2.1 等式性质与不等式性质（7大培优题型）讲义-2026-2027学年高一上学期数学新教材同步培优（人教A版必修第一册）

2．1 等式性质与不等式性质 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、符号法则与比较大小 3 知识点二、不等式的性质 3 知识点三、比较两代数式大小的方法 4 03 题型精讲 5 题型一：文字转化不等式（组） 5 题型二：作差、作商、倒数法比较法 6 题型三：浓度糖水不等式 6 题型四：不等式命题辨真假 8 题型五：不等式证明题 8 题型六：代数式数值比大小 9 题型七：待定系数配凑范围 9 04 课后精练 11 05 培优拓展 14 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 性质 内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 ； 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 （） 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型一：文字转化不等式（组） 【典例1】（2026·高三·北京门头沟·开学考试）在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【方法技巧与总结】 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 【变式1-1】（2026·高三·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-3】在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 题型二：作差、作商、倒数法比较法 【典例2】已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 【变式2-1】（2026·高一·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【变式2-2】设，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 题型三：浓度糖水不等式 【典例3】（2026·高一·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【方法技巧与总结】 糖水不等式:若,则 【变式3-1】用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【变式3-3】（2026·高一·广东阳江·阶段检测）已知糖水中有糖，往糖水中加入糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论） 题型四：不等式命题辨真假 【典例4】若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 运用不等式的性质判断真假的技巧 （1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【变式4-1】（2026·高一·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式4-3】已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 题型五：不等式证明题 【典例5】（2026·高一·上海杨浦·开学考试）对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 【方法技巧与总结】 对利用不等式的性质证明不等式的说明 （1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础． （2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系． （3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用． 【变式5-1】（2026·高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【变式5-2】已知，求证： ． 【变式5-3】已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 题型六：代数式数值比大小 【典例6】设，，则p与的大小为　________　． 【方法技巧与总结】 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【变式6-1】（2026·高一·北京·阶段检测）若，，则_____（用“”、 “”或“”填空）． 【变式6-2】比较大小. 【变式6-3】比较大小. 题型七：待定系数配凑范围 【典例7】（2026·高一·云南楚雄·阶段检测）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 【方法技巧与总结】 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【变式7-1】已知－≤α<β≤，求，的范围． 【变式7-2】（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【变式7-3】（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 1．（2026·高三·新疆喀什·阶段检测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东梅州·模拟预测）某物流公司有7件快递，按顺序重量分别为：6，3，8，2，5，4，7（百公斤）．现按原有顺序分成3组，分别装入3辆货车．设每辆货车装载的快递总重量为该车的“负荷”．那么，这3辆货车中的最大负荷的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·四川眉山·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 4．（2026·高三·北京海淀·开学考试）设，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·北京房山·开学考试）奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高三·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高三·重庆·阶段检测）已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）对于实数，，，下列命题是真命题的为（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 9．（多选题）（2026·高三·湖北黄冈·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高三·四川·阶段检测）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 11．（多选题）（2026·高三·山西临汾·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 12．（多选题）（2026·高一·广西柳州·开学考试）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 13．若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） 14．（2026·高一·上海·开学考试）若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 15．已知a，b是方程的两个根，则的值______ 16．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 17．证明：若，均为正数．则． 1．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·安徽芜湖·期末）已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 3．已知克糖水中有克糖，往糖水中加入克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)利用（1）的结论比较的大小. 4．为非负实数，满足，求的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．1 等式性质与不等式性质 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、符号法则与比较大小 3 知识点二、不等式的性质 3 知识点三、比较两代数式大小的方法 4 03 题型精讲 5 题型一：文字转化不等式（组） 5 题型二：作差、作商、倒数法比较法 6 题型三：浓度糖水不等式 8 题型四：不等式命题辨真假 10 题型五：不等式证明题 12 题型六：代数式数值比大小 14 题型七：待定系数配凑范围 15 04 课后精练 19 05 培优拓展 26 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 性质 内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 ； 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 （） 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型一：文字转化不等式（组） 【典例1】（2026·高三·北京门头沟·开学考试）在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【答案】C 【解析】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数 选项A：若，满足所有题干条件，此时，不满足“多于三倍”，故A错误； 对选项B：若，，不满足“多于两倍”，故B错误； 对选项C：由可得，又，因此， 即恒成立，故C正确； 对选项D：若，满足，此时， 不满足“多于三倍”，故D错误. 【方法技巧与总结】 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 【变式1-1】（2026·高三·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 【变式1-3】在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【解析】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 题型二：作差、作商、倒数法比较法 【典例2】已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【解析】设，则， 可得，， 因为，即， 且，，可得，所以. 【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 【变式2-1】（2026·高一·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 【变式2-2】设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【变式2-3】（2026·高二·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【解析】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 题型三：浓度糖水不等式 【典例3】（2026·高一·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【解析】（1）；证明： 利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）证明：因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 【方法技巧与总结】 糖水不等式:若,则 【变式3-1】用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 【变式3-2】（2026·高一·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【解析】（1） 不等式为或； 证明如下： ， 因为， 故，故. （2）由（1）中不等式可知， ， 故， 两边开方得：. 【变式3-3】（2026·高一·广东阳江·阶段检测）已知糖水中有糖，往糖水中加入糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论） 【解析】（1）由题可得. （2）因为， ∵， 所以，从而， 即. （3）住宅的采光效果变好了. 理由：设窗户面积为，地板面积为，同时增加的窗户和地板面积为，由（1）可知， 所以住宅采光效果变好了. 题型四：不等式命题辨真假 【典例4】若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 【方法技巧与总结】 运用不等式的性质判断真假的技巧 （1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【变式4-1】（2026·高一·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 【变式4-2】下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【解析】A.根据等式的性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； B.根据等式性质，可得如果，那么，正确，不符合题意； C.根据等式性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； D.根据不等式的性质，如果，那么，所以，故此选项错误，符合题意. 【变式4-3】已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】举反例逐一判断三个不等式，已知仅给出条件，没有限定的正负性： ①：取，，满足，但，，此时，故①不恒成立； ②：取，，满足，但，，此时，故②不恒成立； ③：取，，满足，此时，，，即， 故③也不恒成立； 三个不等式都无法在的条件下保证成立，成立的个数为. 题型五：不等式证明题 【典例5】（2026·高一·上海杨浦·开学考试）对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 【解析】（1）证明：设（为正有理数），则需证在和（即）之间. 当时，计算得：， 因，则，故； 再计算得：，因， 故，即，从而； 当时，同理可得且，即， 综上，必在和之间. （2）设，，比较与， 由（1）知，计算比值：， 因，故，即，即比更接近于； （3），理由为： 设，新数， 由（1）知，计算比值：， 则，因， 故，即，即比更接近于，故更接近. 【方法技巧与总结】 对利用不等式的性质证明不等式的说明 （1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础． （2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系． （3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用． 【变式5-1】（2026·高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【解析】（1）由，， 则， 因为，可得，所以； （2）因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 【变式5-2】已知，求证： ． 【解析】， 因为，所以，，即， 所以，即． 【变式5-3】已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 【解析】证明：假设，都不小于，即，， ∵，，∴，. ∴. 即，这与已知矛盾. ∴，中至少有一个小于. 题型六：代数式数值比大小 【典例6】设，，则p与的大小为　________　． 【答案】p≥4q 【解析】因为， ， 则 , 故,当且仅当时取等号． 【方法技巧与总结】 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【变式6-1】（2026·高一·北京·阶段检测）若，，则_____（用“”、 “”或“”填空）． 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为： 【变式6-2】比较大小. 【解析】取倒数得：三个倒数分别是：，同时减去30得， 而，则，即. 【变式6-3】比较大小. 【解析】由于，则. 题型七：待定系数配凑范围 【典例7】（2026·高一·云南楚雄·阶段检测）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 【解析】（1），， ，， . （2），， ，， . （3），， ， . 【方法技巧与总结】 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【变式7-1】已知－≤α<β≤，求，的范围． 【解析】∵－≤α<β≤，∴. 两式相加，得. ∵， ∴， ∴－≤. 又∵α<β，∴. ∴. 【变式7-2】（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【解析】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 【变式7-3】（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【解析】（1）因，又，， 则，即； （2）由可得，又， 则得，即； （3）设，由， 解得，即， 因，则， 又，则， 两式相加，可得，即. 1．（2026·高三·新疆喀什·阶段检测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，由，可得，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，由，可得，C错误； 对于D，由，可得，D错误. 2．（2026·广东梅州·模拟预测）某物流公司有7件快递，按顺序重量分别为：6，3，8，2，5，4，7（百公斤）．现按原有顺序分成3组，分别装入3辆货车．设每辆货车装载的快递总重量为该车的“负荷”．那么，这3辆货车中的最大负荷的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合， 同理，其它分组方式总有一组大于12，故A错误； 选项B：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合； 另一种装法：第一组装6，第二组装，剩余， 不符合，同理，其它分组方式总有一组大于13，故B错误； 选项C：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合； 另一种装法：第一组装6，第二组装，剩余， 不符合，同理，其它分组方式总有一组大于14，故C错误； 选项D：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，第三组，符合要求，故D正确． 3．（2026·高三·四川眉山·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】D 【解析】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 4．（2026·高三·北京海淀·开学考试）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，取，则，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，， 又，则，故D正确． 5．（2026·高三·北京房山·开学考试）奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，所以， 又乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，即，，故，， 将，代入得，即，故， 又， 即，故，即， 因为，，所以，又，，故. 6．（2026·高三·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 7．（2026·高三·重庆·阶段检测）已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则或或， 所以，是的既不充分也不必要条件，故A不符合题意； 对于B，，则， 所以，是的充要条件，故B不符合题意； 对于C，，则， 所以，是的一个充分不必要条件，故C符合题意； 对于D，当时，符合， 所以是的既不充分也不必要条件，故D不符合题意． 8．（多选题）（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）对于实数，，，下列命题是真命题的为（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【解析】因为，所以，故A错误； 因为，，所以，故B错误； 因为，所以，，所以，故C正确； 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，故D正确. 9．（多选题）（2026·高三·湖北黄冈·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，由题意得 因为，所以， 所以，则，故A正确； 对于B，若，则，此时，故B错误； 对于C，因为，所以， 由A可知，所以，故C正确； 对于D，若，则，， 此时，故D错误. 10．（多选题）（2026·高三·四川·阶段检测）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AC 【解析】对于选项A： ∵ ，可知，即，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变. ∴ ，故A正确. 对于选项B： 取反例：，，，，满足，， 此时，，，不满足，故B错误. 对于选项C： 作差得. ∵ ，∴ ，. ∴ ，即，故C正确. 对于选项D： 取反例：，，，满足且， 此时，，，即，不满足. 故D错误. 11．（多选题）（2026·高三·山西临汾·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【解析】A.∵，， 又∵，∴ 即，故A错误； B.∵，∴，又∵，∴，故B正确； C.∵，∴，又∵，∴，故C正确； D.∵，又，， ∴，∴，即，故D错误. 12．（多选题）（2026·高一·广西柳州·开学考试）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【答案】CD 【解析】对于A,由，故，故A错误， 对于B，由于，所以， 又，所以， 又，故，故， 因此，故B错误， 对于C,由于，结合，， 则，故C正确， 对于D, ，由于，， 故，即，故D正确， 故选：CD 13．若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1），分母正负无法确定，故错误； （2）若，故错误； （3）若，故错误. 14．（2026·高一·上海·开学考试）若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】由，得； 当时，所有的整数解为，所以； 当时，所有的整数解为，所以； 综上，的取值范围是或. 15．已知a，b是方程的两个根，则的值______ 【答案】 【解析】，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，． ，，，． ∴ ． 16．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【解析】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 17．证明：若，均为正数．则． 【解析】利用立方和公式因式分解可得 因为均为正数，所以， 所以， 又因为， 当且仅当时取等号，所以原命题成立. 1．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，即， 而， 则， 即，得，所以. 2．（2026·高二·安徽芜湖·期末）已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 【答案】2 【解析】由题可知，，则，， 因为，所以，即，解得， 当且仅当，时，等号成立， 当时，，，， 故的最小值为2. 3．已知克糖水中有克糖，往糖水中加入克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)利用（1）的结论比较的大小. 【解析】（1），证明如下： ， 因为，，所以，， 所以，即； （2）由题可知：，因为，， 由（1）可知，即. 4．为非负实数，满足，求的最小值． 【解析】设， 由题意知,,,,, 所以, 因此,当且仅当,,,,时取等． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $