 强化训练（共10题） 1,(25-26江苏南通) x∈(-1，+o),x2+(1-k)x+1-k≥0 恒成立，则实数的取值范围为() A.（0,-] B.（-0,0] c.（-3,] D.（-0,] 2.(24-25广东深圳)当1≤m≤2时，mx2-mx-1<0恒成立，则实数x的取值范围是() -2cx<1+2 A.2 2 1-3,1+5 -<x< B.2 2 1-5<<1+5 C.2 2 1-万<x<+7 D.2 2 、3+4<m2-2m-3能成立，则实 3.(25-26山西晋城)若存在x≥0，y≥0，且3x+y=1,使不等式x+1+y+1 数m的取值范围是() A.（-42) B.（-0,-4U(2,+∞) c.（-2,4) D.（0,-2U(4,+∞) 4.(25-26北京)对任意a∈，小/()=+(a-4)r+4-2a 的值恒大于零，则的取值范围是() A.（-0,1U(3,+∞) B.(1,3) c.（-0,0U(2,+∞) D.0,2) 5.(25-26重庆)若06， b+3bc≤t(a2+b2+c2) 是三个不全相等的实数，且不等式 恒成立，则实数t的 最小值为() V10 5 2 3 A.2 B.2 C.2 D.2 4y2 。(2526器定大庆)《多遍)对任您实数1，生，不等武可仁可恒成立.则 -≥1 实数a取值可能() V14 A.2 B.4 C.2 D.2√2 7.若不等式产+3x+1≤a对一切正实数x都成立，则实数。的取值范围是一 8.(2425湖北武汉)已知关于的不等式m-6x+3m<0在0，习上有解，则实数”的取值范国是_ 9.(25-26甘肃兰州)己知x>0,y>0,且+2y-y=0,若x+2y>m恒成立，则实数m的取值范围为 2y>-k2+k 10.(24-25·黑龙江双鸭山)若两个正实数x,y满足2x+3y=1,且存在k∈R,使不等式6x+y 有解，则实数k的取值范围为一· 知识小测（共5题） 1.（25-26-山东淄博)若不等式a-r-(a-)x-1< 的解集为R,则实数的取值范围为() A.a-3<a<1y B.al-3<asl c.aa<-3减a≥} D.aa<-3减a>1} 之若一元=次不等式2+名<0对一切实数：都成立，则的取指箱围为() A.（-3,0] B.[3,0) c.【30] D.(3,0) 3。<2425山东期城)若存在Q2习，使不等式-2+3如<0限立，则实数”的取值花用是{) A.a<3 4 3 B.0≤a c.a>5 3 Da>号 4.(24-25江西南昌)若两个正实数x’y满足x少 足+手-1，且不等式+片<m-3加有解，则实数m的取 值范围是() A.{m-1<m<4 B.{mm<-4或m>1 C.{m-4<m<1} D,{mm<-l或m>4 5.(25-26黑龙江齐齐哈尔) 红∈<x<2列时，不等式--m<0恒成立，则m取值范围是（） A.{mlm≤2yB.{mlm≥2yc.ml<m<2D.{mm>2y 第6讲 一元二次不等式与基本不等式中的恒成立和有解问题 目 录 题型01 一元二次不等式恒成立 题型02 主元法解决恒成立 题型03 区间上的有解问题 题型04 基本不等式中的恒成立问题 题型05 基本不等式中的有解问题 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 一元二次不等式恒成立 题型点拨 1、不等式对任意实数恒成立⇔或 2、不等式对任意实数恒成立⇔或 【典例1】（25-26·山西长治），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 【典例2】（25-26·上海）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果. 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 【典例3】（25-26·上海）不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先对不等式等价变形，通过换元法化双变量为单变量，再分离参数，结合基本不等式求最值计算即可. 【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为 ， 因为，所以，又，则， 令，则不等式转化为，在上恒成立， 由，可得，即， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值，故可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 题型2 主元法解决恒成立 题型点拨 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 主元法即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 【典例1】（25-26·黑龙江大庆）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得. 【详解】令， 当时，，不满足题意； 当时，由一次函数性质可知，， 解得或. 故选：C 【变式1】（2025·江苏）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】法一：由题意，可以采用分离参数法．，分，，，结合进行讨论并求解不等即可得． 法二：构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒成立，从而求解不等式组即可得． 【详解】法一：由题意，恒成立， 等价于， 当时，即，，则恒成立， ，，解得：， 当时，即时，不等式不成立， 当时，即，，则， ，，解得：， 综上所述：的取值范围是或； 法二：由，即， 令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有且，即，解得或， 所以的取值范围是或. 故选：D． 题型3 区间上的有解问题 题型点拨 1、若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 2、若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 【典例1】（25-26·河北石家庄）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【详解】因为， 所以. 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”. 所以. 故选：C 【变式1】若命题“，均有”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知“，使得”为真命题，然后参变分离，将问题转化为最值问题，利用基本不等式可解. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即. 因为， 当且仅当时等号成立， 所以，所以实数a的取值范围为. 故选：B 题型4 基本不等式中的恒成立问题 【典例1】（25-26·天津）若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意可得的最大值，由，运用基本不等式，及解方程，可得，进而得到的最小值． 【详解】由题意可得的最大值， 由 ，（当且仅当取得等号）， 则， 当，即时，， 故的最大值为． 即有． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：，根据得. 【变式1】（25-26·贵州）已知且，若恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用结合基本不等式即可求解. 【详解】因为且，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 因为恒成立，所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型5 基本不等式中的有解问题 【典例1】（25-26·吉林长春）当时，不等式有解，则实数m的最小值为 . 【答案】5 【分析】先将不等式变形为，然后求出在上的最小值，进而得到的最小值. 【详解】由可得. ，当且仅当，即时取等号. 因为有解，所以，即，解得. 故答案为：5. 【变式1】（25-26·河北张家口）已知，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】先由基本不等式求出，从而根据不等式有解得到，求出答案. 【详解】由题， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式有解，所以，即， 解得或，即实数的取值范围是 故答案为： 强化训练（共10题） 1．（25-26·江苏南通）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 2．（24-25·广东深圳）当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式整理成关于的一次函数，利用一次函数性质解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意可将不等式整理成关于的一次函数， 由一次函数性质可知，即； 解得，综合可得； 故选：B 3．（25-26·山西晋城）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 4．（25-26·北京）对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数的解析式变形为，并构造函数，由题意得出，解此不等式组可得出实数的取值范围. 【详解】对任意，函数的值恒大于零， 设，即在上恒成立， 因为在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段. 所以 ，解得或， 即的取值范围是. 故选：A 5．（25-26·重庆）若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，令，可得，故，则求得t的范围，即可求得t的最小值. 【详解】设，， 因为，， 所以，等号成立的条件是． 令，解得， 所以， 即， 所以， 故选：A 【点睛】方法点睛：由已知式联想基本不等式，由于不等式一侧只有两项：，把拆成两项，分别与相加应用基本不等式，构成形式上的一致，再利用系数关系求得参数，然后由不等式恒成立可得结论． 6．（25-26·黑龙江大庆）（多选）对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】ACD 【分析】变形后，两次使用基本不等式进行求解，且等号成立的条件相同，从而得到，又，从而得到，求出或，从而得到答案. 【详解】，， ， 当且仅当①时，等号成立， 其中，， 当且仅当，，即，时，等号成立， 此时，即①式成立， 综上，， 又（）， 故，解得或， 实数a取值可能为2，，，ACD正确，B错误. 故选：ACD 7．若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意恒成立，即，然后由基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为， 所以. 故答案为：. 8．（24-25·湖北武汉）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】参变分离，得到在上有解，由基本不等式求出，从而得到实数的取值范围. 【详解】变形为， 故在上有解， 因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故答案为： 9．（25-26·甘肃兰州）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 又恒成立，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 10．（24-25·黑龙江双鸭山）若两个正实数x，y满足，且存在，使不等式有解，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，根据均值不等式以及“1”的妙用求的最大值，再解一元二次不等式得出结果. 【详解】依题意可得，存在，使不等式有解， 设， ， 当时，即时取等号. 所以. 所以，即，解得或. 实数k的取值范围为. 故答案为：. 知识小测（共5题） 1．（25-26·山东淄博）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 2．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式定义可得，由条件结合二次函数性质列不等式求结论. 【详解】因为是一元二次不等式，所以． 因为对一切实数都成立， 所以，解得． 故选：D. 3．（24-25·山东聊城）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 4．（24-25·江西南昌）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【详解】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 5．（25-26·黑龙江齐齐哈尔）时，不等式恒成立，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式恒成立，则得，即可得到取值范围. 【详解】时，不等式恒成立， 即，即，解得， 所以取值范围是. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $